2010年北大保送生数学试题
2010复旦交大清华北大自主招生数学试题
O x O xO x则该多面体的体积为______________A. 32个；B. 30个；C.28个；D.26个7、给定平面向量(1,1)，那么，平面向量(231-，231+)是将向量(1,1)经过________. A ．顺时针旋转60°所得；B ．顺时针旋转120°所得；C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；8、在直角坐标系Oxy 中已知点A 1(1,0)，A 2(1/2,3/2)，A 4(−1,0)，A 5(−1/2,−3/2)和A6(1/2, −3/2).问在向量−−→−ji A A (i,j=1,2,3,4,5,6，i≠j)中，不同向量的个数有_____.A.9个；B.15个；C.18个；D.30个 9、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f 1(x)=f(x)，……，f n (x) =f(f n−1(x))，n=1,2,3,…….满足f n (x)=x的点x ∈[0,1]称为f 的一个n−周期点.现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n−周期点的个数是___________.A.2n 个；B.2n 2个；C.2n 个；D.2(2n −1)个.10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________. A.13π/12;B.11π/12;C.−π/4;D.−7π/12.11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin(β−α)=______. A.±3/2;B.3/2，−1/2;C. ±1/2;D.1/2,−3/2.12、已知常数k 1,k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1和C 2分别是以y=±k 1(x−1)+1和y=±k 2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线.则C 1和C 2的离心率之比e 1/e ·等于_______.A.222111k k ++; B.212211k k ++ C.1 D.k 1/k 213、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f(x)是____________.A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x=π对称；C ．周期为2aπ的周期函数D ．周期为2π的周期函数.14、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D 称为可行域，将函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k 的取值为_____.A.k≥1;B.k≤2C.k=2;D.k=1.15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________.A. y 是x 的函数；B. z 是y 的函数；C. w 是z 的函数；D. w 是x 的函数.16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________. A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”； B. 否命题为“单调函数是周期函数”； C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”； D. 以上三者都不正确17、设集合A={(x,y)|log a x+log a y>0}，B={(x,y)|y+x<a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______A ．∅;B ．a>0,a≠1;C ．0<a≤2, a≠1D ．1<a≤218、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x−x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点.用Z 表示整数集，则在下列集合(1){n/(n+1)|n ∈Z, n≥0}， (2) R\{0}， (3){1/n|n ∈Z, n≠0}， (4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____.A ．(2), (3)；B ．(1), (4)；C ．(1), (3)；D ．(1), (2), (4)19、已知点A(−2,0)，B(1,0)，C(0,1)，如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k=______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32- 20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xB ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2l D ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行22、设ABC−A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB ’A’的中心，则P到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21 B ．43 C ．814 D ．82323、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系.那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量,,分别变换成向量',','，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 26、设集合A,B,C,D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅.则下列选项中正确的是______. A.如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅；B.如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅；C.如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅；D.上述各项都不正确.27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n n B ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−i C ．1+i D ．1−i29.