《保险精算学》笔记多重损失模型
保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
非寿险精算教学中损失模型的拟合方法阐述
１ 问题 的提 出
经验损失数据对 于非寿险 的费率厘定 与准备金评估 等 是十分必要的 。当经验数据足够充足时 ， 多数的非寿险精算 问题可 以通过经 验分布 以及依靠 经验数据 的一些模型来解 决 。例如费率厘定 中的单项分析 法 、 古典信度模 型等 。在 实 践 中， 充足的经验数据是难 以获得的 ， 尤其是 高额损失数据 以及新险种 的数据更 是非常有 限的。这就要求 能通过有 限 的数据拟合损失 模型从而解决非 寿险 中的一些 问题 。而在 非寿险精算教学 中 ，一般 比较强调 在经验数 据 比较充足 的 情况下如何分析 费率计算准备金 ，对损失模 型的拟合则很 少提及 。因此 ， 学生对经验数据不 足情 况下 的问题解 决不甚 了解。针对这种情况 ， 文将 在下 面具 体给出如何拟 合损 失 本
ｌ ４ ｌ ６ １ ２ ６ ｌ １ ５ ７
ＯＯ ４ ｌ ．６ ５ ６ ＯＯ ３ ３ ．７ ７ ３ ００ ５ ．５ ３ ００ ７ ５ ．２ ６ ００ Ｏ ９ ．５ ６ １ ００ ３ ４ ．２ Ｏ ｌ ００ ２ ５ ．３ ２ ８
６４ １ Ｅ Ｏ ．５ ６ｌ — ６ ４９ ５ Ｅ ０ ．１ ５１ 一 ６ ２７ ４ ８ ０ ．６ ９ Ｅ一 ６ １ ２９ ｏ ３８ ４ Ｅ— ６ １３ １ ７ Ｏ ．５ ７ Ｅ— ６ ２３ ４５ ０ ｌＯ ｌ Ｅ— ７ ４３ １ ８ — ７ ．０ Ｏ Ｅ Ｏ
模型 。
分 布与帕累托分布等 。相对于损 失次数模 型的理论分布来 说 ，损 失金额模型 的理 论分布在 均值与方差方 面不具有 明 显 的特征 。因此 ， 本文重点介 绍损失金额模 型拟合 的方法 。 理论 上要通过有限 的经 验数据 ，拟合 出适合 实际情况 的模 型 ， 要对经 验数据 进行整理 ， 择模 型 、 需 选 估计 模型参 数并 进一步检验拟合情况 。 ２１ 整 理 经 验 数 据 构 造 模 型 ． 对有 限的经验数据 进行整理 ，计 算经验数 据的样本均 值、 样本方差 、 分位点 、 经验分 布等 。通过这 些样本数据 ， 选 择 一种概率分布作 为损 失的分布类 型 。当拟合 损失次数模 型时 ，根据计算得 出的样本均值 与样本方差 的大小关系可 以选 择损失次数 的理论 分布 中的一 种 。例 如样 本均值大于 样本 方差 ， 可以选择二项分 布作为损失模 型。 同样 ， 就 当拟 合损失 金额模型时 ，由于损 失金额 的理论分布 对于样本均 值 与样 本方差的 比较不 明显 ， 以做样本数 据的经验分布 ， 可 比较经 验分布与损失金额 的理论分 布的近似程 度 ，找 出比 较 近似 的一 种 或 多种 。 ２２ 估 计 模 型 参 数 ． 选择 了损失模型之后 ， 需要 对模型 中的参数进行估计 。 可 以选 用矩估计法或极 大似然估计法 等 。矩估 计法采用样 本矩作 为相 应的总体 矩的估计量 ， 令 。 。＝ ，， ｋ 其 中 ＝ ｉｌ …，， Ａ ２ ｋ为未知参数的个数 。解方 程组 可以得到参数的估计量 。而 极大似然估计法是通过构造似然函数 Ｌ８ … ）Ｌｘ …， （。 ＝ （。 ； ０， ）然后求 使似 然函数达 到最大 值的参数 值作为 ， …， ， ２ 模 型参数 的估计量 。 ２３ 拟 合 检 验 ． 得 到参 数的估计后 ， 还需要 对分布类 型进行拟合检验 。 常 用的方法是 Ｘ拟 合检验 。原 假设 Ｈ ： （： ｏ ； ， 。Ｆｘ Ｆ（０ 备择假 ） Ｘ）
保险精算学(王晓军等)
保险精算学
中国人民大学统计学院 主讲教师： 王晓军 黄向阳 王 燕
教材
指定教材
Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997. 王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社， 1995。
参考资料
课程结构
基础
利息理论基础 生命表基础
核心
保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利 特殊年金与保险 寿险定价与负债评估
拓展
第一章
利息理论基础
利息理论要点
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金
第一节
t 0.05(1 t )2
例1.4答案
1、1000 10 1000 100.05 1648 72 e e .
