第一章 命题逻辑
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
离散数学第一章命题逻辑知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“⌝”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⌝p. 符号⌝称作否定联结词，并规定⌝p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧⌝q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧⌝u) ∨(⌝t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧⌝w)∨(⌝v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“→”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. →称作蕴涵联结词，并规定，p→q为假当且仅当p 为真q 为假.p→q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p→q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“↔”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q. ↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p↔q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p↔q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：⌝, ∧, ∨, →, ↔，组成一个联结词集合{⌝, ∧, ∨, →, ↔}，联结词的优先顺序为：⌝, ∧, ∨, →, ↔; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (⌝A)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=⌝B, B是n层公式；(b) A=B∧C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B∨C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B→C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B↔C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层⌝p 1层⌝p→q 2层⌝(p→q)↔r 3层((⌝p∧q) →r)↔(⌝r∨s) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号，αi=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值α1α2…αn是▪指p1=α1, p2=α2, …, p n=αn▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值α1α2α3…是指▪p=α1,q=α2 , r=α3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q→p) ∧q→p的真值表例 B = ⌝ (⌝p∨q) ∧q的真值表例C= (p∨q) →⌝r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q→p)∧q→p，B =⌝(⌝p∨q)∧q，C= (p∨q)→⌝r1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式说明：定义中，A,B,⇔均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p→q) ⇔ ((⌝p∨q)∨ (⌝r∧r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p→(q→r) ⇔ (p∧q) →rp→(q→r) (p→q) →r⏹基本等值式双重否定律 : ⌝⌝A⇔A等幂律：A∨A⇔A, A∧A⇔A交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C) 德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B吸收律: A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A排中律: A∨⌝A⇔1矛盾律: A∧⌝A⇔0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A⇔B, 则Φ(B)⇔Φ(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式，置换规则）⇔(⌝p∨⌝q)∨r（结合律，置换规则）⇔⌝(p∧q)∨r（德⋅摩根律，置换规则）⇔(p∧q) →r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p→(q→r) (p→q) →r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德⋅摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解 (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解 ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A⇔0A为重言式当且仅当A⇔1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词⌝, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ⌝A(p1,p2,…,p n) ⇔A* (⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n)(2) A(⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n) ⇔⌝A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ⇔ B，则A*⇔ B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, ⌝q, p∨⌝q, p∨q∨r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, ⌝q, p∧⌝q, p∧q∧r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A∨A2∨⋯∨A r, 其中A1,A2,⋯,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A∧A2∧⋯∧A r , 其中A1,A2,⋯,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p∧⌝q∧r, ⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的→, ↔（若存在）(2) 