已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P(x,y)关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是(A)2244x y x y -=+ (B)()22222x y x y -=+ (C)()22442x y x y -=+(D)()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±by a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k, m, n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A. m,n 都整除k ; B. m,n 的最大公因子整除k ; C. m,n,k 两两互素; D. m,n,k 除1外没有其它共因子2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校 一、选择题1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为( ) (A)2(C)13. 无试题4. 无试题5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )(A)1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:2O H G FEDCBA7．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (C)e2(D)2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A) (B)2 (C) (D)49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11．在ABC ∆中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值．12．设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d +=．(Ⅰ)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；(Ⅱ)若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程．O(Ⅱ)一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．(Ⅰ)求子一代中，三种基因型式的比例；(Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．15．设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121()t s f t s-+=． (Ⅰ)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t +-=； (Ⅱ)设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：1123n n x --≤．2010年名牌大学自主招生考试试题(3)适用高校：清华大学、上海交通大学等五校(样题)一、选择题(每题5分，共25分)1.函数y=32cos sin cos x x x +-的最大值为 (A)2827 (B)3227 (C)43 (D)40272．已知a 、b 、c 、d 是实数,az bcz dω+=+, 且当Imz>0时，In ω＞0．则 (A)ad+bc>0; (B)ad+bc ＜0; (C)ad−bc ＞0; (D)ad−bc<0.3．甲、乙、丙、丁等七人排成一排，若要求甲在中间，乙丙相邻,且丁不在两端，则不同的排法共有( )(A)24种； (B)48种; (C)96种; (D)120种4．己知F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点,l 1、l 2分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线，l 1、l 2相交于点C ，设|AF|=a ，|BF|=b ，则|CF|=(C)2a b+;5．设θ是三次多项式f(x)＝x 3−3x ＋10的一个根，且α=222θθ+-,若h(x)是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=．则h(0)= (A)−2; (B)2; (C)12-; (D)12二、解答题(本大题共55分)1.(本题15分)己知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时,f(x)单调递增，f(−1)=0．设函数()2sin cos 2x x m x m ϕ=+-,集合M=()|0,,02m x x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,N=()|0,,[]02m x f x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,求MN.2.(本题20分)甲、乙、丙、丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人．(l)经过2次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多少？(2)经过n 次传球后，球在甲手中的概率记为p n (n=1,2,…) ,试求1n P +与n P 的关系式,并求n P 的表达式及lim n n P →∞3.(本题20分)设p 、q 是一元二次方程x 2+2ax−1=0(a>0)的两个根．其中p ＞0，令y 1=p−q,yn+1=2n y −2,n=1,2，…，证明：11212111lim ......n n y y y y y y →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=p. 2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题(数学部分)1．(仅文科做)02απ<<，求证：sin tan ααα<<．(25分) 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB(25分)3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．(25分)4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．(25分)5．(仅理科做)存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．(25分)。
2010年北京大学保送生测试试题(数学部分)
2010 年北京大学保送生测试试题（数学部分）
2
2010 年北京大学保送生测试试题（数学部分）
1
4. 已知对任意 x 均有 a cosx + b cos2x≥- 1 恒成立，求 a+b 的最大值。
5. 某次考试中道及以下的人为不及格，做 对 6 道及以上的人为优秀。 问不及格和优秀的人数哪个多？并证明你的结论
2010 年北京大学保送生测试试题（数学部分） 2010 北京大学保送生测试试题 试题（数学部分）
1. 圆内接四边形 ABCD， AB =1，BC=2，CD=3，DA=4. 求圆的半径.
2. 已知一正无穷等差数列中有 3 项：13，25，41. 求证：2009 为该数列中某一项.
3. 是否存在实数 x，使 tanx+ 3 与 cotx+ 3 为有理数？试证明你的结论.
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷)(解析版)
绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）【名师简评】2010年北京市的高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2009年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。
