固体物理(2011) - 第3章 晶格的热振动 2 一维单原子链
合集下载
晶格的热振动经典一维单原子链格波
0
Q2
0
0
Q3
d N 1 0
0 dN
QN 1 QN
解：Qq (t) Qqeit
引入“格点傅里叶变换”能实现这个目标！
Qq Qq*
q 取哪些值？ 1st-BZ !《固体理论》-第一章 周期性结构
(李正中)
28
把格点傅里叶变换写成矩阵？
q1 =/= q2
1 =/= 2
but
un(q1) = un(q2)
(q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
20
两个重要的极限情况
长波极限 短波极限
21
长波极限
当
c q —— 回到连续介质中弹性波的色散关系
2121考察结果考察结果qq11uunnqq22qq11只需挑出第一布里渊区只需挑出第一布里渊区11ststbzbz进行计算进行计算2222两个重要的极限情况两个重要的极限情况长波极限长波极限短波极限短波极限2323长波极限长波极限2424相邻原子之间的作用力格波传播速度连续介质的弹性模量和介质密度长波极限下一维单原子晶格格波可以看作是弹性波晶格可以看成是连续介质长波极限情况伸长模量2525一个波长内包含许多原子晶格看作是连续介质短波极限下相邻两个原子振动的位相相反而长波极限下相邻两个原子之间的位相差短波极限短波极限2626长波极限下短波极限下相邻两个原子振动位相差短波反映微观结构短波反映微观结构2727问题二
1
第一出发点
牛顿力学模型
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)
3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的 作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性 恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7） （3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振 动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
固体物理(第5课)晶格振动一维单原子链
例题1 例题 解 答
β a qa ω sin sin q ⇒ ∴ =2 =2 m 2 m 2
2 1/ 2 qa a β β m ω dq cos ⋅ d q = a⋅ ⋅ 1− dω = 2 m 2 2 m 4β 2 1/ 2 ω cos qa = 1−sin2 qa = 1− m 2 4β 2
′ ′ δ = (rn+1 −rn) −(rn+1 −rn) ∴f = −β(xn+1 − xn) = r′+1 −r +1 −(r′ −r ) = xn+1 − xn n n n n
简谐近似下的运动方程
n号 子 受 ： 原 的 力 ＝ β f左 － (xn − xn−1) ＝ β f右 － (xn+1 − xn ) Qf左 f右 向 反 与 方 相 ∴f = f左− f右
爱因斯坦：固体比热容理论，将n个原子的振动简 化为3n个谐振子，量子化假设，得到了比热容温度公 式。 玻恩和卡门：原子振动以晶格波的形式存在，创立 了晶格动力学。 德拜：简化了上述理论。 晶格动力学被应用到热力学性质，热传导，电导、 介电、光学和X射线衍射等方面。 声子：晶格振动波的能量量子。
晶格动力学
一维单原子链（一维布喇菲晶格） 3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格） 1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原 质 ： 子 量 m 原 标 ： 子 号 n 平 间 ： 衡 距 a 纵 位 ：n 向 移 x 向 右 xn > 0 向 左 xn < 0
1.简谐近似 简谐近似
f ≈ −βδ 常 数 β： 系 δ a ＝ ′ −a δ ： ， 引 >0 f <0 吸 力 δ ： ， 斥 <0 f >0 排 力
固体物理一维单原子链ppt课件
方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义
连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 格波的波形图
&原子位移和简正坐标的关系: 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令
则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式.
原子位移
为实数 ,则:
……(1)
—— N项独立的模式，具有正交性
……(2) ——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点
N很大，原子运动近似 为直线运动 处理问题时要考虑到 环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求
—— h为整数
波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
采用波恩－卡曼边界条件:
波矢q:
x1
2h1 N1a1b1
x1
h1 N1
x2
2h2 N 2 a2b2
x2
h2 N2
x3
2h3 N3a3b3
x3
h3 N3
波矢空间一个点占据的体积
《固体物理基础教学课件》第3章
原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
固体物理基础第3章 晶格振动理论
14
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
《固体物理-徐智谋》第三章 晶格振动与晶体热力学性质.ppt
2
2
2
2
(共N个值)
所以波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分离的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
因为 V p q
所以 v p a
m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
2 sin aq
m2
2.色散关系
当
q
a
,
max
2
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
原子都以同一频率，同一振幅A振动，相邻原子间的位相
差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相
关系，即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2 sin aq
m2
色散关系 (晶格振动谱) 如何推
导呢？
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解: xn Aei t naq
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r)为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u(r0 ) ，
t时刻为 u(r) u(r0 r)
固体物理--第三章 晶格振动ppt课件
5
2a
2
q2 q1 a
5
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
6
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
子数不守恒。
11
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程：
M n n n1 2n
m n n n1 2 n
试 解：
it naq
Ae n
{ Bei
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
18
2. 声学波（acoustic branch）
n n
M
m
2m
cos
1 2
aqei
12aq
M 2 m2 2Mm cosaq
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
7
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：
固体物理-第三章 晶格振动及晶体的热学性质-2(新疆大学李强老师课件).
