一元一次方程的基本概念和性质
一元一次方程的概念
一元一次方程的概念一元一次方程是数学中常见的基础概念，它是解决实际问题和进行数学计算的基础。
在此文章中，我们将深入探讨一元一次方程的定义、性质和解法，帮助读者掌握和理解这个重要的数学概念。
一、定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
一般形式为：ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知的常数，且a ≠ 0。
其中，a 是未知数的系数，b 是常数项。
例如，2x + 3 = 0 和 -5x + 7 = 0 都是一元一次方程。
在这些方程中，x 是未知数，系数为2和-5，常数项分别为3和7。
二、性质1. 一元一次方程只有一个解或者无解。
这是由于一元一次方程的最高次数是1，因此只有一个未知数。
解决方程就是求出未知数的具体值。
2. 未知数的系数（a）不为0。
如果 a = 0，方程将变成 b = 0，这是一个恒等方程，其解为无穷多个。
3. 方程两边加减、乘除相等的操作都是合法的。
即使对等式两边进行相同的操作，仍然能保持方程的平衡。
4. 解一元一次方程的解都是实数，而且可以通过代入验证。
三、解法解一元一次方程有多种方法，下面我们将介绍两种常见的解法。
1. 直接法直接法是最简单直观的解法。
我们通过移项和化简，将方程转化为形如 x = c 的形式，其中 c 是常数，即可解得未知数的值。
例如，对于方程 3x - 4 = 2，我们可以将方程中的-4移到等号右边，得到 3x = 2 + 4 = 6。
然后，再将方程中的系数3除以3，得到 x = 2。
因此，方程的解为 x = 2。
2. 代入法代入法是另一种常见的解方程的方法。
在代入法中，我们从方程中解出一个变量，然后将其代入到方程的另一个式子中。
例如，对于方程 2x + 3 = 5x - 1，我们可以将式子中的一个未知数解出。
首先，将 2x 从方程的两边移动到右边，得到 5x - 2x = 3 - 1，进一步化简得到 3x = 2。
然后，我们将此解 3x = 2 代入到方程的另一个式子中，即 2(2) + 3 = 5(2) - 1。
一元一次方程的基本概念、解方程步骤以及练习题
一元一次方程一、主要概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
二、等式的性质等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
三、解一元一次方程的一般步骤及根据1、去分母2、去括号3、移项4、合并5、系数化为16、验根四、解一元一次方程的注意事项1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
五、列方程解应用题的一般步骤1、审题2、设未数3、找相等关系4、列方程5、解方程6、检验7、写出答案步骤去括号移项合并同类项两边同除以未知数的系数根据分配律、去括号法则移项法则合并同类项法则等式性质2注意事项①不漏乘括号里的项；②括号前是“－”号，要变号。
移项要变号系数相加，不漏项乘以系数的倒数a.和差倍分问题增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量b.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝r2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abcc.数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．=3x-1 (7) = +1 (8) 3 - 1.2 x = x - 122 52x －1 x+2然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．d.市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售， 即按原标价的 80%出售．e.行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． f.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1g.储蓄问题利润＝ 每个期数内的利息本金×100% 利息＝本金×利率×期数练习:（1）2x+5=5x-7(2) 4-3(2-x)=5x （3）3（x-2）=2-5(x-2)（4）3x-2=2x+1(5) 3(x - 2) + 1 = x - (2 x -1)(6)x 4 3 2(9) 3 y + 12 5 y - 7 = 2 -4 3(10) 1 - m 3 - 3m- = 12 41．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．4．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．5．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，•这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？6．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．7．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？•应交电费是多少元？8．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3•种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C 种每台2500元．（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，•销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？。
第1节 一元一次方程的基本概念
第三章 第一节 一元一次方程的基本概念一、核心纲要l.方程的相关概念(1)方程：含有未知数的等式叫做方程． (2)方程的已知数和未知数，已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）.5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用a 、b 、c 、m 、n 等表示，未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示，如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、-2b 、c是已知数，x 、y 是未知数．(3)方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． (4)解方程：求方程的解的过程叫做解方程． (5)方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．2．一元一次方程的定义(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程． (2)一元一次方程的形式标准形式：0ax b +=（其中0,,a a b =/是已知数）． 最简形式：ax b =（其中0,,a a b =/是已知数）． 注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） ①只含有一个未知数（系数不为零）． ②未知数的最高次数是1． ③方程是整式方程． 3.等式的概念和性质(1)等式的概念：用等号“一”来表示相等关系的式子，叫做等式． (2)等式的性质 等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式，若,a b =则.a m b m ±=± 等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式．若,a b =则,(0).a ban bm m m m===/ (3)等式的其他性质①对称性：若,a b =则.b a =②传递性：若,,a b b c ==则.a c = 二、全能突破基 础 演 练1．判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数．(1)59;x x -= (2)2||23y x -= 2(3)151;x + (4)112;--=- (5)42;x x -=- (6) 1.52x y -=2．下列各式中：213;2534;44.2;13;x x x x x x ++=++=+=++=①②③④⑤44,x x -=-⑥⑦2||3;x =2(2) 3.x x x x +=++⑧关于x 的一元一次方程有3．