常曲率的空间曲线的特性研究展丙军
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来自梅向明 黄敬之主编的5微分几何6, 在此略去它的证明 ) 。 所以, 命题成立。
性质 4
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )的切线和固定方向成固定角。
证明: 由性质 3知, 具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )一定是一般螺线。而由一般螺线的定义可知, 其
切线和固定方向必成固定角。
性质 5
kk
k
S& C_ + k
#S ( - S_B ) - 2S#SB_ - S2 ( - k _A+ S _C)
k
k
k
= S2A_ - 3 #SS_B + ( S& - S3 ) _C
k
kk
所以 ( _rc,
_rd,
_rÊ
)=
( _rc
@ _rd ) #
_rÊ =
S3 k2
A_ #
Hale Waihona Puke Baidu
_rÊ
=
S5 k2
,
4
C
)的方程为
_r1 =
_r+
R(
s) B,_又因为
k= 常数X
0, 所以 _r1 = _r+
1 B_ k
所以_r1c = _#r+
1 k
B_#
=
A_
+
1 k
(
-
k
_A+
S _C)
=
S k
_C
_r1d =
#S k
C_ +
S k
_#C=
#S k
_C-
S2 k
B_
_r1c
@ _r1d
=
S3 k2
A_ ,
其为副法线上的一个向量
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )的主法线与固定方向垂直。
证明: 由性质 4知, 具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C) 的切线和固定方向成固定角, 设 _Â是固定方向上
的一个单位向量, 它的切向量 A_ 和 _Â作固定角, 即
#
A_ # Â_ = cosX, 两边取微商得 A_ # Â_ = 0, 因此得, k_B# _Â= 0, 即 B_ # Â_ = 0, 故主法线与固定方向垂直。
性质 6
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )的副法线与一个固定方向作固定角。
证明: 由性质 5知, B_ 与 _Â垂直, 所以, _Â, _A, _C共面, 又因为 A_ 和 _C垂直, 且它的切向量 A_ 和 _Â作固定
角, 因此得出 _Â与 _C也作固定角。故, 命题成立。 当然, 以上曲率为常数的空间曲线的特性不可能是它的全部特性, 我们将在今后教学中做进一步的研
所以 ( )C )主法线上的一个向量为:
( _r1c @ _r1 d )
@ _r1 c =
S3 k2
A_
@
S _C= k
S4 k3
(
-
B_ )
=
-
S4 k3
_B
所以B_ 1M
-
S4 k3
_B,
_B1 M B_
又由于
(
)
C
)
上的
点在
(
C ) 的主法线上,
所以
(
)
C
)
的
主法
线
与
(
C )的主法线重合,
且
(
所以 S- =
(
_rc, _rc
_rd, _rÊ ) @ _rd 2
=
(
S5 k2
)
/(
S6 k4
)
=
k2 S
所以命题成立。
性质 2
具有常曲率 kX 0的曲线 ( C )的挠率 S必为常数
证明: 由命题 1可知, 具有常曲率 kX 0的曲线 ( C ) 是贝特朗 ( B ertrand)曲线; 我们又知道, 一条空间曲
性质 3
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )一定是一般螺线。
证明: 由命题 2可知, 具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C ) 挠率 S必为常数, 因此曲率 k与挠率 S之比等
于一个定比。 由一般螺线的性质可知, 当曲率 k与挠率 S之比等于一个定比时, 该曲线必为一般螺线 (说明: 此结论
究。 参 考文 献
[ 1 ] 王家彦主编. 微分几何 [ M ] . 沈阳: 辽宁人民出版社, 1984, 第一章 ( 48 ~ 56) . [ 2 ] 梅向明, 黄敬之编. 微分几何 ( 第二版 ) [ M ]. 北京: 高等教育出版社, 2003, 第一章 ( 81 ~ 88 ). [ 3 ] 苏步青, 胡和生等编. 微分几何 [ M ] . 北京: 人民教育出版社, 1979, 第一章 ( 6 ~ 26) .
