03.(32)解析函数的充要条件
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解析函数
2、微分 dz(t) dx(t) idy(t) (x(t) iy(t))dt z(t)dt 。
2、复变复值函数的导数与微分
定 义 3 ： 设 复 变 函 数 w f (z) 在 区 域 E 内 有 定 义 ，
z0, z0 z E ，如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
结论：所有多项式函数在整个复平面内是解析的，任何 一个有理分式函数 P(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析
Q(z)
函数。
2.孤立奇点
定义 5：若函数 f (z) 在 z0 处不解析，但在 z0 的任一邻域内
都有 f (z) 的解析点，则 z0 称为 f (z) 的奇点。
若函数 f (z) 在点 z0 处不解析，而在 z0 的某一去心邻域内
t 0
t
t
即： z(t0 ) x(t0 ) iy(t0 ) ，
（B）实变复值函数可导必连续。连续不一定可导。
定义 2：如果实变复值函数 z(t) 在区间 I 处每 z(t) x(t) iy(t)。 注 1、四则运算由定义 2 推。
2) f (z) 2x3 i3y3 ，这个函数只在直线 2x 3y 0 上可
导，从而在 z 平面上处处不解析。
例 7：设函数 f (z) my3 nx2 y i(x3 lxy2 ) 。
问常数 m, n,l 取何值时， f (z) 在复平面内处处解析? 当 m 1,n l 3 时，此函数在复平面内处处解析。
即 (z2 ) 2z, 类似可得(zn ) nzn1.
注:a.定义中 z 0 方式是任意的。 b.连续函数不一定可导；但是容易证明：可导必连续。 在复变函数中，处处连续又处处不可导的函数几乎随手 可得，如 f (z) z ，而在实变函数中，要造一个这种函数却不 是一件容易的事情。 例 2：讨论函数 f (z) | z |2 和 f (x) | x |2 的可导性。可得 f (z) | z |2 只在 z0 0 处可导，而在其它点处都不可导。f (x) | x |2 处处可导。 可以证明： f (z) 可导与可微是等价的。
2、复变复值函数的导数与微分
定 义 3 ： 设 复 变 函 数 w f (z) 在 区 域 E 内 有 定 义 ，
z0, z0 z E ，如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
结论：所有多项式函数在整个复平面内是解析的，任何 一个有理分式函数 P(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析
Q(z)
函数。
2.孤立奇点
定义 5：若函数 f (z) 在 z0 处不解析，但在 z0 的任一邻域内
都有 f (z) 的解析点，则 z0 称为 f (z) 的奇点。
若函数 f (z) 在点 z0 处不解析，而在 z0 的某一去心邻域内
t 0
t
t
即： z(t0 ) x(t0 ) iy(t0 ) ，
（B）实变复值函数可导必连续。连续不一定可导。
定义 2：如果实变复值函数 z(t) 在区间 I 处每 z(t) x(t) iy(t)。 注 1、四则运算由定义 2 推。
2) f (z) 2x3 i3y3 ，这个函数只在直线 2x 3y 0 上可
导，从而在 z 平面上处处不解析。
例 7：设函数 f (z) my3 nx2 y i(x3 lxy2 ) 。
问常数 m, n,l 取何值时， f (z) 在复平面内处处解析? 当 m 1,n l 3 时，此函数在复平面内处处解析。
即 (z2 ) 2z, 类似可得(zn ) nzn1.
注:a.定义中 z 0 方式是任意的。 b.连续函数不一定可导；但是容易证明：可导必连续。 在复变函数中，处处连续又处处不可导的函数几乎随手 可得，如 f (z) z ，而在实变函数中，要造一个这种函数却不 是一件容易的事情。 例 2：讨论函数 f (z) | z |2 和 f (x) | x |2 的可导性。可得 f (z) | z |2 只在 z0 0 处可导，而在其它点处都不可导。f (x) | x |2 处处可导。 可以证明： f (z) 可导与可微是等价的。
解析函数的充要条件
那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 那么在曲线的交点处， 、 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1 = − u x / u y
k2 = −v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 方程 利用 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交 两族曲线互相正交. ，
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有 上述条件满足时 有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
f ' ( z ) = ux + iv x = ux − iu y = v y − iu y = v y + iv x
证明 " ⇒ " 方程满足上面已证！ （由f (z)的可导⇒ C-R方程满足上面已证！只须证 的可导 方程满足上面已证 f (z)的可导 ⇒ 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 的可导 、 可微 可导， ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 点 可导
定理2 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 在 内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 在 内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 方程 满足
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时, 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 以求出导数来.
