天体运动中的向心加速度与重力加速度

天体运动中的向心加速度与重力加速度

钦州市第二中学吴展红

在学习了天体运动之后，很多同学认为重力加速度就与向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，从而出错。其实不然，下我们从力与运动的关系来分析这个问题。

万有引力定律：是物体间相互作用的一条定律，1687年为牛顿所发现。任何物体之间都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方成反比。如果用M、m表示两个物体的质量，r表示它们间的距离，则物体间相互吸引力为F= GMm/r2，G称为万有引力常数，其值约为6.67×10-11

单位N·㎡ /kg2。为英国物理学家、化学家亨利·卡文迪许通过扭秤实验测得。

万有引力定律的发现和提出，使我们认识到自然界中存在的一种基本作用，更重要的是把其应用于天体的运动以及航天技术的研究当中，从而开创了人类探索宇宙奥妙的新纪元。

万有引力与航天这章内容比较晦涩难懂，公式比较多学生容易混淆，万有引力公式与圆周运动公式相结合，得出一系列的公式。如何能在繁杂的公式中找出其中的奥秘，关键还是要搞清楚万有引力与航天的规律。

欲解决此类问题，现归纳以下几条依据：

在地球上的物体：

（1）考虑地球的自转：重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F也不断变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化。

其中G为万有引力常量，M为地球的质量，m为地面物体的质量，R为地球半径，r为随着纬度的变化物体距离轴线的长度。（万有引力向量=重力向量+向心力向量）

GMm/R2 =mg+ mw2r

因为同一个物体的W相等，随着纬度的增加r越来越小，但是万有引力

GMm/R2不变，mg越来越大即：随着纬度的增加，重力加速度g越来越大。因

此在南北极重力加速度最大，在赤道附近最小。

向心加速度：

GMm/R 2 =mg+ ma g>> a=w 2r

=mg+ mw 2r =(2π/T)2r

=mg+ m(2π/T)2r = V 2

/r =mg+ mV 2/r

重力加速度>>向心加速度

相关公式的推导：GMm/R 2 =mg+ mV 2/r 或 GMm/R 2 =mg+ m(2π/T)2r

（2）忽略地球的自转：在赤道处R=r ，物体的万有引力分解的两个分力f 向和mg 刚好在一条直线上, 则有F=mg+f 向，所以，mg=F-f 向=GMm/R 2-mw 2R

因地球自转角速度很小， GMm/R 2＞＞mw 2R 所以GMm/R 2≈mg ，(一般情况下不考虑自转带来的影响，认为重力等于万有引力，只有在南北极时物体不随地球自转GMm/R 2 =mg)

“GM=gR 2”通常称为黄金代换式，在解题时经常用到。

假设地球自转加快，即mg=GMm/R 2-mw 2R 知物体的重力将变小.当GMm/R 2 =mw 2R 时，mg=0此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度w=GM/R 3，比现在地球自转角速度要大得多。

地球附近的近地卫星：

通常把高度在500千米以下的航天器轨道称为低轨道，500千米~2000千米高的轨道称为中轨道。中、低轨道合称为近地轨道（又称顺行轨道）。近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径（这一点很重要）即：近地卫星：转动半径(R+h)≈地球半径R

GMm/（R+h ）2 = ma → GMm/R 2 = ma

= mw 2(R+h) → = mw 2R

= mV 2/(R+h) → = mV 2/R

= m(2π/T)2(R+h) → = m(2π/T)2R

（1）轨道半径(R+h)≈R；运行速度h)(R +=GM v =h)(R +g =7.9km∕s，是所有卫星的最

大绕行速度；

（2）运行的周期为T=85min ，是所有卫星最小周期；

（3）向心加速度a =g ≈9.8m∕s 2，是所有卫星的最大加速度。

（4）向心加速度a =g=w 2R=V 2/R=(2π/T)2R=GM/R 2 角速度3R GM

=ω 周期GM

R T 32π= 重力加速度=向心加速度

人造卫星在离地面h 的高空中运行，它处于一种完全失重状态，其重力0=G ，则重力加速

度0=g 。但卫星受到了它与地球之间的万有引力万F ，此万F 完全来提供卫星绕地球做圆周运动所需的向心力。由公式

ma h R Mm G r Mm G

F =+==22)(万得到卫星做圆周运动的向心加速度2)(h R GM a +=，方向指向地球的球心。现在我们设想一下，如果某一时刻，卫星的速度为零，那么想一下，此时的卫星具有的加速度是多少？

假如卫星的环绕速度变为零，但它受到的万有引力不变，仍然与它绕地球做圆周运动时受到的万有引力一样，只不过。此时的万有引力扮演的角色发生了改变，卫星做圆周运动时，万F 完全用来向心力，而当

0=环绕v 时，万F 全部用来提供卫星的重力，所以卫星的重力加速度2)(h R GM g +=，方向与万F 同向，即指向球心。也可以从另外途径来证明此结果。

当卫星的环绕速度为零时，它受到的重力：

2')(h R Mm

G mg += （1） 又因为在地球表面，我们可以得到：

2R Mm G mg = （2） 从以上（1）（2）两式，得到g h R R g 22

')(+= （3）

在上文中，我们已得到2gR GM =，代入（3）式，得：2')(h R GM g +=，方向指向球心。

由此得到同样的结果。

根据以上的分析，对于同一颗卫星，在同一位置的两种不同状态下，其向心加速度和重力加速度是一样的，不但大小一样，而且方向也一样。