否定联结词⌝的内移或消去(3) 使用分配律∧对∨分配（析取范式）∨对∧分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p→⌝q)∨⌝r解 (p→⌝q)∨⌝r⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p→⌝q)→r解 (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔ (p∧q)∨r（否定号内移——德⋅摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r) （∨对∧分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1≤i≤n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称i为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: ⌝m i ⇔M i , ⌝M i ⇔m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m1∨m3是主析取范式(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r) ⇔M1∧M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r , （析取范式）①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7 ,r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) , （合取范式）①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2,②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项⇔A的主合取范式为1.A为矛盾式⇔A的主析取范式为0⇔A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p→q)(2) (s∨u)(3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(5) (u→(p∧q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))④ A ⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A⇔ (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) （交换律) B= (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))1⇔ ((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r)) （分配律）B= (s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))2⇔ ((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u)) （分配律）B∧B2 ⇔ (⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)1∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u) 再令B3 = ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))得A⇔B1∧B2∧B3⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p→r, r→⌝s结论：s→q证明① s附加前提引入②p→r前提引入③r→⌝s前提引入④p→⌝s②③假言三段论⑤⌝p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
第一章_命题逻辑1-4节
q” ）称为 p 与 q 的合取式，记作 p∧q，∧称作合取联结词，
并规定 p∧q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真. 使用合取联结词时要注意两点： (1) 描述合取式的灵活性与多样性 (2) 分清简单命题与复合命题
例 将下列命题符号化. 1. （1）吴颖既用功又聪明. （2）吴颖不仅用功而且聪明. （3）吴颖虽然聪明，但不用功. 2. （1）张辉与王丽都是三好生. （2）张辉与王丽是同学. 1 题说明描述合取式的灵活性与多样性 2 题要求分清联结词“与”联结的复合命题与简单命题 将各命题符号化
4. 蕴涵式与蕴涵联结词“→” 定义 1.4 设 p, q 为二命题，复合命题“如果 p, 则 q”称作 p 与 q 的 蕴涵式，记作 p→q，并称 p 是蕴涵式的前件，q 为蕴涵式的后件， →称作蕴涵联结词，并规定，p→q 为假当且仅当 p 为真 q 为假. 说明： （1）p→q 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 （2） “如果 p, 则 q 的不同表述法很多： 若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p （如果 p，则有 q） 除非 q, 才 p 或除非 q，否则非 p，…． （¬q→¬p） （3）当 p 为假时，p→q 为真，可称为空证明 （4) 常出现的错误：不分充分与必要条件
解：1. 设 p：吴颖用功；q：吴颖聪明 则 (1)、(2)p∧ q；(3) p∧ (¬ q) 2.p:张辉是三好生；q:王丽是三好生 (1)p∧ q (2)p：张辉与王丽是同学
3. 析取式与析取联结词“∨” 定义 1.3 设 p, q 为二命题，复合命题“p 或 q”称作 p 与 q 的析 取式，记作 p∨q，∨称作析取联结词，并规定 p∨q 为假当且仅 当 p 与 q 同时为假. 例 将下列命题符号化 （1）2 或 4 是素数. （2）2 或 3 是素数. （3）4 或 6 是素数. （4）小元元只能拿一个苹果或一个梨. （5）王小红生于 1975 年或 1976 年. （1）—（3）为相容或 （4）—（5）为排斥或
1命题逻辑
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命题表示法：可用 • 字母a，b，c，…，p，q，r… • 或带下标的字母，如p1，q4…表示命题。 例：p：今天下雨。 q：今天是晴天。 r ：雪是黑的。
命题标识符：表示命题的符号。 如上例中的p，q和r就是标识符。
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命题分类 1. 简单命题：不能分解为更简单命题的命题， 又称为原子命题。 2. 复合命题：由原子命题、联结词和标点符 号复合构成的命题。 例：(1) 黄色和蓝色都是常用的颜色。 (2) 李冰选学英语或法语。 (3) 如果4是偶数，则5也是偶数。 (4) 小王虽然没上过大学，但他自学成才。 符号逻辑下，联结词也要符号化。
例:公式 p pq (p q) ∧r ((pq)( q p)) 的层次分别为 0、1、3、4
