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多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
课堂思路
一 多元函数的极值
(1)定义 (2)多元函数极值的必要条件 (3)多元函数极值的充分条件
二 条件极值和无条件极值 三 拉格朗日乘数法
回顾
One. 一元函数的极值定义 Two. 一个必要条件、两个充分条件 Three. 一元函数最值问题
一、 多元函数的极值
(1)多元函数极值定义
z=2x2+3y2
z=2x2+3y2
z=y2-x2
(2)多元函数极值的必要条件
驻点 驻点与极值的关系
(3)多元函数极值的充分条件
步骤 注意点

的极值
讨论函数

是否取得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值
在点(0,0)
(5)多元函数最值问题
方法 例题
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
二、条件极值和无条件极值
代入法 引出拉格朗日数乘法
三、拉格朗日乘数法
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
小结
求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。
谢谢观看

第五节多元函数的极值及其求法

第五节多元函数的极值及其求法

第五节多元函数的极值及其求法的图形观察二元函数22y x e xyz +-=播放播放设函数),(y x f z =在点),(00y x 的及其附近有定义,对于点),(00y x 附近的任一点),(y x 都有),(),(00y x f y x f <,则称函数在),(00y x 有极大值;若有),(),(00y x f y x f >,则称函数在),(00y x 有极小值.一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1处有极小值.在函数)0,0(4322yx z +=例2处有极大值.在函数)0,0(22yx z +-=例3处无极值.在函数)0,0(xyz =设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y .多元函数取得极值的条件(称驻点)例如, 点)0,0(是函数xy z =的驻点,但不是极值点.驻点极值点注意:定理1(必要条件)问题:如何判定一个驻点是否为极值点?设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,设 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ,定理2(充分条件)则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下:令 A y x f xx =),(00,B y x f xy =),(00,C y x f yy =),(00, (1)02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值,当0>A 时有极小值;(2)02<-B AC 时没有极值;(3)02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.设3322(,)339f x y x y x y x =-++-,求极值. 求得驻点:)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(--,二阶偏导数为:66,0,66+-=''=''+=''y f f x f yy xy xx ,C B A 2B AC - (-3,0)-12 0 6 - 不是极值 (1,0)12 0 6 + 极小值-5 (-3,2)-12 0 -6 + 极大值31 (1,2) 12 0 6- 不是极值 例4解,令⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=-+='063096322y y f x x f y x多元函数的最值求最值的一般方法:将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ,x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解x y o 6=+y x D 例5先求函数在D 内的驻点,⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,再求),(y x f 在D 边界上的最值,解方程组 在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,在边界6=+y x 上,即x y -=6,得 4,021==x x ,,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f 比较后可知4)1,2(=f 为最大值, 64)2,4(-=f 为最小值.,)6(223x x -=)2)(6(2--=x x z )60(≤≤x ,0)4(6=-='x x z 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,要做一个容积为323cm 的无盖长方体箱子,问长、宽、高各为多少时,才能使所用材料最省? 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解6464(0.0)S xy x y x y =++>>设长方体的长为x ,高为y ,则宽为32.xy 则箱子所用材料的面积为令由实际问题意义知,S 必有最小值,且内部唯一驻点,故当4x y ==时,S 有最小值.即当长、宽均为4cm 时,所用材料最省.22640640x y S y x S x y ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩解得唯一驻点 4.x y ==用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省?二、条件极值拉格朗日乘数法设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,,则目标函数:)(2zx yz xy S ++=,约束条件:xyz V =, 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.,xyV z =⇒ 代入目标函数,化为无条件极值问题:x yz令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='0)(20)(222y V x S x V y S y x ,求得唯一驻点3V y x ==,从而3V z =, 内部唯一驻点,且由实际问题S 有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点:1.变量之间的平等关系和对称性被破坏;2.有时解出隐函数困难甚至不可能.目标函数化为:)(2yV x V xy S ++=, 0,0>>y x要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点,解出λ,,y x ,其中y x ,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法令,0),(0),(),(0),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=='+'='+'y x y x y x f y x y x f y y x x ϕϕλϕλ其中λ为参数,引入拉格朗日函数),(),();,(y x y x f y x F λϕλ+=如果目标函数是三元函数),,(z y x f ,且约束条件有两个,0),,(=z y x g ,0),,(=z y x h ,则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),;,,(z y x h z y x g z y x f z y x L μλμλ++=令,0),,(0),,(),,(),,(),,(0),,(),,(),,(0),,(),,(),,(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='+'+'='+'+'='+'+'z y x h z y x g z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z z z y y y x x x μλμλμλ解出z y x ,,,就是可能的极值点的坐标.用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省?例7目标函数:)(2zx yz xy S ++=,约束条件:xyz V =,解构作拉格朗日函数 )()(2V xyz zx yz xy L -+++=λ,令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++='Vxyz xy y x L xz z x L yz z y L z y x 0)(20)(20)(2λλλ, 解得唯一驻点,3V z y x ===,由实际问题,即为最小值点.。

(完整word版)多元函数的极值及其求法

(完整word版)多元函数的极值及其求法

第十一讲二元函数的极值要求:理解多元函数极值的观点,会用充足条件判断二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。