10
2、 1000 0 e
0.05(1t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 50 .
三、变利息
保险业中的保险精算模型与方法
保险业中的保险精算模型与方法保险精算是保险业中至关重要的一环，它通过运用各种数学和统计模型来评估和管理保险风险。
本文将探讨保险业中常用的保险精算模型与方法，以及其在保险业务中的应用。
一、费率制定模型费率制定是保险精算中的核心工作之一，它涉及到确定保险产品的价格。
常见的费率制定模型包括经验模型、频率-严重度模型和基于风险的定价模型。
1.1 经验模型经验模型是基于历史数据和经验法则来进行费率制定的一种方法。
它通过分析过去的赔付数据和理赔率来预测未来的赔付风险，并根据预测结果来确定产品的价格。
经验模型的优点是简单易用，但它没有考虑到风险的个体差异和潜在的未来变化。
1.2 频率-严重度模型频率-严重度模型是一种常用的费率制定模型，它将损失事件的频率和严重度分别建模，然后通过将两者相乘来计算总体损失。
这种模型可以更好地考虑到风险的个体差异和未来的变化，但需要更多的数据和更复杂的计算方法。
1.3 基于风险的定价模型基于风险的定价模型是一种较新的费率制定方法，它通过考虑被保险人的个体特征和风险因素来确定保险费率。
这种模型利用大量的统计数据和机器学习算法，可以更准确地评估风险和定价。
二、准备金估计模型准备金是保险公司为承担未决赔款而做出的经济准备。
在保险精算中，准备金的估计是一项关键任务，它涉及到对未来赔付的预测和风险的评估。
常见的准备金估计模型包括链线法、损失开发法和贝叶斯法。
2.1 链线法链线法是一种常用的准备金估计方法，它基于历史数据和统计模型来预测未来的赔付，并根据预测结果来确定准备金水平。
链线法的优点是简单易懂，但它没有考虑到未来的变化和不确定性。
2.2 损失开发法损失开发法是一种较为复杂的准备金估计方法，它通过分析历史损失的发展模式来预测未来损失的发展趋势。
这种方法能够更好地考虑到未来的变化和不确定性，但需要更多的数据和更复杂的计算。
2.3 贝叶斯法贝叶斯法是一种基于贝叶斯统计理论的准备金估计方法，它通过将先验信息和后验信息相结合来进行准备金估计。
保险精算学知识点总结
保险精算学知识点总结保险精算学是一门研究保险风险和产品价格的学科，它涉及数学、统计学、经济学和财务学等多个领域的知识。
保险精算师通过对保险风险进行评估和分析，为保险公司制定产品定价和资产配置策略提供支持。
下面是保险精算学的一些重要知识点总结：一、风险评估1. 风险分析保险精算师需要对各种风险因素进行分析，包括人身保险中的寿命风险和健康风险，财产保险中的灾害风险和财产损失风险等。
通过建立数学模型，对这些风险进行定量评估，以便为保险产品定价和资产配置提供依据。
2. 数据分析在进行风险评估时，保险精算师需要分析大量的数据，包括历史保险索赔数据、资本市场数据和经济指标等。
通过对这些数据的分析，可以揭示潜在的风险趋势和相关性，为风险评估提供依据。
3. 风险建模为了更准确地评估保险风险，保险精算师需要使用各种风险建模技术，包括概率统计模型、时间序列分析和蒙特卡洛模拟等。
这些模型可以帮助精算师理解风险的概率分布和动态特性，为产品定价和资产配置提供更精准的预测。
二、产品定价1. 保费确定产品定价是保险精算师的核心工作之一，它涉及确定保险产品的保费水平。
在进行产品定价时，保险精算师需要考虑到多种因素，包括风险成本、费用支出、税收和利润要求等。
通过建立数学模型，保险精算师可以确定最优的保费水平，以平衡风险和利润的关系。
2. 实现利润保险公司的盈利能力取决于保险产品的定价是否合理。
保险精算师需要确保产品的保费收入能够覆盖风险成本和费用支出，并且实现一定的利润。
为了实现利润，精算师需要对产品的风险特性进行深入分析，以便设计出合理的保费结构。
三、资产配置1. 风险管理保险公司拥有大量的资金，在进行资产配置时，需要考虑到对冲风险和实现收益的平衡。
保险精算师需要运用投资组合理论和风险管理工具，制定合理的资产配置策略，以确保保险资金的安全性和盈利能力。
2. 投资收益保险公司的财务收益主要来自资产投资收益。
保险精算师需要在进行资产配置时，充分考虑投资组合的收益率和风险特性，以便最大限度地实现投资收益。
寿险精算学(第3版)课件：多状态模型
