图论及其应用PPT课件
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图论及其应用
χ（G）表示。若χ（G）=k，就称G是k-点可 色图。
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论及其应用(25)
u
N (u ) k 1
u
N (u)
12
设п 是G的k着色方案，因为 u N (u ) k 1 ，所以， 在п 下，至少有一种颜色u及其邻域均没有用到，设该色 为m,改变u的颜色为m,其余点的着色不变，这样得到G的k 着色方案п 1.显然，п 与п 1导出的G的顶点划分不同，这 与G是唯一可着色图矛盾。 (2) 若不然，则存在G的k着色方案п 和G的两个色组C1 与C2,使得H=G[C1∪C2]不连通。设H1与H2是H的两个分支。 因为G是唯一可着色图，所以，对任意点u和其邻域 N(u), 它们在п 下，必然用完了k种颜色，否则，由(1)的 证明，得到G是非唯一可着色图。 这样，H1与H2中同时含有C1和C2中的顶点。
由于 H 也是某偶图的补，所以只需要证明 (G) cl (G)
25
证明：在 G 的正常着色方案下，每个色组对应G的一 (G ) 应该是G的最小点覆盖中包含 个顶点或者K2。这样， 的点数和边数。由补充定理：它等于G中最大独立集包含 的顶点数，即等于 G 的团数。所以有：
10
(2) 对于G2来说，G2的任意3正常着色方案导出的顶点 划分均是｛｛v1｝, ｛v2，v4｝｛v3,v5｝｝，所以，G2是 唯一3可着色图；例如：
v1 v2 v3 G2 v5 v2 v3 G2 v1 v5 v2 v3 v1 v5
v4
v4
v4
G2
(3) 对于G3来说，G3不是唯一3可着色图；因为：
设Hi=G[Vi∪｛v｝], (1≦i≦r)。则Hi是k-1可正常点着色 的，现对每个Hi进行k-1正常点着色，且v都分配同一种颜色， 那么，将着色后的Hi合在一起，得到G的k-1正常点着色方 案，这与G是k色图矛盾。所以临界图没有割点。
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
图论及应用课件-欧拉图与中国邮路问题
解：
d
f
h
a
b
c
e
g
i
j
图G
例4 某博物馆的一层布置如下图，其中边代表走廊， 结点e是入口，结点g是礼品店，通过g我们可以离开博物 馆。请找出从博物馆e进入，经过每个走廊恰好一次，最 后从g处离开的路线。
d
j
b a
h
i
e
g
c
f
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、Fleury算法
该算法解决了在欧拉图中求出一条具体欧拉环游的方 法。方法是尽可能避割边行走。
1、 算法 (1)、 任意选择一个顶点v0,置w0=v0;
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方 法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:
问题 某地区的双车道公路如图1的图G（单 位是千米），路上积满了雪 。一辆扫雪车从
v1点出发，扫除公路上的所有积雪，最后回 到v1 。
要求1） 请你为扫雪车选择一条路径，使它 经过的总路程最短。
要求2） 现在先进的喷气扫雪车只需沿公 路一侧行驶，就能清除两个车道的积雪。如
v1
4 v2 2
v3
1
v7
2 9
v8
5 3
1
v4
1
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
范更华-图论及其应用
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
图论及其应用
Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点 每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中 这条边的端点 删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚 举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后 删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机， 他从一个点出发，最后偷完之后需要到一 个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图 来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测 