已知等式,523+=b a 则下列等式中不一定成立的是( ).352A a b -= .3126B a b +=+ .325C a cb c =+ 25.33D a b =+4．下列等式是由514x x -=根据等式性质变形得到的，其中正确的有( )个541;x x -=① 451;x x -=② 512;22x x -=③ 613.x x -=④ .0A .1B .2C .3D5．下列一元一次方程中，解为-3的是( ).453A x x -= .5134B x x -=+ .3221C x x +=- .7331D x x -=+能 力 提 升6．若(5)6m x -=是关于x 的一元一次方程，则m 的取值为( ) A ．不等于5的数 B ．任何数 .5C .5D -7．已知|1|30m x -+=是关于x 的一元一次方程，则m=( ).0A .1B .2C .02D 或8．若2(51)50a x bx c +--=是关于x 的一元一次方程，则一定有( )1,0,5A a b c =-=/、为任意数 1,,5B a b c =-、为任意数1,0,05C a b c =-==/、 1,0,05D a b c ===/、9．若有公式,2D dM L-=用含有D 、L 、M 的代数式表示d 时，正确的是( ) .2A d D LM =- .2B d LM D =- .2C d LM D =- .2LM DD d -=10.如图3-1-1所示，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第(a )个天平是平衡的，根据第(a )个天平，后三个天平仍然平衡的有( )个.0A .1B .2C .3D11.若关于x 的方程|1|(2)5m m x --=是一元一次方程，则m =12.用等式的性质求未知数x ：(1)86x -= 1(2)82x = (3)56x x += 13(4)032x +=13．已知m n =/且2012(),m n m n +=-则180()45()m n m n +=-14．根据题意，列出方程：(l)x 的20%与15的差的一半等于-2．(2)x 的3倍比x 的一半多15，求这个数．(3)某数的3倍与2的差等于16，求这个数．(4)笼子里有鸡和兔子共12只，共有40条腿，求鸡有多少只，’(5)用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余4尺；把绳子四折来量，井外余1尺，求绳子的长．(6)一块长方形的场地周长为310米，长比宽长25米，求这个场地的长和宽．(7)一次劳动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又派20人支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的两倍，求支援拔草的人数．15．已知：1242,8,y x y x =-=-当x 为何值时，12(1);y y =12(2)y y 与互为相反数；(3)12 4.y y 比小16．已知22(1)(1)80m x m x -+++=是关于x 的一元一次方程，它的解为n ．(1)求代数式200()(2)35m n n m m +--+的值； (2)求关于y 的方程||m y n -=的解．17．已知22(9)(3)60m x m x ---+=是以x 为未知数的一元一次方程，如果||||,a m ≤求||||a m a m ++-的值．18．若p 、q 都是质数，以x 为未知数的方程597Px q +=的根为1，求2P q -的值．巅 峰 突 破19．已知2x =是关于x 的方程324x m -=的解，则m 的值是( ).5A .5B - .1C .1D -20.已知5是关于x 的方程340mx n +=的根，那么nm=21．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为。
一元一次方程知识点总结(供参考)
一元一次方程方程的有关概念夯实基础一．等式用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示①等式能够是数字算式，能够是公式、方程，也能够是运算律、运算法那么等，因此等式能够表示不同的意义。
②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。
如x x 2735-=+才是等式。
二．等式的性质性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
即若是b a =，那么c b c a ±=±。
性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即若是b a =，那么bc ac =；若是b a =()0≠c ，那么cbc a =。
温馨提示①等式类似天平，当天平两头放有相同质量的物体时，天平处于平稳状态。
假设在天平的两头各加（或减）相同质量的物体，那么天平仍处于平稳状态。
因此运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应专门注意“都”和“同一个”。
如31=+x ，左侧加2，右边也加2，那么有2321+=++x 。
②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。
③等式性质的延伸：a.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即若是b a =，那么a b =。
b.传递性：若是c b b a ==,，那么c a =（也叫等量代换）。
例1：用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明依照等式哪一条性质，和如何变形取得的。
（1）若是51134=-x ，那么+=534x ；（2）若是c by ax -=+，那么+-=c ax ；（3）若是4334=-t ，那么=t 。
三．方程含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示方程有两层含义：①方程必需是一个等式，即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确信的数，即未知的字母，那个字母确实是未知数。
初中方程模块第1练--一元一次方程的概念及解的性质--
方程模块—一元一次方程的概念及解的性质【知识梳理】1、一元一次方程的概念（1）一元一次方程必须满足的条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1(次）.三者缺一不可.其中“元”是指未知数，“一元”是指只含有一个未知数，“一次”是指未知数的次数是1，如213=＋x ，856=＋x 都是一元一次方程.（2）常见形式：()00≠=a b ax ＋或()0≠=a b ax .2、根据实际问题列方程一般步骤：（1）设未知数.遇到一些简单问题时，一般求什么就设什么为x .（2）分析题意，寻找等量关系.（3）把等号左右两边相等关系的量用含x 的式子表示出来，即列方程.3、方程的解与解方程（1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.（2）解方程：求方程的解的过程.4、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得的结果仍是等式.5、移项概念：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 依据：等式性质1.6、解方程——去括号当方程中含有括号时，在解方程的过程中把方程中含有的括号去掉的过程 与整式运算中去括号的过程相同.7、解方程——去分母去分母的步骤：（1）找出所有分母的最小公倍数；（2）方程两边都乘这个最小公倍数，约去分母.【夯实基础】题型一：一元二次方程的定义1、判断式子是否为一元一次方程，并说明理由.（1）6=y x －；（2）3221－－x x =；（3）43－x ；（4）12=x x ＋； （5）1=x ；（6）617=－；（7）826=＋x ；（8)11－x x =. 【答案】：（1）、（2）、（5）、（7）是一元一次方程；（3）、（4）、（6）、（8）不是一元一次方程.方法总结：一个等式是一元一次方程要满足：首先等式是整式方程，其次化简后含有一个未知数，再次未知数的指数是1.2、若()421=－＋m x m 是关于x 的一元一次方程，求m 的值.【答案】：由一元一次方程的概念可得：11=-m 且02≠+m ，解得2±=m 且2-≠m .所以m 的值为2.题型二：根据题意列方程x 支，则依题意可列得的一元一次方程为 .【答案】：若铅笔卖出x 支，则圆珠笔卖出()x -60支.