第11章 动量矩定理
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11)动量矩定理
动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A
e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt
理论力学-动量矩定理
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z
11.动量矩定理
M
t 0 o 得D o 由
例二 . 电动绞车提升一质量为m 的物体 , 在其主动轴上作用有一个力偶其矩为 M . 已知主动轴齿轮和从动轴齿轮各自对其转轴的转动惯量分别为 J1 和 J2 . 传 动比 z2 : z1 = i ; 从动轮上的鼓轮半径为R . 不计绳索的质量和各处摩擦. 求: 重物的加速度.
v
O
解: 取整个系统为研究对象, 受力及运 动分析如图
θ
v
由对O点的动量矩定理 M d ( J O m 2 vR ) m 2 gR sin M Fy dt R ω a J O m 2 R a M m 2 gR sin R O Fx MR m 2 gR 2 sin M a J O m 2R 2 m1 g
θ
m2 g
FN
▲: 平动物体对任何一点的动量矩都很容易求得. 将若干个平动物体与一个转动物体作为一个系统 运用动量矩定理可以避免某一些未知力的出现 , 从而可简化解题的步骤.
§11 – 3 刚体绕定轴转动的微分方程
对绕定轴(不妨设为z轴)转动的刚体而言 , 对转轴的动量矩定理可 写为
n d (J zω) = ∑ M z (F i ) dt i =1
z
J z m i ri
i 1
n
mi
O
在如图示的坐标系下, 刚体对三个 坐标轴的转动惯量分别为:
y
zi
ri
Jx Jy Jz
2 2 m ( y z i i i) i 1 n 2 2 m ( x z i i i) i 1 n 2 2 m ( x y i i i) i 1
动量定理描述了物体的运动和力之间的关系,
但并不完整. 在运用动量定理时, 不能求力偶或
第十一章 动量矩定理
e d LO = ∑ M O ( Fi ) 内力不改变质点系的动量矩 dt
质点系动量矩定理： 质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力对O点之矩的矢量和。
e d Lx dt = M x ( Fi ) e d Ly 投影式 = M y ( Fi ) dt d Lz = M ( F e ) z i dt
ϕ
F
) m ⋅ (lϕ
) ⋅ l = ml ϕ = (mlϕ
2
mg
摆捶外力对O轴的力矩 M O ( F ) = − mg ⋅ l sin ϕ
⑷ 由摆捶对O轴的动量矩定理得 d M O (mv ) = M O ( F ) ⇒ ml 2ϕ = − mg ⋅ l sin ϕ dt
二、质点系的动量矩
对点的动量矩 LO = ΣM O (mi vi )
[ LO ]z = Lz
对轴的动量矩 Lz = ∑ M z (mi vi )
LO = Lx i + Ly j + Lz k
1、刚体平移 平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚 体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。
M O (mv ) = r × mv 矢量 ) | = mv ⋅ r sin ∠OBA | ( m v M 大小: O
z
A
M O (mv )
O
mv
r
B
x
y
= 2 S ∆OAB
方向: 垂直于矢径与动量形成的平面； 指向: 符合右手法则； 单位: kg·m2/s
对z轴的动量矩：质点动量在 Oxy平面内的投影对z轴之矩。
M z (mv ) 代数量
第11章 动量矩定理
指向按右手规则确定； 瞬时量
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
转动惯量
图 11-5
d 2ϕ ＋ g ϕ ＝0 dt 2 l 解此微分方程，得单摆作微小摆动时的运动方程为：
ϕ
＝ ϕ0 sin(
g ⋅t +α ) l
式中 ϕ0 为角振幅，α 为初位相，由初始条件确定，其周期为：
T＝2π l
g 这种周期与初始条件无关的性质，称为等时性。
三、质点系的动量矩定理
设质点系由
n
个质点组成，作用于每个质点的力分为内力
m0(F) O
mv F
M r
y
x 图 11-1
z
A
mv
α
m0(mv) θ
M
O
r
y
A΄
x
M΄ (mv)xy
图 11-2
二、质点系的动量矩
质点系对某点
O
的动量矩等于质点系内各质点的动量对该点的矩的矢量和。用
v L0
表
示。即
v L0
=
∑ mv 0 (mi vvi )
=
∑ rvi
× mi vvi
（11-4）
影 (mvv)xy 对于点 O 的矩，定义为质点动量对于 z 轴的矩,简称对于 z 轴的动量矩。对轴
的动量矩是代数量（图 11-2），即 m z (m vv ) = m 0 (m vvxy ) = ±2ΔOM A′ = x(mv y ) − y (mv x )
同样，质点对于点 O 的动量矩与对 z 轴的动量矩的关系，和力对点的矩与力对轴的
192
矩关系相似。动量 mvv 对通过点 O 的任一轴的矩，等于动量对点 O 的矩矢在轴上的投影。
即
故
mv
[ mv 0（m
ovv(m）=vvm)x](zm=mvv )z(ivm+vvm)y
第十一章 动量定理
FOy
FOx
P
d LO M Oi dt
Fy
Q
P 2 Q 2 P 3Q 2 LO l l l 3g g 3g
Q
Fx
M Oi
l P cos Ql cos 2
P 3Q 2 l 3g
P 2Q l cos 2
由上式解出
P 2Q 3g cos P 3Q 2l
J C Fd r
