广东省东莞市届高三文科数学《数列》专题测试

2010届高三文科数学小综合专题练习一一数列东莞市第一中学老师提供1.已知数列啣N”是等比数列，且a n 0,a^ 2,a^8.(1) 求数列的通项公式；111 1(2) 求证:—- - —:::1 ；31 a? 玄3 3n(3) 设b n = 2log 2 a n 1,求数列：b n/的前100项和.2.数列｛a n｝中，6=8，34=2，且满足a n.2-a n1 二常数C(1)求常数C和数列的通项公式；⑵设T20 H a1 | | a2 丨I I ( I a20 I，⑶T n ^aj • |a2| 川|a n|, n N3.已知数列2n, n为奇数；a n =人2n—1, n为偶数;求S2n4 .已知数列、= 1.(1)求证：的相邻两项a n,a n 1是关于X的方程x2-2n x • b n =0 (n N)的两根，且数列』a n— 1汇2" ?是等比数列；(2)求数列◎ ? 的前n项和S n.5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本1年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少-，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建5设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加丄.4⑴设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，写出a n,b n的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7.在等比数列｛a n｝(n € N*)中，已知a i> 1, q>0•设b n=log2a n，且切+ b3 + b5=6, b i b3b5=0.(1)求数列｛a n｝、｛b n｝的通项公式a n、b n；⑵若数列｛b n｝的前n项和为S n,试比较S n与a“的大小.8.已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列｛b n｝中，b i=1, 点P (b n, b n+1)在直线x-y+2=0 上。

(1)求a i和a2的值；(2)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项a n和b n；(3)设C n=a n • b n,求数列｛C n｝的前n项和T n。

. A A d d Q9.已知数列 d』的前n项和为S n,a^1且S n二S n j a n「一 ,数列\b n满足d =-—且4 2 4 3b n -b n 4 = n (n - 2且n N ).(1)求a 1的通项公式；(2)求证：数列:bn -aj为等比数列；(3)求前n项和的最小值.10.已知等差数列faj的前9项和为153.(1)求a5;(2)若a? =8,,从数列｛a. ｝中，依次取出第二项、第四项、第八项, 组成一个新的数列、C n /，求数列：C n/的前n项和S n.11.已知曲线C : y =e x(其中e为自然对数的底数)在点P 1,e处的切线与轴的垂线交曲线C于点R，曲线C在点R处的切线与x轴交于点Q2，过点点P2 ,……，依次下去得到一系列点P1、P2、……、P n，设点P n的坐标为(I)分别求X n与y n的表达式；，第2n项，按原来的顺序X轴交于点Q i,过点Q i作X Q2作x轴的垂线交曲线C于X n , y n ( n N ).n(n)求X i y i .i 412.在数列”£n 中，a i =2,a n 1 二a • ■「1• (2 - J2n(n • N ”，■0)(1)求证：数列｛-an -(-)n｝是等差数列；'n '(2)求数列£鳥的前n项和S n;13.在等差数列a i中，公差d - 0，且a5 = 6,(1)求a4 ' a6的值.(2)当a^3时，在数列中是否存在一项a m ( m正整数)，使得a^, a§, a m成等比数列,若存在，求m的值；若不存在，说明理由.(3)若自然数n1 , n2 , n3 ,…，n t ,…，(t为正整数)满足5 < H| < n2<… < 厲< …，使得玄3 ,玄5 &，…，a n t,…•成等比数列，当a3= 2时，用t表示n t14.