依题意，知铅笔打折后的售价是8.02.1⨯元/支，圆珠笔打折后的售价是9.02⨯元/支，因此有()87609.028.02.1=-⨯+⨯x x .2、一个两位数，十位数字比个位数字小3，若将这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，则所得两位数与原两位数的和为165，求原两位数.【答案】：设原两位数的个位数字为x ，则十位数子为()3-x .根据题意，得()[]()[]165310310=-+++-x x x x .3、一艘轮船以18 km/h 的速度从甲地航行到乙地，而原路返回时速度为12 km/h ，若此次航行共用40 h ，求甲、乙两地的距离；【答案】：设甲、乙两地相距x km ，则从甲地到乙地所用时间为18x h ，返回时所用时间为12x h.根据题意，得401218=+x x . 题型三：解方程.知识点：移项1、解方程：（1）x x 2184-= （2）32141+-=x x 【答案】：（1）解：移项，得：1824=+x x .合并同类项，得：186=x .系数化为1，得：3=x . （2）解：移项，得：32141=+x x . 合并同类项，得：343=x . 系数化为1，得：4=x .知识点：去括号2、解方程：（1）()75.04=++x x （2）()()()332133422-+=---x x x【答案】：（1）解：去括号，得：724=++x x .移项，得：274-=+x x .合并同类项，得：55=x .系数化为1，得：1=x .（2）解：去括号，得：9323984-+=+--x x x .移项，得：3892394-+-=--x x x .合并同类项，得：28-=-x .系数化为1，得：41=x . 知识点3：去分母3、解方程：（1）2213-=-x x （2）163242=--+x x 【答案】：（1）解：去分母（将方程两边都乘6），得：12362-=-x x .移项、合并同类项，得：6-=-x .系数化为1，得：6=x .（2）解：去分母（将方程两边都乘12），得：()()1232223=--+x x .去括号，得：126463=+-+x x .移项，得：661243--=-x x .合并同类项，得：0=-x .系数化为1，得：0=x .题型四：解带有括号的一元一次方程的技巧解题技巧1：先添括号，再去括号1、解方程：()()13212121－－－x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 【答案】：原方程可化为：()()()1321211121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-x x x . 去括号，得：()()()13214121121-=--+-x x x 化简，得：()211125-=--x 解得：511=x本题运用了整体思想，将1－x 看成一个整体，使运算简便.解题技巧2：逆用分配律2、解方程：()()()0217888264633278=-－－－－x x x .【答案】：原方程可化为：()()()037888324633278=-⨯--⨯+-x x x逆用分配律，得：()()0378882463278=-⨯-⨯+x因为078882463278≠⨯-⨯+所以03=-x ，解得：3=x .解题技巧3：先去括号，再去分母3、解方程：x x 323781413443＋＋－=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛. 【答案】：去中括号，得：32376141x x +=+- 即：3237541x x +=+ 去分母（将方程两边都乘12），得：x x 828603+=+移项，得：602883-=-x x合并同类项，得：325-=-x系数化为1，得：532=x 解题技巧4：整体合并去括号4、解方程：()()99193131－－－－x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 【答案】：去中括号，得：()()99199131-=-+-x x x x 化简，得：032=x 系数化为1，得：0=x题型五：解带有分母的一元一次方程的技巧解题技巧1：利用分数的基本性质变形后去分母1、解方程：102.02.01.03.01.02.0＋＋－x x =. 【答案】：原方程可化为：1022312++=-x x 去分母（将方程两边都乘6），得：606324++=-x x移项、合并同类项，得：68=x点拨：当方程的分母中含有小数时，一般利用分数的基本性质先将小数化为整数，注意分子、分母要同乘适当的数.解题技巧2：移项后分组通分2、解方程：14981522097211012－＋－－＋－x x x x =. 【答案】：移项，得：20971521498211012---=---x x x x 将方程两边分别通分，得：()()()()60973244298310122---=---x x x x 化简，得：602535427x -=，即：611257=-x ， 解得：1=x题型六：构造一元一次方程求字母的值1、如果()03≠a a 的倒数与392－a 互为相反数，那么a 的值是多少？ 【答案】：由题意，得：03923=-+a a 去分母，得：()092=-+a a化简，得：93=a系数化为1，得：3=a故a 的值为3.题型七：方程的解的应用出题角度1：已知方程的解确定字母的值1、已知1－=m 是关于m 的方程n mn n －－353=的解，求n 的值.【答案】：把1-=m 代入方程n mn n -=-353，得：n n n -=+353.移项，得：353=++n n n .合并同类项，得：39=n .系数化为1，得：31=n . 故n 的值为：31. 让解“回家”：根据方程的解的定义求方程中所含字母的值时，我们先要让解“回家”，即先将解代回到方程中，得到一个关于字母的方程，再求解这个关于字母的方程，得出字母的值.出题角度2：先求方程的解，再求字母的值.2、已知方程5539＋－x x =的解与方程927=m mx －的解相同，求m 的值.【答案】：5539+=-x x ，移项，得：9553-=--x x .合并同类项，得：48-=-x .系数化为1，得：21=x . 把21=x 代入方程，得：927=-m mx ，得：92721=-m m . 合并同类项，得：93=-m .系数化为1，得：3-=m故m 的值为3-.点拨：根据两个方程的解相同，先求出只含有x 的一元一次方程的解，再将求得的解代入含有字母m 的方程中，求出m 的值.这是解此类题的基本思路.【挑战升级】题型一：求一元一次方程的整数解1、当m 取什么整数时，关于x 的方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=34213521－－x mx 的解是正整数？ 【答案】：2或3 【解析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程的应用，能求出关于m 的方程是解此题的关键.解：去分母，得：43103-=-x mx .移项，得：10433+-=-x mx .合并同类项，得：()633=-x m .当1≠m 时，将方程两边都除以()33-m ，得12-=m x . 因为x 是正整数，所以1-m 是2的正因数，即11=-m 或21=-m ，解得：2=m 或3=m . 当1=m 时，方程无解.所以m 的值是2或3.点拨：解关于字母系数的一元一次方程时，要明确哪个字母是未知数，字母系数在解方程的过程中要当成已知数来看.关于整数解的讨论，要把握数的整除特点，并灵活运用相应特点，切忌因盲目尝试而导致漏解.题型二：解含有字母系数的方程1、若4=y 是方程()m y m y －－＋538=的解，求关于x 的方程()05223=－＋－m x m 的解. 【答案】：51=x 【解析】：本题主要考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程成立的未知数的值，理解定义是关键.解：因为4=y 是方程()m y m y －－＋538=的解， 所以把4=y 代入方程()m y m y －－＋538=，得()m m -=-+45384. 解得：4=m .把4=m 代入关于x 的方程()05223=－＋－m x m ，得()0542243=-+-⨯x . 解得：51=x . 点拨：方程的解的含义就是使方程左右两边相等的未知数的值，所以可将方程的解代入方程，从而得到关于待定系数的方程.【一做就错】1、解方程：15.032.04=－－＋x x . 【易错点】：当分母是小数，化小数为整数时容易与去分母混淆【答案】：325-=x 【解析】：本题主要考查了利用分数的基本性质，等式的性质解方程. 解：把方程中各分母的小数化为整数，得15301024010=--+x x . 去分母（将方程两边都乘10），得：()()103010240105=--+x x .去括号，得：10602020050=+-+x x .移项，得：60200102050--=-x x .合并同类项，得：25030-=x .系数化为1，得：325-=x . 去分母的步骤：（1）找出所有分母的最小公倍数；（2）方程两边都要乘这个最小公倍数，约去分母.