二元一次方程简单的线性规划要点

§3.3.1二元一次不等式（组）与

平面区域（1）

1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.

一、课前准备

复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________

复习2：解下列不等式：

（1）210x -+>； （2）22320

41590

x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩ .

二、新课导学 ※ 学习探究

探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30

40x x +>⎧⎨-<⎩

的解集

为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？

探究2：你能研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形. 如图：在平面直角坐标系内，x -y =6表示一条直线.

平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x -y =6上的点；

第二类：在直线x -y =6左上方的区域内的点；

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.

设点1(,)P x y 是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，

并思考：

当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<.

因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上

方的平面区域；如图:

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图:

直线叫做这两个区域的边界

结论：

1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号.

※ 典型例题

例1画出不等式44x y +<表示的平面区域.

分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点.

变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组312

2y x x y <-+⎧⎨<⎩

的解集

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.

变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .

※ 动手试试

练1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 __

练2. 画出不等式组360

20x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩

表示的平面区域.

三、总结提升 ※ 学习小结

由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入

Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）

※ 知识拓展

含绝对值不等式表示的平面区域的作法：

（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式． （2）一般采用分象限讨论去绝对值符号． （3）采用对称性可避免绝对值的讨论． （4）在方程()0f x y =或不等式()0f x y >中，若将x y 换成()()x y --，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称．

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（ ）.

A ．右上方

B ．右下方

C ．左上方

D ．左下方 2. 不等式3260x y +-≤表示的区域是（

）.

3.不等式组360

20

x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（

）.

4. 已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则的取值范围是 .

5. 画出1

1x y ≥⎧⎨<⎩

表示的平面区域为：

1. 用平面区域表示不等式组32326x y x x y <⎧⎪

≥⎨⎪+≥⎩

的解集.

2. 求不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤⎩

表示平面区域的面积.