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1.4
真值表与等值公式
赋值/指派：设p1，p2，…，pn是出现在公 式A中的全部命题变元，给p1，p2，…，pn 各指定一个真值，称为对公式A的一个赋值。 若指定的一组值使A的真值为1，则称这组 值为A的成真赋值/指派，若使A的真值为0， 则称这组值为A的成假赋值/指派。 真值表：在命题公式中，对于分量指派真 值的各种可能组合，就确定了这个命题公 式的各种真值情况，把它汇列成表，就是 命题公式的真值表。
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如：R：张三或者李四考了90分。 S：第一节课上数学或者上英语。
对于R，张三和李四可能都考了90分。张三和 李四中只要有一个考了90分，则命题R为真， 若张三和李四都考了90分，R当然也为真。
而对于S，第一节课不能既上数学又上英语， 因此，若p表示“第一节课上数学”，q表示“ 第一节课上英语”，当两个命题都真，S就不 真了。在将命题进行形式化的时候，我们不能 简单的符号化为p∨q，而应采用其他形式。如 可以写为(p∧┐q)∨(┐p∧q)。
第1章 命题逻辑3
第1章 命题逻辑
定义1.6.3 设p和q是两个命题，复 合命题p↓q称作p和q的或非。定 义为：当且仅当p、q的真值都为 假时，p↓q的真值为真。联结词 “↓”称为或非联结词。
表1.20 p 0 0 q 0 1 p↓ q 1 0
1
1
0
1
0
0
由此定义可得到下面的公式： p↓q¬ (p∨q)
联结词↓还有下面的几个性质： ⑴ p↓p¬ (p∨p) ¬ p ⑵ (p↓q)↓(p↓q) ¬ (p↓q) ¬ ¬ (p∨q)p∨q ⑶ (p↓p)↓(q↓q) ¬ p↓¬q¬ (¬ p∨¬ q)p∧q
第1章 命题逻辑
蕴含式是逻辑推理的重要工具。下面是一些重要的蕴含 式。它们都可以用上述两种方法证明，其中A，B，C，D是 任意的命题公式。 1.附加律 AA∨B， BA∨B 2.化简律 A∧BA， A∧BB 3.假言推理 A∧(A→B)B 4.拒取式 ¬ B∧(A→B)¬ A 5.析取三段论 ¬ A∧(A∨B)B， ¬ B∧(A∨B)A 6.假言三段论 (A→B)∧(B→C)(A→C) 7.等价三段论 (A↔B)∧(B↔C)(A↔C) 8.构造性二难 (A∨C)∧(A→B)∧(C→D)B∨D (A∨¬ A)∧(A→B)∧(¬ A→B)B 9.破坏性二难 (¬ B∨¬ D)∧(A→B)∧(C→D)(¬ A∨¬ C)
第1章 命题逻辑
定义1.6.5 设S是全功能联结词集，如果去掉其中的任何 联结词后，就不是全功能联结词集，则称S是最小全功 能联结词集。 可以证明 ¬，∧ ， ¬，∨ ， ↑ ， ↓ 是最小全 功能联结词集。
第1章 命题逻辑
讨论:n个命题变元可以构成多少个不等价的命题公式? 两个命题变元可以构成多少个不等价的命题公式？ 由等价的概念知道，等价的命题公式有相同的真值表，所 以上述问题就转化为两个命题变元构成的命题公式有多少个不 同的真值表？ 表1.21 两个命题变元构成的命题公式 p q 公式 的真值表的格式如表1.21所示。 0 0 1或0 真值表中每行公式的真值都 有1，0两种可能，所以命题公式 0 1 1或0 22 的真值有2×2×2×2=24= 2 =16 1 0 1或0 22 种可能，既有 2 个不同的真值表。 22 1 1 1或0 故有 种不等价的公式。 2 8= 23个不等价的命题公式，n个变元可 三个变元可构成 2 2 2n 构成 2 个不等价的命题公式。
第一章 命题逻辑基本概念
传统逻辑与数理逻辑： 传统逻辑与数理逻辑： 逻辑一词源于希腊文，意思指： 逻辑一词源于希腊文，意思指：词、思 想、理性、规律等。 理性、规律等。 逻辑学研究的是：判别一个推理过程是 逻辑学研究的是： 否正确的标准。数理逻辑也叫符号逻辑， 否正确的标准。数理逻辑也叫符号逻辑，即 用人工符号来书写逻辑法则， 用人工符号来书写逻辑法则，它是一门涉及 数学、逻辑学、 数学、逻辑学、哲学等几门学科的横向交叉 学科。 学科。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的 形式结构和推理规律的数学学科， 形式结构和推理规律的数学学科，它与数 学的其它分支、计算机科学、人工智能、 学的其它分支、计算机科学、人工智能、 语言学等学科均有密切的联系。 语言学等学科均有密切的联系。命题逻辑 一阶谓词逻辑是数理逻辑中最成熟的部 和一阶谓词逻辑是数理逻辑中最成熟的部 在计算机科学中应用最为广泛， 分，在计算机科学中应用最为广泛，其中 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分， 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分，谓词 逻辑是在它的基础上发展起来的。 逻辑是在它的基础上发展起来的。
将下列命题符号化： 例 将下列命题符号化： 吴颖既用功又聪明。 （1）吴颖既用功又聪明。 吴颖不仅用功而且聪明。 （2）吴颖不仅用功而且聪明。 吴颖虽然聪明，但不用功。 （3）吴颖虽然聪明，但不用功。 张辉与王丽都是三好生。 （4）张辉与王丽都是三好生。 张辉与王丽是同学。 （5）张辉与王丽是同学。 （1）-（3）说明描述合取式的灵活性与多样性 ）（ ） （4）-（5）要求分清联结词“与”联结的复合 ） （ ）要求分清联结词“ 命题与简单命题
一、主要内容
命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理理论
二、学习要求 深刻理解命题、 联结词、 深刻理解命题 、 联结词 、 复合命 命题公式、 等值式、 题 、 命题公式 、 等值式 、 等值演 算、推理及证明等概念 熟练进行等值演算与构造证明
第一章 命题逻辑
注： 1.虽然上例的P、Q之间并无实际联系，但只要P、Q可 分别确定真值，即可用“→”联结。 2.Q→P称为P→Q的逆命题； ┐P→┐Q称为P→Q的否命题； ┐Q→┐P称为P→Q的逆否命题。 3.前项P为F时，无论后项Q取何真值,P→Q的真值均为 T，这是所谓的“善意推定”。
定义5：给定两个命题P和Q，复合命题P↔Q称作 双条件命题，读作“P当且仅当Q”，当P和Q的真 值相同时，P↔Q的真值为T，否则P↔Q的真值为F。 注：双条件↔的其他表示法。 例： P： 1+1=3。 Q： 雪是白的。 P↔Q： 1+1=3当且仅当雪是白的。
5.只有睡觉才能恢复疲劳。 解：这个命题的实际含义是，能恢复疲劳必定是睡觉了， 令P:恢复疲劳，Q:睡觉，则此命题符号化为P→Q。 6.只要我还有口气，我就要战斗。 解：令P:我还有口气，Q:我要战斗，则此命题符号化为 P→Q。
二、合式公式的翻译成自然语言（略）
作业：P42 T3,T4
1-4真值表与等价公式
注：重言式一定是可满足式。
永真式也称重言式；永假式也称矛盾式。
关于重言式，有如下性质：
定理1：任何两个重言式的合取或析取，仍然是 重言式。 证明：设A、B为两个重言式，则A∧B和A∨B的真 值分别等于T∧T和T∨T。
定理2：对一个重言式的同一分量都用任何一个 命题公式置换，所得命题公式仍为一个重言式。 （即代入规则） 证明：由于重言式的真值与分量的真值指派无关， 故对同一分量以任何一个命题公式置换后，重言 式的真值不变。
例：符号化下列命题。 1.张明正在睡觉或游泳。 解：令P:张明在睡觉，Q:张明在游泳， 则此命题符号化为：(P∧┐Q)∨( Q∧┐P)。 2.他可能是100米或400米赛跑的冠军。 解：令P: 他可能是100米赛跑的冠军，Q: 他可能是100米 赛跑的冠军 ，则此命题符号化为：P∨Q。