注意：（1）不含分母的项，也必须乘分母的最小公倍数，千万不能漏乘；（2）分子是一个多项式时，要先加上括号，再去分母.2、解方程：1612312－＋－x x =. 【易错点】：去分母时，不含分母的项漏乘各分母的最小公倍数或忽视分数线的括号作用. 【答案】：23-=x【解析】：本题主要考查了解一元一次方程.解：去分母（将方程两边都乘6），得()()612122-+=-x x .去括号，得：61224-+=-x x .移项，得：26124+-=-x x .合并同类项，得：32-=x .系数化为1，得：23-=x . 【思维拓展】1、解含有绝对值的一元一次方程 解方程：492143＋＋x x =. 【答案】：3=x 或2-=x .【解析】：本题主要考查了解含有绝对值的一元一次方程. 当043>+x 时，原方程可变形为：492143+=+x x . 去分母，得：9234+=+x x .移项、合并同类项，得：62=x .系数化为1，得：3=x . 当043=+x 时，原方程可变形为04921=+x . 由043=+x 解得43-=x ；由04921=+x 解得29-=x . 因为2943-≠-，所以原方程无解. 当043<+x 时，原方程可变形为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+492143x x . 去分母，得：()9234+-=+x x .去括号，得：9234--=+x x .移项、合并同类项，得：126-=x .系数化为1，得:2-=x .综上所述，原方程的解为3=x 或2-=x .本题运用分类讨论的思想解含有解绝对值符号的一元一次方程.首先要通过去掉绝对值符号把方程转化为普通的一元一次方程.但要注意，去绝对值符号时，一定要对绝对值符号内式子的取值分类进行讨论，并对所得的解进行检验，看是不是原方程的解.【专题练习】1、只列方程，不计算.（1）某数学课外小组的女同学原来占全组人数的31，后来又有4名女同学加入，女同学就占全组人数的21.设数学小组原来有x 名同学，则可列方程为 . （2）用一根长是12米的铁丝围成一个长方形，已知长比宽多1.6米，求这个长方形的长和宽.【答案】：（1）()421431+=+x x （2）()[]1226.1=⨯++x x【解析】：本题主要考查了了一元一次方程中的工程问题，和差问题.（1）根据题目中的条件，可列方程：()421431+=+x x . （2）根据题意，设长方形的宽是x 米，则长是()6.1+x 米，()[]1226.1=⨯++x x .2、解下列方程.（1） ()0585=－－x（2）()()()x x x －－－－1675233= （3）16110312=＋－＋x x （4）32765232x x x －－－－=【答案】：（1）9=x ；（2）1-=x ；（3）65-=x ；（4）2=x . 【解析】：本题主要考查了解方程的步骤及技巧. 解：（1）解：去括号，得：05405=--x ，即：0455=-x .移项，得：455=x .系数化为1，得：9=x .（2）解：去括号，得：x x x 66141093-=+--，移项，得：14966103-+=+-x x x ，合并同类项，得：1-=x .（3）解：去分母，得：()()6110122=+-+x x ，去括号，得：611024=--+x x ，移项，得：126104+-=-x x ，合并同类项，得：56=-x ，系数化为1，得：65-=x . （4）解：去分母（将方程两边都乘6），得：()()()x x x 2725323-=---， 去括号，得：x x x 414596-=+--，移项，得：591446-+=+-x x x ，合并同类项，得：189=x ，系数化为1，得：2=x .3、已知关于x 的方程0123=＋－m x 与x m 22=－的解互为相反数，试求这两个方程的解及m 的值.【答案】：4-=m ，3，3.【解析】：本题主要考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.解：0123=+-m x ，解得：312-=m x ，x m 22=-，解得：22m x -=，根据题意得：022312=-+-m m ，解得：03624=-+-m m ，解得：4-=m . 两个方程的解分别为3，3.4、若关于x 的方程()21523=－－x 与137－－=ax 同解，求331aa ＋的值. 【答案】：2.【解析】：本题主要一元一次方程的解的应用.解：解方程()21523=－－x ，得4-=x . 因为两个方程同解，所以4-=x 也是方程137－－=ax 的解. 把4-=x 代入137－－=ax 中，得1374-=--a .解得1-=a . 当1-=a 时，()()211113333-=-+-=+a a . 5、已知当2=x 时，代数式c x x ＋＋32的值是12，求2－=x 时代数式c x x ＋＋32的值.【答案】：0.【解析】：本题主要考查了方程的代入求值计算.解：因为当2=x 时，代数式c x x ++32的值是12，所以122322=+⨯+c ，解得2=c .当2-=x 时，()()02232233222=+-⨯+-=++=++x x c x x . 6、已知21=x 是方程ax x 234－＋=的解，求a a 22－的值. 【答案】：421 【解析】：本题主要考查了一元一次方程的解.解：因为21=x 是方程ax x 234－＋=的解，所以把21=x 代入该方程中，得a 2123421⨯-=+，解得23-=a . 当23-=a 时，42123223222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a a .。
第1讲一元一次方程
第1讲一元一次方程初步一、基本概念（1）字母乘字母，字母乘数字，字母乘括号，数字乘括号时，乘号“×”可以用“·”代替，也可以省略不写。
如，a×b可以写作a·b或ab。
如，a×13可以写作a·13或13a，不能写作a13。
这就是说，字母乘数字省略乘号时，数字只能写在字母的前面。
如，（x＋y）×a可以写作（x＋y）·a或（x＋y）a，也可以写作a（x＋y）。
如，（x＋y）×4可以写作（x＋y）·4或4（x＋y）。
这就是说，数字乘括号省略乘号时，数字只能写在括号的前面。
注意：①数字乘数字时，乘号不能使用“·”，也不可以省略。
②加号、减号和除号不能省略。
a中，a叫做底数，n (2)乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫作乘方。
乘方的结果叫作幂。
在na也可以读作a的n次幂。
叫作指数（次数）。
n等式的概念(3)等式的定义：表示相等关系的式子叫作等式。
等式由以下三部分组成：等式的左边、等式的右边和等号。
根据等式的组成，我们可以判断一个式子是否是等式。
以下式子都是等式：30＋20＝50 a＋b＝88 S＝π2r80－8＝72 100＋x＝980 a＝0等式有如下两个性质：性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立。
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
(4)方程的定义：含有未知数的等式叫作方程。
在方程中，通常用字母x、y、z……表示未知数。
等式和方程的关系：等式包含方程，方程是等式的部分；也就是说，方程都是等式，但等式不一定都是方程。
注意：不管是等式还是方程，都含有等号。
如，80－8＝72是等式，但不是方程，因为其中不含有未知数。
又如，100＋x＝980既是方程，又是等式，【例题1】判断下面各式是否是等式，是的画“√”，不是的画“×”。
① 13＋8x＝25 ( )② 7.9x＝2.5 ＋21 ( )③ 5x＋89－3x＋10 ( )④x＋2＜3x ( )【练习1】判断下面各式是否是方程，是的画“√”，不是的画“×”。
第9课 一元一次方程的概念及解法
第9课 一元一次方程的概念及解法知识点1 一元一次方程基本概念1.方程：含有未知数的等式叫做方程 （1）是等式；方程满足两个条件（2）含有未知数；例1.下列各式哪些是方程？①3x －2＝7；②4＋8＝12；③3x －6；④2m －3n ＝0；⑤3x 2－2x －1＝0；⑥x ＋2≠3；⑦12+x ＝5；⑧5285x -＝3x ；⑨x ＋1＞2。
解析：方程是含有未知数的等式。
②虽然是等式，但其中不含未知数；③虽然含未知数，但不是等式；⑥⑨表示不等关系。
2.一元一次方程：方程中只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
（1）只含有一个未知数；一元一次方程满足三个条件 （2）所含未知数的项的最高次数为1；（3）方程是由整式组成的；例2.下列各式哪些是一元一次方程？ ①3－1＝2；②3x －5＝10；③x ＝0；④x ＋2y ＝3；⑤x 2－2x ＋1＝0；⑥2（x －y ）＋2y ＝1；⑦11+x －11-x ＝2. 解析：①中不含未知数；④中含有两个未知数；⑤中所含未知数的项的最高次数是2；⑥中虽含有两个未知数但原方程去括号、合并同类项后可变为2x ＝1；故＝不是一元一次方程；⑦中的分母含有未知数。