试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下 来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相 邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出 图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次 询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短 路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点 和终点，用通过中间点的最短路径更新起 点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序
图论及其应用(14)
引理1 对于1≦m<n/2的图Cm,n是非H图。 证明：取S=V(km),则ω (G-S)=m+1>|S|=m,所以， 由H图的性质知，G是非H图。
4、度极大非H图的特征
3
定理1 (Chvá tal,1972) 若G是n≧3的非H单图，则G度弱于某个Cm,n图。 证明： 设G是度序列为 (d1,d2,…,dn)的非H单图， 且d1≦d2≦…≦dn,n≧3。
5
(3) 如果n阶单图G度优于于所有的Cm,n图族，则 G是H图。
例如：
G
G的度序列是(2,3,3,4,4),优于C1,5的度序列 (1,3,3,3,4)和C2,5的度序列 (2,2,2,4,4)。所以可以断 定G是H图。 推论 设G是n阶单图。若n≧3且
n 1 E (G) 1 2
(1) 证明：若G是H连通图且n≧4,则
1 m (3n 1) 2
(2) 对于n≧4,构造一个H连通图G,使得：
1 m (3n 1) 2
证明： (1) 可以证明，δ
1 m (3 n 1) (G)≧3.于是有： 2
事实上,若存在v，有d(v)=2,设v1与v2分别是v的两个 邻接点，则由n≧4知，不存在v1为起点v2为终点的H 路，与条件矛盾。 13
由度序列判定法：存在m<n/2,使得dm≦m,且dn-m<n-m. 于是，G的度序列必弱于如下序列：
m n 2 m m
(m, m,..., m , n m 1, n m 1,..., n m 1, n 1, n 1,..., n 1
而上面序列正好是图Cm,n的度序列。
注： (1) 定理1刻画了非H单图的特征：Cm,n图族中 每个图都是某个n阶非H单图的极图。 4
图论及其应用第3章
(G)
则G 是 k 连通的。
nk 2 2
证明 任意删去G中k-1个点，记所得之图为H，则 δ(H)≥δ(G)-(k-1) ≥ 因δ(H)是整数, 故
(H )
n k n k 1 2 2
nk 2 2- k+1
=
nk 2
情况2 情况1的反面。 设S是H的一个κ(H) 顶点割，于是|S|≤k-1。若G-S不连 通，则κ(G)≤κ(H)≤k-1。若G-S连通，因H-S不连通，故e 是G-S的割边。此时若G-S恰含两个点，则 |V(G)| = |S| +2，于是
λ(G) = k ,κ(H)≤k-1,|S|≤k-1
κ(G)≤|V(G)|-1= | S | +1≤k 若G-S至少含3个点，则G-S有1顶点割 {v}，于是S∪{v} 是 G的顶点割，从而 κ(G)≤| S∪{v}|≤k 所以总有 κ(G)≤k=λ(G) 例 满足 κ(G) < λ(G) < δ(G) 的图: 该图
定理3 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割点当且 仅当V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1， y∈V2，点v都在每一条 (x, y) 路上。
证明 必要性 因v是G的割点，故G-v至少含两个连通分支， 设V1是其中一个连通分支的顶点集，V2为其余分支的顶点 集。对x∈V1，y∈V2，因在G-v中x与y不连通，而在G中x与 y连通（因 G连通）所以v在每一条 (x, y) 路上。
G2 ：删去任意一条边后仍连通，
但删去点u后便不连通；
G3
G4
G3和G4删去任意一条边或任意一个点后仍连通，但从直观上 看G4的连通程度比G3高。那么如何来衡量一个图的连通程度 呢？
则G 是 k 连通的。
nk 2 2
证明 任意删去G中k-1个点，记所得之图为H，则 δ(H)≥δ(G)-(k-1) ≥ 因δ(H)是整数, 故
(H )
n k n k 1 2 2
nk 2 2- k+1
=
nk 2
情况2 情况1的反面。 设S是H的一个κ(H) 顶点割，于是|S|≤k-1。若G-S不连 通，则κ(G)≤κ(H)≤k-1。若G-S连通，因H-S不连通，故e 是G-S的割边。此时若G-S恰含两个点，则 |V(G)| = |S| +2，于是