有:
x
aC
Fd f d FN
m 2 及: J C r 2
Fd
FN
得:
aC g (sin f d cos )
g 2 f d cos r
例14：匀质杆OA长l，重力为P。可绕过点O的水平轴转动，A端 铰接一半径为R、重力为Q的匀质圆盘，初瞬时OA杆处于水平 位置，然后系统无初速释放。略去各处摩擦，试求杆OA转到任 意位置（用角表示）时的角速度及角加速度。 解： 由圆轮受力图， J A＝0 A 因此A＝A0＝0， 圆盘在运动过程中作平移 整体对点O应用动量矩定理
或
Jz
d2 dt
2
M zi
例8 已知：半径为r，滑轮重力为G，将其视为圆环。物A 重力为P，物B重力为Q，且P>Q。试求(1)两重物的加速度 及轮的角加速度; (2)支座O处的约束力。 解： 研究对象为轮、物体A和B。
分析受力，
运动分析
d LO M Oi dt
Fy
对O点应用动量矩定理
d LI MI dt
vA
A
对杆AB
I
C
vC
vC
O
O C
I
q
FOx
P
d LO M Oi dt
Fy
Q
P 2 Q 2 P 3Q 2 LO l l l 3g g 3g
Q
Fx
M Oi
l P cos Ql cos 2
P 3Q 2 l 3g
P 2Q l cos 2
由上式解出
P 2Q 3g cos P 3Q 2l
J C Fd r
有:
x
aC
Fd f d FN
m 2 及: J C r 2
Fd
FN
得:
aC g (sin f d cos )
g 2 f d cos r
例14：匀质杆OA长l，重力为P。可绕过点O的水平轴转动，A端 铰接一半径为R、重力为Q的匀质圆盘，初瞬时OA杆处于水平 位置，然后系统无初速释放。略去各处摩擦，试求杆OA转到任 意位置（用角表示）时的角速度及角加速度。 解： 由圆轮受力图， J A＝0 A 因此A＝A0＝0， 圆盘在运动过程中作平移 整体对点O应用动量矩定理
或
Jz
d2 dt
2
M zi
例8 已知：半径为r，滑轮重力为G，将其视为圆环。物A 重力为P，物B重力为Q，且P>Q。试求(1)两重物的加速度 及轮的角加速度; (2)支座O处的约束力。 解： 研究对象为轮、物体A和B。
分析受力，
运动分析
d LO M Oi dt
Fy
对O点应用动量矩定理
d LI MI dt
vA
A
对杆AB
I
C
vC
vC
O
O C
I
q
第十一章动量矩定理习题解答
习题11-1质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：。
其中a、b和w均为常量。
试求质点对坐标原点O的动量矩。
11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为，如图11-25所示。
如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。
<1）杆重忽略不计；<2）杆为均质杆，质量为2m。
b5E2RGbCAP图11-25(1>(2>11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。
各物体质量均为m。
图11-26(a>(b>(c>(d>11-4如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。
图11-27面密度为在y处微小区域对于z轴的转动惯量11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。
试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。
p1EanqFDPw图11-2811-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。
(1> 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。
(2> 边长为4a，质量为m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。
DXDiTa9E3d图11-29(1>(2>11-7如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。
试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1>当轮子只滚不滑时，已知vA；(2>当轮子又滚又滑时，已知vA、w。
RTCrpUDGiT图11-30(1>(2>11-8曲柄以匀角速度w绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A与B分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。
动量矩定理
第十一章 动量矩定理
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
第11章 动量矩定理
2．质点的动量矩守恒
三．质点系的动量矩定理及守恒 1．质点系的动量矩定理
dLO dLz (e) (e) (e) M O (F ) M O 或 M z (F (e) ) M z dt dt
2．质点系的动量矩守恒 四．质点系相对质心的动量矩定理
dLC (e) MC dt
或
dLC z (e) MC z dt
五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程 1．刚体定轴转动微分方程
J z M z ( F ) 或 J z M z ( F )
2．刚体平面运动微分方程
maCx Fx
maCy Fy
或
mC Fx x
mC Fy y
JC M C (F )
内力不能改变质点系的动量矩。
注意
１、质点系动量矩定理，适合惯性坐标系，故矩心Ｏ 点是固定点。 ２、内力不能使整个系统的动量矩发生变化。只有外