3.解方程：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程叫做解方程。
方程的解：使方程的等号左右两边相等的未知数的值就是方程的解。
例3.检验下列各数是不是方程4x －3＝2x ＋3的解：（1）x ＝3；（2）x ＝－3。
解析：将未知数的值分别代入方程的左边和右边，看方程的左边和右边的值是否相等。
能使方程左右两边的值相等的就是方程的解，否则不是。
知识点2 等式的性质性质1：方程两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
即 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，结果仍相等。
即 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 如果a ＝b ，那么c a ＝cb （c ≠0）。
一元一次方程解法复习
等式性质2
运算规则
在解一元一次方程时，需要遵循等式 的性质和运算规则，对方程进行变形 和化简，从而求出未知数的值。
等式两边同时乘（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
02 求解一元一次方程方法
合并同类项法
识别同类项
将方程中的同类项识别出来，即 具有相同字母和相同字母的指数
项。
合并同类项
将识别出的同类项进行合并，简化 方程。
利润率计算
利润率是利润与成本的比值，根据已知的利润或成本计算利润率。
打折销售问题
考虑商品打折后的售价和利润，结合折扣率和成本建立方程求解。
05 错误类型及纠正策略
常见计算错误类型
符号错误
在解方程过程中，未注意负号或 正号，导致计算错误。
括号处理不当
在处理含有括号的方程时，未按 照运算顺序正确去掉括号。
02
方程中未知数的最高次数为1。
是整式方程
03
方程是整式方程，即等号两边都是整式。
方程解与根的概念
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解。
方程的根
方程的根和解实际上是同一个概 念，都是指使方程成立的未知数 的值。
等式性质及运算规则
等式性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个 数或整式，等式仍然成立。
及时总结和反思
在解题后，要及时总结和反思 自己的错误类型和原因，避免
再次犯同样的错误。
06 复习总结与提高建议
关键知识点回顾
1 2 3
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的 整式方程。
等式的性质
等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍 然成立；等式两边同时乘以（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
数学中的一元一次方程知识点
数学中的一元一次方程知识点一元一次方程是数学中的基础概念，也是初等代数中的重要内容。
它在解决实际问题和建立数学模型时起到了关键的作用。
本文将介绍一元一次方程的基本定义、性质和求解方法。
1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指一个变量的一次方程，形式通常为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数，而x是未知数。
一元一次方程的问题通常是要求解未知数的值。
2. 一元一次方程的性质一元一次方程具有以下几个性质：- 一元一次方程只有一个未知数。
- 方程中的系数和常数可以是任意实数，但未知数通常是实数。
- 方程中的系数不能同时为零，即a ≠ 0。
- 一元一次方程的解通常是唯一的，也就是只有一个解或无解。
3. 一元一次方程的求解方法解一元一次方程的常用方法有以下几种：- 原始解法：通过移项和消元的方式，将方程变形为x = 数字的形式，得到方程的解。
- 代入法：将已知的解代入方程，验证解是否满足方程的等式关系。
- 叠减法：通过两个方程相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求解未知数的值。
- 等价方程法：通过变形，将原方程转化为一个等价的方程，使得求解过程更简单。
4. 一元一次方程在实际问题中的应用一元一次方程在实际问题中有广泛的应用，比如：- 财务问题：计算投资回报率、利润分配等问题时，通常可以建立一元一次方程来求解。
- 几何问题：用一元一次方程可以计算图形的面积、周长、对角线长度等。
- 物理问题：用一元一次方程可以描述速度、加速度、力等物理量之间的关系。
总结：一元一次方程是数学中的重要概念，它帮助我们解决实际问题，建立数学模型，以及理解数学中的基本性质和求解方法。
通过掌握一元一次方程的知识，我们可以更好地理解和应用数学，提高解决问题的能力。
一元一次方程知识点总结
一元一次方程知识点总结一元一次方程是高中数学的基础内容，也是解决实际问题中常见的一种数学模型。
下面是我对一元一次方程的知识点的总结：一、一元一次方程的基本概念1. 方程的定义和基本性质：方程是由等号连接的两个代数式构成的等式，方程中含有一个未知数。
2. 一元一次方程的定义：一元一次方程是含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。
3. 方程的解：对于一元一次方程，其解就是使得方程成立的未知数的值，也即方程中满足等号两边相等的数值。
二、一元一次方程的解法1. 移项法：将方程中的项移到等号两侧，使等号两边只有未知数。
2. 合并同类项：将方程中同类项合并，使方程简化。
3. 消元法：通过加减乘除等运算来消去方程中的系数和常数，最终得到未知数的值。
三、解一元一次方程的常用方法1. 原方程法：直接将原方程逐步化简，最终解得未知数的值。
2. 换元法：引入一个新的未知数，通过替换的方式简化方程，使得方程能够更容易求解。
3. 系数比较法：将方程与其他已知的一元一次方程进行系数的比较，从而求得未知数的值。
四、解一元一次方程的步骤1. 观察方程：确定方程的类型和形式。
2. 移项：将方程中未知数的项移到等号两侧。
3. 合并同类项：对方程中的同类项进行合并。
4. 消元：通过加减乘除等运算，将方程化简为未知数的项和常数项。
5. 求解：根据简化后的方程，求得未知数的值。
6. 检验：将求得的未知数代入原方程，验证解的正确性。
7. 唯一解、无解和无数解：根据方程的求解结果，判断方程的解的情况。
五、一元一次方程的应用1. 简单的实际问题：例如，甲、乙两个数之和是10，甲比乙多2，求甲和乙分别是多少。
2. 代数表达式的求解：例如，求一个数的三倍加2等于11，求这个数是多少。
3. 几何问题的求解：例如，某直角三角形的两条直角边长度之和是10，求这两条直角边的长度。
综上所述，一元一次方程是高中数学中的重要内容，解一元一次方程是我们解决实际问题的常用方法。
一元一次方程内容概要
一元一次方程内容概要1. 方程的基本概念方程是包含一个或多个未知数的数学表达式，通过等号连接。
未知数通过运算关系与已知数结合，形成等式。
例如：3x + 5 = 10。
2. 一元一次方程的定义一元一次方程是一个只含有一个未知数（元）的方程，且该未知数的指数为1。
其一般形式为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。
3. 解一元一次方程的基本步骤（1）去分母：将方程两边都乘以适当的数，使所有项的系数都是整数。
（2）去括号：将括号展开，使方程中的项更易于操作。
（3）移项：将含未知数的项移到等式的一边，常数项移到另一边。
（4）合并同类项：将方程中相同类型的项合并。
（5）化简：简化方程，使其成为最简形式。
（6）求解：通过上述步骤，我们可以解出一元一次方程的解。
4. 移项法则在解一元一次方程时，为了使未知数单独留在等式的一侧，我们经常需要将含有未知数的项移到等式的一侧，而将常数项移到另一侧。
这一过程遵循移项法则，即当未知数从一边移到另一边时，其符号会发生变化。
5. 合并同类项法则在一元一次方程中，如果两个或多个项具有相同的变量或系数，则它们是同类项。
在解方程的过程中，为了简化方程，我们可以将这些同类项合并到一起。
合并同类项的规则是将它们的系数相加或相减。
6. 去括号法则在一元一次方程中，当括号出现在等式中时，我们需要去掉括号以简化方程。
去括号的过程遵循一定的法则：当括号前面是加号时，去掉括号后各项的符号不变；当括号前面是减号时，去掉括号后各项的符号要改变。
7. 方程的解的检验当我们解出一元一次方程后，为了确保我们得到的解是正确的，需要进行检验。
检验的方法是将解代入原方程中进行验证。
如果等式成立，则该解是正确的；否则，需要重新考虑解的过程并再次检验。
第一节 一元一次方程的基本概念(含答案)...七年级数学 学而思
