东北大学09数值分析(研)答案
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1
9．给定离散数据 xi yi －1 3 0 1 1 2 2 4
k > ln
ε (1 − B 1 )
x (1) − x ( 0 )
1
………… ○…………密………… ○…………封………… ○……… 线……………………
÷ ln B 1 = ln
10 −3 / 6 5 ÷ ln ≈ 51.28 23 / 12 6
解
∑ Ak = ∑ ∫ l k ( x)dx = ∫
b k =0 k =0 a
n
n
b
a
∑l
k =0
n
k
( x)dx = ∫ 1dx = b − a 。
a
n
b
解 Ly=b 得： y = (5,−7,−14) T ，再解 Ux=y 得 x = (−1,1,2) T 。 3．解线性方程组的迭代格式 x ( k +1) = Mx ( k ) + g , k = 0,1,2,... 是否收敛，为什么？ 2 1 0 其中 M = 0 4 1 。 0 2 3 解 不收敛。因为 λ = 2 是 M 的特征值，所以 ρ ( M ) ≥ 2 > 1 . 4．求简单迭代法 x k +1 = 解
取 x = 0 得：
0 = ∑ (∏
i =1 j =1 j ≠i n n n n 1 k − j k +1 )i = (−1) n −1 n!∑ (∏ )i i− j i =1 j =1 i − j j ≠i
y n +1 = y n + hf n +
∂2 fn ∂2 fn 2 3h 3 ∂ 2 f n h 2 ∂f n ∂f n fn + + fn ) + f n ) + O(h 4 ) ( ( 2 +2 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x 16 ∂x ∂y
所以，取 k＝52。即应迭代 52 步。
试求形如 y = a + bx 2 的拟合曲线。 解 基函数为 ϕ 0 ( x) = 1 ， ϕ1 ( x) = x 2 ，于是 三、 （11 分）说明方程 x = x 3 − 5 在区间[1, 2]内有唯一根，并建立一个收敛的迭 代格式，使对任意初值 x0 ∈ [1, 2] 都收敛，说明收敛理由。 解 记 f ( x) = x 3 − x − 5 ，则 f ( x) ∈ C[1,2] ，且 f (1) = −5 < 0 ， f (2) = 1 > 0 ，
或，由于公式对 f ( x) = 1 精确成立，所以 ∑ Ak = ∫ 1dx = b − a 。
b
k =0
a
7．求区间[－1，1]上权函数为 ρ ( x) = x 2 的二次正交多项式 P2 ( x) 。 解 P0 ( x) = 1 ， P1 ( x) = x − ( x,1) 1= x， (1,1)
即： ∑
i =1
n
ik
∏ (i − j )
j =1 j ≠i
n
= 0 ， k = 1,2,..., n − 2 。
h2 h3 y ( x n +1 ) = y ( x n ) + y ′( x n )h + y ′′( x n ) + y ′′′( x n ) + O(h 4 ) 2 6
= y n + hf n +
h 2 ∂f n ∂f n ( + fn ) 2 ∂x ∂y
+
∂2 fn ∂ 2 f n 2 ∂f n ∂f n ∂f h3 ∂ 2 f n fn + [ 2 +2 fn + + ( n ) 2 f h ] + O(h 4 ) 2 ∂x∂y 6 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
于是， y ( x n +1 ) − y n +1 = O(h 3 ) ， 此差分公式是 2 阶的。
P2 ( x) = x 2 −
( x 2 ,1) ( x 2 , x) 3 1− x = x2 − 5 (1,1) ( x, x )
xk 1 + , (k = 0,1,2,...) 的收敛阶。 2 xk
8．设 f ( x) = 5 x 3 − x 2 + 3 ，求差商 f [0,1], f [7,6,3,5], f [3,1,2,6,4] 。
因为 f ( x, y ) = ye x 关于变量 y 满足 Lipschitz 条件，故收敛。
所以，对任意初值 x0 ∈ [1, 2] 迭代法都收敛。 四、 （11 分） 利用复化 Simpson 公式 S n 计算定积分 I = ∫ sin xdx 若使 | I − S n |< 10 −5 ，
0 1
2 x1 + x 2 − x3 = 1 0 (0) 二、 （11 分）用 Jacobi 法解线性方程组 x1 + 3 x 2 + x3 = 2 ，取 x = 0 ， 2 x + x + 4 x = 3 0 2 3 1
若使 x ( k ) − x *
3
1
问应取 n 为多少？并求此近似值。 解 由于 | (sin x) ( 4 ) |=| sin x |≤ sin 1 ，所以，n 应满足：n > 4
< 10 −3 ，问应迭代多少步？
sin 1 ≈ 2.32 ， 2880 × 10 −5
− 1/ 2 1/ 2 0 5 0 − 1 / 3 , B 1 = . 解 由于 Jacobi 迭代矩阵为 B = − 1 / 3 6 − 1/ 2 − 1/ 4 0
于是， H 3 ( x) = − x( x − 2) 。 6.设求积公式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k ) 是插值型求积公式，求 ∑ Ak .