在长期的教学实践中, 我们发现当一个空间曲线的曲率为常数时, 这种曲线具有很强的特性, 对这种 曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解, 对微分几何这门课的教学有积极的影响, 下面将常曲率的空间曲线的特性阐述如下:
性质 1
具有常曲率
kX
0 的曲 线
(
C )是贝特朗
(
B ertrand)曲线,
线是贝特朗 ( Bertrand) 曲线的充要条件是它的曲率 k( s) 与挠率 S( s) 满足: Kk+ LS= 1, 其中 K, L 为常数且 KX 0( 说明: 此结论来自梅向明 黄敬之主编的5微分几何 6, 在此略去它的证明 )。
由于曲线 ( C )的曲率是不为 0常数, 由 Kk+ LS= 1可得其挠率 S一定为一确定的常数。 因此, 命题成立。
C ) 的曲率中心的
轨迹
(
)
C
)就是
(
C
)的侣线;
由贝特朗曲线的定义知道
(
)
C
)与
(
C) 都是贝特朗曲线。
同时, ( )C )的曲率 )k=
_r1 c @ _r1 d _rc1 3
y
S3 k2
A_
A
S _C 3 = k k
所以 )k= k
又因为 _r1 Ê =
S& C_ + k
#S _#C- 2S#SB_ - S2 _#B =
5
且
(
C ) 的侣线
(
)
C
)
是
(
C ) 的曲率中心的轨迹,
曲线 ( )C )的曲率仍是常数, 且 )k= k , 挠率 )S= k 2 /S。
证明: 设 ( C) 的方程为 _r= _r( s) (曲率半径为 R, 基本向量分别为 A_ 、B_ 、_C) , s为曲线的自然参数, 则曲
率中心的轨
迹
(
)
第 26卷 第 2期 2006年 4月
大庆师范学院学报 JOURNAL OF DAQ ING NORMA L UN IVERS ITY
V o .l 26 N o. 2 A pr i,l 2006
常曲率的空间曲线的特性研究
展丙军
(大庆师范学院 数学系, 黑龙江 大庆 163712)
摘 要: 曲率 是空间曲线的特性之一, 不同的曲率函数决定曲线的 不同特性, 研究常 曲率的空间 曲线有特别 重要的 意义, 本文对常曲率的空间曲线进行了深入地研究, 给出 了常曲率的空间曲线特性。 关键词: 曲率; 挠率; 空间曲线; 贝特朗 ( Bertrand)曲线 作者简介: 展丙军 ( 1963- ), 男, 大庆师范学院数学系副教授, 从事 5微分几何 6的教学工作。 中图分类号: 186. 11 文献标识码: A 文章编号: 1006- 2165( 2006) 02- 0004- 02 收稿日期: 2005- 12- 02
性质 4
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )的切线和固定方向成固定角。
证明: 由性质 3知, 具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )一定是一般螺线。而由一般螺线的定义可知, 其
切线和固定方向必成固定角。
性质 5
kk
k
S& C_ + k
#S ( - S_B ) - 2S#SB_ - S2 ( - k _A+ S _C)
k
k
k
= S2A_ - 3 #SS_B + ( S& - S3 ) _C
k
kk
所以 ( _rc,
_rd,
_rÊ
)=
( _rc
@ _rd ) #
_rÊ =
S3 k2
A_ #
Hale Waihona Puke Baidu
_rÊ
=
S5 k2
,
4
C
)的方程为
_r1 =
_r+
R(
s) B,_又因为
k= 常数X
0, 所以 _r1 = _r+
1 B_ k
所以_r1c = _#r+
1 k
B_#
=
A_
+
1 k
(
-
k
_A+
S _C)
=
S k
_C
_r1d =
#S k
C_ +
S k
_#C=
#S k
_C-
S2 k
B_
_r1c
@ _r1d
=
S3 k2
A_ ,
其为副法线上的一个向量
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )的主法线与固定方向垂直。
证明: 由性质 4知, 具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C) 的切线和固定方向成固定角, 设 _Â是固定方向上
的一个单位向量, 它的切向量 A_ 和 _Â作固定角, 即
#
A_ # Â_ = cosX, 两边取微商得 A_ # Â_ = 0, 因此得, k_B# _Â= 0, 即 B_ # Â_ = 0, 故主法线与固定方向垂直。
性质 6
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )的副法线与一个固定方向作固定角。