4-第一章命题逻辑PPT课件
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
三、主范式 (2)主合取范式 每个合取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定） 主合取范式的化归步骤：见书上38页
例7:试求 (PQ )( PR)的主合取范式。 例8:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主合取范式。
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第20页
1.6 对偶与范式
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第20页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.6 对偶与范式 （复习）
三、主范式 (1)主析取范式 每个析取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定）
主析取范式的化归步骤：见书上36页
例5:试求 P Q 和 (PQ) 的主析取范式。
例6:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主析取范式。
分别都是什
（3）若C不去，则A或B可以去。 么？
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11
第21页
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.6 对偶与范式（复习）
二、范式 定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当 它具有型式：
A 1A 2A n(n1 ) 其中 A1,A2, ,An 都是由命题变元或其否定所组成
的析取式。
合取范式的特点：
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离散数学第一章命题逻辑定义1。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。
若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。
联结词“¬”表示命题的否定。
否定联结词有时亦可记作“¯”。
（P3）定义2。
两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。
当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。
（P4）定义3。
两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。
当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
（P5）定义4。
给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。
我们称P为前件，Q为后件。
（P6）定义5。
给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。
（P7）定义6。
命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。
（P9）定义7。
在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
（P12）定义8。
给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。
记作A⇔B。
（P15）定义9。
如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。
（P16）定理1。
设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。
第1章_命题逻辑
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
12.设 是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果 和 逻辑等价，那么运算符 是可结合的。
（1）确定逻辑运算符 ， ， ， 哪些是可结合的？
（2）用真值表证明你的判断。
解：（1） 是可结合的。
（2）真值表如下：
P
Q
R
F
F
F
F
F
F
T
F
F
（3）
2.求下列公式的主析取范式和主合取范式：
（1）
合取范式：
析取范式：
（2）
合取范式：
析取范式：
（3）
合取范式：
析取范式：
（4）
析取范式：
合取范式：
1.4
1.试用真值表法证明： 不是 , , 和 的有效结论。
解：构造真值表如下：
A B C D E
0 0 0 0 0
1
1
1
0
0
0 0 0 0 1
1
1
0
结论C是有效结论。
（3）
（4）
证明：
{1}（1） P规则（附加前提）
{2}（2） P规则
{1，2}（3） T规则，（1），（2），
{4}（4） P规则
{1，2，4}（5） T规则，（3），（4），
{1，2，4}（6） 规则，（1），（5）
3.不构成真值表证明： 不是 、 、 和 的有效结论。
第01章命题逻辑
判断给定句子是否为命题, 应该分两步：
首先判定它是否为陈述句, 其次判断它的真值是 否唯一。
例1.1 判断下例句子是否为命题。
(1) 2 是素数。
(2) 雪是黑色的。
(3) 1+101=110
(4) 十是整数。
(5) 向右看齐！
(6) 今天是十五号。
(7) 这朵花多美啊！ (8) 我们这里四季如春。
命题符号化是很重要的, 一定要掌握好。 在命题推理中常常最先遇到的就是符号化 这个问题, 解决不好, 等于说推理的首要前提 没有了。
在本节结束时, 应强调指出的是: 复合命题的真值只
取决于各原子命题的真值, 而与它们的内容、含义无关, 与原子命题之间是否有关系无关。
理解和掌握这一点是至关重要的, 请认真领会。
2. 在自然语言中, “如果P, 则Q”中的前件P与后件Q往往具有某 种内在联系。而在数理逻辑中, P与Q可以无任何内在联系。
3. 在数学或其它自然科学中, “如果P, 则Q”往往表达的是前件 P为真, 后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中, 作为 一种规定, 当P为假时, 无论Q是真是假, PQ均为真。即: “只有P为真Q为假”使得复合命题PQ为假。
或 0 表示“假”。
(3) 命题中的联结词也符号化: ¬、∧、∨、、。
四、命题常量与命题变元
简单命题可用命题标识符表示。表示命题的符号有双 重作用:
(1) 如果命题标识符表示确定的命题(真值确定)——命题 常元;
(2) 如果命题标识符只表示任意命题的位置标志, 即可表
示任意命题(真值不确定)——命题变元。
由它构成的命题称为简单命题。简单命题是命题逻
辑的基本单位。
三、命题符号化
(优选)第一命题逻辑
一. 否定“”
表示：“…不成立”，“不…”。
用于：对一个命题P的否定，写成P，并读成 “非P”。
P的真值：与P真值相反。
例1-2.1 P：2是素数。 P：2不是素数。
P：上海是一个大城市
P P FT
TF
二. 合取“∧” 二元运算
表示：“并且”、“不但…而且...”、“既… 又 ...”“尽管…还… ”
排斥或。即“ ”.