• 人口假定
– 封闭人口假定：不考虑新增参保人口的假定称为封闭人口假定。 – 开放人口假定：在长期预测中,需要考虑每年新增参保者人数及其年龄和
工资分布,这时称为开放人口假定。
工资率函数
• 定义工资率函数 (rateofsalaryfunction)为
• 养老金计划的发展是工会与雇主集体谈判的结果
– 美国国家劳资关系委员会规定,雇主有义务和工会协商养老金计划的条款, 如果没有经过正式谈判,雇主不得擅自添加、删除或者修 改养老金计划的 条款。工会在养老金计划建立和设计中的重要地位,促进了养老金计划 的 发展。
养老金计划的类型
• 养老金计划的主要分类有DB计划和DC计划两种
• 常见的养老金待遇计发公式中包括计发系数、 参加养老 金计划的年数和工资等三项。 其中, 工资有在职期间平均 工资、 退休前一年的工资和退休前几年平均工资几种选 择。 有时为了简化测算和管理, 养老金待遇也可以设定为 固定数额或者与参加养老金计划年数相关的固定数额。
与工资水平无关的待遇设计
• 与工资水平无关的待遇设计有两种:
– DC计划预先设定雇主和雇员的缴费水平,缴费积累采用个人账户方式管理。 为了实现养老金待遇目标,DC计划一般有预先设定的待遇目标,在预设待 遇目标下确定预设的缴费水平。缴费水平确定后一般 较长时期内保持不 变。这样,退休时个人账户的积累额取决于缴费水平、缴费期、个人 账户 积累额的投资回报等。退休后养老金的实际水平取决于个人账户积累额 和转换为养老年金时的价格,养老年金的价格又取决于预期寿命、市场利 率和由市场竞争决定的费 用和利润等因素。
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107102
保险精算学笔记多重损失模型
• 如何应对市场变化和客户需求，优化多重损失模型及其
灵活和多样化
应用
未来研究方向与应用前景
未来研究方向
应用前景
• 研究多重损失模型的理论基础和方法论，提高模型的准
• 多重损失模型将在保险定价、风险管理和产品创新等方
确性和稳定性
面发挥重要作用，推动保险行业的持续发展
• 研究多重损失模型与其他学科的交叉应用，拓展模型的
评估方法的敏感性分析
• 分析不同评估指标对模型结果的影响
• 分析评估方法和评估指标的选择对模型结果的影响
多重损失模型的敏感性分析
敏感性分析
敏感性分析的方法
• 分析模型参数对模型结果的影响
• 局部敏感性分析：固定其他参数，只改变一个参数，观
• 分析模型假设对模型结果的影响
察模型结果的变化
• 全局敏感性分析：同时改变多个参数，观察模型结果的
• 假设保险损失有多种可能，如财产损失、人寿死亡、疾
• 模型简单，易于处理
病等
• 模型复杂，需要更多的数据和信息
多重损失模型的假设与分类
多重损失模型的假设
• 损失发生服从一定的概率分布
• 损失程度服从一定的概率分布
• 损失发生和损失程度之间相互独立
多重损失模型的分类
• 基于概率分布的分类
• 离散型多重损失模型：损失程度为离散随机变量
人寿保险定价
财产保险定价
• 利用多重损失模型预测死亡、疾病等多种损失，为人寿
• 利用多重损失模型预测财产损失、责任损失等多种损
保险产品定价提供支持
失，为财产保险产品定价提供支持
多重损失模型对保险定价的影响与优势
影响
• 提高保险定价的准确性和合理性
魏华林《保险学》笔记和课后习题及考研真题详解(保险精算)【圣才出品】
十万种考研考证电子书、题库、视频学习平台第十二章保险精算12.1 复习笔记一、保险精算概述1.保险精算的概念保险精算是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。
2.保险精算的基本任务在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题；非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。
保险精算的首要任务是保险费率的确定，但这并不是保险精算的全部。
伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。
在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。