b a k =0 k =0 n n
2 1 3 x1 5 2．用 LU 分解法求方程组 4 5 1 x 2 = 3 的解。 6 3 2 x 1 3 解 1 0 0 2 1 3 2 1 3 2 1 3 由于 4 5 1 → 2 3 − 5 ，所以 A = 2 1 0 0 3 − 5 3 0 1 0 0 − 7 6 3 2 3 0 − 7
f ′( x) = 3 x 2 − 1 > 0 , x ∈ [1,2] 。所以，方程 x = x 3 − 5 在区间[1, 2]内有唯一根。 将方程改写成： x = 3 x + 5 ，建立迭代格式： x k +1 = 3 x k + 5 , k = 0,1,2,...
y ′ = ye x 10． 求解初值问题 y (1) = 2
li ( x) = ∏
j =1 j ≠i
n
x − xj xi − x j
n
=∏
j =1 j ≠i
n
x− j i− j
百度文库
由插值多项式的唯一性有：
x
k +1
= f ( x) = Ln ( x) = ∑ li ( x) y i = ∑ (∏
i =1
n
n
i =1
j =1 j ≠i
x − j k +1 )i i− j
ϕ 0 = (1, 1, 1, 1) T , ϕ1 = (1, 0, 1, 4) T , f = (3, 1, 2, 4) T ，
正则方程组为：
4a + 6b = 10 ，解之得： a = 3 / 2 , b = 2 / 3 6a + 18b = 21
所以，拟合曲线为： y = 3 2 + x。 2 3
迭代一步得： x (1) = (1 / 2, 2 / 3, 3 / 4) T ，若使 x ( k ) − x *
1
故，应取 n＝3。而且有：
I ≈ S3 = 1 2 1 1 5 1 [sin 0 + sin 1 + 2 sin + 2 sin + 4 sin + 4 sin + 4 sin ] ≈ 0.4596997 3 3 6 2 6 18
2 2 2 2
六、 (6 分)利用 Lagrange 基函数性质， 证明： ∑
i =1
n
ik
………… ○…………密………… ○…………封………… ○……… 线……………………
∏ (i − j )
j =1 j ≠i
n
= 0， k = 1,2,..., n − 2 。
证明：取节点 xi = i , i = 1,2,..., n ， f ( x) = x k +1 ，则有： y i = f ( xi ) = i k +1 ，
5．求满足条件 f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ′(1) = 0 的三次插值多项式 H 3 ( x) 的表 达式。 解 设 H 3 ( x) = x( x − 2)(ax + b) ，则 − (a + b) = 1 ， − a = 0 。
姓
名
εr =
0.5 × 10 −2 = 0.000015564 (= 0.15564 × 10 −4 = 0.0015564%) 321.235
x 1 + ，所以， 2 x
设 lim x k = α 得 α =
k →∞
α
2
+
1
α
，即 α = 2 。又由于 ϕ ( x) =
解
f [0,1] =
f (1) − f (0) = 4 ， f [7,6,3,5] = 5 ， f [3,1,2,6,4] = 0 。 1− 0
ϕ ′(α ) =
1 1 2 − = 0 ， ϕ ′′(α ) = − ≠ 0 ，所以，迭代法收敛阶为 2。 2 2 2 2
< 10 −3 ，则有：
2