1. 析取“∨”
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例3中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当 且仅当P与Q均为F。
P Q P∨Q FF F FT T TF T
TT T
2. 异或“ ”
P：第一节上数学。 Q：第一节上英语。 例4中的复合命题
⑴⑵⑶⑷是命题
悖论 1、我正在说谎 2、一个城市里唯一的理发师只给所有不给自己
理发的人理发
二.命题的真值
➢ 一个命题所作的判断有两种可能：是正确的判 断或者是错误的判断。 一个命题的真值有两个：“真”或“假”
➢ 真值为真:一个命题所作的判断与客观一致,则称 该命题的真值为真,记作T (True)。
例1-2.2 P：小王能唱歌。 P Q P∧Q
Q：小王能跳舞。 F F F
P∧Q：小王能歌善舞。
FT F
P∧Q读成P合取Q。
TF F
P∧Q的真值为真，当且 仅当P和Q的真值均为真。
TT
T
三. 析取“∨”、异或“ ”
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、
第一章命题逻辑(3)
解: 解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号 化.然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着 进行判断. (1)若a能被4整除，则a能被2整除；a能被4 整除.所以a能被2整除. (1)设 p：a能被4整除. q: a能被2整除. 前提：p→q，p 结论：q 推理的形式结构：(p→q)∧p→q
主要内容
1.推理的形式结构 (1)推理前提 (2)推理结论 (3)推理正确 (4)有效推理 2.判断推理正确的方法 (1)真值表 (2)等值演算 (3)主析取范式 3.自然推理系统中的证明 4. (1)自然推理系统的定义 (2)自然推理系统的推理规则 (3)前提附加法 (4)归谬法
判断推理 1.理解并记住推理形式结构的三种等价形式 是否正确 (1) {A1,A2,…,Ak} |=B (2) A1∧A2∧…∧Ak→B P系统中 (3) 前提: A1,A2,…,Ak 证明时 结论: B 2.熟练掌握判断推理是否正确的三种方法(用 真值表, 等值演算,析取范式) 3.牢记P系统中的各种推理规则 4.对正确的推理,在P系统中给出严谨的证明序列 5.会用附加前提法和归谬法证明
例1.6.2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 : (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取
设p:小张守第一垒. q:小李向B队投球. r:A队取胜. s:A队获得联赛第一名.
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q 证明：用归谬法 ①q 结论的否定引入 ② ┐r∨s 前提引入 ③ ┐s 前提引入 ④ ┐r ②③析取三段论 ⑤(p∧q)→r 前提引入 ⑥ ┐(p∧q) ④⑤拒取式 ⑦ ┐p∨┐q ⑥置换 ⑧p 前提引入 ⑨ ┐q ⑦⑧析取三段论 ⑩ q∧┐q ①⑨合取
第一章 命题逻辑
第一章命题逻辑逻辑学是研究推理过程规律一门科学。
数理逻辑则是用数学的方法研究思维规律的一门学科。
由于它使用了一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此数理逻辑又称为符号逻辑或理论逻辑。
数理逻辑和计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等计算机应用和理论研究提供必要的理论基础。
数理逻辑的主要分支包括公理化集合论、证明论、递归函数论、模型论等。
从本章开始，我们用三章的篇幅介绍数理逻辑的基本内容：命题逻辑、谓词逻辑和非经典逻辑简介。
命题逻辑研究的是以原子命题为基本单位的推理演算，其特征在于，研究和考查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到其中所含的原子命题成分为止。
通过这样的分析可以显示出一些重要的逻辑形式，这种形式和有关的逻辑规律就是命题逻辑。
1.1 命题与联结词1.1.1 命题与命题变元语言的单位是句子。
句子可以分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，其中只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假。
定义1.1能够分辨真假的陈述句叫做命题（Proposition）。
从这个定义可以看出命题有两层含义：(1)命题是陈述句。
其他的语句，如疑问句、祈使句、感叹句均不是命题；(2)这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假。
作为命题的陈述句所表示的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
凡是与事实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈述句是假命题。
通常用1（或大写字母T）表示真，用0（或大写字母F）表示假。
例1.1判断下列语句是否为命题，并指出其真值。
(1) 北京是中国的首都。
（2）5可以被2整除。
（3）2+2=5。
（4）请勿吸烟。
（5）乌鸦是黑色的吗？（6）这个小男孩多勇敢啊！（7）地球外的星球上存在生物。
（8）我正在说谎。
解（1）～（3）是命题，其中（1）是真命题，（2），（3）是假命题。
值得注意的是，像2+2=5这样的数学公式也是一个命题，事实上，一个完整的数学公式与一个完整的陈述句并没有什么本质的差异。
离散数学命题逻辑
Q）
(MQ) P（附加前提）
(2) SR
P
第一章命题逻辑
本题即证：M Q, MS, SR R→Q (3) RS T(2)E (4) S T(1)(3)I (5) MS P (6) M T(4)(5)I (7) (MQ) P (8) MQ T(7)E (9) (MQ)∧(QM) T(8)E (10) QM T(9)E (11) MQ T(10)E (12) Q T(6)(11)E (13) R→Q CP
第一章命题逻辑
请根据下面事实，找出凶手：
1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。 C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的. E:午夜时屋里灯光灭了。 H:清洁工富裕. G:经理有钱. 命题符号为： A∨B,AC,DC,DE,HA,G∧H,E ?