λ(G) = k ,κ(H)≤k-1,|S|≤k-1
κ(G)≤|V(G)|-1= | S | +1≤k 若G-S至少含3个点，则G-S有1顶点割 {v}，于是S∪{v} 是 G的顶点割，从而 κ(G)≤| S∪{v}|≤k 所以总有 κ(G)≤k=λ(G) 例 满足 κ(G) < λ(G) < δ(G) 的图: 该图
定理3 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割点当且 仅当V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1， y∈V2，点v都在每一条 (x, y) 路上。
证明 必要性 因v是G的割点，故G-v至少含两个连通分支， 设V1是其中一个连通分支的顶点集，V2为其余分支的顶点 集。对x∈V1，y∈V2，因在G-v中x与y不连通，而在G中x与 y连通（因 G连通）所以v在每一条 (x, y) 路上。
G2 ：删去任意一条边后仍连通，
但删去点u后便不连通；
G3
G4
G3和G4删去任意一条边或任意一个点后仍连通，但从直观上 看G4的连通程度比G3高。那么如何来衡量一个图的连通程度 呢？
图论及其应用
一个最小边割集。
连通度
定义：如果0<k≤λ(G),则称G是k-边连通图。
定理：图G是k-边连通图当且仅当对E(G)的任 意一个子集E1，若|E1|≤k-1，则G\E1仍是连通 图。
连通度
定理：对p 简单图G,有
(1) (G) (G),(G) (G); (2) (G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (3)(G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (4)对G的任意一个顶点u， (G) 1 (G u); (5)对G的任意一条边e，(G) 1 (G e) (G).
（v0-vk）路P，且E(P) E(W ) 。
若P是一条路，x与y为顶点，用
表示这条路。
当G为简单图时，W=v0e1v1e2v2···vk-1ekvk，可简写为 W=v0v1v2···vk-1vk。
路和圈
对于图G中两个给定的顶点u和v,若存在（u-v）路，则 必存在长度最短的（u-v）路P0，称P0的长度为u，v的 距离，记为dG(u,v)或d(u,v)。
Байду номын сангаас
连通图
定理：设D是连通的有向图，则D是强连通的当 且仅当D的每一条弧都含在某一有向圈中。
连通度
定义：设连通图G=(V,E)不是完全图,V1是V(G)的一个
非空真子集,若G\V1非连通,则称V1是G的点割集。若点 割集V1含有k个顶点,也称V1是G的k-点割集。
定义：图G是p 阶连通图，令
（G）
表示n个点的回路。
有向图D的有向途径是指交替地出现点和弧的一个有限非空序列
W=v0a1v1a2v2···akvk ，对于i=1,2,···,k,弧ai的起点是vi1,终点是vi，简称W是一条（v0-vk）有向途径。在严格有向图中， 可用v0v1···vk表示有向途径。
图论及其应用—典型图
定理4.3.1：若G是Hamilton图，则对V(G)的每 一个非空真子集S，均有w（G\S）≤|S|(必要条 件)
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
图论及其应用第2章
W (T ) W (T ) w(ek ) w(ek )
在克鲁斯克尔算法中选出的边ek，是使 它也是无圈的。于是得到：
（4.1）
Ge1 , e2 ,, ek 为无
圈图的权最小的边。由于 Ge1 , e2 ,, ek 1 , ek 是 G 的子图，
w(ek ) w(ek )
Thank you!
证明 这是定理1和定义2的直接结果。
例 设树T 有ni 个度为i 的点，2≦i≦k（k>1),其余点均为 叶，求T 中叶点的数目。 解 设 T 有x 片树叶，则T的点数为： x+n2+n3+…+nk 故T的边数为: x+n2+n3+…+nk-1 又由握手定理得： x+2n2+3n3+…+ knk = 2(x+n2+n3+…+nk-1) 解得 x 为: x n1 2 n3 2n4 (k 2)nk
图和它的生成森林
定理5
连通图的生成树必存在。
证明 给定连通图G，若G 无圈，则G就是自己的生 成树。若G有圈，则任取G中一个圈C，记删去C中 一条边后所得之图为H1。显然在H1中，圈C 已不存 在，但仍连通。 若H1中还有圈，重复以上过程，直至得到一个无 圈的连通图H。H 便是 G 的生成树。 定理5的证明方法也是求生成树的一种方法，称 为“破圈法”。
(G) (G e) (G e)
其中 (G ) 表G的生成树的棵数.
凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发 表论文数仅次于 Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象 群，并且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时， 他也是一名出色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文， 著名定理也是在该期间发表的。
电子科技大学图论及其应用 第1章
例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。 若两图同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与v1一定 相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同，u1 邻接有4度点，而v1没有。 所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 解 (a) (b) (c)
四、顶点的度、度序列
设v为G 的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称 为点v的度数，简称为点v的度，记为dG (v)，简记为d(v)。 相关术语和记号
G ： 图G 的顶点的最小度
G ：图G 的顶点的最大度
奇点：度数为奇数的顶点 偶点：度数为偶数的顶点 k-正则图: 每个点的度均为k 的简单图 例如，完全图和完全偶图Kn, n 均是正则图。
完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的 每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这 样的偶图记为Km,n。
例
偶图
不是偶图
例
G1
G2
K1, 3
K3, 3
四个图均为偶图
K1, 3, K3, 3为完全偶图
偶图是一种常见数学模型。
例 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号分别是 xi (i=1,2,3,4,5,6 )，六门课程代号是yi (i=1,2,3,4,5,6 )。已知教 师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师 x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；教师x5能够 胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和 课程之间的状态图。 解
dG (v) dG (v) n 1 。
图论及其应用ppt课件
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28
名人名言
智者，善假于物也 学贵有恒，人贵有志 贵我、通今：横尽虚空，山河大地无一
可恃，可恃惟我；数尽来劫，前后左右 无一可据，可据惟今！ 生当作人杰，死亦为鬼雄！
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29
一副对联、一句勉励
上联： 做人做事做第一 下联： 创新创业创世界 横批： 众志成城 千里之行，始于足下， 兴趣是最好的老
A Friendly Introduction to Graph Theory, Fred Buckley,Marty Lewinter.
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21
学习方法
目的明确 态度端正 理论和实践相结合 充分利用资源 逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
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22
课程考核
平时成绩 （10%） 图论应用的小论文 （60%） 开卷考试 （30%）
图论及其应用 Graph Theory and Its Applications
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1
主要内容
图论前言 数学预备知识
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2
前言
课程目标 学时和学分 教学大纲 教材和主要参考资料 课程考核
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3
图论学科简介 （1）
哥尼斯堡七桥问题 欧拉（1707~1782）：根据几何位置的解
满足
x, y,zS
a) 自反性 (x,x)R b) 对称性 c) 传递性 ((x ,y ) R ) ((y ,x ) R )
(x ,y ) R 且 (y ,z ) R (x ,z ) R
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41
等价关系与同余 （2）
xymodn
对于“模n同余”是等价关系，其等 价类成为模n的余数类或者同余类， 所有的同余类构成的集合
离散数学——图论 ppt课件
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11
哥尼斯堡七桥问题
把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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12
欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
因此，尽管本教材介绍的是较为基础的图论内容， 但阅读理解与完成习题是学习图论必不可少的步骤。
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8
图是人们日常生活中常见的一种信息载体， 其突出的特点是直观、形象。图论，顾名思 义是运用数学手段研究图的性质的理论，但 这里的图不是平面坐标系中的函数，而是由 一些点和连接这些点的线组成的结构 。
P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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40
练习题---图的连通性问题
1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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41
2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
33
§8.2通路、回路与连通性
定义：通路与回路 设有向图G=<V,E>，考虑G中一条边的序列
（vi1,vi2,…, vik）,称这种边的序列为图的通路。 Vi1、vik分别为起点、终点。通路中边的条数称
为通路的长度。 若通路的起点和终点相同，则称为回路。
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34
简单通路、基本通路
简单通路：通路中没有重复的边。 基本通路：通路中没有重复的点。 简单回路和基本回路。 基本通路一定是简单通路，但反之简单通路
图论及其应用(15)
本次课主要内容
超哈密尔顿图问题
(一)、超H图与超H迹 (二)、E图和H图的关系
1
(一)、超H图与超H迹
定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是 H图，则称G是超H图。 定理1 彼得森图是超H图。
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
证明： (1) 证明彼得森图是非H图。
2
19
定理：每个3正则H图至少有3个生成圈。 我院张先迪、李正良教授曾经也研究过H图中H圈的计 数问题。90年在《系统科学与数学》学报上发表文章： “有限循环群上Cayley有向图的H回路”，得到了该类图 的H圈的计数公式。
(二)、E图和H图的关系
从表面上看，E图与H图间没有联系。因为我们可以不 费力地找到: (1) E图但非H图；(2) E图且H图；(3) H图但非 E图; (4) 非E图且非H图.
