《压杆稳定》PPT课件

越大，
n 值也越大。 st
在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系 数法进行稳定计算。
压杆稳定校核的一般步骤
1、计算工作柔度
l
i
i
I A
μ的四种取值情况
iy
Iy A
y z
iz
Iz A
I , I 为形心主轴的惯性矩 yz
y
yly
iy
z
zlz
iz
压杆总在工作应力大的纵向面内首先失稳，故工作柔度取较大者；
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 铸铁短圆柱
被压扁； 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线， 最后被折断；
接着必被压弯，发生较大的弯曲变形；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式,
w Asin Kx
利用边界条件
xl
w0
Asin kl 0 A 0 即压杆没有弯曲变形，省去；
故取：
kl n n 1 ,2,3,....
n2 2 EI
Fcr l 2
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即
Fcr
2 EI
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
n 1
F 与抗弯刚度（ cr
EI ）成正比。
两端铰支
一端固定、一端铰支
两端固定
Fcr
2EI ( l )2
长度系数
Fcr
(
2EI
2.0 l )2
Fcr
2EI
( 1.0 l )2
Fcr
2EI
( 0.7 l )2
Fcr
2EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
l 相当长度
2
1
0.7
0.5
杆端的约束愈强，则µ值愈小，压杆的临界力愈高； 杆端的约束愈弱，则值µ愈大，压杆的临界力愈低。
易拉罐压缩失稳
6、临界压 力
使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线平衡形式时所受 的轴向压力；
Fcr
★当F=Fcr时有两种可能的平衡状态：
即：屈曲位移ω =0的直线状态；
屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态;
故临界压力可以理解为：
压杆保持直线形态平衡的最大载荷；
或压杆处于微弯状态（丧失稳定）的最小载荷。
临界压力
Fcr cr A
3、计算临界应力的一般步骤
1、计算工作柔度
l
i
μ的四种取值情况 一端固定、一端自由
两端铰支
一端固定、一端铰支
两端固定
2
1
0.7 0.5
2、特征柔度
1
2E P
3、临界应力
2
a
s
b
大柔度杆 1
欧拉公式
cr
2E 2
1 2 中柔度杆 直线公式
P
P
P
a 1.3a
1.6a
(1)
(2)
(3)
相当长度 (l)1 2a (l)2 1.3a
(l)3 0.7 1.6a 1.12a
l1 l2 l3
Fcr
2EI
l 2
（1）杆的临界压力最小，最先失稳；
（3）杆的临界压力最大，最稳定。
a 1.3a
1.6a
F
F
F
(1)
(2)
(3)
Fcr1 Fcr2 Fcr3
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在 的，为非理想受压直杆。
解：1、截面惯性矩 2、临界力
269103 N 269kN
二、其他支座条件下细长压杆的临界压力
类比法： 根据力学性质将某些点类比为支座点。
其它约束——折算成两端铰支。
对于其它约束情况的压杆，将挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状 加以比较，用几何类比的方法，求它们的临界力。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆相当长度 l 。
l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于 半波正弦曲线的一段长度。
长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的两端铰支的细长杆相 当。
长为L的一端固定、另端铰支的压杆，与长为0.7L的两端铰支压杆相当。
两端铰支压杆的压曲载荷公式由法国科学家拉格朗日在Euler近似微分方程的 基础上于1770年左右得到；
英国科学家杨（Yoong T）于1807年，纳维于1826年先后指出Euler只适用 于细长杆；
1846年拉马尔具体讨论了Euler公式的适用范围，并提出超过此范围的压杆要依 靠实验研究。
例 有一千斤顶,材料为Q235钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高
=Fcr
M FN=Fcr
w(x)
弯矩
M ( x ) Fcrw( x )
挠曲线近似微分方程
w'' M ( x ) EI
令
k 2 Fcr
EI
此方程的通解为
利用杆的边界条件，
w'' Fcr w EI
w'' k 2w 0
w Asin kx Bcoskx x0 w0 B 0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：
cr a b （直线公式）
3、粗短杆
2
压杆的临界应力超过超过屈服极限后
2
这类杆又称为小柔度杆。
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。
cr s
σ
cr s σp
σs
O
2
cr s
三、压杆的临界应力总图
σcr
cr s
cr a b
粗短杆
中粗杆
cr
2E 2
小柔度
两端铰支
一端固定、一端自由
Fcr
L 2L
Fcr
2EI
(1.0l )2
Fcr
2EI
(2l )2
两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr
l
Fcr
2EI
(1.0l )2
C
Fcr
2EI
(0.7l )2
两端铰支
Fcr
2EI
(1.0l )2
两端固定
Fcr
D
L
C
Fcr
2EI
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
3、稳定平衡、临界平衡（随遇平衡Leabharlann Baidu、不稳定平衡
稳定平衡 当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后， 经过几次摆动，它会重新回到原来的平 衡位置。
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到微小干扰， 它将偏离其平衡位置，而不再恢复原 位；
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后离开原来的 平衡位置;
cr
2E 2
2、中粗杆
1 2
压杆的临界应力超过比例极限且低于屈服极限
σ
σp
σs
p cr s
O
p cr
1
cr s
a b cr
a、b为与材料性能有关的常数
a
b
s,
a
s
b
令
2
a
s
b
材料的第二特征柔度
1 2
这类杆又称中柔度杆 压杆失稳属于弹塑性稳定问题。
1 2
压杆的稳定性试验
压杆的极限承载能力 压杆失稳后，压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大，杆件丧失了继续增大荷载的能力。
且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。
为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于 直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
§17-2 细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
材料和直径均相同
能不能应用欧拉公式计算四根压杆 的临界载荷？
四根压杆是不是都会发生弹性 屈曲？
一、临界应力
cr
Fcr A
2EI ( l )2 A
2Ei2 ( l )2
2E 2
i I A
l
i
截面的惯性半径 工作柔度
又称为压杆的长细比。它全面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临 界力的影响。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形
I 应是截面最小的形心主惯性矩。
2 EI
Fcr l 2
适用范围：
1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定 问题。
3、理想压杆
（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）
工程中有许多杆件承受轴向压力的作用
工程中的压杆
柱、桁架的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都 可能发生失稳。
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性 也较大。
历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。
如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳， 导致整座大桥倒塌。
.