问题提出:在实质问题中,常常会碰到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相近似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有亲密的关系,所以以二元函数为例,来议论多元函数的极值问题.一.二元函数的极值定义设函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,关于该邻域内的所有( x, y) (x 0 , y0 ) ,假如总有 f (x, y) f ( x0 , y0 ) ,则称函数z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值;假如总有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ,则称函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 有极小值.函数的极大值,极小值统称为极值,使函数获得极值的点称为极值点.例 1.函数z xy 在点(0,0) 处不获得极值,由于在点(0,0) 处的函数值为零,而在点(0,0) 的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.例 2.函数z 3x2 4 y 2在点 (0,0) 处有极小值.由于对任何 ( x, y) 有 f (x, y) f (0,0) 0 .从几何上看,点( 0,0,0) 是张口向上的椭圆抛物面z 3x 2 4 y2的极点,曲面在点(0,0,0) 处有切平面z0 ,进而获得函数获得极值的必需条件.定理1(必需条件)设函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 拥有偏导数,且在点( x0 , y0 ) 处有极值,则它在该点的偏导数必定为零,即 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 .几何解说若函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 获得极值z0,那么函数所表示的曲面在点(x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )是平行于 xoy 坐标面的平面z z0.近似地有三元及三元以上函数的极值观点,对三元函数也有获得极值的必需条件为f x ( x0 , y0 , z0 ) 0 , f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 , f z ( x0 , y0 , z0 ) 0说明上边的定理固然没有完整解决求极值的问题,但它明确指出找极值点的门路,即f x ( x0 , y0 ) 0( x n , y n ) ,那么极值点必包只需解方程组,求得解 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )f y (x0 , y0 ) 0含在此中,这些点称为函数z f ( x, y) 的驻点.注意 1.驻点不必定是极值点,如z xy 在(0,0)点.如何鉴别驻点是不是极值点呢?下边定理回答了这个问题.定理 2(充足条件)设函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,又f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ,令 f xx (x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy (x0 , y0 ) C ,则( 1)当AC B 2 0 时,函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 获得极值,且当 A 0 时,有极大值 f ( x0 , y0 ) ,当 A 0 时,有极小值 f ( x0 , y0 ) ;( 2)当AC B 2 0 时,函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 没有极值;( 3)当AC B 2 0 时,函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可能有极值,也可能没有极值,还要另作议论.求函数 z f ( x, y) 极值的步骤:(1)解方程组 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ,求得一确实数解,即可求得全部驻点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )( x n , y n ) ;(2)关于每一个驻点( x , y )(i 1,2,L n) ,求出二阶偏导数的值A,B, C;i i(3)确立AC B2 的符号,按定理 2 的结论判断 f ( x i , y i ) 是不是极值,是极大值仍是极小值;(4)观察函数 f ( x, y) 能否有导数不存在的点,如有加以鉴别能否为极值点.例 3.观察解由于z x 2 y2能否有极值.z x,z y在x0, y0 处导数不存在,可是对所x x2y 2y x 2y2有的 (x, y) (0,0) ,均有 f ( x, y) f (0,0) 0 ,所以函数在( 0,0) 点获得极大值.注意 2.极值点也不必定是驻点,若对可导函数而言,如何?例 4.求函数f ( x, y) x3 y3 3x 2 3y2 9x 的极值.解先解方程组f x 3x 2 6x 9 03,0), ( 3,2) ,f y 3y2 6 y 0,求得驻点为 (1,0), (1,2), (再求出二阶偏导函数fxx 6x 6 , f xy, f yy 6 y 6 .在点 (1,0) 处, AC B 2 12 6 72 0 ,又 A 0 ,所以函数在点(1,0) 处有极小值为f (1,0) 5 ;在点 (1,2) 处, AC B2 72 0 ,所以 f (1,2) 不是极值;在点 ( 3,0) 处, AC B2 72 0 ,所以 f ( 3,0) 不是极值;在点 ( 3,2) 处, AC B2 72 0,又A 0,所以函数在点( 3,2) 处有极大值为f ( 3,2) 31.二.函数的最大值与最小值求最值方法:⑴将函数 f ( x, y) 在地区D内的所有极值点求出;⑵求出 f ( x, y) 在D界限上的最值;即分别求一元函数 f ( x, 1 (x)) , f ( x, 2 ( x))的最值;⑶ 将这些点的函数值求出,而且相互比较,定出函数的最值.实质问题求最值依据问题的性质,知道函数 f ( x, y) 的最值必定在地区 D 的内部获得,而函数在 D 内只有一个驻点,那么能够必定该驻点处的函数值就是函数 f ( x, y) 在D上的最值.例 4.求把一个正数 a 分红三个正数之和,并使它们的乘积为最大.解设 x, y 分别为前两个正数,第三个正数为 a x y ,问题为求函数u xy(a x y) 在地区D :x, y 0 ,x y a内的最大值.0由于u y(a x y) xy y(a 2x y) ,ux(a 2 y x) ,x y解方程组a 2x y 0 a, ya.a 2y x,得 x30 3由实质问题可知,函数必在 D 内获得最大值,而在地区 D 内部只有独一的驻点,则函数必在该点处获得最大值,即把a 分红三等份,乘积 ( a) 3 最大.z a x y ,则 3 此外还可得出,若令u xyz( a)3 ( x y z ) 33 3 即3xyz x y z.3三个数的几何均匀值不大于算术均匀值.三.条件极值,拉格朗日乘数法引例求函数 zx 2y 2 的极值.