相对论多普勒效应

第五章相对论
★非相对论多普勒效应(回顾) 1842.(奥)多普勒
波源S 与接收器(如人耳等)有相对运动,从而接收器接收到的频率有变化的现象---多普勒效应1. 波源S 静止(u S =0，人动u 人≠0)
①人朝向S 运动
人耳在Δt 内收到(u ＋u 人) Δt /λ个波长
v u u u u u t t v 人人耳内收波长数
+=+=ΔΔ=λ
②人远离S
) ( 0自证人
耳v u
u u v −=
§5.5 相对论多普勒效应
如火车进站声频高;火车出站声频低。

λ
λu v u =0 声波频率，
声波长，设：声波速人耳
S
λ
介质
波对人耳速度
波对人耳速度
第五章相对论
2.观察者静止(u 人=0)，波源S 动(u S ≠0)①波源S 朝向人运动:
由图知:波长压缩了即：
00
0 v u u u v u v u u T u u u v S S S −=
−=−=′=∴λλ耳②波源S 远离人:) ( 0自证耳v u u u
v S +=
介质
⋅
⋅⋅S u r S
⋅人耳
T
u S T
u S −=′λλu S T λ
T u S −=′λλu S =0的第二波
3.一般情况：
cos cos 0v u u u u v S α
β
m 人±=耳规律：波源动⇒波长变;
接收器动⇒接收完整波长数变.
波对人耳速度波对人耳速度
可见：当波源或观察者在二者联线垂直方向(α=β=π/2)上运动时，
无多普勒效应。

(见本教材《力学》p237)
第五章相对论
★相对论多普勒效应
光波传播不需介质, 这与机械波声波完全不同;由光速不变原理，无论是光源向接收器运动,还是接收器向光源波运动，对接收器来说光速都是c 。

⋅
⋅T
u S ⋅因此,可仿声波源朝向接收器情形如图接收器(不动)→S:光源(运动)→S':光波周期T' =T 0,ν'= ν0光波周期T ,频率ν相对论⇒, 12
β−′=T T
c u S =βλ= λ-u S T=cT-u S T =(c-u S )T 缩
T
u S
−=λλ 缩
接收频率为：0 11)(νββ
λν−+==−==L T
u c c c
S 缩
※光源与接收器在连线上
S u r S
⋅x
接收器
无介质
第五章相对论
※光源与接收器不在连线上接收器
u S
光源
θ
将v 投影到连线上:u S cos θ
λ= (c -u S cos θ)T,
缩
接收频率为： )cos (T θu c c c
S −=
=λν缩相对论⇒ , 1 2
β
−′
=T T c u S
=β , 10′=T ν 1)cos (2T u c c
S ′−−=βθ )
cos 1(102v θββ−−= 11 00v v β
β
θ−+=⇒= 11 0v v β
β
πθ+−=
⇒=光源相对接收器迎来⇒⇒频率增加
光源背对接收器远离⇒⇒频率减少光源或接收器在二者联线垂直方向上运动⇒
1 202v v βπ
θ−=⇒=注：在互垂直方向上, 机械波声波等无多普勒效应,而光波有。

第五章相对论
★光的多普勒效应的应用
天文学方面：1917年斯里费发现远方星体的光谱线向红端移动，
即频率在减少，表明该星体背离地球而退行。

1929年哈勃发现星系的红移量与距离成正比
----哈勃定律-----红移现象表明：整个宇宙在膨胀⇒用光栅测量
宇宙膨胀学说
城市交通方面：航空航天航海方面：多普勒雷达用于导航、追踪并确定位置、
探测及控制系统等。

交警用多普勒雷述发射的微波脉冲可览视车辆
行驶的速度
医学方面：测量人体血液流速，从而确定血液粘稠程度………
第五章相对论
例题：
一遥远的河外星系以很高的速率离地球退行而去，其光谱线发生红移,与固有频率v 0相对应的波长为λ0=434nm 谱线，地面上观测记录的该谱线的波长λ=600nm .
试求此河外星系的退行速率u 。

河外星系
地球
退行速率u 解：由多普勒效应的频移公式(远离⇒ν↓, λ↑)：
110⇒+−=
v v β
β
00 , λνλνc c ==
/1/1 1100λλββλc
u c
u −+=−+=代入数据求得：u=0.31c ≈0.93×108m/s
第五章相对论
§5.6 相对论速度变换公式S'y'x'
z'0'
S y
z
x 0
.p (u x , u y , u z )v 质点
(u'x , u'y , u'z )建立(u x , u y , u z )～(u'x , u'y , u'z )关系式质点P在空间运动,其速度在各惯性系下不同
由洛伦兹变换
2
1β−−=
′vt x x 2
21)/( β−−=
′x c v t t y y =′z
z =′c
v
=
β2
1β−−=
′vdt dx x d 2
21)/( β−−=
′dx c v dt dt dy y d =′dz
z d =′ ′′=′dt dx u x ′′=′dt dy u y dx )c /v (dt vdt
dx 2
−−=x
2x u )c /v (1v u −−=dx )c /v (dt 1dy 22
−−=β u )c /v (11u x
22
y −−=β dt dz u z ′′=′dx )c /v (dt 1dz 2
2
−−=β u )c /v (11u x
22z −−=β
第五章相对论
x
x x u c
v v u u 21 −−=
′ 11 22
x
y y u c v u u −−=
′β 11 22
z x
z u c
v u u −−=
′β
相对论速度正变换公式
v << c
v
u u x x −≈′ y y u u ≈′
z z u u ≈′伽利略正变换
x 2x x u c
v 1v u u ′++′=
u c v 11 u u x
22
y y ′+−′=β u c v 11 u u x
22z z ′+−′=β相对论速度逆变换公式
v
u u x x +′≈ y y u u ′≈
z ′≈u u z 伽利略逆变换
易证：2
222222c u u u u u u z
y x z y x =′+′+′=++这表明S 系中的光速变换到S'中仍是光速c，反之亦然。

各惯性系中光速不变
≈
v << c
≈
第五章相对论
例题：两质点A ,B 相对运动如图，其速率相对实验室坐标S 来说都为0.9c ，求A 相对B 的速率。

u x v 解：将S'坐标系建在B 上
y s x
z 0A B x'y'
z'
0's'
这样S'相对于S 的速度为
v = -0.9c
质点A 相对于S 的速度为
u x = 0.9c 质点A 相对于S'(即相对于B )
的速度为c
c c c c
c c c u c
v
v u u x x x
<==−−
−−=−−=′ 9945.081
.18.19.0)
9.0(1)9.0(9.012
2光速讨论：若站在实验室座标S 来看，A 与B 之间的速度差是多少？答：u A -u B = 0.9c-(-0.9c)=1.8c >c 这是怎么回事啊？请讨论…
提示：相对论只针对相对彼此，不涉及第三者…
第五章相对论
设在S’系中，光沿y 轴运动，S’相对S 以u ＝0.8c 运动，求S 系中光速。

S’
u
解：c v v y x
=′=′,0Q u
v c
u u v v
x
x x
=′++′=212
2
222111c u
c c u v c
u v v x y y −=−′+′=由逆变换
c
v v v y
x =+=∴2
2
光速率不变！仅改变方向
第五章相对论参考书
1.曹昌祺《电动力学》
2.郭硕鸿《电动力学》
3.阚仲元《电动力学教程》
作业：5-6, 5-8, 5-10。