3.保险精算的基本原理保险精算最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。
（1）收支相等原则收支相等原则就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。
根据不同的需要，可分别采取三种不同的方式来计算：十万种考研考证电子书、题库、视频学习平台①根据保险期间末期的保费收入的本利和(终值)与支付保险金的本利和(终值)保持平衡来计算；②根据保险合同成立时的保费收入的现值与支付保险金的现值相等来计算；③根据在其他某一时点的保费收入与支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。
（2）大数法则大数法则是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。
①切比雪夫大数法则这一法则的结论说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。
这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。
②贝努利大数法则这一法则对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估计，即用比率代替概率。
《保险精算学》笔记：寿险负债评估与利源分析
《保险精算学》笔记：寿险负债评估与利源分析第一节现金价值和不丧失权益带有储蓄因素的保单，比如两全寿险和终身寿险保单会逐年积累起一笔理论上属于保单所有人所有，由保险公司管理的资产，这就是现金价值。
现金价值的出现使寿险保单具有了一定的理财功能，包括在保单保持有效状态下的保单抵押贷款和发生退保时的退保金和各种保险选择权。
保单抵押贷款在保单保持原有效力的情况下，保单抵押贷款可以为保单所有人提供急需的现金支付手段。
保单所有人以保单为抵押，可以向保险公司申请保单贷款，贷款总额不得超过当时的保单现金价值，贷款利率由保单条款规定。
保单贷款利率是一个看似简单，其实复杂的问题，早期的保单往往采用固定保单贷款利率，这个利率比市场上的主导贷款利率一般要低一些，而且一经固定，不得调整。
保险公司实际上处于不利的地位，即如果市场主导贷款利率远远超过固定的保单贷款利率的话，保单所有人就可以申请保单贷款，然后把所得到的贷款进行投资，获取其中的利差。
这个问题在高利率环境下会对保险公司的现金流造成严重影响，比如美国寿险业在1980年代高利率环境下就经历过现金流困难。
所以现在的保单贷款利率一般采用浮动制，即稍低于贷款发生时的市场主导贷款利率，从而消除了保单所有人的套利动机。
如果保单所有人在发生索赔之前还本付息，那么保单贷款对保单的有效性实际上不会造成影响。
比较复杂的情形是在还清保单贷款之前就发生了索赔（比如被保险人去世），一般的处理方法是从给付中扣除尚未偿还的保单贷款余额。
理解保单抵押贷款的关键在于保单所有人之所以能够得到贷款，是因为他以一份有价值的凭证（保单）作为抵押，而不是简单地理解为自己借自己的钱。
现金价值和退保退保是保单组生命周期中的重要现象，纯保障型产品的退保不会引起复杂问题，退保之后保单失效。
带有储蓄因素的保单在发生退保的时候会产生一个问题：保险人是否应该退还储蓄部分？从常理来看，投保人中途退保，不论理由如何，都应该属于某种违约行为，此外考虑到新保单的费用问题，早期退保可能造成保险人无法弥补早期费用，进而损害没有退保的保单的利益，所以退保行为应该受到一定惩罚。
《保险精算学》笔记：多元生命函数-8页文档资料
《保险精算学》笔记：多元生命函数第一节多元生命函数简介一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。
二、多元生命函数的作用养老金给付场合合伙人联保场合遗产税的计算场合三、多元剩余寿命的联合分布1、联合密度函数2、联合分布函数3、联合生存函数4、边际生存函数第二节多元生命状况一、连生状况1、连生状况定义（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。
当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。