第一章命题逻辑
例题1-8.2 用命题逻辑推理方法证明下面推理的 有效性： 如果我学习，那么我数学不会不及格。如果我不 热衷于玩朴克，那么我将学习。但是我数学不 及格。因此，我热衷于玩朴克。 解 设 P：我学习。 Q：我数学及格。 R：我热衷于玩朴克。 于是符号化为： P→Q，R→P，Q R
1-8 推理理论
第一章得出一个新 的判断的思维过程。称这些已知的判断为前提。 得到的新的判断为前提的有效结论。 实际上，推理的过程就是证明永真蕴含式的过程， 即令H1，H2，…，Hn是已知的命题公式(前提)， 若有 H1∧H2∧....∧Hn C 则称C是H1，H2，…Hn的有效结论，简称结论。
第1章 命题逻辑的基本概念
第1章
例题3
例3、一位父亲对儿子说：“如果我去书店，就 一 定给你买本《儿童画报》。”问：什么情况 下父亲食言？ 解：可能有四种情况： (1)父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。 (2)父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。 (3)父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。 (4)父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
第1章
等价
5、等价 由p、q和等价符号↔组成的式子(p↔q)称为p和q 的等价式。 p↔q为真当且仅当p、q真值相同。 真值表描述如下： 例：p：两圆面积相等 p↔q p q
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
q：两圆半径相等 两圆的面积相等当且仅当它 们的半径相当。 (p↔q)
第1章
第1章
例题4
例4、p：天下雨 q：我骑车上班 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 ┐p→q (2)只要天不下雨，我就骑车上班。 ┐p→q (3)只有天不下雨，我才骑车上班。 q→┐p 或 p→┐q (4)除非天下雨，否则我就骑车上班。 ┐p→q (5)如果天下雨，我就不骑车上班。 p→┐q
第1章
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1
q：小明学过法语 则小明学过英语或法语 表示为： (p∨q)
第1章
相容性或与排斥或
例、小明学过英语或法语 p：小明学过英语 q：小明学过法语 相容性或 表示为：p∨q 例、小明只能挑选计算机专业或物联网工程专业 p：小明选计算机专业 q：小明选物联网专业 排斥或 表示为：(p∧┐q)∨(┐p∧q) 例、小明是安徽人或河南人 p：小明是安徽人 q：小明是河南人 排斥或 表示为：(p∧┐q)∨(┐p∧q) p∨q
例5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
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第一章命题逻辑1.什么叫做命题？是陈述句子都是命题吗？请举例说明之。
2.命题的真值有几种？为什么？并说明这些真值的定义。
3.判断下面句子哪些是命题。
如果是命题，说出它的真值。
1．离散数学是计算机科学与技术专业的理论基础。
2．2不是素数。
3．x＋y＝64．明天有雨吗？5．火星上也有过人类。
4.什么叫做简单命题？什么叫做复合命题？如何表示复合命题？5.命题逻辑中定义了几个逻辑联结词？都用什么符号表示？分别叫做什么名称？在自然语言中都表达什么含义？6.填空：P、Q是命题变元，则P∧Q的真值为真，当且仅当( )P∨Q的真值为假，当且仅当（）P∨Q的真值为假，当且仅当( )P→Q的真值为假，当且仅当（）P↔Q的真值为真，当且仅当( )8.填空已知P∧Q为T，则P为( )，Q为( )。
已知P∨Q为F，则P为( )，Q为( )。
已知P为F，则P∧Q为( )。
9.填空已知P为T，则P∨Q为( )。
已知P∨Q为T，且P为F ，则Q为( )。
10.填空已知P为F，则P→Q为( )。
已知Q为T，则P→Q为( )。
11.填空已知P为T，P→Q为T，则Q为( )。
已知⌝Q为T, P→Q为T，则P为( )。
已知P↔Q为T，P为T , 则Q为( )。
12.填空已知P↔Q为F，P为T , 则Q为( )。
P↔P 的真值为( )。
P→P 的真值为( )。
13.设P,Q,R代表的意义如下：P：苹果是甜的。
Q：苹果是红的。
R：我买苹果。
试用自然语言说明下面复合命题所表示的含义。
1．(P∧Q)→R2．(⌝P∧⌝Q)→⌝R3．R↔(P∧Q)14.设命题P、Q、R所代表的意义如下：P：天气好。
Q：我有时间。
R：我去旅游。
用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
