图论及其应用PPT课件
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-19-
图论及其应用第一章 主要参考书
[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph Theory with Applications, 1976 （GTM244, 2008）。 [2] B. Bollobas, Modern Graph Theory (现代图论)，科学 出版社，2001。 [3] 王树禾，图论，科学出版社，2004。 [4] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。 [5] 徐俊明，图论及其应用，中国科技大学出版社，1998。
-18-
图论及其应用第一章
欧拉图与哈密尔顿图 欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问 题。 独立集、覆盖集与团 点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念。 图的着色问题 点着色；边着色；平面图；四色猜想。 网络流理论 有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割 定理；求最大流的标号算法；网络流理论的应用。
-12-
图论及其应用第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
-25-
图论及其应用第一章
例2
G = (V, E) ，其中 V (G ) { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }
E ( G ) { v 1 , v 2 ) ( v ( 2 , v 3 ) , ( v 3 , v 4 ) , ( v 3 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 5 , v 5 ) , }
-28-
图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
-29-
图论及其应用第一章
e7
此时，V (G ) {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }
v2
E ( G ) { e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 }
e1
G 定义为
v1
e3
G ( e 1 ) v 1 v 2 ,G ( e 2 ) v 2 v 3
e4
G ( e 3 ) v 3 v 1 ,G ( e 4 ) v 1 v 4
这便定义出一个图。
注：由于表示顶点的平 面点的位置的任意性， 同一个图可以画出形状 迥异的很多图示。 例2中图的另一个 图示：
-26-
图论及其应用第一章 图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，
我们总是画出它的一个图示来表示。 阅读书P.2-3页，理解平面图和非平面图，并且
完成课后习题1.1.2。
-11-
图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
-20-
图论及其应用第一章
第一章 图和子图
1.1 图和简单图 1.2 子图 1.3 图的同构 1.4 顶点的度 1.5 路、圈和连通 1.6 关联矩阵和邻接矩阵 1.7 应用： 最短路问题
-21-
图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
-22-
图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V(G), E(G), G)， 其中V(G) 是非空的顶点集， E(G)是不与V(G)相交的边集，
均对Ramsey理论有杰出贡献
-13-
图论及其应用第一章
-14-
图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
-15-
图论及其应用第一章
婚姻匹配
某村里有n 个男士与n 个女士，每个男士恰 好认识 r 个女士，每个女士也恰好认识 r 个男士，
问：在这个村中，能否做到：每个男士与其 认识的女士结婚，每个女士也恰好与其 认识的男士结婚。
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用背 景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计算 机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。
首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
-3-
图论及其应用第一章
中国邮递员问题
1962年中国数学家管梅谷提出图论中的“中国邮递员问 题”。 问题：一个邮递员从街区的某一点出发，经过街区每条街 道至少一次又回到原出发点，如何设计投递路线，使总路 程最短？
-4-
图论及其应用第一章 Hamilton问题
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计 了一个名为周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十 个端点表示世界上的二十座大城市（见图），提出的问题 是要求游戏者找一条沿着十二面体的棱通过每个端点恰好 一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个给定的图是 否存在一条含所有顶点的回路。
-27-
图论及其应用第一章
一些概念和术语： （1） 点与边的关联(incident) （2） 点与点的相邻(adjacent) （3） 边与边的相邻 （4）（自）环(loop)、连杆(link) （5）重边(parallel edge) （6）简单图(simple graph) （7）有限图(finite graph) （8）平凡图(trivial graph)和非平凡图 （9）空图(empty graph)和零图（null graph) （10）图的顶点数（图的阶order） 、边数(size)
值是个公开的难题。
-9-
图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
-10-
图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
-8-
图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
-6-
图论及其应用第一章
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大 家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
-16-
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图论 极值图论
以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
-17-
图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
-7-
图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
α :V (G) → V (H) ，β : E(G) → E(H) ，
图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥问 题。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
-2-
图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
wenku.baidu.com
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
使得对任意e = (u,v) ∈ E(G) ，都有(α (u),α (v)) ∈ E(H) 且β (e) = (α (u),α (v)) ，则称图G 与H 同构。记为G ≅ H。
-5-
图论及其应用第一章
四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
G
而Ψ 是关联函数，它使G的每条边对应于G 的无序顶点对。
若e是一条边，而u和v是使得 G(e)uv的顶点，则称 e
连接 u 和 v ；顶点 u 和 v 称为 e 的端点。
图graph， 顶点vertex，边edge
-23-
图论及其应用第一章
例 1 G { V ( G )E ,( G ),G )
以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机 分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 • 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证 明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝 非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《 The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个 字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外， 还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇 刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与 广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。
v4
G ( e 5 ) v 3 v 4 , G ( e 6 ) v 3 v 4 , G ( e 7 ) v 2 v 2 .