从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。
试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。
1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2010年《考试说明》。
2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。
全卷结构、题型包括难度基本稳定。
填空题比较基础，平和。
不需要太繁的计算，考生感觉顺手。
许多试题源于课本，略高于课本。
3. 把关题与往年相似，多题把关，有和好的区分度。
如填空题第14题，第19题的第二问，和第20题，更能有效区分不同能力层次的考生群体。
4. 深化能力立意。
知识与能力并重。
全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。
许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。
5. 关注联系，有效考查数学思想方法。
（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线⊥”是“函数f（x）=（xa+b） （xb-a）为一次函数”的（6）a、b为非零向量。
2010年育才高中保送生考试数学模拟试卷
2010年育才高中保送生考试数学模拟试卷2010.4考生须知：1.全卷共三大题，24小题，满分为120分。
考试时间为90分钟。
2.全卷分试卷Ⅰ（选择题）和试卷Ⅱ（非选择题）两部分。
答案都必须做在“答题卷”的相应位置上试 卷 Ⅰ一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分） 1）AB=± C．23<< D=2．已知力F 所作的功是20焦耳，则力F 与物体在力的方向上通过的距离S 的图象大致是下图中的（ ）S A 3. 数据7、8、9、10、6、10、8、9、7、10的众数是（ ） A.7 B.8 C.9 D.104．某商店的老板销售一种商品，他要以高于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少，商店老板才能出售？（ ）A.80元B.100元C.120元D.160元 5．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin ∠EAB 的值为（ ） A 、43B 、34 C 、45D 、356．如图，在正方体的表面展开图中，要将a -、b -、c -填入剩下的三个空白处，（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为（ ）A ．12 B. 13 C. 14 D. 167．如图，反比例函数x xy (3-=＞0)图象经过矩形OABC 边AB 的中点E ，交边BC 于F 点，连结EF 、OE 、OF ，则OEF ∆的面积是( )第7题4=1+3 9=3+616=6+10第8题…A ．32 B. 94 C. 73 D. 528．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 …这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是( ) A ．13＝3＋10 B ．25＝9＋16 C ．36＝15＋21 D ．49＝18＋319、某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分．那么下列分数中不可能的是（ ）A ．95B ．89C ．79D ．75 10、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则 下列5个代数式：ab c 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -中，其值为正的式子的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个试 卷 Ⅱ二、填空题（本题有8个小题，每小题4分，共32分）11．被称为“地球之肺”的森林正以每年14500000公顷的速度从地球上消失，每年的森林消失量用科学计数法表示为 公顷（保留两个有效数字）。
2010北大(全)
2010 年北京大学自主招生保送生测试化学试卷说明：考试时间 2 小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分100分．1.(12分)Ca在空气中燃烧的固体产物溶于水，放热，放出有臭味的气体，写出方程式2.(8分)同样浓度下，醋酸和氨水的电离程度相同，但氢氧化铝可以完全溶于醋酸，却不能溶于氨水，问这能说明氢氧化铝的什么性质?3.(6分)和水一样，酯也可以在氨中发生氨解反应，写出RCOOR’的氨解反应方程式。
4.(6分)不同于水溶液，在液氨的环境中，“不活泼”金属可以将“活泼”金属置换出来，如Mg+2NaI=MgI2+2Na，解释为什么可以发生这样的反应．5．(12分) Fe，Cu 溶于稀硝酸，剩余固体为以下情况时，溶液中可能的阳离子：(1)不剩余固体；(2)剩余固体为Cu ；(3)剩余固体为Fe，Cu ；(4)可不可能剩余的固体只有Fe ，为什么?6．(8分)已知C(s)，氢气(g)，乙醇(l)的燃烧热为394kj/mol ，286 kj/mol，1367 kj/mol ，由这些可以知道哪些数据?7．(12分)在发烟硫酸中H2SO4.xSO3 中，2mol I2和3mol I2O5；生成I2(SO4)3，溶于水生成I2和I2O4，写出以上两个方程式。
8．(12分)测定溶液中I-的方法，当I-太少时可用增大倍数的方法，第一种：用氯气将I-氧化为HIO3，后除去多余氯气，用KI 还原HIO3后测定I-量；第二种：IO4用将I-氧化为IO-3，加入一种物质阻止IO-4和I-反应，用KI还原IO-3后测定I-的量。
问以上两种方法分别将I-扩大了多少倍?9．(12分)写出丙烯酸能发生的三个类型的反应。
10．(12分)DA的双烯加成反应是什么反应类型?写出一个环己烯和环戊二烯通过双键相连的物质和顺酐的反应。
2010年北京大学自招笔试题(精)
2010年北京大学自主招生保送生笔试考试试题数学（理）1、已知A、B为正五边形两顶点，求证：AB的长不超过。
2、在平面直角坐标系o-xy中，A、B为抛物线C: y=1-x2上两点，分别在y轴两侧。
求过A、B的曲线C的切线与x轴所围成三角形的面积的最小值。
3、已知|A|=2,|B|=1,<A,B>=θ,P=tA,Q=(1-tB.令f(t=|Q-P|，则当t=t o时f(t取最小值。
若0 o <，求θ 范围。
4、若0<θ<，sinθ、cosθ、tanθ、cotθ能否按一定顺序构成等差数列?Answer：1、证略；2、S min=；3、；4、不能。
物理1、光滑水平轨道上有两个小球，分别以V、0.8V向左、右运动，中间有两个用轻质弹簧连接的小球1、2，质量分别为m、2m（小球1在左，小球2在右）。
此时弹簧有弹性势能E P，现松开弹簧释放小球1、2：(1求两球分离时的速度；(2若中间两球追不上左右两边的球，求m取值范围。
2、 (1斜抛运动，初速V，与地面夹角θ，求落地点与抛出点位移S；(2光滑平面上质量为M的人手握质量为m的球，使之以V O相对人抛出，球的落地点与抛出点相距L。
求V O最小值，以及此时V O与地面夹角大小。
3、地面上有一棱长为b、质量为m的立方体ABCD-A’B’C’D’（A’B’C’D’在下）。
现有一个力F垂直作用在棱AB上使立方体分别垂直AB向前、后滚动，则F最小为多少？对应的地面摩擦因素最小分别为多少？4、某理想气体经历循环过程ABC，其中AB为等温膨胀过程，BC为等压压缩过程，CA为等容升压过程。