§3.2 一维单原子链
格波的意义
格波方程
n Aei (t naq)
2 q
格波波长
格波相速度 v p
q
相邻原子间的相位差
[t (n 1)aq] [t naq] aq
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
新疆大学
固体物理 Solid State Physics
物理科学与技术学院 李强 2009. 1st term
§3.2 一维单原子链
一维无限原子链,每个原子质量m，平衡时原子间距a
原子之间的作用力
n-2
n-1
设第i个原子的位移为i 则第n个原子和第n+1个原子 间的距离为a+n+1 -n
a
V (a):常数
dv 相邻原子间的作用力 F d
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
d v ( 2 )a dr
: 力常数
2018/10/6
2
§3.2 一维单原子链
原子的运动方程
n-2 n-1
a
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
n
n+1
n+2
a+n+1 -n
第n个原子和第n+1个原子间 的相对位移为n+1 -n
n-2
n-1
n
n+1
n+2
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
固体物理-03-02一维单原子链名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
Ae
Aei (t qx )
波数 q 2
晶体中旳格波
i[t2 na ]
n Ae
(2 / q)
波长 2
q
—— 格波和连续介质波具有完全类似旳形式
西南科技大学
—— 一种格波表达旳是全部原子同步做频率为旳振动
固体物理 Solid State Physics
n Aei(tnaq)
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 格波旳波形图
衡位置旳位移 n
—— 第n个原子和第n＋1个 原子间旳相对位移
n1 n
第n个原子和第n＋1个原子间旳距离 a n1 n
西南科技大学
固体物理 Solid State Physics
平衡位置时，两个原子间旳互作用势能 v(a)
发生相对位移 n1 n 后，相互作用 势能 v(a )
v(
a
—— 相邻原子旳振动相位相反
西南科技大学
固体物理 Solid State Physics
原子位移和简正坐标旳关系
第q个格波引起第n个原子位移
A ei(qtnaq)
nq
q
第n个原子总旳位移
n
nq
A ei(qtnaq) q
q
q
令 Qq Nm Aqeiqt
n
1 Nm
Qqeinaq
q
mn
相邻原子间旳作用力
西南科技大学
f dv d
(
d2 dr
v
2
)
a
—— 恢复力常数
固体物理 Solid State Physics
原子旳运动方程 只考虑相邻原子旳作用，第n个原子受到旳作用力
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
Aei (t qx )
波数 q 2
晶体中旳格波
i[t2 na ]
n Ae
(2 / q)
波长 2
q
—— 格波和连续介质波具有完全类似旳形式
西南科技大学
—— 一种格波表达旳是全部原子同步做频率为旳振动
固体物理 Solid State Physics
n Aei(tnaq)
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 格波旳波形图
衡位置旳位移 n
—— 第n个原子和第n＋1个 原子间旳相对位移
n1 n
第n个原子和第n＋1个原子间旳距离 a n1 n
西南科技大学
固体物理 Solid State Physics
平衡位置时，两个原子间旳互作用势能 v(a)
发生相对位移 n1 n 后，相互作用 势能 v(a )
v(
a
—— 相邻原子旳振动相位相反
西南科技大学
固体物理 Solid State Physics
原子位移和简正坐标旳关系
第q个格波引起第n个原子位移
A ei(qtnaq)
nq
q
第n个原子总旳位移
n
nq
A ei(qtnaq) q
q
q
令 Qq Nm Aqeiqt
n
1 Nm
Qqeinaq
q
mn
相邻原子间旳作用力
西南科技大学
f dv d
(
d2 dr
v
2
)
a
—— 恢复力常数
固体物理 Solid State Physics
原子旳运动方程 只考虑相邻原子旳作用，第n个原子受到旳作用力
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
固体物理：第三章 晶格振动和晶体的热学性质
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
固体物理学课件第三章
10
3.1 一维单原子链的晶格振动
将：
un1 Aei[t(n1)aq] un1 Aei[t(n1)aq] un Aei[tnaq]
代入到运动方程：
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
消去共同因子，得到：
m 2 (eiap eiaq 2)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
14
3.1 一维单原子链的晶格振动
格波的波长： 2
q
格波的波矢：q 2 n
n 代表沿格波传播方向的单位
矢量。
格波的相速度：v p
q
不同原子间的位相差：
n’aq-naq = (n’-n)aq
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
15
3.1 一维单原子链的晶格振动
a
2
f
U
U R
a
2U R2
a
第一项与振动无关，为常数项，第二项中因为平衡位置处，
势能为极小值，互作用力为零。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4
3.1 一维单原子链的晶格振动