第一节 一元一次方程的基本概念1．等式的概念：像m+n=n+m ，x+ 2x= 3x ，3×3+1=5×2，3x+1=5y 这样的式子，都是等式，我们可以用a=b 表示一般的等式． 注：用“=”连接的式子叫做等式，但是等式不一定表示相等关系．2．等式的类型(1)恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立．例如．3x= 3x 这样，无论字母的取值如何变化，或2=2这样，等式两边恒相等；(2)条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．例如，2x =2这样，只有当x=l 时等式两边才相等；(3)矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立，例如，x-2= x+2这样，无论字母取什么值，或者2=3这样，等式两边恒不相等．3．等式的性质(1)等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果,b a =那么;c b c a ±=±(2)等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果b a =那么.bc ac =如果),0(=/=c b a 那么⋅=cb c a (3)对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即：如果a=b ．那么b=a ；(4)传递性：如果a=b ，b=c ，那么a=c ．4．方程的定义含有未知数的等式叫做方程，注：方程是等式，但是等式不一定是方程．5．方程中的已知数和未知数已知数指具体的数值，未知数指要求的数，通常未知数用z ，y ，z 来表示，例如，方程x+3= y-1，其中3和1指的是已知数，x 和y 指的是未知数．6．方程的解和解方程使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．例如，x=2是方程3-x=1的解，而求出x=2的过程叫做解方程．注：①方程的解一定要写成x=2这样的形式，2=x 不是方程的解的形式；②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解．7．方程解的检验要验证某个数是否为一个方程的解，只需将该数代入这个方程中．若此时方程左右两边数值相等，则这个数为方程的解，否则不是方程的解．8．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，注：“元”指的是未知数，“次”指的是未知数项的最高次数．9．最简形式方程b a a b ax ,,0=/=（均为已知数）的形式叫做一元一次方程的最简形式．10．标准形式方程b a a b ax ,,00=/=+（均为已知数）的形式叫做一元一次方程的标准形式注：①一元一次方程均可转化成最简形式或标准形式，在判断一个方程是否为一元一次方程时需要先根据方程的原始形式判断该方程是否为整式方程，如果是整式方程则进行整理化简．若能进一步整理为最简形式或标准形式则该方程为一元一次方程；②一元一次方程一般情况下有唯一解．绝对值符号里有字母的方程不是一元一次方程．(1)在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行 即：同时加或者减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边；(2)若题目条件中给出分式形式，则默认为分母不为零．如“若b c b a = 则c a =是正确的，这里条件中已经出现分式形式，因此默认;0=/b(3)若题目结论中出现分式形式，则需要说明分母不为零，如“若,c a =,b c b a =不正确，而“若,c a =则,),0(=/=b bc b a 正确； (4)注意比较“若,cb ab =则,c a =和“若),1()1(22+=+b c b a 则,c a =前者为错误的说法，后者为正确的说法．这两个判断题从条件到结论的变化，均需同时除以一个数，这里需要我们注意，同时除以的这个数不能为0．前者b 可能为零，但是后者+2b .01=/2．判定一元一次方程的方法(1)看一看：先判定方程是否为整式方程，即等号两边是否为整式，如果是整式则进行化简，若不是整式，则该方程一定不是一元一次方程；(2)消一消：若方程是整式方程，则对方程进行整理化简，如果能化成一元一次方程的最简形式或者是标准形式则为一元一次方程，否则不是一元一次方程．3．已知方程的解，求参数值逢解必代入 ．如果题目中告诉方程的解，解题时一般情况下均需要把方程的解代入原方程，4．求含参一元一次方程中的参数值此时考查了一元一次方程的“110定律”．何为“110定律”？“1”指一元即方程中只含有一个未知数，另一个“1”指一次即未知数项的次数为1，“0”指未知数的系数不为0．求解参数值时，只需按照“110”定律，列方程求参数值即可，例1．（广东中考）已知方程,832=+-y x 则整式y x 2-的值为( )5.A 10.B 12.C 15.D检测1．已知,2,3+=-=k y k x 则y 与x 的关系是( )5.=+y x A 1.=+y x B 1.=-y x C 1.-=x y D例2．下列方程：;33x x =-①;15.0=x ②;34=-x x ③;433x x -=④;13-=+x y ⑤;324222-+=-x x x x ⑥ ;1271x x x x +=-+⑦.37||=-x ⑧其中是一元一次方程的是检测2．在方程,23=-y x ,021=-+x x ,2121=x 0322=--x x 中一元一次方程的个数为( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例3．（福建泉港期末）已知x=2是关于x 的方程03=+a x 的一个解，则a 的值是( )6.-A 3.-B 4.-C 5.-D检测3．（福建石狮市期末）下列方程中解为x=0的是( )11.-=+x A x x B 32.= 22.=x C x x D 5421.=++例4．已知方程m m x m x m 24)35()43(2-=----是关于x 的一元一次方程．(1)求m 和x 的值；(2)若n 满足关系式,1|2|=+m n 求n 的值，检测4．（四川自贡期末）若6)2(|32|=--m x m 是一元一次方程，则m 等于( )A ．1B ．2 C.1或2 D ．任何数第一节 一元一次方程的基本概念（建议用时: 25分钟）实战演练1．（山东沂源一模）下列各项中叙述正确的是( )A ．若,nx mx =则n m =B ．若,0||=-x x 则0=xC ．若,nx mx =则121220152015+=+x n x m D ．若,n m =则nx mx -=-24242．下列叙述中，正确的是( )A.方程是含有未知数的式子B.方程是等式C.只有含有字母x ，y 的等式才叫方程D.带等号和字母的式子叫方程3．在以下的式子中：;383=+x ;12x -;3=-y x ;121+=+x x ;1032=x ,752=+其中是方程的个数为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D4．下列方程的解是x=2的方程是( ) 084.=+x A 03231.=+-x B 232.=x C 531.=-x D 5．方程024=-x 的解是( )2.=x A 2.-=x B 21.=x C 21.-=x D 6．已知1=x 是方程12-=+a x 的解，那么a 的值是( )1.-A 0.B 1.C2.D7．在下列方程中;122=+x x ①;931=-x x ②;021=x ③;322313=-④,3132+=-y y ⑤是一元一次方程的有( )个．1.A2.B3.C4.D8．（山东威海期末）若关于x 的方程032=+--m mx m 是一元一次方程，则这个方程的解是( )0.=x A 3.=x B 3.-=x C 2.=x D9．（江西校级期末）在等式6253+=-a a 的两边同时减去一个多项式可以得到等式,1=a 则这个多项式是10.将方程634=+y x 变形成用y 的代数式表示x ，则x=11．（河南扶沟期末）阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么?.1)1(31)1(2--=--x x 两边同时加上1，得),1(3)1(2-=-x x 第一步，两边同时除以),1(-x 得2=3，第二步．12．（重庆忠县期末）已知,43143n m =-试用等式的性质比较m 与n 的大小． 13．（重庆忠县期末）已知方程)()32()(3y x m m y y m x -=--+-是关于x 的一元一次方程，求m 的值，并求此时方程的解．14．（重庆忠县期末）已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式xm 的值． 15.已知08)2()4(22=----x n x n 是关于x 的一元一次方程，(1)试求x 值；(2)求关于y 方程x y n =+||的解．拓展创新16．已知201611)2016(2015||-=++-a x a a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值及方程的解．拓展1．已知2016)2016(2015||-=++-a y x a a 为一元一次方程，其中a 为参数，求a 的值及方程的解，拓展2．已知b a y b x a b a +=+++--2015||2015||)2016()2016(为一元一次方程，其中a ，b 为参数，求a+b 的值．极限挑战17.若p ，q 都是质数，以x 为未知数的方程975=+q Px 的根为1，求q P -2的值．课堂答案培优答案。