五、 （11 分）已知求解常微分方程初值问题： y ′ = f ( x, y ) , x ∈ [ a , b ] y (a) = α 的差分公式： h y y ( k1 + 2 k 2 ) = + 1 n n + 3 k1 = f ( x n , y n ) 3 3 k 2 = f ( x n + h, y n + hk1 ) 4 4 y α = 0 求此差分公式的阶。 解 由于 ∂f ∂ fn ∂ fn 2 3h ∂f 9h ∂ f n k2 = f n + ( n + n f n ) + fn + ( 2 +2 f n ) + O(h 3 ) 2 ∂x∂y 4 ∂x ∂y 32 ∂x ∂y
………… ○…………密………… ○…………封………… ○……… 线……………………
班
级
东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷 2009 —2010 学年第 数值分析 1 学期
（9-10） 总分 一（1－8） 一
二
三
四
五
六
学
号
课程名称：
一、解答下列各题： （每题 5 分，共 50 分） 1．设近似值 x = 321.235 近似 x * 具有 5 位有效数字，求 x 的相对误差限。 解
什么？ 解
1≤ x ≤ 2
的改进 Euler 方法是否收敛？为
由于迭代函数 ϕ ( x) = 3 x + 5 满足： 1 < 3 6 ≤ ϕ ( x) = 3 x + 5 ≤ 3 7 < 2 , x ∈ [1,2] ，
− 1 1 | ϕ ′( x) |= ( x + 5) 3 < < 1, x ∈ [1,2] 3 3 2
9．给定离散数据 xi yi －1 3 0 1 1 2 2 4
k > ln
ε (1 − B 1 )
x (1) − x ( 0 )
1
………… ○…………密………… ○…………封………… ○……… 线……………………
÷ ln B 1 = ln
10 −3 / 6 5 ÷ ln ≈ 51.28 23 / 12 6
解
∑ Ak = ∑ ∫ l k ( x)dx = ∫
b k =0 k =0 a
n
n
b
a
∑l
k =0
n
k
( x)dx = ∫ 1dx = b − a 。
a
n
b
解 Ly=b 得： y = (5,−7,−14) T ，再解 Ux=y 得 x = (−1,1,2) T 。 3．解线性方程组的迭代格式 x ( k +1) = Mx ( k ) + g , k = 0,1,2,... 是否收敛，为什么？ 2 1 0 其中 M = 0 4 1 。 0 2 3 解 不收敛。因为 λ = 2 是 M 的特征值，所以 ρ ( M ) ≥ 2 > 1 . 4．求简单迭代法 x k +1 = 解
取 x = 0 得：
0 = ∑ (∏
i =1 j =1 j ≠i n n n n 1 k − j k +1 )i = (−1) n −1 n!∑ (∏ )i i− j i =1 j =1 i − j j ≠i
y n +1 = y n + hf n +
∂2 fn ∂2 fn 2 3h 3 ∂ 2 f n h 2 ∂f n ∂f n fn + + fn ) + f n ) + O(h 4 ) ( ( 2 +2 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x 16 ∂x ∂y
所以，取 k＝52。即应迭代 52 步。
试求形如 y = a + bx 2 的拟合曲线。 解 基函数为 ϕ 0 ( x) = 1 ， ϕ1 ( x) = x 2 ，于是 三、 （11 分）说明方程 x = x 3 − 5 在区间[1, 2]内有唯一根，并建立一个收敛的迭 代格式，使对任意初值 x0 ∈ [1, 2] 都收敛，说明收敛理由。 解 记 f ( x) = x 3 − x − 5 ，则 f ( x) ∈ C[1,2] ，且 f (1) = −5 < 0 ， f (2) = 1 > 0 ，
