实数完备性基本定理相互证明

关于实数连续性的基本定理

关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明

以上的定理表述如下：

实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。

确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛

,[n a ]

n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含

在所有的区间里,即

∞

=∈1

]

,[n n n b a r 。

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：

ε

ε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

（二）实数基本定理的等价证明

一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理

证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},

而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0

n ，使

a <

0n x ≤

b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理，

A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a

B ，b ≤≤∈有。

下证

∞

→n lim

n

x =r 。事实上，对n

N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。

2,2

ε

ε

-

≤∈+

r x b r n 便有 ，

2

ε

ε+

≤-∴r x r ，N n n 有时当

于是，|

n

x -r|<ε，∴∞→n lim n x

=r 。

若数列}{n x 单调下降有下界，令n

y =-

n

x ，则{

n

y }单调上升有上界，从而有极

限，设极限为r ，则

∞

→n lim n x =∞→n lim

（-n y ）=-r 。定理证完。

2.实数基本定理→确界定理

证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而A ，a ∈∀对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有

0x ∈

X ，使得

0x a ，而由B ，b ∈知0x

≤b ，故a < b 。

由实数基本定理， A|B

是实数的一个分划，

∴A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。

下证r=supX 。首先证明r 是X 的上界。用反证法。如果不然，则有

0x ∈

X ，

使得0x

r ，这时有a=20r

x +

a=20r

x +∈A ，且有a r ，这是不可能的。因此r 是X 的上界，而由于

b r B ，b ≤∈∀有，∴

r 是X 的最小上界。

同理可证下确界的情形。定理证完。

3．实数基本定理→区间套定理 证明：设｛

,[n a ]

n b ｝是一个区间套，令},|{n a x n x A ≤∃=，A R B \=，则B A |是

R

的一个分划。事实上A a ∈1，B b ∈+11，即B A ,非空；由B 的定义，

B A ,不漏；A a ∈∀，B b ∈∀，则∃，n a b n >∀,，故b a <，即B A ,不乱。故B A |确是R

的一个分划。由实

数连续性定理，存在唯一的实数r ，使得A a ∈∀，B b ∈∀，有b r a ≤≤。

下证

∞

=∈1

]

,[n n n b a r 。因为n ∀，由A 的定义，A a n ∈，故r a n ≤。又m n ,∀，有

n m b a <，则B b n ∈，从而n b r ≤。即

∞

=∈1]

,[n n n b a r 。

最后证明唯一性。若有r r ',满足

∞

=∈1

]

,[n n n b a r ，

∞

=∈'1

]

,[n n n b a r ，则

)(0||∞→→-≤'-n a b r r n n

故r r '=。即这样的r 是唯一的。定理证完。

二．用单调有界定理证明其它定理

单调有界定理→实数基本定理

证明：给定实数的一个分划，任取A a ∈1，B b ∈1。用1a ，1b 的中点2

1

1b a +二

等分[1a ，1b ]，如果

21

1b a +B ∈，则取2a =1a ， 2

b =

2

1

1b a +；如果

211b a +A ∈，则取2a =

21

1b a +，

2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=21

1a b -)(∞→n 。由单调

有界定理，知∃r ，使∞→n lim

n a = r

∞

→n lim

（n n a b -）=0 ∴∞

→n lim n

a

+（n n a b -）= r

∀ a ∈A ，有a

B b ∈∀，有n

a <

b （n=1，2，……）， 令∞→n ，知 r <

b

∴b r a ≤≤

下面证明唯一性。

用反证法。如果不然。则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤

对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，

令 2

2

1'r r r +=

显然 2

'

1

r r r << ⇒ A r ∈'，B r ∈'

，

这与B A |是R 的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。

2．单调有界定理→确界定理

证明：已知实数集A 非空。∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b