氢原子电子云空间分布的可视化

氢原子电子云空间分布的可视化
1 技术指标
1）设计一个用户界面，从不同角度直观揭示氢原子电子云空间几率分布的规律。

要求：有用户任意输入量子数的界面；
2）根据量子力学中对氢原子的求解，设计出各个模块的参数（例如径向分布概率，角向分布概率等）；
3）用Matlab来进行模拟；
4）通过给定量子数，可以弹出绘图窗口，给出该量子态下，三维空间中氢原子中电子在空间各点的几率分布。

2 基本原理
2.1 电子云模型及其量子力学实质
电子云是电子在原子核外空间概率密度分布的形象描述，电子在原子核外空间的某区域内出现，好像带负电荷的云笼罩在原子核的周围，人们形象地称它为“电子云”。

用现代量子力学的观点来看，电子有波粒二象性，它不像宏观物体的运动那样有确定的轨道，因此画不出它的运动轨迹。

我们不能预言它在某一时刻究竟出现在核外空间的哪个地方，只能知道它在某处出现的机会有多少。

为此，就以单位体积内电子出现几率，即几率密度大小，用小黑点的疏密来表示。

小黑点密处表示电子出现的几率密度大，小黑点疏处几率密度小，看上去好像一片带负电的云状物笼罩在原子核周围，因此叫电子云。

用一个波函数Ψ（x，y，z）表征电子的运动状态，并且用它的模的平方|Ψ|^2的值表示单位体积内电子在核外空间某处出现的几率，即几率密度，所以电子云实际上就是几率密度|Ψ|^2在空间的分布。

研究电子云的空间分布主要包括它的径向几率分布和角度几率分布两个方面。

径向分布探求电子出现的几率大小和离核远近的关系，被看作在半径为r，厚度为dr的薄球壳内电子出现的几率。

角度分布探究电子出现的几率和角度的关系。

2.2 用matlab软件编程实现电子云模型
根据氢原子束缚态电子的波函数表达式Ψnlm=Rnl*Ylm，其中Rnl 和Ylm分别是径向波函数和球谐波函数，n是波函数的主量子数，l是角量子数，m是磁量子数。

径向波函数和球谐波函数均可以根据薛定谔方程求解出具体表达式，从而确定了其波函数表达式，利用matlab软件超强的函数编程功能和作图功能，可以作出在给定n、l、m条件下，电子的径向概率函数、角向概率分布函数和在整个空间分布的概率函数图。

用matlab的GUI界面设计及其仿真功能，可以作出不同量子数条件下的各概率分布图。

本次设计中用matlab作出了电子径向概率分布关系曲线和角度概率分布曲线以及氢原子电子云模型，本设计实现的电子云是彩色立体曲面图，用matlab的surf（X,Y,W）画图函数实现，其中可以用view实现不同角度的观察，更清楚的观察到各个平面上的电子云分布。

3 建立模型描述
本次设计的主要任务首先是实现电子的径向波函数、球谐波函数和电子在整个空间的波函数，其次是设计GUI界面实现输入不同的参数得到不同的概率分布函数图形输出。

所以设计的模块分为两大类，如下所示：
模块一：查阅matlab编程资料，按照量子力学氢原子波函数的基本表达式，手动编程实现径向波函数JX(n,l)、球谐波函数QX(l,m)和氢原子的波函数BHS(n,l,m)，并保存为m文件。

模块二：查阅matlab的GUI界面设计资料及相关参考书，自行学习设计实现电子云概率分布的GUI界面，在界面上有主量子数m、角量子数l、磁量子数m的输入编辑框，有三个概率分布函数的图形输出按钮，以及end结束项。

4 模型组成模块程序实现及注释
4.1 径向波函数的实现
函数命名为JX(n,l),保存为JX.m文件，用matlab编程如下：function f=JX(n,l);
syms x;
a0=1; %归一化的波尔半径
syms r ;
N=-1*sqrt((2/n/a0)^3*jiec(n-l-1)/2/n/(jiec(n+l))^3);
t=lag(n,l);
y=subs(t,x,2*r/n/a0);
f=(N*exp(-1*r/n/a0))*(2*r/n/a0)^l*y; %径向波函数
k=linspace(0,40);
f1=subs(f,r,k);
D=f1.*f1.*k.*k; %径向概率分布
plot(k/a0,D); %画图输出径向概率分布曲线
xlabel('r/a0')
ylabel('r^2*|R|^2');
title('径向概率分布函数');
grid on;
4.2 球谐波函数的实现
函数命名为QX(l,m), 保存为QX.m文件，用matlab编程如下：function w=QX(l,m);
M=(-1)^m*sqrt((2*l+1)*jiec(l-abs(m))/4/pi/jiec(l+abs(m))); syms x;
k=LD(l,m);
theta=linspace(0,2*pi);
L1=subs(k,x,cos(theta));
phi=linspace(-pi/2,pi/2);
[phi2,theta2]=meshgrid(phi,pi/2-theta);
w=M.*subs(k,x,cos(pi/2-theta2))*(exp(i*m*phi2)); %球谐波函数w1=(abs(w)).^2; %角向概率分布
[xx,yy,zz]=sph2cart(phi2,theta2,w1);
surfc(xx,yy,zz); %画图输出角向概率分布三维图
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('|Y|^2');
title('角向概率分布函数');
axis equal
4.3 电子在整个空间的波函数的实现
函数命名为BHS(l,m), 保存为BHS.m文件，用matlab编程如下：function BHS(n,l,m);
a0=1; %归一化的波尔半径
syms x r;
N=-1*sqrt((2/n/a0)^3*jiec(n-l-1)/2/n/(jiec(n+l))^3);
t=lag(n,l);
q=subs(t,x,2*r/n/a0);
[y,z]=meshgrid([-25:0.33:25]);
k=sqrt(y.^2+z.^2);
f=(N*exp(-1*r/n/a0))*(2*r/n/a0)^l*q;
f1=subs(f,r,k); %径向波函数
theta=z.*(k.^(-1));
M=(-1)^m*sqrt((2*l+1)*jiec(l-abs(m))/4/pi/jiec(l+abs(m)));
k1=LD(l,m);
L1=subs(k1,x,cos(theta));
theta2=pi/2-theta;
w=M.*subs(k1,x,cos(pi/2-theta2)); %球谐波函数
W=f1.*w; %电子在整个空间的波函数
surf(z,y,abs(W).^2); %画图输出电子在整个空间的彩色立体曲面电子云图shading interp;
ylabel('y/a0');
xlabel('z/a0');
title('氢原子电子云');
4.4 matlab的GUI界面的设计
4.4.1 界面设计大致框架
设计的界面具有的属性有：主量子数n、角量子数l、磁量子数m，绘制径向概率分布曲线——<jingxiang>按钮、绘制角向概率分布三维图——<qiuxie>按钮、绘制电子在整个空间的彩色立体曲面电子云图——<dianziyun>按钮，重启功能——<restart>按钮，结束功能——<end>按钮。

设计的框架如图1。

图1 氢原子电子云输出的GUI界面设计。