或，由于公式对 f ( x) = 1 精确成立，所以 ∑ Ak = ∫ 1dx = b − a 。
b
k =0
a
7．求区间[－1，1]上权函数为 ρ ( x) = x 2 的二次正交多项式 P2 ( x) 。 解 P0 ( x) = 1 ， P1 ( x) = x − ( x,1) 1= x， (1,1)
即： ∑
i =1
n
ik
∏ (i − j )
j =1 j ≠i
n
= 0 ， k = 1,2,..., n − 2 。
h2 h3 y ( x n +1 ) = y ( x n ) + y ′( x n )h + y ′′( x n ) + y ′′′( x n ) + O(h 4 ) 2 6
= y n + hf n +
h 2 ∂f n ∂f n ( + fn ) 2 ∂x ∂y
+
∂2 fn ∂ 2 f n 2 ∂f n ∂f n ∂f h3 ∂ 2 f n fn + [ 2 +2 fn + + ( n ) 2 f h ] + O(h 4 ) 2 ∂x∂y 6 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
于是， y ( x n +1 ) − y n +1 = O(h 3 ) ， 此差分公式是 2 阶的。
P2 ( x) = x 2 −
( x 2 ,1) ( x 2 , x) 3 1− x = x2 − 5 (1,1) ( x, x )
xk 1 + , (k = 0,1,2,...) 的收敛阶。 2 xk
8．设 f ( x) = 5 x 3 − x 2 + 3 ，求差商 f [0,1], f [7,6,3,5], f [3,1,2,6,4] 。
因为 f ( x, y ) = ye x 关于变量 y 满足 Lipschitz 条件，故收敛。
所以，对任意初值 x0 ∈ [1, 2] 迭代法都收敛。 四、 （11 分） 利用复化 Simpson 公式 S n 计算定积分 I = ∫ sin xdx 若使 | I − S n |< 10 −5 ，
0 1
2 x1 + x 2 − x3 = 1 0 (0) 二、 （11 分）用 Jacobi 法解线性方程组 x1 + 3 x 2 + x3 = 2 ，取 x = 0 ， 2 x + x + 4 x = 3 0 2 3 1
若使 x ( k ) − x *
3
1
问应取 n 为多少？并求此近似值。 解 由于 | (sin x) ( 4 ) |=| sin x |≤ sin 1 ，所以，n 应满足：n > 4
< 10 −3 ，问应迭代多少步？
sin 1 ≈ 2.32 ， 2880 × 10 −5
− 1/ 2 1/ 2 0 5 0 − 1 / 3 , B 1 = . 解 由于 Jacobi 迭代矩阵为 B = − 1 / 3 6 − 1/ 2 − 1/ 4 0
于是， H 3 ( x) = − x( x − 2) 。 6.设求积公式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k ) 是插值型求积公式，求 ∑ Ak .
b a k =0 k =0 n n
2 1 3 x1 5 2．用 LU 分解法求方程组 4 5 1 x 2 = 3 的解。 6 3 2 x 1 3 解 1 0 0 2 1 3 2 1 3 2 1 3 由于 4 5 1 → 2 3 − 5 ，所以 A = 2 1 0 0 3 − 5 3 0 1 0 0 − 7 6 3 2 3 0 − 7
f ′( x) = 3 x 2 − 1 > 0 , x ∈ [1,2] 。所以，方程 x = x 3 − 5 在区间[1, 2]内有唯一根。 将方程改写成： x = 3 x + 5 ，建立迭代格式： x k +1 = 3 x k + 5 , k = 0,1,2,...