该问题就是求函数在它定义域内的极值,前方求过在(0,0) 获得极小值;若求函数 zx 2 y 2 在条件 xy 1下极值,这时自变量遇到拘束,不可以在整个函数定义域上求极值,而只好在定义域的一部分x y1 的直线上求极值,前者只需求变量在定义域内变化, 而没有其余附带条件称为 无条件极值 ,后者自变量遇到条件的拘束, 称为 条件极值 .如何求条件极值?有时可把条件极值化为无条件极值, 如上例从条件中解出 y 1 x ,代 入 z x 2 y 2 中 , 得 zx 2 (1 x)2 2x 2 2x 1 成 为 一 元 函 数 极 值 问 题 , 令z x 4 x 21 1 1 10 ,得 x,求出极值为 z(, )2 .22 2可是在好多情况下, 将条件极值化为无条件极值其实不这样简单, 我们还有一种直接追求条件极值的方法, 可不用先把问题化为无条件极值的问题, 这就是下边介绍的拉格朗日乘数法.利用一元函数获得极值的必需条件.求函数 zf ( x, y) 在条件( x, y) 0下获得极值的必需条件.若函数 zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 获得所求的极值,那么第一有(x 0, y 0 )0 .假设在 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内函数 z f ( x, y) 与均有连续的一阶偏导数, 且 y ( x 0 , y 0 )0 .有隐函数存在定理可知,方程(x, y) 0 确立一个单值可导且拥有连续导数的函数y (x) ,将其代入函数 zf ( x, y) 中,获得一个变量的函数z f (x,( x))于是函数 zf ( x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 获得所求的极值, 也就是相当于一元函数 z f (x, ( x)) 在x x 0 获得极值.由一元函数获得极值的必需条件知道dz f x (x 0 , y 0 ) f y (x 0 , y 0 ) dy0 ,dx x x 0dx x x 0而方程(x, y) 0 所确立的隐函数的导数为dyx( x 0, y 0 ).dx x x 0y ( x 0 , y 0 )将上式代入 f( x , y ) f (x , y )dy0 中,得x 0 0 y0 0dx x xf x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)0 ,y (x 0 , y 0 )所以函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0 下获得极值的必需条件为 f x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)y (x 0 , y 0 ).(x 0 , y 0 ) 0为了计算方便起见,我们令f y ( x 0 , y 0 ),y (x 0 , y 0 )则上述必需条件变成f x ( x 0 , y 0 )x ( x 0 , y 0 ) 0 f y ( x 0 , y 0 )y ( x 0 , y 0 )0 ,( x 0 , y 0 ) 0简单看出,上式中的前两式的左正直是函数F ( x, y) f ( x, y)(x, y)的两个一阶偏导数在(x 0 , y 0 ) 的值,此中是一个待定常数.拉格朗日乘数法求函数 zf ( x, y) 在条件 (x, y) 0 下的可能的极值点.⑴ 组成协助函数F (x, y) f (x, y)(x, y) ,(为常数)⑵求函数 F 对x,对 y 的偏导数,并使之为零,解方程组f x ( x, y)x ( x, y)0f y ( x, y)y ( x, y)0(x, y)0得 x, y,,此中x, y就是函数在条件(x, y)0 下的可能极值点的坐标;⑶ 如何确立所求点能否为极值点?在实质问题中常常可依据实质问题自己的性质来判断.拉格朗日乘数法推行求函数 u f ( x, y, z,t ) 在条件(x, y, z, t) 0 ,(x, y, z, t) 0 下的可能的极值点.组成协助函数F (x, y, z, t ) f ( x, y, z, t) 1 ( x, y, z,t ) 2 ( x, y, z,t )此中1 , 2为常数,求函数 F 对 x, y, z 的偏导数,并使之为零,解方程组f x 1 x 2 x f y 1 y 2 y f z 1 z 2 z f t 1 t 2 t0 0 0 0(x, y, z,t )0( x, y, z, t)0得 x, y, z 就是函数u f (x, y, z, t) 在条件( x, y, z,t) 0 ,( x, y, z,t )0 下的极值点.注意:一般解方程组是经过前几个偏导数的方程找出x, y, z 之间的关系,而后再将其代入到条件中,即能够求出可能的极值点.例 6. 求表面积为 a 2而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱长分别为x, y, z ,则问题是在条件(x, y, z) 2xy 2yz 2xz a 20下,求函数 v xyz (x0, y 0, z0) 的最大值.组成协助函数 F (x, y, z) xyz(2xy 2 yz 2xz a 2 ) ,求函数 F 对 x, y, z 偏导数,使其为0 ,获得方程组yz 2 ( y z) 0 (1)xz 2 (x z) 0 (2)xy 2 ( x y) 0 (3)2xy 2yz 2xz a2 0 (4)由 (2) ,得x x z ,由(3) ,得y x y ,(1) y y z ( 2) z x z即有,x( y z) y( x z), x y , y(x z) z( x y), y z ,可得 x y z ,将其代入方程2xy 2 yz 2xz a2 0 中,得x y z6a .6这是独一可能的极值点,由于由问题自己可知最大值必定存在,所以最大值就是在这可能的极值点处获得,即在表面积为a2的长方体中,以棱长为6a 的正方体的体积为最大,6最大概积为 v 6 a3.36例 7.试在球面x2 y2 z2 4 上求出与点 (3,1, 1) 距离近来和最远的点.解设 M (x, y, z) 为球面上随意一点,则到点(3,1, 1) 距离为d (x 3)2 ( y 1)2 (z 1)2可是,假如考虑d2,则应与d有同样的最大值点和最小值点,为了简化运算,故取f (x, y, z) d 2 ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2,又由于点 M ( x, y, z) 在球面上,附带条件为( x, y, z) x2 y2 z2 4 0 .组成协助函数 F (x, y, z) ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2 (x2 y2 z2 4) .求函数 F 对 x, y, z 偏导数,使其为0 ,获得方程组2(x 3) 2 x 0 (1)2( y 1) 2 y 0 (2)2(z 1) 2 z 0 (3)x2 y2 z2 4 (4)以前三个方程中能够看出x, y, z 均不等于零(不然方程两头不等),以作为过渡,把这三个方程联系起来,有x 3y 1 z 1 3 1 1xyz 或xy,z故 x 3z, yz ,将其代入 x 2 y 2 z 24 中,得( 3z)2( z)2 z 2 4 ,2,再代入到 x 3z, yz 中,即可得求出 z11x m6, y m2,1111进而得两点 (62 26 22,,) , (,,) ,11 1111 1111 11比较表达式看出第一个点对应的值较大,第二个点对应的值较小,所以近来点为( 6 , 2 ,2) ,最远点为 (6 , 2,2).11 11 11111111。