引入弹性系数
2U R 2
(un1 un1 2un )
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
5
3.1 一维单原子链的晶格振动
最近邻近似下一维单原子振动可 简化为质量为m的小球被用弹性系
数为的弹簧连起来的弹性链。处
理微小振动一般都采取这种简谐 近似。在有些物理问题需要考虑 高阶项的效应，称为非简谐效应。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
下面的 x 换成
方程解和振动频率
设方程组的尝试解
Bloch定理？
naq — 第n个原子振动位相因子
代入得到
2 4 sin2( aq )
m
2
格波解
n q, t Aei (q)tnaq q
4 sin( aq )
m2
注意：q怎么来的？
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
y(x, t)
A cos [ (t
x u
) 0 ]
格波 波矢的取值和布里渊区
相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢
相邻原子的位相差
当 q1 = 2 / na + q2
会出现什么情况？
—— 两种波矢的格波中， 原子的物理振动完全相同
为何要研究这个问题？
实际体系是怎样的？ limit (N inBorn-Karman)周期边界条件
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样
—— 而实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
—— 原子之间的作用力
第n个原子离开 平衡位置的位移
位移前
第n个原子和第n＋1 位移后
个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
重要性
在上一小节，我们似乎没学到实质的东西！ 在现代物理研究中，例子 (Prototype/paradigm) 显得非常重要， 本节内容似乎只是一道习题，但是重要得需要用 一节来描述，在下一节我们还会做一道习题 本节的内容或结论将会以各种改头换面的形式出 现在更进一步的现代物理 (包括实验物理和理论物 理) 的各个角落
譬如：Lennard-Jones 势！
组 原子的运动方程
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )
—— 每一个原子运动方程类似
—— 方程的数目和原子数相同
插一句：能量观点作为出发点？
为何我说这是个能带？
波矢 q 2 h
Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
—— 第一布里渊区包含N个状态
N 2 : h 0,1
N 4 : h 1,0,1,2
N 6 : h 2,1,0,1,2,3
波矢密度：单位 q 空间的波矢数
独立波矢数 = N （原胞数）
波矢密度：
N *
Na
2
L
2
格波的色散关系
q 2 sin(aq)
m2
频率是波数的偶函数 色散关系曲线具有周期性
—— q空间的周期
频率极小值 min 0 频率极大值 max 2 / m
只有频率在
之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器 其实，这也 是能带！
but
un(q1) = un(q2)
(q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
有限格点和边界问题
N个格点的体系：
开放边界，open boundary condition (OBC) 周期边界，periodic boundary condition (PBC)
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
n q, t
A
e
i
(
q
)
t
naq ——
简谐近似下，格波是简谐平面波
—— 格波的波形图
—— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动
—— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
一维单原子链
一维单原子链的格波解 (经典视角)
出发点：力学运动方程，等价的能量观点 尝试解：格波 1st BZ的角色：能带
从有限到无限的过渡：玻恩-卡门周期性边界条件
长波极限及短波极限的物理
从经典的格波到量子的声子
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的进一步研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 特点
N很大，原子运动 近似为直线运动
处理问题时要考虑 到环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N + n个原子的位移 则有
要求
q 2 h
Na
波矢的取值范围
—— h为整数
N=even ？
N h N
2
2
如何确定波长？最长是多长？最短是多短？
注意指标 n
怎么猜的解？
第一眼：像一个简谐振动 其次，这是一个波动方程 所以猜“格波”解组
得到一个需要满足的条件
下一个问题： q = ？
2 4 sin2( aq )
m
2
类似的数值计算问题：
类似的数值计算问题：
格波方程 格波波长
格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 相邻原子的位相差
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 简正模与格波 2 一维单原子链 3 一维双原子链 4 三维晶格 5 纯量子力学表述-声子 6 离子晶体的长光学波 7 晶格振动谱的实验方法 8 非完整晶格振动 - 局域模 9 晶格的比热容 10 晶格状态方程和热膨胀
相邻原子的位相差
波矢的取值 q
a
a