(1哪个过程对外做功的绝对值最大？(2哪个过程气体内能增大，哪个过程气体内能减少？(3哪个过程气体吸热的绝对值最大？5、正四面体电阻网络，每个棱长的阻值均为R，求任意两顶点AB间的电阻大小。
6、空间中有磁场|B|=0.5T，垂直B的平面上有一Π形导轨，“-”上有一电阻R=0.3Ω，有一有效长度为L=0.7m的导体棒以V=0.4m/s沿导轨向下运动：(1求动生电动势E；(2求R消耗的电功率大小；(3需要多大的力才能使导体棒维持匀速运动。
北京大学保送生数学真题及答案
北京大学保送生数学真题及答案2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案1． 已知数列{}na 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56aa +的最小值．解：设数列{}na 的公比为()0q q >，则231115a qa q a a q +--=，12351a q q q ∴=+--()251(1)q q =+-．由1a>知1q >．()454556111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44225511(1)1q q q q q q =⋅+=+--222211515122011qq q q ⎛⎫⎛⎫=++=-++≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当22111qq -=-即q =56aa +有最小值20．2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．证法一：设()()20f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()223,,f a aq f f a f aq aq f f f a f aq aq =====，2ma na t aq∴++=①22()m aq naq t aq ++=②2223()m aq naq t aq ++=③①-②得()()()22111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2222111ma q q naq q aq q ∴-+-=-．若1q =，则()f a a =； 若1q ≠，则()21ma q na aq++=与()21ma q q na aq++=矛盾．()f a a ∴=．证法二：由()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成等比数列得()()()()()()()()()f f f a f f a f a af a f f a ==，()()()()()()()()()()()()f f f a f f a f f a f a f a af f a f a --∴=--．∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a C f a f a 满足ABBCkk =，,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B+． 解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MNAD BC=，sin sin c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abcx a c B Ra bc∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为D Q EPNMCB A,22abc abcRb ac Rc ab++． ()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+． 4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B两点，且OABSc∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线．解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 示的直角坐标系．设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1sin 22OABS ab c α∆==，2sin 2c ab α=．()()cos ,sin ,cos ,sin A a a B b b αααα-，cos cos ,2sin sin ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩(1)cos 2(2)sin 2xa b y a b αα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22(1)(2)-得22222cos sin sin 2x y cab ααα-==，∴X 的轨迹为双曲线． 5．已知()1,2,,10ia i =满足1210121030,21a aa a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1ia <．X证明：用反证法，假设()1,2,,10ia i ∀=， 1ia ≥．令()11,2,,10i i a b i =+=，则i b ≥，且121020b b b +++=．()()()12101210111a aa b b b ∴=+++121012231b b b b b b b =+++++++12232121b bb b =+++≥与121021a a a <矛盾，()1,2,,10ia i ∴∃=，使1ia <．。
[高考]2009、2010清华北大自主招生试题
![[高考]2009、2010清华北大自主招生试题](https://img.taocdn.com/s3/m/bb933beeba4cf7ec4afe04a1b0717fd5360cb29a.png)
2009北京大学自主招生语数外物化试题(理科)时间：2009-11-06 作者：来源：网络资源一数学1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？二英语1 单选20道，四级难度，20分。
2 阅读两篇，四级难度，10道，40分。
第一篇是关于“ideal body”的，第二篇是关于“materialism”的。
3 英译汉3句，比较简单，20分4 汉译英4句，仍然简单，20分三. 语文1 基础（1）写两个成语，然后曲解，6分。
（2）改病句：1我们都有一个家，名字叫中国。
2素胚勾勒出青花笔锋浓转淡。
6分（3）对联：博雅塔前人博雅（博雅塔为北大一风景），8分2 翻译古文一篇300字左右的文不加点的文言文,要求翻译全文(20分)书杜袭喻繁钦语后[1]·（清）林纾吴人之归，有绮其衣者[2]，衣数十袭[3]，届时而易之。
而特居于盗乡，盗涎而妇弗觉[4]，犹日炫其华绣于丛莽之下[5]，盗遂杀而取之。
盗不足论，而吾甚怪此妇知绮其衣，而不知所以置其身。
夫使托身于荐绅之家[6]，健者门焉，严扃深居，盗乌得取？唯其濒盗居而复炫其装[7]，此其所以死耳。
天下有才之士，不犹吴妇之绮其衣乎？托非其人，则与盗邻，盗贪利而耆杀[8]，故炫能于乱邦，匪有全者。
杜袭喻繁钦曰：“子若见能不已[9]，非吾徒也。
”钦卒用其言，以免于刘表之祸[10]。
呜呼！袭可谓善藏矣，钦亦可谓善听矣。
不尔，吾未见其不为吴妇也。
3 大阅读，20分阅读理解是一篇选自鲁迅《野草》的文章,要求指出很多意像的象征意义求乞者我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
北京大学2010年数学分析试题及解答
|Pn(x) − Pm(x)| < ε.