8-9多元函数的极值及其求法

8-9多元函数的极值及其求法
f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 , f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f z( x 0 , y0 , z 0 ) 0 。
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数 同时为零
的点,均称为函数的 驻点 或 稳定点。
注意: 极值点 驻点
例如:点( 0,0 ) 是函数 z xy 的驻点,但不是极值点。
z A
B D C
z = f (x,y)
0
.
y
x
机动
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一、多元函数的极值
定义: 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值;
z z z
x x
AC B 2 12 ( 6 ) 0 ,
不是极值; 不是极值;
在点(3,0) 处
AC B 2 12 6 0 ,
在点 (3,2) 处
AC B 2 12 ( 6 ) 0 , A 0 ,
为极大值.
f xx ( x , y ) 6 x 6 , f xy ( x , y ) 0 , f yy ( x , y ) 6 y 6
此结论可以推广到 n 元函数。
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求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤:
第一步:解方程组 f x ( x , y ) 0,
求出实数解,得驻点;
f y ( x , y ) 0
第二步:对于每一个驻点( x 0 , y 0 ) ,

第八节 多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
第九章
二、最值应用问题
三、条件极值
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一、 多元函数的极值
定义 设A是一个n n对称矩阵, 即aij a ji , i , j 1,2,..., n.
a11 a21 A a n1
n n i 1 j 1
0
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2
x
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例1. 已知函数 则(
的某个邻域内连续, 且
A
)
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.
(2003 考研)
提示: 由题设
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定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
( x0 , y 0 ) 0 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y
因而f 在点P 0不取到极值.
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实用判定条件 :
若函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 )的某邻域内 具有一阶和二阶连续偏导数, 且

9-8多元函数的极值及其求法 共39页

9-8多元函数的极值及其求法 共39页
F z 2 (x y )x y 0
F xyzV00
2 y 1 z 0

2
x
1
z

0
2 x 2 y 0
x y y 2z
xyzV00
xy2z32V0,
22
四川大学数学学院 邓瑾
得唯一驻点
xy2z32V0,
A 在点(1,0) 处 A 12, B 0 , C 6 ,
A C B 21260, A 0,
f(1,0)5为极小值;
5
四川大学数学学院 邓瑾
在点(1,2) 处 A 1 2 ,B 0 ,C 6 A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,f(1,2)不是极值;
1 1

z z

zxx z yy

zx2
z
2 y

2zxx 2z yy

0 0
zxx
zyy
1 2z
z zxy zy zx 2zxy 0 zxy 0
8
四川大学数学学院 邓瑾
1
1
A z x x |P 2 z , B z x y |P 0 ,C z y y |P 2 z ,
值与最小值. 解 如图,先求函数在D内的驻点.
解方程组
D
xy6
y
ffx y ((x x ,,yy)) 2 x x 2((4 4 y x x yy)) x x 22 yy 0 0 得 区 域 D 内 唯 一 驻 点 ( 2 , 1 ) ,
且 f (2,1) 4,
A<0 时取极大值; 则: 1) 当ACB20时, 具有极值 A>0 时取极小值.

多元函数的极值及求法课件

多元函数的极值及求法课件

详细描述
在交通网络、通信网络或其他类型的网络中,最短路 径问题是一个重要的优化问题。通过使用多元函数的 极值理论,可以找到网络中两点之间的最短路径,或 者从一个点出发到另一个点的最短路径。这有助于节 省时间和资源,提高效率。
生产成本最小化问题
要点一
总结词
生产成本最小化问题是企业经常面临的问题,通过最小化 生产成本来提高利润。
在工程领域的应用
结构优化设计
在工程设计中,如何优化设计方案以使 得结构性能最优是一个重要问题。多元 函数的极值理论可以用来解决这类问题, 通过找到使得结构性能函数最大的最优 解,得到最优的结构设计方案。
VS
控制工程问题
在控制工程中,如何确定控制系统的参数 以使得系统性能最优是一个重要问题。多 元函数的极值理论可以用来解决这类问题, 通过找到使得性能函数最大的最优解,得 到最优的控制系统参数。
04
多元函数极的展
偏导数与极值的关系
偏导数
在一元函数中,导数描述了函数值随自变量变化的速率。在多元函数中,偏导数描述了 函数值随某个自变量变化,而其他自变量保持不变的速率。
极值必要条件
如果一个多元函数在某点的偏导数都为0,那么这个点可能是函数的极值点。然而,这 个条件只是必要条件,不是充分条件,也就是说,偏导数都为0的点不一定是极值点。
生产成本最小化
在生产过程中,企业希望通过优化生产要素的投入比例,使 得生产成本最小化。多元函数的极值理论可以用来解决这类 问题,通过找到使得成本函数最小的最优解,实现生产成本 的最小化。
资源分配问题
在资源有限的情况下,如何合理分配资源以最大化经济效益 是经济领域中常见的问题。多元函数的极值理论可以用来解 决这类问题,通过找到使得收益函数最大的最优解,实现资 源的最优配置。

学习_课件98多元函数的极值及其求法

学习_课件98多元函数的极值及其求法
第三步 定出AC B2 的符号,再判定是否是极值.
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约:束寻求 最目优标化函问数题的最大(小)值.
在条件 x02 a2

y02 b2

z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )

ln
x0

ln
y0

ln
z0


(
x02 a2

y02 b2

z02 c2

1) ,

G
x0

x02 a2
0,

体积最小,求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)

x2 a2

y2 b2

z2 c2

1,
则Fx |P
2 x0 , a2
Fy |P
2 y0 , b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数,可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ,即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),

大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法

大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
第三步:定出 AC − B 2 的符号,再判定是否是 极值。
注意:偏导数不存在的点也是可疑的极值点, 是否是极值要用定义去判断。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证,这两个函数都以(0,0)为驻点,且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值,而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
机动
目录
多元函数取得极值的条件
定理 1(必要条件) :设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 ) 处有极值,则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知,当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时, f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号,于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )

8-8第八节 多元函数的极值及其求法

8-8第八节  多元函数的极值及其求法
学 数
三 条 件 极 值
(1) 其中x,y,z须满足约束条件 xyz=2(米3) (2) 依题意,例6成为求(1)式满足条件(2)的最小值.这类附有
解条件极值问题的一个办法是化为无条件极值,即普通极值 问题.
高 等 数 学 电 子 教 案
例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那样去解普通极值问题. 但是对于一般的条件φ(x,y,z)=0,解出其中的某个变量,有时 是复杂的,困难的,甚至是不可能的.例如,不能显化的隐函数 就是这样.下面我们介绍Lagrange乘数法是求解条件极值的 常用方法. 例如要求函数 u=f(x,y,z,t)
3
2
表面积为 6 3 4。
高 等 数 学 电 子 教 案
例7. 在已知的椭球面内一切内接的长方体(各边分别平行坐 标轴)中,求其体积最大的. 椭球面方程为
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c
x2 y2 z 2 长方体体积为V = 8 xyz.而( x, y, z )必须满足 2 + 2 + 2 = 1. a b c
高 等 数 学 电 子 教 案
第八节 多元函数的极值及其求法
在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题.在一元函 数的微分学中,我们曾经用导数求解极值和最值问题;现 在讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值与最值,讨论 时以二元函数为例,其结论可类似地推广到三元及三元以 上的函数.
学 数
多元函数的极值及最大值,最小值 一. 多元函数的极值及最大值 最小值
高 等 数 学 电 子 教 案 二 最大值和最小值
由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上 一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和 最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微 函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处 的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较,

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法

的梯度平行
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
拉格朗日 乘数法
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个 约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值.
( x , y ),
取 y y 0,则 f ( x , y ) f ( x , y ), 0 0 0
一元函数
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f ( x , y 0 ) 在 x x 0 取得极大值 .
y
( x0 , y0 )

f x ( x0 , y0 ) 0.
2 2
2 2 2
的最大值和最小值.
0, 0,
解: 由 zx
zy
得驻点(
( x y 1) 2 x ( x y ) ( x y 1)
2 2 2 2
( x y 1) 2 y ( x y ) ( x y 1)
2 2 2
1 2
,
1
)和 (
1 2
f x ( x 0 , y 0 ) 0 , f y ( x 0 , y 0 ) 0 .(驻点)
多元函数的极值点如果有偏导数则必是驻点.
证:
不 妨 设 z f ( x , y )在 点 ( x 0 , y0 ) 处 有 极 大 值 ,
则对于 ( x 0 , y 0 )的某个邻域内的所有点 都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ),
A f xx ( x 0 , y 0 ) , B f xy ( x 0 , y 0 ) , C f yy ( x 0 , y 0 ),

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1(必要条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值,则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2(充分条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导,又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ,令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下:
(1)02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值,当0>A 时有极小值;
(2)02<-B AC 时没有极值(在()00,y x 处不取极值);
(3)02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。

二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点,可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=,
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

08-多元函数的极值及其求法课件

08-多元函数的极值及其求法课件

多元函数的极值及其求法多元函数的极值多元函数的最大值、最小值条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值定义 设函数()z f x y =,的定义域为D ,()000,P x y 则称函数在点()00,x y 有极大值(或极小值) ()00,f x y为D 的内点,若存在0P 的某个邻域()0U P D ⊂,如果对于该邻域内任何异于0P 的点(),x y , 都有()()00,,f x y f x y < (或()()00,,f x y f x y >),极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.例 函数2234z x y =+在点(0,0)处有极小值.()0,00z =, 例 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当()(),0,0x y ≠时, 0z >.=在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小例函数z xy值.()0,00z=,而在点(0, 0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.设n 元函数()u f P =在点0P 的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于0P 的点P , 都有则称函数()fP 在点0P 有极大值(或极小值)()0f P .()()0f P f P < (或()()0f P f P >),定理1(必要条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 具 有偏导数, 且在点()00,x y 处有极值, 则有()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =.不妨设()z f x y =,在点()00,x y 处有极大值. 证 依极大值的定义, 对于点()00,x y 的某邻域内异于()00,x y 的点(),x y , 都有不等式特殊地, 在该邻域内取0y y =而0x x ≠的点,也应有()()00,,f x y f x y <()()000,,f x y f x y <这表明一元函数()0,f x y 在0x x =处取得极大值,因而有()00,0x f x y =.类似地可证()00,0y f x y =.从几何上看, 这时如果曲面()z f x y =,在点()000,,x y z 处有切平面, 则切平面()()()()0000000,,x y z z f x y x x f x y y y -=-+-成为平行于xoy 坐标面的平面0z z =.凡是能使()00,0xf x y =, ()00,0y f x y =同时成立的点()00,x y 称为函数()z f x y =,的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z xy =在点 (0,0)处的两个偏导数都是零, 但(0,0)不是极值点.定理2(充分条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,令()00,xx f x y A =, ()00,xy f x y B =, ()00,yy f x y C =则()f x y ,在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:(2)20AC B -<时没有极值;(1) 20AC B ->时具有极值, 且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值;(3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值.极值的求法: 第一步 解方程组求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点()00,x y , 求出二阶偏导数的 ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,值A 、B 和C .第三步 定出2AC B -的符号, 按定理2的结论判定()00,f x y 是否是极值、是极大值 还是极小值.例 求函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f yx 得驻点为()1,0、()1,2、()3,0-、()3,2-.求得1,3x =- ; 0,2y =再求出二阶偏导数(),66xx f x y x =+,(),0xy f x y = ,(),66yy f x y y =-+.在点()1,0处,21260AC B -=⋅>, 又0A >,所以函数在()1,0处有极小值()1,05f =-;在点()1,2处, ()21260AC B -=⋅-<,所以()1,2f 不是极值;所以()3,0f -不是极值;所以函数在()3,2-处有极大值()3,231f -=.在点()3,0-处, 21260AC B -=-⋅<,在点()3,2-处,()21260AC B -=-⋅->, 又0A <,不是驻点也可能是极值点.例如,函数220,0处有极大值,=-+在点()z x y0,0不是函数的驻点.但()多元函数的最大值、最小值如果()f x y ,在有界闭区域D 上连续, 则()f x y ,在 D 上必定能取得最大值和最小值.假定函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻 点, 如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个 最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).求最大值和最小值的一般方法将函数()f x y ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大 值, 最小的就是最小值.实际问题中如果根据问题的性质, 知道函数()f x y , 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内 只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 ()f x y ,在D 上的最大值(最小值).例 某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x , 宽为y , 则其高应为xy8. 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=yx A y , 得2x =, 2y =.当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为82m 22=⋅时, 水箱所用的材料最省.条件极值拉格朗日乘数法例如, 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.求表面积为2a 的长方体的最大体积.设长方体的三棱的长为x y z 、、, 则体积V xyz =.x y z 、、还必须满足附加条件22()xy yz xz a ++=.由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 有些条件极值问题可以化为无条件极值问题.例如, 求表面积为2a 的长方体的最大体积.函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下取得极值的必要 条件.如果函数()z f x y =,在()00,x y 取得所求的极值, 则()00,0x y ϕ=.假定在()00,x y 的某一邻域内()f x y ,与()x y ϕ,均有连续的一阶偏导数, 将其代入目标函数()z f x y =,, 得的函数()y x ψ=, 定理, 由方程()0x y ϕ=,确定一个连续且具有连续导数而()00,0y x y ϕ≠. 由隐函数存在一元函数()()z f x x ψ=,.0x x =是一元函数()()z f x x ψ=,的极值点,由取得极值的必要条件, 有即()()0000d d ,,0d d x y x x x x z yf x y f x y xx--=+=()()()()00000000,,,0,x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 则函数()z f x y =,在条件 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ ()0x y ϕ=,下在()00,x y 取得极值的必要条件是拉格朗日乘数法要找函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下的可能极值点, 可以先构成辅助函数()()()L x y f x y x y λϕ=+,,,其中λ为某一常数. 然后解方程组(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0L x y f x y x y x x x L x y f x y x y y y y x y λϕλϕϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ, 则其中(),x y 就是所要求的可能的极值点.此方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x y z 、、, 构成辅助函数解方程组()()2,222L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-,(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02222L x y z yz y z x L x y z xz x z y L x y z xy y x z xy yz xz aλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩ 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。