本章主要内容
§17-1 压杆稳定的概念 §17-2 细长压杆的临界压力 §17-3 压杆的临界应力及临界应力总图 §17-4 压杆的稳定校核 §17-5 提高压杆稳定性的措施
§17-1 压杆稳定的概念
1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料： 工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
cr a b
2 小柔度杆
cr s 强度问题
l
l i
Fcr cr A
发展历史：
文艺复兴时，达芬奇对压杆作了一些开拓性研究工作； 荷兰物理学家教授穆森布洛克1729年对杆件的受拉试验，得出“压曲载荷与杆 长的平方成反比”；
瑞士数学家Euler首先导出细长杆压曲载荷公式，1744年出版的变分法专著 曾得到：失稳后弹性屈曲的精确描述及压曲载荷的计算公式；
例题 已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动
求：临界压力
P
解： l 0.7 a 0.7a
AB
c
l 10.5a 0.5a BC
B
Pcr AB
2EI
(0.7a)2
PcBr C
2EI
0.5a 2
a\2
a
A
故取
Pcr
2 EI
0.7 a2
目录
§17-3 压杆的临界应力及临界应力总图
问题的提出
3、计算临界压力
可用直线公式.
Fcr cr A (a b )A
(304 1.12 77)106 d 2
4
462KN
§17-4 压杆的稳定计算
安全系数法
n
Fcr F
nst
Fcr是压杆的临界载荷
n 是稳定安全系数 st
F为压杆的工作载荷
由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响
nst 值一般比强度安全系数要大些
长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形铰），应分别计算杆在不同方 向失稳时的临界力。I 为其相应的对中性轴的惯性矩。
例题 ： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也不进一步 离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态称为临界平衡
4、压杆的失稳过程
4.1、压杆的稳定平衡
4.2 压杆的临界平衡
4.3 压杆的屈曲
5、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡）
中柔度
细长杆
强度失效
弹塑性稳定 问题
大柔度 弹性失稳
λ2
λ1
λ
四、小结：
1、三类不同的压杆
细长杆— 发生弹性屈曲;
中长杆— 发生弹塑性屈曲;
粗短杆— 不发生屈曲，而发生屈服;
2、临界应力计算
1 大柔度杆
欧拉公式
cr
2E 2
2 1 中柔度杆 经验直线公式
cr a b
2 小柔度杆 cr s
突然变弯，致使结构丧失承载力；
狭长截面梁在横向力的作用下：
发生平面弯曲；
但当载荷超过一定数值时梁的平衡形式将突然
变为
弯曲和扭转
受均匀压力的薄圆环：
当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆 对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平 衡形式
失稳或屈曲
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效
压杆 承受轴向压力的杆件。
屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程； 屈曲位移： 由于屈曲，压杆产生的侧向位移；
通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。由于这种失效具 有突发性，常常带来灾难性后果。
8吨汽车起重机在起重的一瞬间回转台突然发生失稳，转台两侧的立板向外 隆起，发生塑性变形而失效。
25吨汽车起重机在起重时回转台失稳
度l=50cm,求临界载荷Fcr
。(已知 s 235MPa, p
E 200GPa
200MP)a,
F
解:
1、计算柔度: i
I d
惯性半径:
A4
柔度:
l
i
2 0.5 d/4
77
2、计算材料的特性
Q235钢:
1
2E p
100
查得 a 304MPa,b 1.12MPa
2
a
s
b
61.6
2 < 1
cr
2E 2
临界应力的欧拉公式
二、欧拉公式适用范围：
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
σs
O
1、细长杆
1
σ
当临界应力小于或等于材料的比例极限时
cr p σp
σs
cr
2E 2
p
2E p
O
令
1
2E p
材料的第一特征柔度
1
这类压杆又称为大柔度杆。 压杆发生弹性失稳
1
max y ,z
2、特征柔度
1
2E P
2
a
s
b
3、判定压杆类型，计算临界应力
大柔度杆 1
欧拉公式
cr
2E 2
1 2 中柔度杆 直线公式
cr a b
2 小柔度杆
cr s 强度问题
4、确定临界压力 5、稳定条件
稳定性校核 确定许可载荷 设计合理截面