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
但这样得到圈：17(10)821。所以该情形不能存在。
4
情形2：假如23在C中，则86，8(10)在C中,从而39, 79在C 中.
5 6 1 1 7 8 9 3 彼得森图 2 彼得森图 9 3 10
5
6 4 10
4
7
8 2
但这样得到圈：123971。所以该情形也不能存在。 上面推理说明，G中不存在H圈，即彼得森图是非H图。
5
(2) 证明对任意点v，G-v是H图。 由对称性，只需考虑下面两种情形: (a) G-1,（b）G-6
5 6 5
4
1
4
7
8 2 G-1 9
10
7
8 9
10
3
2 G-6
3
超哈密尔顿图问题
(一)、超H图与超H迹 (二)、E图和H图的关系
1
(一)、超H图与超H迹
定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是 H图，则称G是超H图。 定理1 彼得森图是超H图。
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
证明： (1) 证明彼得森图是非H图。
2
19
定理：每个3正则H图至少有3个生成圈。 我院张先迪、李正良教授曾经也研究过H图中H圈的计 数问题。90年在《系统科学与数学》学报上发表文章： “有限循环群上Cayley有向图的H回路”，得到了该类图 的H圈的计数公式。
(二)、E图和H图的关系
从表面上看，E图与H图间没有联系。因为我们可以不 费力地找到: (1) E图但非H图；(2) E图且H图；(3) H图但非 E图; (4) 非E图且非H图.
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
但这样得到圈：17(10)821。所以该情形不能存在。
4
情形2：假如23在C中，则86，8(10)在C中,从而39, 79在C 中.
5 6 1 1 7 8 9 3 彼得森图 2 彼得森图 9 3 10
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6 4 10
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8 2
但这样得到圈：123971。所以该情形也不能存在。 上面推理说明，G中不存在H圈，即彼得森图是非H图。
5
(2) 证明对任意点v，G-v是H图。 由对称性，只需考虑下面两种情形: (a) G-1,（b）G-6
5 6 5
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8 2 G-1 9
10
7
8 9
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2 G-6
3
《应用数学基础》(陈冲)教学课件 第八章 图 论
应用数学基础
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
图论及其应用ppt22
(一)、平面图的判定 (二)、涉及平面性的不变量
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、平面图的判定
在本章第一次课中，我们已经明确：对于3阶以上的 具有m条边的单图G来说，如果G满足如下条件之一： (1)m>3n-6; (2) K5是G的一个子图；(3) K3,3是G的一个 子图，那么，G是非可平面图。
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理1 (库拉托斯基定理) 图G是可平面的，当且仅当 它不含K5或K3,3同胚的子图。
例1 求证：下面两图均是非平面图。
图 G1
图 G2
证明：对于G1来说，按G1在2度顶点内收缩后，可得 到K5。所以，由库拉托斯基定理知G1是非可平面图。
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
任课教师：杨春 Email: yc517922@
数学科学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
平面图的判定与涉及平面性的不变量
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：该定理是由数学家巴特尔、哈拉里和科达马首先 得到。然后由托特(1963)给出了一个不太笨拙的证明，他 采用枚举法进行验证。还不知道有简洁证明，也没有得 到推理方法证明。
图论及其应用--树与林
有很多实际应用，可用二叉树或m叉树表示。 可以指出，按下面算法，任何一棵有序树均能转 成二叉树。其算法是： (1) 除最左边的分枝结点外，删去所有从每一个结 点长出的分枝。在同一级中，兄弟结点之间用从 左到右的弧连接。 (2) 选取直接位于给定结点下面的结点作为左儿子， 与给定结点位于同一水平线上且紧靠它的右边结111
定义 给定一个序列的集合，若没有一个序列是另 一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码。
定理 任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。
定理 任意一个前缀码都对应一棵二叉树。
最小生成树 设G=<V，E>是一连通图，G的每一条边e
有权C(e)，G的生成树T的权w(T)就是T的边的权 和。
定义：在图G所有生成树中，树权最小的那 棵树称为G的最小生成树。
(连通网的)最小生成树
问题：
假设要在 n 个城市之间建立通讯 联络网，则连通 n 个城市只需要修建 n-1条线路，如何在最节省经费的前 提下建立这个通讯网？
定理2.4 每个连通图都含支撑树。 推论2.4.1每个图都含支撑林或者支撑树。 推论2.4.2每个图均有ε≥ν- ω。 定理2.5设F是G的支撑林。若E(G)\E(F)
非空，则对其中的任何边e，F+e含有且 仅含有一条圈。
生成树 定义：若G的生成子图是一棵树，则称
这棵树为G的生成树。 设G的一棵生成树为T，则T中的边称为
树枝，在G中而不在T中的边称弦，所有弦 的集合称为生成树T的补。
e1、e7、e5、e8、e3是T的树枝， e2、e4、 e6是T的弦，{e2、e4、e6}是T的补。
定理：连通图至少有一棵生成树。
证明：如果连通图G无回路，则G本身就是它的 生成树。如果G有回路，则在回路上任取去掉一 条边，得到图G1仍是连通的，如G1仍有回路，重 复上述步骤，直到图Gi中无回路为止，此时该图 就是G的一棵生成树。
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-16-
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图论 极值图论
以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
-17-
图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
-5-
图论及其应用第一章
四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机 分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 • 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证 明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝 非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《 The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个 字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外， 还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇 刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与 广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。
