离散数学 半群与含幺半群(独异点)

证明：令e是<S,*>的幺元， (1) ∵ a-1 * a = e = a * a-1 ，∴a -1与 a 互为逆元，
∴ (a -1) -1=a (2) ∵(a * b) * (b -1 * a -1) = a *( b * b-1) * a-1
= a * e * a-1 = a * a-1 = e (b -1 * a -1) * (a * b) = b -1 * (a -1 * a) * b
= b * e * b-1 = b * b-1 = e ∴ (a * b) -1 = b -1 * a -1
6
例1：< {a,b},* >是半群， 其中 a * a = b，求证： (1) a * b = b * a ； (2) b * b = b 。
证明： (1) a * b = a * (a * a) = (a * a) * a = b * a (2) b * b = b * (a * a) = (b * a) * a
b3p * bkp = … = bkp * bkp ∵ *在S上封闭， ∴bkp S， 令 a = bkp，则 a * a = a
4
定理3：<S,*>是独异点，则在关于*的运算表中，任何两 行或两列都是不同的。
证明：令e是<S,*>的幺元，则a，bS，且a ≠b， ∵e * a = a ≠ b = e * b ，∴任意两列在e这一行中不同 ∵a * e = a ≠ b = b * e ，∴任意两行在e这一列中不同
例： < R, - >是代数系统，是否是半群？ 因为-在R上封闭，但不可结合；不是半群！ < R, • >是半群，而且含有幺元1 所以也是独异点，是可交换的独异点。
2
定理1：<S,*>是半群，BS，且*在B上封闭，则<B,*>是半 群。通常称<B,*>是<S,*>的子半群。
证明：要证明<B,*>是半群，只要证*在B上封闭、可结合 已知*在B上封闭 ∵<S,*>是半群， BS， ∴a,b,c B，a,b,c S， *在S上可结合，有 a*(b*c)=(a*b)*c，即*在B上可结合 ∴<B,*>是半群
例：
*eab e e ab aabe bbe a
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
7
作业
• P190 （5）
8
主要内容
1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 子群与陪集 5 同态与同构 6 环与域
9
1. 群的概念
定义1：每个元素都有逆元的独异点，称为群。 定义2：若群还满足交换律，则称为交换群（阿贝尔群）。
∵ < {a,b},* >是半群，∴* 在{a,b}上封闭， ∴ b * a = a 或者 b * a = b 若 b * a = a ，则 b * b = (b * a) * a = a * a = b 若 b * a = b，则 b * b = (b * a) * a = b * a = b 证法2：(2) ∵ < {a,b},* >是半群，{a,b}是有限集， ∴必有一个元素 x {a,b}，使 x * x = x ∵a * a = b ≠ a ，∴x ≠a
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |； 若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a， 定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
a0 = e，a1 =
显然，a m * a k = a m + k ，( a m ) k = a m k（m,k I）
10
定义5：<G,*>是群，a是G中任意元素，若存在nZ+，使an = e， 则称元素 a 的阶是有限的，最小的正整数n称为元素a的阶； 若不存在这样的正整数n，则称元素a具有无限阶。
…… 记 bn=bn-1*b=b*bn-1 …… ∵S是有限集，∴根据鸽巢原理，存在 j>i，使得bi=bj 记 p=j-i (则 p≥1)，则 j=p+i ∴bi = bj = bp+i = bp * bi ，∴ bi * b = bp * bi * b
∴bi+1 = bp * bi+1 ，bi+2 = bp * bБайду номын сангаас+1 *b= bp * bi+2 … br = bp * br (r ≥i ) ∵p ≥1， ∴总可以找到 k ≥1 使得kp ≥i ∴bkp = bp * bkp = bp * (bp * bkp) = b2p * bkp = b2p * (bp * bkp) =
例： < R, • >是半群，<{2,4}, •}是否是半群？ < (0,1), •>是否是半群？
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
3
定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b， 则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
* …… e …… a …… b …...
e …… e …… a …… b …... a …… a …… …… …...
b …… b …… …… …...
5
定理4：<S,*>是独异点， a，bS，且都有逆元，则 (1) (a -1) -1=a ； (2) a * b有逆元，且 (a * b) -1 = b -1 * a -1。
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。