多元函数的极值及最值(参考)-28页精品文档

多元函数的极值及最值(参考)-28页精品文档

, y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2xy2 x2 y
令 Ax2(yx22)0得驻点 (3 2,3 2) Ay2(xy22)0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.

y
Fxy2(xy)0
z
F =2(xy yz zx) a2 0

解得唯一驻点( 6a, 6a, 6a),由题意,知矩形的长
宽高各为
6 6
a
666
时,其体积最大。
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 uf(x,y,z)在条件 (x,y,z)0,
多元函数的最值应用
一、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
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1、多元函数的最值
与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
(x,y,z)0下的极值. 设 F f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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例6. 要设计一个容量为 V 0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省?

9-8多元函数的极值及其求法

9-8多元函数的极值及其求法

例2 求函数 f ( x, y ) x 2 y (4 x y ) 在由直线 x y 6, 0, 0 所围闭区域 D 上的最值. x y ( 1995) y 解 先求函数在D 内的驻点, x y6 f x 2 x y(4 x y ) x 2 y 0 ,D 解方程组 2 2 f y x (4 x y ) x y 0 o x à ÷ ò D Ú ¨º ×ã ( 2,1) ¬ Ç f ( 2,1) 4 £ µ Ç Ó Ä Î Ò ¤µ £Ò ¬
则有二元函数极值的定义
设函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,
且对该邻域内任一异于P0 ( x0 , y0 ) 的点 P ( x, y ), 均有 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ),( 或 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ),
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤:
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0, f y ( x, y ) 0 .
求出实数解,得驻点.
Ú ú ¼ µ ¶ °
Ú ù ¼ µ È °
Ú ¿ º ö ¤ã Ô Ã Ò · ×µ ( x0 , y0 ) ´ £ ¦ ¬
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
¶ Ó » Ð
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ¬ £
Ì ±µ µ y y0 £ x x0 Ê £ Ó Ø ð Ø ± ¬ ±¬ Ð
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) £ ¬
´ ¶ Ò Ô ¹ Ê f ( x , y0 ) Ô x x0 ´ Ó » ´ Ö £ Ó ÷ º ª ¯ ù Ú ¦ Ð « ó µ ¬ Ë Ò f x ( x0 , y0 ) 0 º 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0 . ù Ô £

0808多元函数的极值及其求法

0808多元函数的极值及其求法
f ( x , y ) = x 3 − y 3 − 3 x + 3 y + 1 的极值 . 解 : f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3,
f y ( x , y ) = −3 y 2 + 3,
令 f x ( x , y ) = f y ( x , y ) = 0,
得驻点 : (1,1), (1,−1), ( −1,1), ( −1,−1),
. 为 例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时 水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的
解:设水箱的长为 x m,宽为 y m, 高为 z m, 宽为
水箱所用材料的面积为 : A = 2( xy + yz + zx ), ( x > 0, y > 0, z > 0), 其中 : xyz = 2.
令 Ax = A y = 0, 即令 2( y − ) = 0, ) = 2( x − y2 x2
解之得唯一驻点 : ( 3 2 , 3 2 ),
2
2
又由题意 , 最小值一定存在 , 且在开区域内取到 ,
∴ 可断定 当x = y = 3 2时, A最小 , 且此时 z = 3 2 ,
∴ 当长宽高均为 3 2m时, 水箱的用料最省 .
◆无条件极值: 无条件极值: 对自变量除了有定域内的限制,无其它条件. 对自变量除了有定域内的限制,无其它条件
二、条件极值、拉格朗日乘数法 条件极值、 ◆条件极值:对自变量有附加条件的极值. 条件极值:对自变量有附加条件的极值.
. 为 例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时 水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的