例3 若 f ' ( z ) ≡ 0 , z ∈ D ⇒ f ( z ) = C , z ∈ D
2023-2024学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一(下)月考数学试卷(3月份)(B卷)+答案解析
2023-2024学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（B 卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，是非零向量，“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系中，若角a 的终边经过点，则()A.B.C.D.3.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A.2B.4C.6D.84.已知，则的值是()A.B.C.D.5.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为单位：在水面下则d 为负数，若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间单位：之间的关系可以表示为()A. B.C.D.6.已知函数的图象如图，轴，轴，四边形BCDE 的面积为4，，则()A.，，B.，，C.，，D.，，7.设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为()A. B. C. D.8.已知函数，则下列结论中正确的个数为()①为偶函数；②的一个周期为；③在上单调递减；④的值域为A.1B.2C.3D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.10.下列命题中错误的有()A.的充要条件是且B.若，，则C.若，则存在实数，使得D.若与是共线向量，则A，B，C三点共线11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.在区间上是增函数B.点是图象的一个对称中心C.若，则的值域为D.的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到12.下列说法正确的是()A.函数的最小正周期为，则B.已知函数，其中，且函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若函数的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数C.已知函数和的图象的对称轴完全相同，若，则的取值范围是D.将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
函数解析的充要条件概述
v 0, x
v 1. y
上一节是由 解析定义判断 处处不解析
不满足柯西－黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.
盐城工学院基础部应用数学课程组
(2) f ( z) e x (cos y i sin y)
u e x cos y, v e y y x
u 常数, v 常数,
因此 f ( z) 在区域 D 内为一常数.
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例4 问常数 a, b, c, d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
设 f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ),
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(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
u u x e cos y, e x sin y, x y v v x e sin y, e x cos y, x y u v u v 即 , . x y y x
由于四个偏导 数均连续
故 f ( z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
f ( z) e x (cos y i sin y) f ( z). 指数函数
解析? u u 解 2 x ay , ax 2by, x y v v 2cx dy , dx 2 y , x y u v u v 欲使 , , x y y x
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
第2节：函数解析的充要条件
vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,
解析的充要条件
解析的充要条件
函数解析的充要条件：
1、f'(z)=df/dz唯一存在。
f'(z)=(∂u/∂x)+(∂v/∂x)i=(∂v/∂y)-(∂u/∂y)i。
2、满足C-R方程（柯西黎曼方程）—(∂u/∂x)=(∂v/∂y)(∂v/∂x)=-(∂u/∂y)。
同部偏导相等，异部偏导相反。
区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。
B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。
由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。
第二章3解析函数的充要条件
Δ→0
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)
=
−
= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知
Δ =
Δ +
( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ
∆
′ ()
( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0
Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：
=− .
证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)
=
−
= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知
Δ =
Δ +
( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ
∆
′ ()
( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0
Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：
=− .
证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有
复变函数第二章(第三讲)
∂u ∂v 1 ∂u ∂v iii) 求导数： f '(z) = ∂x + i ∂x = i ∂y + ∂y 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函 数分别关于x, 求导简单拼凑成的 求导简单拼凑成的. 数分别关于 ,y求导简单拼凑成的.实可微与复可微 是完全不同的概念。 是完全不同的概念。
§2.2 解析函数的充要条件
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理 2. 举例
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在 在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微, ∂u ∂v ∂u ∂v z0处可导⇔ . (2) = , = − 在( x0 , y0 )成立 ∂x ∂y ∂y ∂x 定义 方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系. 的联系.
֠ 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
基本步骤: 偏导数的连续性， 基本步骤 i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ， ii) 验证 验证C-R条件 条件. 条件
由以上讨论得 函数； P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 是整个复平面上的解析 函数； P(z) R( z ) = 是复平面上 ( 除分母为 0点外 )的解析函数 . Q( z)
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
f(z)Ae
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
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第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
第2节：函数解析的充要条件
今后将知道这个函数就是指数函数ez.