-12-
图论及其应用第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
-28-
图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
-29-
图论及其应用第一章
-11-
图论及其应用第一章
Rห้องสมุดไป่ตู้msey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
-20-
图论及其应用第一章
第一章 图和子图
1.1 图和简单图 1.2 子图 1.3 图的同构 1.4 顶点的度 1.5 路、圈和连通 1.6 关联矩阵和邻接矩阵 1.7 应用： 最短路问题
-21-
图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
-22-
图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V(G), E(G), G)， 其中V(G) 是非空的顶点集， E(G)是不与V(G)相交的边集，
-27-
图论及其应用第一章
一些概念和术语： （1） 点与边的关联(incident) （2） 点与点的相邻(adjacent) （3） 边与边的相邻 （4）（自）环(loop)、连杆(link) （5）重边(parallel edge) （6）简单图(simple graph) （7）有限图(finite graph) （8）平凡图(trivial graph)和非平凡图 （9）空图(empty graph)和零图（null graph) （10）图的顶点数（图的阶order） 、边数(size)
使得对任意e = (u,v) ∈ E(G) ，都有(α (u),α (v)) ∈ E(H) 且β (e) = (α (u),α (v)) ，则称图G 与H 同构。记为G ≅ H。
-6-
图论及其应用第一章
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大 家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
-25-
图论及其应用第一章
例2
G = (V, E) ，其中 V (G ) { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }
E ( G ) { v 1 , v 2 ) ( v ( 2 , v 3 ) , ( v 3 , v 4 ) , ( v 3 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 5 , v 5 ) , }
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
-3-
图论及其应用第一章
中国邮递员问题
1962年中国数学家管梅谷提出图论中的“中国邮递员问 题”。 问题：一个邮递员从街区的某一点出发，经过街区每条街 道至少一次又回到原出发点，如何设计投递路线，使总路 程最短？
-4-
图论及其应用第一章 Hamilton问题
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
α :V (G) → V (H) ，β : E(G) → E(H) ，
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图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
值是个公开的难题。
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图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
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图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
e7
此时，V (G ) {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }
v2
E ( G ) { e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 }
e1
G 定义为
v1
e3
G ( e 1 ) v 1 v 2 ,G ( e 2 ) v 2 v 3
e4
G ( e 3 ) v 3 v 1 ,G ( e 4 ) v 1 v 4
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用背 景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计算 机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。
首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
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图论及其应用第一章
欧拉图与哈密尔顿图 欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问 题。 独立集、覆盖集与团 点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念。 图的着色问题 点着色；边着色；平面图；四色猜想。 网络流理论 有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割 定理；求最大流的标号算法；网络流理论的应用。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
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图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
这便定义出一个图。
注：由于表示顶点的平 面点的位置的任意性， 同一个图可以画出形状 迥异的很多图示。 例2中图的另一个 图示：
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图论及其应用第一章 图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图论 极值图论
以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
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图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
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图论及其应用第一章
四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机 分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 • 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证 明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝 非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《 The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个 字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外， 还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇 刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与 广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。