8.8 多元函数极值及其求法-文档资料

8.8  多元函数极值及其求法-文档资料
f(P)<f(P0) (f(P)>f(P 0)) 则称函数f(P)在点P0有极大值(极小值)f(P0).
取得极值的必要条件: 定理1 设函数zf (x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点
(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.
类似地可推得,如果三元函数uf (x,y,z)在点(x0,y0,z0) 具有偏导数,则它在点(x0,y0,z0)具有极值的必要条件为
处有极小值f(1,0)5,所以f (1,2)不是极值;
在点(3,0)处,ACB 212·6<0,所以f (3,0)不是极值;
在点(3,2)处,ACB 212·(6)>0,又A<0,所以函数的
(3,2)处有极大值f(3,2)31.
应注意的问题: 不是驻点也可能是极值点. 例 如 函 数 z x 2 y 2 在 点 ( 0 , 0 ) 处 有 极 大 值 , 但 ( 0 , 0 ) 不 是
函数的驻点.因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的 驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.
z O
y
x
最大值和最小值问题:
解 设 水 箱 的 长 为 x m , 宽 为 y m , 则 其 高 应 为 2 m . xy
此水箱所用材料的面积为
A 2 ( x y y · 2 x · 2 ) , 即 2 ( x y 2 2 ) ( x > 0 , y > 0 ) . x x y y x y
令 A x 2 ( y x 2 2 ) 0 , A y 2 ( x y 2 2) 0 . 得 x 3 2 , y 3 2 . 由题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域

多元函数的极值及其求法54962

多元函数的极值及其求法54962

代入原方程,有 z1 2, z2 6

z1

2时,
A

1 4

0,
所以 z f (1,1) 2为极小值;
A

zxx
|P

2
1
z
B zxy |P 0
C

zyy
|P

2
1
z

z2

6时,
A

1 4

0,
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
(2) AC B2 0时,没有极值; (3) AC B2 0时,可能有极值, 也可能无极值.
10
8.8 多元函数的极值与最值
求函数z = f (x, y)极值的一般步骤:
第一步:
解方程组

f f
x y
( (
x, x,
y) y)

0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步: 对于每一个驻点(x0, y0), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
区域D有四条边界线, 即AB, BC, CD及DA.
由于AB线段方程为 y 1 x(0 x 1), 将 y 1 x
代入T(x, y), 得
y
B(0,1)
T x2 (1 x)2 x(1 x)
x y1
3x2 3x 1 由 T 6x 3, 令 T 0,
设函数 z f ( x, y)的全微分为dz xdx ydy,
则点(0,0)( D )
(A) 不是f (x, y)的连续点. (B) 不是f (x, y)的极值点.
(C) 是f (x, y)的极大值点. (D) 是f (x, y)的极小值点.
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第十一讲 二元函数的极值要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。