简记连生状况为：（2）连生状况剩余寿命的定义：（3）连生状况剩余寿命的性质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、两个体连生状况的生命函数（1）分布函数（2）生存函数特别：两个体剩余寿命独立场合（3）密度函数特别：两个体剩余寿命独立场合（4）死亡效力函数特别：两个体剩余寿命独立场合（5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率（6）连生状况整值剩余寿命为的概率（7）剩余寿命的期望二、最后生存状况1、最后生存状况的定义（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。
当所有的成员都死亡时，最后生存状况就结束了。
简记最后生存状况为：（2）最后生存状况剩余寿命的定义：（3）最后生存状况剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量2、多生命状况剩余寿命的关系（1）（2）（3）（4）3、两个体最后生存状况的生命函数（1）分布函数等价公式（2）生存函数等价公式（3）密度函数等价公式（4）死亡效力函数（5）最后生存状况整值剩余寿命为的概率等价公式（6）剩余寿命期望4、联合生命状态剩余寿命协方差分析第三节联合生命模型一、简介联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。
Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。
这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。
Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。
保险精算师的数学模型和算法
保险精算师的数学模型和算法保险精算师是负责制定保险费率、评估风险以及分析保险合同等工作的专业人员。
在这个职业中，数学模型和算法是至关重要的工具。
本文将讨论保险精算师在工作中使用的一些数学模型和算法，以及它们对保险行业的重要性。
一、风险评估模型在保险精算的工作中，风险评估是一项基本任务。
保险精算师需要使用数学模型来评估不同风险事件的发生概率和损失程度。
常见的风险评估模型包括频率-严重度模型、泊松模型和负二项分布模型等。
频率-严重度模型是一种常见的模型，它基于过去的损失数据，通过分析风险事件的发生频率和损失金额的严重度来评估风险。
该模型可以帮助保险精算师确定适当的保险费率，以及制定风险管理策略。
泊松模型是一种常见的风险评估模型，特别适用于那些具有低概率但高损失的风险事件。
通过对风险事件发生的随机过程建模，泊松模型可以帮助保险精算师评估发生的频率和概率。
负二项分布模型是一种常用的风险评估模型，特别适用于那些具有不确定发生次数的风险事件。
该模型可以帮助保险精算师评估风险事件的发生次数和概率，并据此进行风险评估和保险费率制定等工作。
二、精算模型和算法在保险精算中，精算模型和算法是用于分析和计算保险合同的成本和风险的工具。
常见的精算模型包括积累模型、报销率模型和损益模型等。
积累模型是一种常用的精算模型，它用于预测保险合同的未来损失。
该模型通过对过去的损失数据进行分析，预测未来的损失金额，并帮助保险精算师制定合理的保险费率。
报销率模型是一种常见的精算模型，用于估计保险合同中的实际报销率。
该模型基于历史数据，考虑因素如赔付率、综合费用率等，帮助保险精算师评估保险合同的可持续性。
损益模型是一种常用的精算模型，用于评估保险公司的盈亏状况。
该模型基于各种损失和成本的分析，帮助保险精算师确定合适的保险费率和风险分散策略，以保证公司的长期可持续发展。
三、数学算法在保险精算中的应用除了数学模型，保险精算师还需要运用各种数学算法来处理和分析大量的数据。
保险精算学笔记：多重损失模型
《保险精算学》笔记：多重损失模型第一节简介一、背景介绍如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。
就这人而言，保险人遭受到了损失。
在前面七章中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素的确定。