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图论及其应用第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
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图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
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图论及其应用第一章
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图论及其应用第一章
Rห้องสมุดไป่ตู้msey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
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图论及其应用第一章
第一章 图和子图
1.1 图和简单图 1.2 子图 1.3 图的同构 1.4 顶点的度 1.5 路、圈和连通 1.6 关联矩阵和邻接矩阵 1.7 应用： 最短路问题
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图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
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图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V(G), E(G), G)， 其中V(G) 是非空的顶点集， E(G)是不与V(G)相交的边集，
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图论及其应用第一章
一些概念和术语： （1） 点与边的关联(incident) （2） 点与点的相邻(adjacent) （3） 边与边的相邻 （4）（自）环(loop)、连杆(link) （5）重边(parallel edge) （6）简单图(simple graph) （7）有限图(finite graph) （8）平凡图(trivial graph)和非平凡图 （9）空图(empty graph)和零图（null graph) （10）图的顶点数（图的阶order） 、边数(size)
使得对任意e = (u,v) ∈ E(G) ，都有(α (u),α (v)) ∈ E(H) 且β (e) = (α (u),α (v)) ，则称图G 与H 同构。记为G ≅ H。
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图论及其应用第一章
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大 家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
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图论及其应用第一章
例2
G = (V, E) ，其中 V (G ) { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }
E ( G ) { v 1 , v 2 ) ( v ( 2 , v 3 ) , ( v 3 , v 4 ) , ( v 3 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 5 , v 5 ) , }
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
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图论及其应用第一章
中国邮递员问题
1962年中国数学家管梅谷提出图论中的“中国邮递员问 题”。 问题：一个邮递员从街区的某一点出发，经过街区每条街 道至少一次又回到原出发点，如何设计投递路线，使总路 程最短？
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图论及其应用第一章 Hamilton问题
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
α :V (G) → V (H) ，β : E(G) → E(H) ，
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图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
值是个公开的难题。
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图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
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图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
e7
此时，V (G ) {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }
v2
E ( G ) { e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 }
e1
G 定义为
v1
e3
G ( e 1 ) v 1 v 2 ,G ( e 2 ) v 2 v 3
e4
G ( e 3 ) v 3 v 1 ,G ( e 4 ) v 1 v 4
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用背 景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计算 机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。
首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
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图论及其应用第一章
欧拉图与哈密尔顿图 欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问 题。 独立集、覆盖集与团 点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念。 图的着色问题 点着色；边着色；平面图；四色猜想。 网络流理论 有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割 定理；求最大流的标号算法；网络流理论的应用。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
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图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
这便定义出一个图。
注：由于表示顶点的平 面点的位置的任意性， 同一个图可以画出形状 迥异的很多图示。 例2中图的另一个 图示：
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图论及其应用第一章 图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，