因为 I 为无穷区间, 因此当 n > m ⩾ Nε 时, |Pn(x) − Pm(x)| 为常数. 设
|PNε (x) − Pn(x)| = cn, n > N,
于是 {cn} 为有界数列, 必有收敛子列 {cnk }∞ k=1, 设
结合 |PNε (x) − Pnk (x)| = cnk , 令 k → ∞ 得
2ε
∫1
3 + |t − t0| η0
∫1
0
xt0+θ(t−t0)(ln x)2
η0
xa(ln x)2 · f (x) dx
· f (x) dx
η0
θ ∈ (0, 1)
因此存在正数 δ <
ε
{∫ 1 , 其中 M = max
3M
η0
xa(ln x)2 · f (x)
} dx, 1 . 当 |t − t0| < δ 时, 就有
ε
{∫ A0 , 其中 M = max
3M
0
xb(ln x)2 · f (x)
} dx, 1 . 当 |t − t0| < δ 时, 就有
|J2(t) − J2(t0)| < ε.
这说明 J2(t) 在 [a, b] 上连续, 由 [a, b] 的任意性知 J2(t) 在 (−1, 1) 上连续. 因此 J(t) = J1(t) + J2(t) 在 (−1, 1) 上连续.
ε <,
∀t ∈ [a, b].
A
3
于是 ∀t, t0 ∈ [a, b]
∫ +∞
∫ +∞
|J2(t) − J2(t0)| =
北京大学保送生数学真题及答案
同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为
abc
abc
,
．
B
2Rb ac 2Rc ab
2Rb ac 2Ra bc b a 2R c 0
M
E
N
Q
DP C
，
2Rc ab 2Ra bc c a 2R b 0，
这个三角形的内接正方形边长的最小值为
acsin B ． a c sin B
4．从 O 点发出两条射线 l1, l2 ，已知直线 l 交 l1, l2 于 A, B 两点，且 S OAB c （ c 为定值），
21与 a1a2 a10 21 矛盾，
ai i 1,2, ,10 ，使 ai 1 ．
ai i 1,2, ,10 ，使 ai 1．
证明：用反证法，假设 ai i 1,2, ,10 ， ai 1．
令 ai 1 bi i 1,2, ,10 ，则 bi 0 ，且 b1 b2
b10 20 ．
a1 a2 a10 1 b1 1 b2
1 b10
1 b1 b2
b10 b1b2 b2b3
21 b1b2 b2b3
X O
B l2
acos b co s
x
,
2
asi n b s i n
y
,
2
x ab
(1 )
co s
2
(1)2 (2) 2
得
y ab
(2)
si n
2
x2 cos2
y2 sin 2
2c
ab
，
sin 2
X 的轨迹为双曲线．
5 ． 已 知 ai i 1 , 2 , , 满1 0足 a1 a2
a1 03 0 , a 1a 2 a 1 20，1 求 证 ：
2010-11年清华北大自主招生数学试题
2010北大自主招生（三校联招）数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．A 、B 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB 3．A 、B 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值． 4．向量与已知夹角，t )1(,2||,1||-===，10,≤≤=t t ．||在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．5．（仅理科做）是否存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 的某种排列为等差数列．2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 3. 无试题 4. 无试题5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B ）2（C ）e 2 （D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ 表示变换的复合，先作τ，再作σ。
北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)
2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。
二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。
2010年北京大学自主招生数学试题(含详细答案)
2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题（数学部分）1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．（25分） 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增． ∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=．即tan x x >． 注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q ==由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ．易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=．于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =．由角平分线定理知111EF EH x FGx HG===-．解得x =．3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ， 且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -； 对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆=I H GFE 1111x x-1注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值．4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！。