1．只要天气好，我就去旅游。
2．仅当天气好，我才去旅游。
3．天气不好，我就不去旅游。
4．如果天气不好或者我没有时间，我不去旅游。
15.设命题P、Q、R所代表的意义如下：P：小张上街。
Q：小王上街。
R：小李上街。
试用自然语言说明下面复合命题所表示的含义。
1．⌝(P∧Q)→R2．(⌝P∧⌝Q)→⌝R3．R↔(P∧Q)15.给P、Q指派真值“T”，给R、S指派真值“F”，求下面复合命题的真值。
(S∨(Q→(R∧⌝P))) ↔( Q→⌝S)16.设命题P、Q、R所代表的意义如下：P：明天天气好。
Q：明天我上街。
R：明天我在家。
用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
1．如果明天天气好，我就上街，否则在家。
2．明天只有天气好，我才上街。
3．我明天或者上街，或者在家。
17.用逻辑符号写出下面命题的符号表达式。
或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
18.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
我们不能既划船又跑步。
19.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否为他伴奏而定。
20.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
21.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
我今天进城，除非下雨。
22.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
仅当你走我将留下。
23请将下面流程图写成符号表达式24.填空令P: 天气好。
Q ：我有时间.。
R ：我在家。
S ：我上街。
将下面各个命题的符号表达式B填在各个命题后面的括号内。
⑴. 除非天气不好，否则我就在家( )⑵要么我上街，要么我在家. ( )⑶仅当我有时间, 我才上街. ( )⑷我就上街，当且仅当天气好且我有时间。
.( )25.将下面命题的符号表达式。
“如果小张出差，那么小王和小李两人中恰有一个人去，否则小王和小李都不去。
”26.设A(P1,P2,…,P n) 是含有命题变元P1,P2,…, P n的命题公式，则它的真值表有多少行？为什么？27.列出命题公式(P→Q)→(P→(P∧Q))的真值表。
28.给定命题P与Q所代表的命题公式如下，判断它们是否逻辑等价，并说明原因。
1．P⇔R→S Q⇔⌝R∨S2．P⇔R→R Q⇔S↔S3．P⇔R↔((R∧S) ∨R) Q⇔(⌝R∨S) →(⌝S→⌝R)29.什么叫做重言式？请列举一个重言式。
30.选择填空题：设A(P1,P2,…,P n) 是含有命题变元P1,P2,…, P n的重言式，则A(⌝P1, ⌝P2,…,⌝P n)是( ) 。
选择答案：A：重言式；B：矛盾式；C：无法确定；D：不知道。
31.什么叫做矛盾式？请列举一个重言式。
32什么叫做重言蕴涵式？请列举一个重言式。
33选择填空题：公式A→B是重言式，则⌝B →⌝A是( )。
选择答案：A：矛盾式；B：重言式；C：无法确定；D：不知道。
34.下面的命题公式中哪些是永真式，只写出题号即可。
然后证明其中一个是永真式。
1. (P∧Q)→Q2. (P∧(P→Q))→Q3. P→(P∨Q)4. (P∨Q)→P35.下面的命题公式中哪些是永真式，只写出题号即可。
然后证明其中一个是永真式。
1. P↔((P∧Q∨P)2. (⌝Q∧(P→Q))→⌝P3. ⌝(P∧Q)→⌝P4. (P∧Q)→(P∨Q)36.下面命题公式中,哪些是永真式？对不是永真式的命题公式给予说明。
其中符号“Ｔ”、“Ｆ”分别表示“永真”、“永假”, ⌝表示否定。
1 . (F→P)∨(P∧⌝P) 2. (P→Q)↔(⌝P∨Q)3. ⌝(P→Q)→⌝P4. (P∧(Q∨⌝P))∨P5. ⌝((P→⌝P)∧P)37.下面哪些命题公式是永真式(写出题号即可)？再任选其中一个证明之。
⑴⌝(P∧⌝(P∨Q))↔Q⑵((P→Q)∧⌝Q)→⌝((P∨Q) ∧P)⑶((P∨Q) ∧P) → (P ∨ (Q ∧P))38.给定命题公式如下：⑴(P∧Q)→(P∨Q)⑵(P∨Q)→P⑶⌝ (P→P))∧⌝P⑷P↔((P∧Q) ∨P)⑸(P→Q) →(⌝P∨Q)⑹(⌝Q∧(P→Q))→⌝P⑺⌝ ((⌝P∨Q) →(⌝Q→⌝P))⑻⌝(P∧Q)→⌝P从供选择的答案中选出应填入下列叙述内的正确答案。
在以上8个命题公式中，永真式的为（A）,矛盾式为（B）。
供选择的答案A：①：⑷⑸⑺⑻②：⑴⑵⑷⑹③：⑴⑷⑸⑹④：⑴⑷⑸⑺B：①：⑵⑶⑺⑻②：⑶⑷⑻③：⑶⑹⑺⑻④：⑶⑺39.不用真值表证明下面命题公式是永真蕴涵式。
(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))40.不用真值表证明下面永真蕴涵式。
