第50讲 二项式定理-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第50讲二项式定理

一、考情分析

1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

二、知识梳理

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N+)；

(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.

2.二项式系数的性质

3.各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝2n－1.

[微点提醒]

(a＋b)n的展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n

n .

三、 经典例题

考点一 通项公式及其应用

多维探究

角度1 求二项展开式中的特定项

【例1－1】 (1)(x 2

＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25

的展开式的常数项是( )

A.5

B.－10

C.－32

D.－42

(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10

的展开式中所有的有理项为________. 解析 (1)由于⎝

⎛⎭⎪⎫1x －25

的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 5－r

·(－2)

r

＝C r 5·(－2)r ·x r －5

2，

故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25

的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5

＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k

x 10－2k

3 . 由题意

10－2k

3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N .

令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.

∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，

∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为45

4x 2， －

638，45256

x －2. 答案 (1)D (2)454x 2，－638，45

256x －2

规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数

【例1－2】 (1)(多项式是积．的形式)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A.15

B.20

C.30

D.35

(2)(多项式是和．

的形式)已知(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中含x 3

的系数为－2，则a 等于( ) A.2 3 B.2 C.－2 D.－1

(3)(三项展开式问题)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10

B.20

C.30

D.60

解析 (1)因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2

的项为 1·C 26x 2

和1x 2·C 46x 4，

因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×

6×5

2×1

＝30， 所以⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.

(2)(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中x 3的系数为C 33a 3＋C 35(－1)3＝a 3－10＝－2，则a 3＝8，解得a ＝

2.

(3)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，

含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·

y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.

法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.

∴x 5y 2可从其中5个因式中，两个取因式中x 2，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，因

此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.

答案 (1)C (2)B (3)C

规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.

2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.

3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.