—— 恰好是晶格的第一布里渊区
巧合？
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
从能谱来看也具有第一布里渊区的周期性：
q
4 aq
sin( )
m2
考察结果
q1 =/= q2
1 =/= 2
方程解和振动频率
设方程组的尝试解
Bloch定理？
naq — 第n个原子振动位相因子
代入得到
2 4 sin2( aq )
m
2
格波解
n q, t Aei (q)tnaq q
4 sin( aq )
m2
注意：q怎么来的？
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
y(x, t)
A cos [ (t
x u
) 0 ]
格波 波矢的取值和布里渊区
相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢
相邻原子的位相差
当 q1 = 2 / na + q2
会出现什么情况？
—— 两种波矢的格波中， 原子的物理振动完全相同
为何要研究这个问题？
实际体系是怎样的？ limit (N inBorn-Karman)周期边界条件
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样
—— 而实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
—— 原子之间的作用力
第n个原子离开 平衡位置的位移
位移前
第n个原子和第n＋1 位移后
个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
重要性
在上一小节，我们似乎没学到实质的东西！ 在现代物理研究中，例子 (Prototype/paradigm) 显得非常重要， 本节内容似乎只是一道习题，但是重要得需要用 一节来描述，在下一节我们还会做一道习题 本节的内容或结论将会以各种改头换面的形式出 现在更进一步的现代物理 (包括实验物理和理论物 理) 的各个角落
譬如：Lennard-Jones 势！
组 原子的运动方程
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )
—— 每一个原子运动方程类似
—— 方程的数目和原子数相同
插一句：能量观点作为出发点？
为何我说这是个能带？
波矢 q 2 h
Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
—— 第一布里渊区包含N个状态
N 2 : h 0,1
N 4 : h 1,0,1,2
N 6 : h 2,1,0,1,2,3
波矢密度：单位 q 空间的波矢数
独立波矢数 = N （原胞数）
波矢密度：
N *
Na
2
L
2
格波的色散关系
q 2 sin(aq)
m2
频率是波数的偶函数 色散关系曲线具有周期性
—— q空间的周期
频率极小值 min 0 频率极大值 max 2 / m
只有频率在
之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器 其实，这也 是能带！
but
un(q1) = un(q2)
(q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
有限格点和边界问题
N个格点的体系：
开放边界，open boundary condition (OBC) 周期边界，periodic boundary condition (PBC)
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
n q, t
A
e
i
(
q
)
t
naq ——
简谐近似下，格波是简谐平面波
—— 格波的波形图
—— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动
—— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
一维单原子链
一维单原子链的格波解 (经典视角)
出发点：力学运动方程，等价的能量观点 尝试解：格波 1st BZ的角色：能带
从有限到无限的过渡：玻恩-卡门周期性边界条件
长波极限及短波极限的物理
从经典的格波到量子的声子
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的进一步研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 特点
N很大，原子运动 近似为直线运动
处理问题时要考虑 到环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N + n个原子的位移 则有
要求
q 2 h
Na
波矢的取值范围
—— h为整数
N=even ？
N h N
2
2
如何确定波长？最长是多长？最短是多短？
注意指标 n
怎么猜的解？
第一眼：像一个简谐振动 其次，这是一个波动方程 所以猜“格波”解组
得到一个需要满足的条件
下一个问题： q = ？
2 4 sin2( aq )
m
2
类似的数值计算问题：
类似的数值计算问题：
格波方程 格波波长
格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 相邻原子的位相差
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 简正模与格波 2 一维单原子链 3 一维双原子链 4 三维晶格 5 纯量子力学表述-声子 6 离子晶体的长光学波 7 晶格振动谱的实验方法 8 非完整晶格振动 - 局域模 9 晶格的比热容 10 晶格状态方程和热膨胀
相邻原子的位相差
波矢的取值 q
a
a
—— 恰好是晶格的第一布里渊区
巧合？
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
从能谱来看也具有第一布里渊区的周期性：
q
4 aq
sin( )
m2
考察结果
q1 =/= q2
1 =/= 2