高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习：

定积分的概念及用定义计算 2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为

2

1

()T T v t dt ⎰

。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即

2

1

()T T v t dt ⎰

=12()()S T S T -

而()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算

()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

证明：因为()x Φ=

()x

a

f t dt ⎰

与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）

其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=

()a

a

f t dt ⎰

=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a

∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x

a

f t dt ⎰

令x b =，有

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用()|b

a F x 表示()()F

b F a -，即

()()|()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求

定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例1．计算下列定积分：

（1）2

11dx x ⎰； （2）3211

(2)x dx x

-⎰。

解：（1）因为'1(ln )x x

=，所以22

111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰。

（2））因为2'

'211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx x

x -=-⎰⎰⎰

23

3111122||(91)(1)33

x x =+=-+-=

。 练习：计算1

20

x dx ⎰

解：由于

313x 是2x 的一个原函数，有 120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=1

3

例2．计算下列定积分：

220

sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π

ππ

π

⎰

⎰⎰。

由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为'

(cos )sin x x -=，所以

00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x π

ππ=-=---=⎰

，

2

2

sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x π

π

ππππ=-=---=-⎰， 22

sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x π

π

π=-=---=⎰

. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1 . 6 一 3 ( 2 ）

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2

刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=321000

3600

⨯米

/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从

(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88

t= 4.931.8

≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

4.93

4.93

(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰

⎰

= 4.93

20

1

(8.88 1.8t )

21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过

21.90米才能停住.

微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．