一元一次方程的性质
未知数的最高次数为1
方程中未知数的指数必须为1，不能 有其他指数。
方程解与根的概念
解的定义
使方程左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解。
根的定义
方程的解也叫做方程的根，两者是 等价的。
解与根的关系
对于一元一次方程，其解或根是唯 一的，且满足方程的约束条件。
线性方程与非线性方程区分
01
02
03
线性方程
将已知的未知数的值代入原方程，从而求出另一个未知数的值
例如，解方程组 $left{ begin{array}{l} x + y = 5 x = 2 end{array} right.$，将 $x = 2$ 代入第一个方程，可得 $y = 3$
03 方程解的存在性与唯一性
解的存在性定理
对于一元一次方程 ax + b = 0 (a ≠ 0)，若 a 和 b 是已知数， 且 a ≠ 0，则该方程一定有解。
直接求解法
适用于简单的一元一 次方程，如 $ax + b = 0$（$a neq 0$）
例如，解方程 $2x + 5 = 0$，可得 $x = -frac{5}{2}$
通过移项和化简，直 接求出未知数的值
消元法
适用于包含两个或两个以上未知数的一 元一次方程组
通过将两个方程相加或相减，消去其中 一个未知数，从而得到另一个未知数的
相遇与追及问题
根据两物体相对运动的速度和距离关系建立方程，如相遇时两物体走过的总路程 等于两地距离，追及时快者走过的路程减去慢者走过的路程等于两者相距的路程 。
工程问题建模与求解
工作量问题
根据工作效率、工作时间和工作量之间的关系建立方程，如 $W = Pt$，其中 $W$ 为工作量，$P$ 为工 作效率（单位时间内完成的工作量），$t$ 为工作时间。
一元一次方程知识点总结
一元一次方程知识点总结一、一元一次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一元一次方程的一般形式是ax + b=0(a≠0)，其中x是未知数，a是未知数的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一个一元一次方程，这里a = 2，b=3。
2. 方程的解- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如方程x+1 = 3，当x = 2时，方程左边=2 + 1=3，方程右边=3，所以x = 2就是方程x + 1=3的解。
二、一元一次方程的解法1. 移项- 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
例如在方程2x+3 = 5x - 1中，为了求解x，我们把5x移到左边变为-5x，把3移到右边变为-3，得到2x-5x=-1 - 3。
- 移项的依据是等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
2. 合并同类项- 在移项后，我们需要对同类项进行合并。
例如在2x-5x=-1 - 3中，2x-5x=-3x，-1-3 = -4，方程就变为-3x=-4。
3. 系数化为1- 方程两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为1，从而得到方程的解。
在方程-3x=-4中，两边同时除以-3，得到x=(4)/(3)。
这一步的依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立。
三、一元一次方程的应用1. 列方程解应用题的一般步骤- 审：审题，理解题意，找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的关系。
- 设：设未知数，一般有直接设元和间接设元两种方法。
例如，若要求某个数，可直接设这个数为x；若通过某个数与其他数的关系来求解，可间接设与这个数有关的量为x。
- 列：根据题目中的等量关系列出方程。
- 解：解这个方程，求出未知数的值。
- 验：检验方程的解是否符合题意，包括是否满足方程本身以及实际问题中的条件。
一元一次方程的定义和解
一、方程的有关概念
1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
二、等式的性质
等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c
(2)等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=bc
三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
四、去括号法则
1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．
五、解方程的一般步骤
1、去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2、去括号(按去括号法则和分配律)
3、移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)
4、合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=ba).
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7年级上册数学一元一次方程
7年级上册数学一元一次方程一、一元一次方程的基本概念一元一次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为1的方程。
它通常可以表示为：ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
二、一元一次方程的标准形式与转化标准形式：ax = b (其中a ≠ 0)转化：我们可以把一元一次方程转换为标准形式来解方程。
例如，方程2x + 3 = 5可以转换为2x = 2，这是一个标准形式的一元一次方程。
三、解一元一次方程的基本步骤1.去分母：如果方程中含有分数，我们首先去掉分母。
2.移项：将含有x的项移到等式的左边，常数项移到等式的右边。
3.化简：合并同类项来化简方程。
4.求解：对方程进行求解。
5.检验：检验求解后的答案是否满足原方程。
四、合并同类项与移项合并同类项是指将具有相同字母因子的项合并在一起。
例如，在方程3x + 2x = 5中，3x和2x是同类项，它们相加得到5x。
移项是指将方程中的某一项从等式的一边移动到另一边。
在移项时，我们要注意改变该项的符号。
例如，在方程3x + 5 = 0中，将5移到等式的另一边得到3x = -5。
五、去括号法则当我们需要去掉方程中的括号时，我们使用去括号法则。
具体来说，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号内的各项符号不变；如果括号前面是减号，那么去掉括号后，括号内的各项符号要改变。
例如，对于方程3(2x + 5) = 7，去括号后得到6x + 15 = 7。
六、一元一次方程的解法应用一元一次方程在日常生活中的应用非常广泛。
例如，我们可以使用一元一次方程来解决购物时找零钱的问题，或者计算两个地点之间的距离等等。
解一元一次方程需要掌握上述的基本步骤和方法，同时也要注意灵活运用这些方法来解决实际问题。
七、实际问题中的一元一次方程在实际生活中，我们经常需要解决一些与一元一次方程相关的问题。
例如，在购物时需要计算找零钱的问题；在计算两个地点之间的距离时；在计算时间、速度和距离之间的关系时等等。
一元一次方程及其解的概念
对于一元一次方程组的求解，可以利用消元法或代入法等方法进行求解。在求解过 程中，要注意保持等式的等价性，避免引入额外的解或丢失原有的解。
04 图形化表示与直观理解
数轴上表示一元一次方程解
问题等。
尝试构造一些一元一次方程， 并求解。
探究一元一次方程与不等式、 函数等数学知识之间的联系。
了解二元一次方程组在实际生 活中的应用，并尝试求解一些
简单的二元一次方程组。
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引入参数进行代换