力才使其发生变化，但内力可使每一个质点的动量矩
发生变化。 3、质点系对点之动量矩是说明在某一瞬时质点系运动 的一个量度。
3．动量矩守恒定理
(e) 若 M O ( F ) 0 , 则 LO 常矢量； (e) 若 M z ( F ) 0 , 则 Lz 常量。
R
2. 回转半径 定义：
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，
其回转半径是相同的。
3．平行轴定理
J z J zC md
2
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
x
§11-2 动量矩定理
三．质点系的动量矩定理及守恒 1．质点系的动量矩定理
dLO dLz (e) (e) (e) M O (F ) M O 或 M z (F (e) ) M z dt dt
2．质点系的动量矩守恒 四．质点系相对质心的动量矩定理
dLC (e) MC dt
或
dLC z (e) MC z dt
五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程 1．刚体定轴转动微分方程
J z M z ( F ) 或 J z M z ( F )
2．刚体平面运动微分方程
maCx Fx
maCy Fy
或
mC Fx x
mC Fy y
JC M C (F )
内力不能改变质点系的动量矩。
注意
１、质点系动量矩定理，适合惯性坐标系，故矩心Ｏ 点是固定点。 ２、内力不能使整个系统的动量矩发生变化。只有外
力才使其发生变化，但内力可使每一个质点的动量矩
发生变化。 3、质点系对点之动量矩是说明在某一瞬时质点系运动 的一个量度。
3．动量矩守恒定理
(e) 若 M O ( F ) 0 , 则 LO 常矢量； (e) 若 M z ( F ) 0 , 则 Lz 常量。
R
2. 回转半径 定义：
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，
其回转半径是相同的。
3．平行轴定理
J z J zC md
2
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
x
§11-2 动量矩定理
理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
第11章 动量矩定理
·125·第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数·126·和等于零。
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
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Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
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LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
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例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
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第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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M z Q(v1r1 cos1 v2r2 cos2 )
例 3 （书上例 11-7，动量矩守恒。）
质量为 m1 = 5kg，半径 r = 30cm 的均质圆盘，可绕铅直轴 z 转
动，在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆
AB，AB = 2r，可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时，圆盘的
三、 刚体 1. 平动刚体
11-1
LO r MvC
2. 转动刚体（对定轴或平面上定点）
Lz I z
LO IO
3. 平面运动刚体
对质心 C： LC IC
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
l 3g
而 aC
2
4
则
W 3g W
NA W g
4
4
IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化：
WW W ΔN A N A N A0
42 4
例 2 例 11-5 （较典型题目）
作业：11-18
11.4 质点系相对动点的动量矩定理(*)
此部分较难，特别是公式推导不易理解。主要掌握两种：①对质心的动量矩定理；②平
m2 g
转速为 n = 90rpm。试求杆转到水平位置，碰到销钉 C 而相对
静止时，圆盘的转速。
解：系统对 z 轴动量矩守恒。
初时系统动量矩： Lz I z盘 1 m1r 2 4
末时系统动量矩： Lz Iz盘 Iz杆 1 m1r2 1 m2 (2r)2
4
12
Lz Lz
11-4
1 4
m1r 2
11-2
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
研究重物、轮子、滚子整体，画受力图 和运动图如图。
例 11-8 典型题目，较难，综合动力学、静力学、运动学知识，详讲
均质鼓轮（轮轴）质量为 M = 50kg， R = 100mm， r = 60mm， 对质心的回转半径 = 70mm，轴上绕一绳索，其上作用一水 平力 P = 200N。已知轮与地面间的静、动摩擦系数分别为 f =