在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳——赔付之间的平衡构成影响。
多重损失模型就是在这种背景下产生的。
二、多损失模型的构造1、两变量模型多种损失模型的实质就是一个两变量模型。
变量一是状况终止的时间，在寿险场合它可以表示为剩余寿命；变量二是状况终止的原因，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们可以令 ,表示死亡，，表示退保。
2、联合密度函数3、边际分布函数4、事件的概率5、多重损失函数：由原因引起的，且损失发生在时间之前的概率：由原因引起的损失发生的概率：的密度函数：的分布函数：由各种原因引起的损失发生在时间之前的概率：损失不会发生在时间之前的概率：时刻由原因引起的损失效力：时刻由各种原因引起的总损失效力：给定损失时间，的条件概率第二节残存组的确定一、随机残存组1、随机残存组的定义：考察一组岁的个生命，每一个生命的终止（损失）时间与原因的分布由下列联合概率密度函数确定：2、随即残存组函数：在年龄与之间因原因而离开的成员的期望个数：在年龄与之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数：原先个岁的成员在岁时的期望残存个数二、决定性残存组1、确定性残存组的定义：总的损失效力可以看作总的损失率，而不作为条件密度函数。
则一组个岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力演变，则原先个岁成员在岁时的残存数为2、确定性残存组函数：在年龄与之间因各种原因而离开的成员数：现年岁，将来因为原因而终结的个体数：因原因引起的损失效力：因各种原因引起的总损失效力第三章多重损失表的构造一、单重损失函数1、绝对损失率（1）单重损失函数定义（2）绝对损失函数定义称为绝对损失率，是指原因在的决定过程中不与其它损失原因竞争。
保险精算模型总结
保险精算模型总结
上海财经大学 统计与管理学院
保险精算模型总结
上海财经大学 统计与管理学院
保险精算模型总结
上海财经大学 统计与管理学院
保险精算模型总结
上海财经大学 统计与管理学院
保险精算模型总结
当样本容量n不足够大，不满足完全可信性条 件时，就无法利用完全可信性理论，将下一期保
费厘定为历史经验数据的平均 x。
N
fS s P N n f *n s n0
N e n f *n s n0 n!
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保险精算模型总结
上海财经大学 统计与管理学院
20
保险精算模型总结
上海财经大学 统计与管理学院
21
保险精算模型总结
例题3-3，3-4，作业
上海财经大学 统计与管理学院
22
上海财经大学 统计与管理学院
8
保险精算模型总结
理论保费
理论保费=纯保费+附加保费（营业费与利润因素）
上海财经大学 统计与管理学院
保险精算模型总结
上海财经大学 统计与管理学院
保险精算模型总结
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保险精算模型总结
保险精算的数理统计基础：
矩母函数：设X是随机变量，函数
M t E etX t R
称为X的矩母函数。 矩母函数的性质：
上海财经大学 统计与管理学院
保险精算模型总结
我们继续研究的复合风险模型
N
S Xi i 1
考虑两种特殊情况： （1）假设Xi 服从指数分布 （2）N服从Poisson分布
13
上海财经大学 统计与设Xi 服从指数分布
保险精算模型总结
产险精算指标计算公式总结 笔记
产险精算指标计算公式总结笔记产险精算指标计算公式总结一、引言在产险精算领域，精准的指标计算是非常重要的。
只有通过科学的计算，才能更好地评估风险、制定保险方案，并且为保险公司的盈利能力提供支持。
本文将就产险精算指标的计算公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用。
二、总赔付率（Loss Ratio）总赔付率是产险公司经营状况的重要指标之一。