y ′ = ye x 10． 求解初值问题 y (1) = 2
li ( x) = ∏
j =1 j ≠i
n
x − xj xi − x j
n
=∏
j =1 j ≠i
n
x− j i− j
百度文库
由插值多项式的唯一性有：
x
k +1
= f ( x) = Ln ( x) = ∑ li ( x) y i = ∑ (∏
i =1
n
n
i =1
j =1 j ≠i
x − j k +1 )i i− j
ϕ 0 = (1, 1, 1, 1) T , ϕ1 = (1, 0, 1, 4) T , f = (3, 1, 2, 4) T ，
正则方程组为：
4a + 6b = 10 ，解之得： a = 3 / 2 , b = 2 / 3 6a + 18b = 21
所以，拟合曲线为： y = 3 2 + x。 2 3
迭代一步得： x (1) = (1 / 2, 2 / 3, 3 / 4) T ，若使 x ( k ) − x *
1
故，应取 n＝3。而且有：
I ≈ S3 = 1 2 1 1 5 1 [sin 0 + sin 1 + 2 sin + 2 sin + 4 sin + 4 sin + 4 sin ] ≈ 0.4596997 3 3 6 2 6 18
2 2 2 2
六、 (6 分)利用 Lagrange 基函数性质， 证明： ∑
i =1
n
ik
………… ○…………密………… ○…………封………… ○……… 线……………………
∏ (i − j )
j =1 j ≠i
n
= 0， k = 1,2,..., n − 2 。
证明：取节点 xi = i , i = 1,2,..., n ， f ( x) = x k +1 ，则有： y i = f ( xi ) = i k +1 ，
5．求满足条件 f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ′(1) = 0 的三次插值多项式 H 3 ( x) 的表 达式。 解 设 H 3 ( x) = x( x − 2)(ax + b) ，则 − (a + b) = 1 ， − a = 0 。
姓
名
εr =
0.5 × 10 −2 = 0.000015564 (= 0.15564 × 10 −4 = 0.0015564%) 321.235
x 1 + ，所以， 2 x
设 lim x k = α 得 α =
k →∞
α
2
+
1
α
，即 α = 2 。又由于 ϕ ( x) =
解
f [0,1] =
f (1) − f (0) = 4 ， f [7,6,3,5] = 5 ， f [3,1,2,6,4] = 0 。 1− 0
ϕ ′(α ) =
1 1 2 − = 0 ， ϕ ′′(α ) = − ≠ 0 ，所以，迭代法收敛阶为 2。 2 2 2 2
< 10 −3 ，则有：
2
五、 （11 分）已知求解常微分方程初值问题： y ′ = f ( x, y ) , x ∈ [ a , b ] y (a) = α 的差分公式： h y y ( k1 + 2 k 2 ) = + 1 n n + 3 k1 = f ( x n , y n ) 3 3 k 2 = f ( x n + h, y n + hk1 ) 4 4 y α = 0 求此差分公式的阶。 解 由于 ∂f ∂ fn ∂ fn 2 3h ∂f 9h ∂ f n k2 = f n + ( n + n f n ) + fn + ( 2 +2 f n ) + O(h 3 ) 2 ∂x∂y 4 ∂x ∂y 32 ∂x ∂y
………… ○…………密………… ○…………封………… ○……… 线……………………
班
级
东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷 2009 —2010 学年第 数值分析 1 学期
（9-10） 总分 一（1－8） 一
二
三
四
五
六
学
号
课程名称：
一、解答下列各题： （每题 5 分，共 50 分） 1．设近似值 x = 321.235 近似 x * 具有 5 位有效数字，求 x 的相对误差限。 解
什么？ 解
1≤ x ≤ 2
的改进 Euler 方法是否收敛？为
由于迭代函数 ϕ ( x) = 3 x + 5 满足： 1 < 3 6 ≤ ϕ ( x) = 3 x + 5 ≤ 3 7 < 2 , x ∈ [1,2] ，
− 1 1 | ϕ ′( x) |= ( x + 5) 3 < < 1, x ∈ [1,2] 3 3 2