问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题.一.二元函数的极值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值;如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.例1.函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.例2.函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值.因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f .从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件.定理1(必要条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y .几何解释若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x −+−=−是平行于xoy 坐标面的平面0z z =.类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ,0),,(000=z y x f y ,0),,(000=z y x f z说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题,但它明确指出找极值点的途径,即只要解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x ,求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯,那么极值点必包含在其中,这些点称为函数),(y x f z =的驻点.注意1.驻点不一定是极值点,如xy z =在)0,0(点.怎样判别驻点是否是极值点呢?下面定理回答了这个问题.定理2(充分条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,又0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ,令 A y x f xx =),(00,B y x f xy =),(00,C y x f yy =),(00,则(1)当02>−B AC 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值,且当0<A 时,有极大值00(,)f x y ,当0>A 时,有极小值00(,)f x y ;(2)当02<−B AC 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 没有极值;(3)当02=−B AC 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值,还要另作讨论.求函数),(y x f z =极值的步骤:(1)解方程组0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ,求得一切实数解,即可求得一切驻点 ),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯;(2)对于每一个驻点),(i i y x (1,2,)i n =,求出二阶偏导数的值C B A ,,;(3)确定2B AC −的符号,按定理2的结论判定),(i i y x f 是否是极值,是极大值还是极小值;(4)考察函数),(y x f 是否有导数不存在的点,若有加以判别是否为极值点.例3.考察22y x z +−=是否有极值.解 因为22y x x x z +−=∂∂,22y x y y z +=∂∂在0,0==y x 处导数不存在,但是对所有的)0,0(),(≠y x ,均有0)0,0(),(=<f y x f ,所以函数在)0,0(点取得极大值.注意2.极值点也不一定是驻点,若对可导函数而言,怎样?例4.求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值.解 先解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+−==−+=063096322y y f x x f y x ,求得驻点为)2,3(),0,3(),2,1(),0,1(−−, 再求出二阶偏导函数66+=x f xx ,0=xy f ,66+−y f yy .在点)0,1(处,0726122>=⨯=−B AC ,又0>A ,所以函数在点)0,1(处有极小值为5)0,1(−=f ;在点)2,1(处,0722<−=−B AC ,所以)2,1(f 不是极值;在点)0,3(−处,0722<−=−B AC ,所以)0,3(−f 不是极值;在点)2,3(−处,0722>=−B AC ,又0<A ,所以函数在点)2,3(−处有极大值为31)2,3(=−f .二.函数的最大值与最小值求最值方法:⑴ 将函数),(y x f 在区域D 内的全部极值点求出;⑵ 求出),(y x f 在D 边界上的最值;即分别求一元函数1(,())f x x ϕ,2(,())f x x ϕ的最值;⑶ 将这些点的函数值求出,并且互相比较,定出函数的最值.实际问题求最值根据问题的性质,知道函数),(y x f 的最值一定在区域D 的内部取得,而函数在D 内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最值. 例4.求把一个正数a 分成三个正数之和,并使它们的乘积为最大.解 设y x ,分别为前两个正数,第三个正数为y x a −−,问题为求函数 )(y x a xy u −−=在区域D :0>x ,0>y ,a y x <+内的最大值. 因为)2()(y x a y xy y x a y xu −−=−−−=∂∂,)2(x y a x y u −−=∂∂, 解方程组⎩⎨⎧=−−=−−0202x y a y x a ,得3a x =,3a y =. 由实际问题可知,函数必在D 内取得最大值,而在区域D 内部只有唯一的驻点,则函数必在该点处取得最大值,即把a 分成三等份,乘积3)3(a 最大.另外还可得出,若令y x a z −−=,则33)3()3(z y x a xyz u ++=≤= 即 33z y x xyz ++≤. 三个数的几何平均值不大于算术平均值.三.条件极值,拉格朗日乘数法引例 求函数22y x z +=的极值.该问题就是求函数在它定义域内的极值,前面求过在)0,0(取得极小值;若求函数22y x z +=在条件1=+y x 下极值,这时自变量受到约束,不能在整个函数定义域上求极值,而只能在定义域的一部分1=+y x 的直线上求极值,前者只要求变量在定义域内变化,而没有其他附加条件称为无条件极值,后者自变量受到条件的约束,称为条件极值.如何求条件极值?有时可把条件极值化为无条件极值,如上例从条件中解出x y −=1,代入22y x z +=中,得122)1(222+−=−+=x x x x z 成为一元函数极值问题,令024=−='x z x ,得21=x ,求出极值为21)21,21(=z . 但是在很多情形下,将条件极值化为无条件极值并不这样简单,我们另有一种直接寻求条件极值的方法,可不必先把问题化为无条件极值的问题,这就是下面介绍的拉格朗日乘数法.利用一元函数取得极值的必要条件.求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下取得极值的必要条件.若函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值,那么首先有00(,)0x y ϕ=.假定在00(,)x y 的某一邻域内函数),(y x f z =与均有连续的一阶偏导数,且00(,)0y x y ϕ≠. 有隐函数存在定理可知,方程0),(=y x ϕ确定一个单值可导且具有连续导数的函数()y x ψ=,将其代入函数),(y x f z =中,得到一个变量的函数(,())z f x x ψ=于是函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值,也就是相当于一元函数(,())z f x x ψ=在0x x =取得极值.由一元函数取得极值的必要条件知道000000(,)(,)0x y x x x x dz dy f x y f x y dx dx ===+=, 而方程0),(=y x ϕ所确定的隐函数的导数为00000(,)(,)x x x y x y dy dx x y ϕϕ==−. 将上式代入00000(,)(,)0x y x x dy f x y f x y dx =+=中,得 00000000(,)(,)(,)0(,)x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ−=, 因此函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下取得极值的必要条件为0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0x x y y x y f x y f x y x y x y ϕϕϕ⎧−=⎪⎨⎪=⎩.为了计算方便起见,我们令0000(,)(,)y y f x y x y λϕ=−,则上述必要条件变为0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,容易看出,上式中的前两式的左端正是函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=的两个一阶偏导数在00(,)x y 的值,其中λ是一个待定常数.拉格朗日乘数法求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能的极值点.⑴ 构成辅助函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=,(λ为常数)⑵ 求函数F 对x ,对y 的偏导数,并使之为零,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ得λ,,y x ,其中y x ,就是函数在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点的坐标;⑶ 如何确定所求点是否为极值点?在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定.拉格朗日乘数法推广求函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=,(,,,)0x y z t ψ=下的可能的极值点. 构成辅助函数12(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)F x y z t f x y z t x y z t x y z t λϕλψ=++其中21,λλ为常数,求函数F 对z y x ,,的偏导数,并使之为零,解方程组121212120000(,,,)0(,,,)0x x x y yy z z z t t t f f f f x y z t x y z t λϕλψλϕλψλϕλψλϕλψϕψ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪⎨++=⎪⎪=⎪=⎪⎩得z y x ,,就是函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=,(,,,)0x y z t ψ=下的极值点. 注意:一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出,,x y z 之间的关系,然后再将其代入到条件中,即可以求出可能的极值点.例6.求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱长分别为z y x ,,,则问题是在条件0222),,(2=−++=a xz yz xy z y x ϕ下,求函数xyz v = )0,0,0(>>>z y x 的最大值.构成辅助函数)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F −+++=λ,求函数F 对z y x ,,偏导数,使其为0,得到方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−++=++=++=++02220)(20)(20)(22a xz yz xy y x xy z x xz z y yz λλλ )4()3()2()1( 由)1()2(,得 z y z x y x ++=, 由 )2()3( , 得 zx y x z y ++=, 即有, ()(),x y z y x z x y +=+= ,()(),y x z z x y y z +=+=,可得z y x ==,将其代入方程02222=−++a xz yz xy 中,得 a z y x 66===. 这是唯一可能的极值点,因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就是在这可能的极值点处取得,即在表面积为2a 的长方体中,以棱长为a 66的正方体的体积为最大,最大体积为3366a v =. 例7.试在球面2224x y z ++=上求出与点(3,1,1)−距离最近和最远的点.解 设(,,)M x y z 为球面上任意一点,则到点(3,1,1)−距离为d =但是,如果考虑2d ,则应与d 有相同的最大值点和最小值点,为了简化运算,故取 2222(,,)(3)(1)(1)f x y z d x y z ==−+−++,又因为点(,,)M x y z 在球面上,附加条件为222(,,)40x y z x y z ϕ=++−=.构成辅助函数(,,)F x y z 222(3)(1)(1)x y z =−+−++222(4)x y z λ+++−.求函数F 对z y x ,,偏导数,使其为0,得到方程组 2222(3)202(1)202(1)204x x y y z z x y z λλλ−+=⎧⎪−+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ )4()3()2()1( 从前三个方程中可以看出,,x y z 均不等于零(否则方程两端不等),以λ作为过渡,把这三个方程联系起来,有311x y z x y z λ−−+−===或311x y z−−==, 故3,x z y z =−=−,将其代入2224x y z ++=中,得222(3)()4z z z −+−+=, 求出z =,再代入到3,x z y z =−=−中,即可得 11x =,11y =, 从而得两点(,, 对照表达式看出第一个点对应的值较大,第二个点对应的值较小,所以最近点为,最远点为(.。

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