((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) ⇒⌝A∨⌝B41.不用真值表证明下面永真蕴涵式。
(⌝A→(B∨C) )∧(D∨E)∧((D∨E) →⌝A) ⇒ B∨C42.什么叫做两个命题公式等价？43.选择填空题：设A(P1,P2,…,P n)、B(P1,P2,…,P n)是含有命题变元P1,P2,…, P n的命题公式。
如果A(P1,P2,…,P n)与B(P1,P2,…,P n)等价，则A(⌝P1, ⌝P2,…,⌝P n) 与B(⌝P1, ⌝P2,…,⌝P n) ( ) 。
选择答案：A：等价；B：不等价；C：无法确定；D：不知道。
44.求证吸收律P∧(P∨Q)⇔P45.求证(⌝P∨Q)→(P∧Q) ⇔P46.化简命题公式⌝(P∧Q)→(⌝P∨(⌝P∨Q))。
47.令P表示天气好，Q表示我上街。
请用最简单的语言说明命题公式⌝(P∧Q)→(⌝P∨(⌝P∨Q))所表达的含义。
48.证明((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))⇔(B∧(D→A))→c49.什么叫做命题公式A的对偶式？50.选择填空：如何用对偶式求公式A(P1,P2,…,P n)的否定⌝A(P1,P2,…,P n)？即⌝A(P1,P2,…,P n) ⇔( )选择答案：a：A*(P1,P2,…,P n)；b：A*(⌝P1, ⌝P2,…,⌝P n)；c：⌝A*(⌝P1, ⌝P2,…,⌝P n)；d：⌝A*(P1, P2,…, P n)。
51利用对偶式求公式A的否定公式直接写出下面命题公式的计算结果。
⌝(((P∧Q)∨(P∧⌝Q))∨R)52.请描述命题公式的对偶原理53.如何利用对偶原理，说明下面两个等价公式之间的关系。
P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)54.什么叫做命题公式的析取范式？55.什么叫做命题公式的合取范式？56.什么叫做小项？57.具有两个命题变元P、Q可以组成多少个不同的小项？请列出这些小项。
58.填空：对于n个命题变元P1,P2,,...，P n ：a). 这n个命题变元，则可构成( a )个小项。
b). 对这n个命题变元的每一组指派有且只有( b )个小项为T。
59.填空：具有两个命题变元P、Q情况下，在P、Q分别指派为F、F时，为真的小项是( 1 )，在T,F指派时为真的小项是( 2 )。
60.什么叫做主析取范式？61.永真式的主析取范式是什么样？试写出具有两个命题变元P、Q的永真式A(P,Q)的主析取范式。
62.什么叫做大项？63.具有两个命题变元P、Q可以组成多少个不同的大项？请列出这些大项。
64.填空：对于n个命题变元P1,P2,,...，P n ：a). 这n个命题变元，则可构成( a )个大项。
b). 对这n个命题变元的每一组指派有且只有( b )个大项为F。
65.请叙述一下由n个命题变元P1,P2,,...,P n构成的大项的性质。
66.填空：具有两个命题变元P、Q情况下，在P、Q分别指派为F、F时，为假的大项是( 1 )，在F,T指派时为假的大项是( 2 )，在T,F指派时为假的大项是( 3 )。
在T,T指派时为假的大项是( 4 )。
67.什么叫做主合取范式？68.试写出命题公式(P↔Q)→R 的析取范式与合取范式69已知命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1, m3, m5, m7 。
求它的主合取范式。
70.已知含有命题变元P、Q、R的命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m3,m4,m6,m7，求命题公式⌝A(P,Q,R)的主合取范式(要求写出最终形式，即含有P,Q,R的表达式形式)。
71.已知含有命题变元P、Q、R的命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m3,m4,m6,m7；命题公式B(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m2,m4,m5, 求命题公式A(P,Q,R)∧B(P,Q,R)的主合取范式(要求写出最终形式，即含有P,Q,R的表达式形式)。
72.已知含有命题变元P、Q、R的命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m3,m4,m6,m7；命题公式B(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m2,m4,m5, 求命题公式⌝A(P,Q,R)∨B(P,Q,R)的主合取范式(要求写出最终形式，即含有P,Q,R的表达式形式)。
73.写出下面命题公式(P→Q)→R 的主合取范式。