这便定义出一个图。
e2
v3 e5 e6
-24-
图论及其应用第一章 图的图形表示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边 可用平面上的线段来表示（直的或曲的），而边仅在 端点处相交， 这样画出的平面图形称为图的图形表示。
图论及其应用第一章 主要参考书
[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph Theory with Applications, 1976 （GTM244, 2008）。 [2] B. Bollobas, Modern Graph Theory (现代图论)，科学 出版社，2001。 [3] 王树禾，图论，科学出版社，2004。 [4] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。 [5] 徐俊明，图论及其应用，中国科技大学出版社，1998。
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图论及其应用第一章
欧拉图与哈密尔顿图 欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问 题。 独立集、覆盖集与团 点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念。 图的着色问题 点着色；边着色；平面图；四色猜想。 网络流理论 有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割 定理；求最大流的标号算法；网络流理论的应用。
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图论及其应用第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
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图论及其应用第一章
例2
G = (V, E) ，其中 V (G ) { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }
E ( G ) { v 1 , v 2 ) ( v ( 2 , v 3 ) , ( v 3 , v 4 ) , ( v 3 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 5 , v 5 ) , }
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图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
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图论及其应用第一章
e7
此时，V (G ) {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }
v2
E ( G ) { e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 }
e1
G 定义为
v1
e3
G ( e 1 ) v 1 v 2 ,G ( e 2 ) v 2 v 3
e4
G ( e 3 ) v 3 v 1 ,G ( e 4 ) v 1 v 4
这便定义出一个图。
注：由于表示顶点的平 面点的位置的任意性， 同一个图可以画出形状 迥异的很多图示。 例2中图的另一个 图示：
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图论及其应用第一章 图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，
我们总是画出它的一个图示来表示。 阅读书P.2-3页，理解平面图和非平面图，并且
完成课后习题1.1.2。
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图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
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图论及其应用第一章
第一章 图和子图
1.1 图和简单图 1.2 子图 1.3 图的同构 1.4 顶点的度 1.5 路、圈和连通 1.6 关联矩阵和邻接矩阵 1.7 应用： 最短路问题
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图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
-22-
图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V(G), E(G), G)， 其中V(G) 是非空的顶点集， E(G)是不与V(G)相交的边集，
均对Ramsey理论有杰出贡献
-13-
图论及其应用第一章
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图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
-15-
图论及其应用第一章
婚姻匹配
某村里有n 个男士与n 个女士，每个男士恰 好认识 r 个女士，每个女士也恰好认识 r 个男士，
问：在这个村中，能否做到：每个男士与其 认识的女士结婚，每个女士也恰好与其 认识的男士结婚。
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用背 景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计算 机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。
首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
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图论及其应用第一章
中国邮递员问题
1962年中国数学家管梅谷提出图论中的“中国邮递员问 题”。 问题：一个邮递员从街区的某一点出发，经过街区每条街 道至少一次又回到原出发点，如何设计投递路线，使总路 程最短？
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图论及其应用第一章 Hamilton问题
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计 了一个名为周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十 个端点表示世界上的二十座大城市（见图），提出的问题 是要求游戏者找一条沿着十二面体的棱通过每个端点恰好 一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个给定的图是 否存在一条含所有顶点的回路。
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图论及其应用第一章
一些概念和术语： （1） 点与边的关联(incident) （2） 点与点的相邻(adjacent) （3） 边与边的相邻 （4）（自）环(loop)、连杆(link) （5）重边(parallel edge) （6）简单图(simple graph) （7）有限图(finite graph) （8）平凡图(trivial graph)和非平凡图 （9）空图(empty graph)和零图（null graph) （10）图的顶点数（图的阶order） 、边数(size)
值是个公开的难题。
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图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
-10-
图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
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图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
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图论及其应用第一章
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大 家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
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图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图论 极值图论
以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
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图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
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图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
α :V (G) → V (H) ，β : E(G) → E(H) ，
图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥问 题。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
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图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
wenku.baidu.com
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
使得对任意e = (u,v) ∈ E(G) ，都有(α (u),α (v)) ∈ E(H) 且β (e) = (α (u),α (v)) ，则称图G 与H 同构。记为G ≅ H。
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图论及其应用第一章
四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
G
而Ψ 是关联函数，它使G的每条边对应于G 的无序顶点对。
若e是一条边，而u和v是使得 G(e)uv的顶点，则称 e
连接 u 和 v ；顶点 u 和 v 称为 e 的端点。
图graph， 顶点vertex，边edge
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图论及其应用第一章
例 1 G { V ( G )E ,( G ),G )
以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机 分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 • 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证 明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝 非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《 The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个 字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外， 还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇 刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与 广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。
v4
G ( e 5 ) v 3 v 4 , G ( e 6 ) v 3 v 4 , G ( e 7 ) v 2 v 2 .
这便定义出一个图。
e2
v3 e5 e6
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图论及其应用第一章 图的图形表示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边 可用平面上的线段来表示（直的或曲的），而边仅在 端点处相交， 这样画出的平面图形称为图的图形表示。