一元二次方程系列证明

一、构造法：

例题：(x^3)/(x+1)=(x^3)/(x+1)+(x^2)/(x+1)-(x^2)/(x+1)-x/(x+1)+x/(x+1)+1/(x+1)-1/(x+1)

=(x^3+x^2)/(x+1)-(x^2+x)/(x+1)+(x+1)/(x+1)-1/(x+1)

=x^2-x+1-1/(x+1)

二、一元二次方程标准式：ax^2+bx+c=0

三、若b^2-4ac=△≥0，则方程有解；

若b^2-4ac=△＜0，则方程无解。

四、配方：

ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x)+c

=a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)+c

=a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2)-a·(b/2a)^2+c

=a(x+b/2a)^2-(b^2)/4a+4ac/4a

=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a

例题：解一元二次方程x^2+3x+1=0

解：∵x^2+3x+1=x^2+3x+9/4-9/4+1

=(x^2+3x+9/4)-5/4

=(x+3/2)^2-5/4=0

∴(x+3/2)^2=5/4=(√5)^2/(2^2)

=(√5/2)^2

∴x+3/2=±√5/2

∴(1)x+3/2=√5/2

x=√5/2-3/2

=(√5-3)/2

(2)x+3/2=-√5/2

x=-√5/2-3/2

=-(√5/2+3/2)

=-(√5+3)/2

五、因式分解公式：

∵ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a=0

∴a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a

又∵a≠0

∴(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2

=(√(b^2-4ac))^2/(2a)^2

=(√(b^2-4ac)/2a)^2

∴x+b/2a=±(√(b^2-4ac))/2a

∴x=-b/2a+(±√(b^2-4ac))/2a

=(-b±√(b^2-4ac))/2a

例题：解一元二次方程x^2+3x+1=0

解：x'、x''=(-3±√(3^2-4·1·1))/(2·1)

=(±√5-3)/2

(1)x'、x''=(√5-3)/2

(2)x'、x''=(-√5-3)/2

=-(√5+3)/2 尖锋自编

2012.03.18