其计算公式为：\[ \text{总赔付率} = \frac{\text{赔付金额}}{\text{已赚保费}} \times 100\% \]其中，赔付金额是指某一特定期间内的承保风险发生的赔付金额，已赚保费是指某一特定期间内的保险合同有效期内所获得的保费收入。
总赔付率的计算公式体现了保险公司在一定期间内的赔付能力和风险控制能力。
通常情况下，总赔付率越低，说明保险公司的盈利能力越强。
三、综合成本率（Combined Ratio）综合成本率是产险公司经营状况的另一个重要指标，其计算公式为：\[ \text{综合成本率} = \frac{\text{总赔付} + \text{营业费用} +\text{账单费用}}{\text{已赚保费}} \times 100\% \]其中，营业费用和账单费用是产险公司在运营过程中产生的相关费用。
综合成本率的计算公式充分反映了保险公司在一定期间内的全部成本占已赚保费的比例，是评估保险公司经营状况和盈利能力的重要指标。
通常情况下，综合成本率越低，说明保险公司的经营效率越高。
四、预期赔付率（Expected Loss Ratio）预期赔付率是指在一定风险水平下的预期理论赔付率，其计算公式为：\[ \text{预期赔付率} = \frac{\text{预期赔付}}{\text{风险单位}}\times 100\% \]其中，预期赔付是指在特定风险水平下的理论赔付金额，风险单位是指被保险对象的风险单位数量。
预期赔付率的计算公式是产险精算中的重要工具之一，能够帮助精算师精确评估风险和制定保险方案。
寿险精算学课件 (2)
关系式
q
( j) x t ( j) 1 exp x dt t 0 ( j) t qx 1 exp dt ( ) 0 1 t q x ( j) qx ( ) 1 exp ( ) ln(1 t qx ) qx
例8.1答案
E[T ] tg (t )dt
0
0
t 2 2t t 1 t exp dt 11.59 100 200
0
E[T J 2]
tf (t , 2) dt h(2) t 2 2t 1 1 t exp dt 7.63 100 200 0.1159
m
t 0, j 1, 2,
,m
随机残存组函数
( ) ( ) lx ：原先 la 个a岁成员在x岁时的残存数随机 变量的期望
l
( ) x
l
( ) a
x a p
( ) a
确定性残存组的定义
总的损失效力可以看作总的损失率，而不作为 ( ) 条件密度函数。则一组 la 个a岁成员随着年龄 ( ) ( ) 的增加按决定性损失效力 y 演变 la ，则原先 个岁成员在岁时的残存数为
0
第八章
多重损失模型构造
多重损因 模型
多重损失残存组确定
多重损失表的构造
残存组定义
( ) l 考察一组a岁的 a 个生命，每一个生命的终
止（损失）时间与原因的分布由下列联合 概率密度函数确定：
f (t, j) t p
( ) a
( j) a t
随机残存组函数
n dx
《保险精算学》笔记：多元生命函数
《保险精算学》笔记：多元生命函数第一节多元生命函数简介一、多元生命函数的定义:涉及多个生命剩余寿命的函数。
二、多元生命函数的作用养老金给付场合合伙人联保场合遗产税的计算场合三、多元剩余寿命的联合分布1、联合密度函数2、联合分布函数3、联合生存函数４、边际生存函数第二节多元生命状况一、连生状况１、连生状况定义（1）定义:当所有成员都活着时的状况,称为连生状况。
当有一个成员死亡时,连生状况就结束了。
简记连生状况为:(2)连生状况剩余寿命的定义:(3)连生状况剩余寿命的性质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、两个体连生状况的生命函数（1)分布函数(2）生存函数特别:两个体剩余寿命独立场合（３）密度函数特别:两个体剩余寿命独立场合(4)死亡效力函数特别：两个体剩余寿命独立场合(5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率（6)连生状况整值剩余寿命为的概率（7)剩余寿命的期望二、最后生存状况1、最后生存状况的定义(１)定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。
当所有的成员都死亡时，最后生存状况就结束了。