已知二次函数f(x) =ax2• bx满足条件：①f(0) = f (1);②f (x)的最小值为(I )求函数f(X)的解析式；(n)设数列｛a n｝的前n项积为「,且T,：求数列何｝的通项公式；15丿(川)在(n)的条件下，若5f (a n)是b n与a n的等差中项，试问数列｛b n｝中第几项的值最小？求出这个最小值.15.已知函数f (x) =x2- 4,设曲线y= f (x)在点(x n, f (X n))处的切线与x轴的交点为(X n+i, 0) (n^N +),(I )用X n 表示X n+1 ；X n +2(n )若X1=4，记a n=lg - ，证明数列｛a n｝成等比数列，并求数列｛X n｝的通项公式；X n -2(川)若X1= 4, b n = X n- 2 , T n是数列｛b n｝的前-项和，证明T n<3.2010届高三文科数学小综合专题练习——数列参考答案1.解：⑴设等比数列；的公比为q.则由等比数列的通项公式 a n uaW 得玄彳二玄心3」，• q 2=8 = 4… 2 ，又 a n 0, q = 2L L 2分.数列（a n ?的通项公式是a n=2 2n ±-2nL L 3分.1+——a n1 厶22n1一班1L3 由b n =2log 2 2n 1 =2n 1L L 9分,又 Qb n -b n 」=2n - 1- ||_2 n -11 =2 常数，.数列fb n ?是首项为3,公差为2的等差数列L L 11分，r 1100^99 .数列：b n /■的前100项和是S 100 =100 3 -2⑵T n =61 |a 2| III ai J a 6|in |a n |=a 1 ' a^H ■ a 5-(a e +a ?川• a “) =2(a 1 a^If a 5)— (a a^11 a 5+a 6+a7(ll ' a 20)=2S 5 — S 20 =260n 2, n 玄5240—9 n n , n 53. 解: S n =a1a ? a ? 兔.=(印 a ? a 5Pn —J (a ? *4 *6…a?n)(21 + 23 + 25 +22n-1) (3 7 11) =2(1 4)3n n(n-1)41 — 4 21La 3—：：1L L 8分.a n 2 — — — L a 1 a 2 a 31 1 _——X — 2n2 1 1 一一22 =10200L L 12分2•解: (1) C =— 2, a n —10— 2nTn =9n -2(4n T)3n 2n 2,cna n a n 卑=2 ,bn = a n an 十.-=-,公比为-1的等比数列3 3、一 b n= a n anJ22n1 一 — 2n —1.9…S n = a 1 a 2 a^ ' a n-1:2 • 22 • 23 • 2n -〔V 1 2 …• 一1 n3= H2n +—2—「仃 T3. 2一由弘”説，得看冷刃am -3 2n12n-a n -1 2n1an4 2n1 nn 严T 2 a n -丄 2n3故数列\a2n 是首项为a i丄，公比为-1的等比数列.3⑵解：由⑴得a n—a n an 1-1 2 3J2n 一 一1n 9=3卄即门―1叮 .! 2n 1 _ _1 n 1 ] 证法2: ••• a n ,a n 1是关于X 的方程X 2 -2n x b^ 0 (n • N *)的两根，故数列』a n —*x2n ?是首项为a 1a n a ni =2n.5.解：维修费=0.2 0.4 •0.6-……--0.2n= 0.2 (n 1)n =0.1 n 2 0.1n2总费用=10+0.9 n 0.1 n 2 0.1 n2=10 0.1n n._2 仁36.解：⑴第1年投入为800万元，第2年投入为800X (1 —-)万元，…5第n 年投入为800X (1 — -)n T 万元，所以，n 年内的总投入为5a n =800+800 X (1 — 1)+ …+800 X (1 — 1)n —、'800 X (1— 1)5 5 心5=4000 X[ 1 — ( - )n ]51万元.所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400 X (1+ - )+ …+400 X (1+ - )k —1='4004 45 n . =1600 X[ (― ) — 1]4(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 b n — a n > 0,即：5 4 4 1600X[ (―)n — 1 ] — 4000X[ 1 — ( — )n ]> 0,令 x=( )n ,4552 4 2 代入上式得：5x 2— 7x+2 >0.