一道2011年北大保送生考试题的多种解法
Ｃ
图１
Ａ Ｂ于 点Ｄ、Ｅ．
～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～
２ ． ４
０＜２＜ ３ ２
在 Ｒｔ ＡＣＭ Ｐ 中， ＣＰＭ ＝ ９ 。 ／ ０
・ ．
（Ｊ。 △ＡＭ Ｅ ∽ ／ＥＮ ， ３ ・ ’ ＿ ｋ
．
一
‘ｓｎ／ＣＭ Ｐ － Ｃ Ｐ ｉ
．
． １＝ ＺＢ Ａ Ｏ ．。 Ｏ ＡＣ ＝ ＯＣ Ａ ， ． ． ． ’
’ ．
ＣＳ 一ｃｓ ￣＋２ ） Ｏ ２ ｏ（ ４
２
・ ． ．
ＡＯ ＝ ＯＣ ，ＡＥ ＝ Ｏ Ｅ ， Ａ ＡＯ Ｅ ￣ ／ Ａ ＣＯ ＇ ， ＡＣ ＝ 丽Ｃ Ｏ （ ＝ ） Ａ Ｅ
…
．
・
・
．
①
’ ・
Ｙ ０ 一 ５ 盖
函数关 系式 为 ＝ 一２ ＋５ 定义域为 １ ０
，
解得 ｋ ＝０舍去）ｋ ＝８ ｌ （ ，２ ．
。 ． ．
・
．
．
综 卜所 述 ：ＡＰ 的 长 为 ２ ２或 ４ ． ２
２１ 年第 ９ ０１ 期
数 学教 学
９３ －９
《 ｓ ＝ｓ （ ） ｓ （＋ ． ＝ ｉ ２ ｎ ｉ ＋ ・ｉ ， ）…⑤ ｎ ｎｙ 由于ｓ （ ） ｓ （ ） ｉ（ ） ｉ ￣＋ ・ｉ ￣＋ ＝ｓ ￣＋ ・ ｎ ｎ ｎ ｓ（ ｉ ￣一３ ） ｉ（ ） ｓ （￣＋ ＝ ｎ 一 ＝ｓ ￣＋ ・ｉ ３ ） ｎ ｎ
一
发现这个问题有多种解法． 如图 １ 已知 △ 中， ） ， Ｂ （是三角形 内一点， ＝ 满 足： ＢＡＯ ＝ Ｃ ／ ＡＯ ＝ Ｃ ＢＯ ＝ （， ＝ ） 求证： △ＡＢ Ｃ三边成等比数列． 法一： 如图２ 过点Ｏ作 Ｃ的平行线交Ｂ ， 、
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2
(2 x 9)(2 x 8) (2 x 9)( x 4) 2
2
2
体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2π 求 C 上未被照到的长度
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南方球队总得分为
9 (2 x 9)(2 x 8) 9( x 9)( x 4) =189 10 2 10 (2 x 9)( x 4) =21 10
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分 Cx9 =105
ห้องสมุดไป่ตู้
北方球队内部比赛总得分 Cx =15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为 11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分． 冠军在南方球队中 当 x=8 时 所有球队总得分为 C2 x 9
南方球队总得分为
9 (2 x 9)(2 x 8) 9( x 9)( x 4) 10 2 10
(2 x 9)( x 4) 10
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分 Cx9
北方球队内部比赛总得分 Cx
2
第 2/4 页
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(2 x 9)( x 4) x( x 1) 0 10 2
2
2
(2 x 9)(2 x 8) (2 x 9)( x 4) =300 2
南方球队总得分为
9 (2 x 9)(2 x 8) 9( x 9)( x 4) =270 10 2 10
第 3/4 页
-4-
北方球队总得分为
(2 x 9)( x 4) =30 10
解得：
11 229 11 229 11 16 x 9 3 3 3
因为
(2 x 9)( x 4) 为整数 10
x=6 或 x=8 当 x=6 时 所有球队总得分为 C2 x 9
2
(2 x 9)(2 x 8) (2 x 9)( x 4) =210 2
2
南方球队内部比赛总得分 Cx9 =136
北方球队内部比赛总得分 Cx =28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为 9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分． 冠军在南方球队中 综上所述，冠军是一支南方球队 5 （理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内 0 y 2 x 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立
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B1
C A
P
C1 B
A1
略解：如图得证 3 已知
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1a2 a2 a3 a3a1 b1b2 b2b3 b3b1 min(a1 , a2 , a3 ) min(b1 , b2 , b3 ) 求证： max(a1 , a2 , a3 ) max(b1 , b2 , b3 )
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2008 北京大学自主招生数学试题
1 求证：边长为 1 的正五边形对角线长为
5 1 2
B 1 x
1 2 x D 1-x 5 E 3
A
x
x
4 C
略解： 三角形 ABE∽三角形 DAE
x 1 x 1 x
则： x
5 1 2 5 1 2
对角线AC=1+x=
2
已知六边形 AC1BA1CB1 中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 的一半