简记最后生存状况为：（２）最后生存状况剩余寿命的定义:（３）最后生存状况剩余寿命的性质:最后生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量2、多生命状况剩余寿命的关系(１）(2）(3)(４）3、两个体最后生存状况的生命函数(１)分布函数等价公式（2）生存函数等价公式（３）密度函数等价公式(4）死亡效力函数（5）最后生存状况整值剩余寿命为的概率等价公式(６）剩余寿命期望4、联合生命状态剩余寿命协方差分析第三节联合生命模型一、简介联合生命模型分为两类：Cｏmmｏn Shｏck 模型和Coｐulas模型。
Cｏｍｍｏn Shocｋ模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。
这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。
Copuｌaｓ模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。
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《保险精算学》笔记多重损失模型
第一节简介
一、背景介绍
假如被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。
就这人而言，保险人遭受到了缺失。
在前面七章中我们差不多上讨论在以死亡为唯独缺失变量时，各种保险要素的确定。
在实际中，除了死亡那个缺失变量，我们可能还会遇到其它的提早终止缴费的缺失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力打算中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳——赔付之间的平稳构成阻碍。
多重缺失模型确实是在这种背景下产生的。
二、多缺失模型的构造
1、两变量模型
多种缺失模型的实质确实是一个两变量模型。
变量一是状况终止的时刻，在寿险场合它能够表示为剩余寿命；变量二是状况终止的缘故，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们能够令,表示死亡，，表示退保。
2、联合密度函数
3、边际分布函数
4、事件的概率
5、多重缺失函数
：由缘故引起的，且缺失发生在时刻之前的概率
：由缘故引起的缺失发生的概率
：的密度函数
：的分布函数
：由各种缘故引起的缺失发生在时刻之前的概率
：缺失可不能发生在时刻之前的概率
：时刻由缘故引起的缺失效力
：时刻由各种缘故引起的总缺失效力
：给定缺失时刻，的条件概率
第二节残存组的确定
一、随机残存组
1、随机残存组的定义：考察一组岁的个生命，每一个生命的终止（缺失）时刻与缘故的分布由下列联合概率密度函数确定：
2、赶忙残存组函数
：在年龄与之间因缘故而离开的成员的期望个数
：在年龄与之间因各种缘故而总共离开的成员的期望个数
：原先个岁的成员在岁时的期望残存个数
二、决定性残存组
1、确定性残存组的定义：总的缺失效力能够看作总的缺失率，而不作为条件密度函数。
则一组个
岁成员随着年龄的增加按决定性缺失效力演变，则原先个岁成员在岁时的残存数为
2、确定性残存组函数
：在年龄与之间因各种缘故而离开的成员数
：现年岁，今后因为缘故而终结的个体数
：因缘故引起的缺失效力
：因各种缘故引起的总缺失效力
第三章多重缺失表的构造
一、单重缺失函数
1、绝对缺失率
（1）单重缺失函数定义
（2）绝对缺失函数定义
称为绝对缺失率，是指缘故在的决定过程中不与其它缺失缘故竞争。
它也称为净缺失率（net probabilities of decrement）或独立缺失率(independent rate of decrement)。
2、差不多关系
由此能够推导出
3、常数缺失效力假定
（1）假定：每一年内死亡效力恒定，即
等价推出
（2）关系时式
4、多重缺失平均分布假定
（1）假定：每种缺失在每一年内平均分布
等价推出
（2）关系式
与常数缺失效力假定情形下的关系式相同。
二、多重缺失表的构造
1、由单重缺失函数推导多重缺失函数
2、多重缺失表构造
示例
年龄单重缺失表多重缺失表
…………
65 0.02 ……0.04 0.01941 ……0.03921
66 0.025 ……0.06 0.02401 ……0.05866。