解此不等式，得 x V -，或x > 1(舍去).即(-)n v -,555由此得n > 5.•••至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 .2 平均费用=10 °.1nn= 0.1n 巴1n当n =10时，汽车报废最合算10分1 k — 15丿第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为11400X (1+ ),•••,第 n 年旅游业收入 400X (1+)n4 4X ( 5)k -14k =17.7. 解：⑴由题设，有a n “2心：印1,q0,数列佃｝是单调数列,又b n =log 2a n , t i b 3b 5 =0及a 1 .1 知，必有a 5 =1,即b 5 =0.由b| :;b 3 :; bs 二6及* 二0畀得b| :;七3二6,即log 2a i ?3 = 6, a i ?3 二 2 64,即a ? 64,. a ?二8・.a s 二a ?q 8q 1, q .由a ?二a 〔q 得a 〔二 16.2 .a n =a<i q ' =16(—) ' =2 山；b n = log 2a n =5—■□・(6分)2 ⑵由(1)知,b n =5-n,S n 二亜应=n(9 ①.2 2 当 n > 9时，S n < 0,a n 0,. a n -S n ；当 n =1 或2时,S 4 =4或7;a n =16或8,. a n . S n ；111当 n =3、4、5、6、7、8时,S n =9、10、10、9、7、4,a n =4、2、、一、一、一,. a n ::: Sf^.2 4 8 综上所述，当n=1或2或n > 9时，有a n -Sn ； 当 n =3、4、5、6、7、8时，有 an ::: Sn.(13分)8. 解：(1 )••• a n 是S n 与2的等差中项--S n =2a n -2- - a i =S i =2a i -2，解得 a i =2a i +a 2=S 2=2a 2-2，解得 a 2=4 (2)・ S n =2 a n -2 , S n-1 =2a n-i -2, 又 S n — S n-i =a n , (n 一 2,n N*) --a n =2a n -2a n-i , ・ a n * 0,a n=2(n _2,n N*)即数列｛a n ｝是等比树立・ a i =2,• • a n =2■/点 P(b n , b n+i )在直线 x-y+2=0 上，• b n -b n+i +2=0, •- b n+i -b n =2，即数列｛b n ｝是等差数列，又 b i =i , • b n =2n-i , (3)・ C n =(2n-i)2n23n• T n =a i b i + a 2b 2+ ••…a n b n =i x 2+3 x 2 +5 x 2 + ••…+(2n-i)2 , 23nn+i• 2T n =I x 2 +3 x 2 + •…+(2n-3)2 +(2n-i)223nn +i因此：-T n =i x 2+(2 x 2 +2 x 2 + • • • +2 x 2 )-(2n-I)2 , 即: -T n =i x 2+(23+24+ • • • • +2n+i )-(2n-i)2n+i ,n+i•T n =(2n-3)2 +619.解：⑴由 2S n =2S hj +2a nj 十1 得 2a n=2az+1,=- ……2 分二 a n 二印（n 「1）d 1 1 n 「一2 4⑵•/ 3b n -b n 4^n 1 1= 3bn43111 30 ! -a n 1 二 b n 1 (n -1) b n 1 n ；- - -24 "24b n-a n1119 1•••由上面两式得 n ——- ，又b30bni-a n! 3441••数列fb n -a n?是以-30为首项，—为公比的等比数列••…31 1⑶由⑵得 bn - a * - -30 (3)二,• b n = a * - 30 (3)1 1 1 1 1 1 bn-b^H 」0(3)心一尹-"N 30 (3r ^=130 (l)n -(^l^l 20 ($2 . 0 ,• fb n ［是递增数列 .......................... 11 分2 3 3 2 311935 10当 n=1 时，R<0 ；当 n=2 时，b 210 <0 ;当 n=3 时，b 3<0 ;当 n=4 时,4 4437 10 b 4>0，所以，从第4项起的各项均大于 0,故前3项之和最小.49且 S 3 =丄(1 3 5)―彳。