0.20，f ´ = 0.15。求轮心 C 的加速度 a 和轮的角加速度 。 C
IC
mC (F (e) )
分析未知量：F、a 、N、 ，共 4 个，差一个方程。 C
★由运动学关系可知： a = R ，故可解。 C
★如果鼓轮纯滚动，上面求解即得到 a 和 ；如果有滑动，需要重新求解，方法类似上 C
面的方法。
解：I. 设鼓轮不滑动，受力和运动情况如图。
MaC P F 0 N Mg
aC g
b
L b
b
Qsin P
P r
2
Q
r
sin
2
cos
G
2
(P
2Q)r
P
2
(1
sin
)
P 2Q
bL
Pb1 sin Qsin P
(P G) Q cos
22
2P 2Q
例 2 （例 11-1，欧拉涡轮方程，在流体力学中的应用）（不讲）
已知水在涡轮机中的流动情况，求水对涡轮机的转动力矩（欧拉涡轮方程）。
注意滚子沿法向平衡： N Q cos 0
则
ΣmO (F (e) ) (Q sin P)r
(2)
式(1)(2)代入动量矩定理： dLO
ΣmO
(F
(e)
)
dt
P 2Q
得：
aCr (Q sin P)r
g
Q sin P
aC
g
P 2Q
② 求反力偶。 研究整体，画受力图和运动图。整体对 H 的 动量矩：
对定点 O：
dLO
mO
(F
(e)
)
dt
对定轴 z：
dLz dt
mz (F (e) )
亦可有积分形式动量矩定理：
LO 2
LO1
mO
(S (e)
)
三、 动量矩守恒
对定点：
mO
(
F
(e)
)
0
，→ LO
常矢量
对定轴： mz (F (e) ) 0 ，→ Lz 常量
例 1 图示系统。均质滚子 A、滑轮 B 重量和半径 均为 Q 和 r，滚子纯滚动，三角块固定不动，重 为 G，倾角为 ,重物重量 P。求：①滚子质心的 加速度 aC ；②求滚子运动到斜面中部时地面给 三角块的反力偶。设三较块底边长 b，斜面长 L。 分析：这两问均可用动量矩定理求。
M 2 R2 50 0.072 0.12
aC R 0.110.74 1.074 m/s
2 Rr 0.072 0.1 0.06
F
P
200 146.3 N
2 R2
0.072 0.12
N Mg 50 9.80 490.0 N
最大摩擦力： Fmax fN 0.2 490.0 98.0 N
面运动刚体对瞬心动量矩定理的两种情形。
一、 对质心的动量矩定理 平面运动刚体：
dLC
'
mC
(F
(e)
)
dt
IC mC (F (e) )
二、 对任意动点的动量矩定理 只介绍特例： 平面运动刚体，瞬心 C ' ，质心 C ，满足 CC ' 常数，则
IC ' mC ' (F (e) )
常见两种情况：
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
用冲量矩表示的动量矩定理
亦可有积分形式： mO (mv2 ) mO (mv1) mO (S )
注：上述后两种形式用的较少，书上也没提。
二、 质点系动量矩定理
由质点动量矩定理推广到质点系，质系受力分为外力和内力，内力矩之和为零。则
系统对 O 的动量矩： LO LPO LBO LOA
而 LBO 1 Q r2 ， LPO P vr ， LOA Q vC r 1 Q r2
2g
g
g
2g
则
LO
P g
vr
1 2
Q g
r 2
Q g
vC r
1 2
Q g
r 2
P
2Q g
vC r
(1)
系统外力对 O 的力矩：
ΣmO (F (e) ) Pr Q sin r Q cos OE N OE
11-6
1. 均质圆轮沿固定面纯滚动； 2. 均质直杆沿固定直角墙下滑。
11. 5 刚体平面运动微分方程
为普遍定理综合应用之一，即动量定理（质心运动定理）和动量矩定理（刚体定轴转动
微分方程）的综合应用。
MaCx X (e)
MaCy
Y (e)
IC
mC (F (e) )
注：一般需补充运动学或静力学方程。
以上是分析的基本思路。事实上，根据动力学方程和运动学方程的选择不同，有多种解法：
解 1：（书上解法）
maCx X (e)
maCy
Y (e)
I C
mC (F (e) )
aCx xC
aCy
y C
(xC l sin ) ( yC l cos )
联立，得（积分得 ）、NA、NB
解 2：（较好）
第 11 章 动量矩定理
是三大定理中最难理解的一个定理，尤其是相对动点的动量矩定理。动量矩的概念也是 难理解的。
物理中讲到的角动量定理，即本章的刚体定轴转动微分方程。它只是动量矩定理的特例， 其涵义远不能反映动量矩定理的内容。
与前面两个定理一样，先建立动量矩（与冲量矩）的概念，再建立动量矩与力矩（或冲 量矩）的关系。
11.1 动量矩
一、 质点 mO (mv) r mv
矢量（与力矩类似）
涵义：质点相对某点“转动”运动强度。瞬时量。 问题：直线运动的质点，对一点有动量矩吗？ 二、 质点系 1. 对定点
LO mO (mv) r mv
涵义：质系相对 O 点“转动”运动强度。 2. 对质心 C
绝对动量矩： LC ri ' mivi
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
由定轴转动微分方程：
Iz mz (F (e) )
1 W l2 W l
3g
2
3g
2l
III. 质心运动定理求反力，如图(c)。
MaC
F (e)
W aC W N A
g
1 12
m2
(2r)2
1 4
m1r
2
3m1 3m1 4m2
末时圆盘转速：
n
3m1
n
35
15 90 rpm 90 rpm 43.55 rpm
3m1 4m2 3 5 4 4
31
可见，圆盘变慢了。
作业：11-2、4、10、13
11.3 刚体定轴转动微分方程
即物理中的角动量定理。（略讲）
相对动量矩： LC ' ri ' mivi '
易证： LC LC '
3. 对定点 O 与对质心动量矩的关系 LO rC MvC LC '