对于某些复杂的分数形式问题，可以引入参数进行代换，将问题转 化为更易于求解的形式。
复杂表达式简化技巧
合并同类项
对于方程中的同类项进行合并，使方程的形式更 加简洁。
移项与变形
通过移项和变形技巧，将方程转化为标准形式或 更易于求解的形式。
利用公式进行化简
对于一些特殊的表达式，如平方差公式、完全平 方公式等，可以利用这些公式进行化简。
合并同类项的定义
合并同类项的应用场景
将方程中具有相同未知数的项进行合 并，以简化方程的形式。
在解一元一次方程时，通过合并同类 项可以快速简化方程，提高求解效率。
合并同类项的方法
识别方程中的同类项，将它们的系数 进行加减运算，得到一个更简单的方 程。
系数化为1求解技巧分享
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系数化为1的定义
通过对方程两边进行相同的运算，使得未知数的 系数为1，从而直接求出未知数的值。
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值。
移项法则
将等式一边的某项变号后移到另一边。
一元一次方程的概念公开
总结词
将方程中的某一项从一边移到另一边，以简化方程。
详细描述
移项法则是解一元一次方程的基本方法之一，通过将方程中的某一项从等式的左 边移到右边，或者从右边移到左边，可以使得方程变得更简单，更易于求解。
合并同类项法则
总结词
将方程中相同类型的项合并在一起， 以简化方程。
详细描述
合并同类项法则是解一元一次方程的 基本方法之一，通过将方程中相同类 型的项合并在一起，可以使得方程变 得更简单，更易于求解。
效率。
了解生活中的一元一次方程应用 场景，有助于更好地理解和掌握
一元一次方程。
数学建模中的一元一次方程应用
一元一次方程是数学建模的基础，通过建立一元一次方程可以描述和解 决许多实际问题。
在物理、化学、生物等学科中，一元一次方程被广泛应用于描述和解决 实际问题。
掌握一元一次方程在数学建模中的应用，有助于提高解决实际问题的能 力。
标准形式在一元一次方程中的应用
标准形式在一元一次方程中非常重要，因为它简化了方程的形式，使得解法更加简 单明了。
通过将一元一次方程化为标准形式，我们可以更容易地找到未知数的值，从而解决 问题。
标准形式也使得我们可以使用代数方法来求解一元一次方程，例如移项、合并同类 项等。
03
一元一次方程的解法
移项法则
掌握代数运算的规则和技巧，对于求 解一元一次方程非常重要。
一元一次方程的解法包括移项、合并 同类项、化简等步骤，这些步骤都需 要用到代数运算。
生活中的一元一次方程应用
一元一次方程在生活中有着广泛 的应用，例如购物时计算折扣、
计算时间、速度和距离等。
通过建立一元一次方程，可以解 决生活中的实际问题，提高生活
一元一次方程的基本概念和性质
第三章一元一次方程第一节一元一次方程的基赋性质1、方程的相干概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程.（2）方程的已知数和未知数,例1（3）方程的解：使方程左.右双方的式子相等的未知数的值叫做方程的解.（4）解方程：求方程的解的进程叫做解方程.（5）方程解的磨练2、一元一次方程的界说（1）一元一次方程的概念只含有一个未知数,未知数的最高次数是1,如许的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的情势尺度情势：ax+b=0（个中a不等于0,a,b是已知数）.最简情势：ax=b（个中a不等于0,a,b是已知数）.注：一元一次方程的断定尺度（起首化简为尺度情势或最简情势）A.只含有一个未知数（系数不为0）.B.未知数的最高次数为1.C.方程是整式方程.3、等式的概念和性质（1）等式的概念：用“=”来暗示相等关系的式子,叫做等式.（2）等式的性质等式性质1：等式双方同时加上或者减去统一个数或统一个式子,所得成果仍是等式等式性质2：等式双方同时乘以或者除以统一个数或者统一个式子（除数不克不及是0）,所得成果仍是等式.（3）等式的其他性质A.对称性：若a=b,则b=aB.传递性：若a=b,b=c 则a=c例1.断定下列各式是不是方程,假如是,指出已知数和未知数（1）x x =-95 （2）x y 322=- （3）1152+x（4）211-=-- （5）x x -=-24 （6）125=-x x演习题： 断定下列各式是不是方程,假如是,指出已知数和未知数1、3+x 2.1432+=+ 3.x x +=+44 4.21=x 5.312=++x x6、32=x 7.x x -=-44 8.3)2(2++=+x x x x例2.依据题意列出方程：(1)x 的20%与15的差的一半等于—2.（2）x 的3倍比x 的一半多15,求这个数.（3）某数的3倍与2的差等于16,求这个数.（4）笼子里有鸡和兔子共12只,共40条腿,求鸡有几只. 演习题：（1）用绳索量井深,把绳索三折来量,井外余4尺;把绳索四折来量,井外余1尺.求绳索的长.（2）一块长方形的场地周长为310米,长比宽长25米,求这个场地的长和宽.（3）一次劳动中,先安插31人去拔草,18人去植树,后又派20人增援他们,成果拔草的人数是植草的人数的两倍,求增援拔草的人数.例3.已知031=+-m x 是关于x 的一元一次方程,求m 的值演习题：关于x 的方程()521=--m x m 是病院一次方程,求m 的值。
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第三章 一元一次方程
第一节 一元一次方程的基本性质
1、方程的相关概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。
（2）方程的已知数和未知数，例1
（3）方程的解：使方程左、右两边的式子相等的未知数的值叫做方程的解。
（4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
（5）方程解的检验
2、一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的概念
只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的形式
标准形式：ax+b=0（其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。
最简形式：ax=b （其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。
注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式）
A 、只含有一个未知数（系数不为0）.
B 、未知数的最高次数为1.
C 、方程是整式方程.
3、等式的概念和性质
（1）等式的概念：用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。
（2）等式的性质
等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式
等式性质2：等式两边同时乘以或者除以同一个数或者同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式。
（3）等式的其他性质
A 、对称性：若a=b ，则b=a
B 、传递性：若a=b ，b=c 则a=c
例1、判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数
（1）x x =-95 （2）x y 322=- （3）1152+x
（4）211-=-- （5）x x -=-24 （6）12
5=-x x
练习题： 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数
1、3+x
2、1432+=+
3、x x +=+44
4、21=x
5、312=++x x
6、32=x
7、x x -=-44
8、3)2(2++=+x x x x
例2、根据题意列出方程：
(1)x 的20%与15的差的一半等于—2。
（2）x 的3倍比x 的一半多15，求这个数。
（3）某数的3倍与2的差等于16，求这个数。
（4）笼子里有鸡和兔子共12只，共40条腿，求鸡有几只。
练习题：
（1）用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余4尺；把绳子四折来量，井外余1尺。
求绳子的长。
（2）一块长方形的场地周长为310米，长比宽长25米，求这个场地的长和宽。
（3）一次劳动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又派20人支援他们，结果拔草的人数是植草的人数的两倍，求支援拔草的人数。
例3、已知031=+-m x
是关于x 的一元一次方程，求m 的值
练习题：关于x 的方程()521=--m x m 是医院一次方程，求m 的值。