证明: 由性质 5知, B_ 与 _Â垂直, 所以, _Â, _A, _C共面, 又因为 A_ 和 _C垂直, 且它的切向量 A_ 和 _Â作固定
角, 因此得出 _Â与 _C也作固定角。故, 命题成立。 当然, 以上曲率为常数的空间曲线的特性不可能是它的全部特性, 我们将在今后教学中做进一步的研
所以 ( )C )主法线上的一个向量为:
( _r1c @ _r1 d )
@ _r1 c =
S3 k2
A_
@
S _C= k
S4 k3
(
-
B_ )
=
-
S4 k3
_B
所以B_ 1M
-
S4 k3
_B,
_B1 M B_
又由于
(
)
C
)
上的
点在
(
C ) 的主法线上,
所以
(
)
C
)
的
主法
线
与
(
C )的主法线重合,
且
(
所以 S- =
(
_rc, _rc
_rd, _rÊ ) @ _rd 2
=
(
S5 k2
)
/(
S6 k4
)
=
k2 S
所以命题成立。
性质 2
具有常曲率 kX 0的曲线 ( C )的挠率 S必为常数
证明: 由命题 1可知, 具有常曲率 kX 0的曲线 ( C ) 是贝特朗 ( B ertrand)曲线; 我们又知道, 一条空间曲
性质 3
具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C )一定是一般螺线。
证明: 由命题 2可知, 具有常曲率 kX 0的空间曲线 ( C ) 挠率 S必为常数, 因此曲率 k与挠率 S之比等
于一个定比。 由一般螺线的性质可知, 当曲率 k与挠率 S之比等于一个定比时, 该曲线必为一般螺线 (说明: 此结论
究。 参 考文 献
[ 1 ] 王家彦主编. 微分几何 [ M ] . 沈阳: 辽宁人民出版社, 1984, 第一章 ( 48 ~ 56) . [ 2 ] 梅向明, 黄敬之编. 微分几何 ( 第二版 ) [ M ]. 北京: 高等教育出版社, 2003, 第一章 ( 81 ~ 88 ). [ 3 ] 苏步青, 胡和生等编. 微分几何 [ M ] . 北京: 人民教育出版社, 1979, 第一章 ( 6 ~ 26) .
在长期的教学实践中, 我们发现当一个空间曲线的曲率为常数时, 这种曲线具有很强的特性, 对这种 曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解, 对微分几何这门课的教学有积极的影响, 下面将常曲率的空间曲线的特性阐述如下:
性质 1
具有常曲率
kX
0 的曲 线
(
C )是贝特朗
(
B ertrand)曲线,
线是贝特朗 ( Bertrand) 曲线的充要条件是它的曲率 k( s) 与挠率 S( s) 满足: Kk+ LS= 1, 其中 K, L 为常数且 KX 0( 说明: 此结论来自梅向明 黄敬之主编的5微分几何 6, 在此略去它的证明 )。
由于曲线 ( C )的曲率是不为 0常数, 由 Kk+ LS= 1可得其挠率 S一定为一确定的常数。 因此, 命题成立。
C ) 的曲率中心的
轨迹
(
)
C
)就是
(
C
)的侣线;
由贝特朗曲线的定义知道
(
)
C
)与
(
C) 都是贝特朗曲线。
同时, ( )C )的曲率 )k=
_r1 c @ _r1 d _rc1 3
y
S3 k2
A_
A
S _C 3 = k k
所以 )k= k
又因为 _r1 Ê =
S& C_ + k
#S _#C- 2S#SB_ - S2 _#B =
5
且
(
C ) 的侣线
(
)
C
)
是
(
C ) 的曲率中心的轨迹,
曲线 ( )C )的曲率仍是常数, 且 )k= k , 挠率 )S= k 2 /S。
证明: 设 ( C) 的方程为 _r= _r( s) (曲率半径为 R, 基本向量分别为 A_ 、B_ 、_C) , s为曲线的自然参数, 则曲
率中心的轨
迹
(
)
第 26卷 第 2期 2006年 4月
大庆师范学院学报 JOURNAL OF DAQ ING NORMA L UN IVERS ITY
V o .l 26 N o. 2 A pr i,l 2006
常曲率的空间曲线的特性研究
展丙军
(大庆师范学院 数学系, 黑龙江 大庆 163712)
摘 要: 曲率 是空间曲线的特性之一, 不同的曲率函数决定曲线的 不同特性, 研究常 曲率的空间 曲线有特别 重要的 意义, 本文对常曲率的空间曲线进行了深入地研究, 给出 了常曲率的空间曲线特性。 关键词: 曲率; 挠率; 空间曲线; 贝特朗 ( Bertrand)曲线 作者简介: 展丙军 ( 1963- ), 男, 大庆师范学院数学系副教授, 从事 5微分几何 6的教学工作。 中图分类号: 186. 11 文献标识码: A 文章编号: 1006- 2165( 2006) 02- 0004- 02 收稿日期: 2005- 12- 02