例2. 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 问 常数a,b,c,d 取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解. 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)
=(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D 证 ) 显然
)
u v v u f ( z ) i i 0 x x y y
(4) C-R方程在极坐标下的形式为[书P67:9]:
u 1 v v 1 u , r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f ( z
2
3) f ( z ) x y x i(2 xy y ). 4) f ( z ) ex (cos y i sin y ).
u v u v , x y y x u v 1 u v 这时f ( z ) i x x i y y
(*)
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2) 在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
例2. 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 问 常数a,b,c,d 取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解. 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)
=(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D 证 ) 显然
)
u v v u f ( z ) i i 0 x x y y
(4) C-R方程在极坐标下的形式为[书P67:9]:
u 1 v v 1 u , r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f ( z
2
3) f ( z ) x y x i(2 xy y ). 4) f ( z ) ex (cos y i sin y ).
u v u v , x y y x u v 1 u v 这时f ( z ) i x x i y y
(*)
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2) 在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
复变函数(西交大)第三讲-PPT文档资料48页
(3)f(z)exzp 在复平面上且 处 (e处 xz)p 解 exz析 p.
(见 § 2的例 1(2))
(4 ) 加法 :ez x 1 e定 p z x 2 e p理 x z 1 z p 2 )(
事实上 , 设 z j x j iy j ( j 1,2) 左 边 exp z1 exp z2
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
uv v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的
联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以 求出导数来.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
( 1 ) w z ;( 2 ) f ( z ) e x (c y i s o y ) i ； s ( 3 n ) w z 2
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v
0 x
u 0
若沿平行于实轴 z的 z 方z(式 y0)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
( u xi x v) x( u yi v y) y(1i3) x(2i4) y
由 C R 方 u 程 v ( x i x ) z (1 i3 ) x (2 i4 ) y
(见 § 2的例 1(2))
(4 ) 加法 :ez x 1 e定 p z x 2 e p理 x z 1 z p 2 )(
事实上 , 设 z j x j iy j ( j 1,2) 左 边 exp z1 exp z2
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
uv v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的
联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以 求出导数来.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
( 1 ) w z ;( 2 ) f ( z ) e x (c y i s o y ) i ； s ( 3 n ) w z 2
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v
0 x
u 0
若沿平行于实轴 z的 z 方z(式 y0)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
( u xi x v) x( u yi v y) y(1i3) x(2i4) y
由 C R 方 u 程 v ( x i x ) z (1 i3 ) x (2 i4 ) y
第一讲 解析函数及其判别
u u u x y 1x 2 y x y v v v x y 3 x 4 y x y
这里 lim
x 0 y 0
k 0 ，故
u v f ( z z ) f ( z ) ( i )( x i y ) x x ( 1 i 3 ) x ( 2 i 4 ) y
例1:判定下列函数在何处可导，在何处解析
1) w z
2) f ( z ) e x (cos y i sin y )
3) w z Re( z ) 解： (1) w z u x, v y
v v 0, 1 x y 可知柯西-黎曼方程不满足， 所以w z 在复平面内处处不
f (z) g ( z ) f ' ( z ) f ( z ) g' ( z ) (5)[ g( z ) 0 ] 2 g( z ) g (z) (6){ f [ g ( z )]} f ( w ) g( z ) 其中 w g ( z )
1 (7) f ( z ) 其中 w f ( z ) 与z ( w ) 是两个互 '( w ) 为反函数的单值函数且 ' ( w ) 0
处处不解析。
1 例 4 研究函数w 的解析性。 z
解：因为w 在复平面内除了 z 0 点外处处可导，且
dw 1 2 dz z
1 所以在除 z 0 外的复平面内，函数w 处处解析， z 而 z 0 是它的奇点。
对解析函数我们有如下定理：
g( z ) 的和、 定理：(1)在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与
x
（2）不论 z0 z z0 的方式如何，极限
这里 lim
x 0 y 0
k 0 ，故
u v f ( z z ) f ( z ) ( i )( x i y ) x x ( 1 i 3 ) x ( 2 i 4 ) y
例1:判定下列函数在何处可导，在何处解析
1) w z
2) f ( z ) e x (cos y i sin y )
3) w z Re( z ) 解： (1) w z u x, v y
v v 0, 1 x y 可知柯西-黎曼方程不满足， 所以w z 在复平面内处处不
f (z) g ( z ) f ' ( z ) f ( z ) g' ( z ) (5)[ g( z ) 0 ] 2 g( z ) g (z) (6){ f [ g ( z )]} f ( w ) g( z ) 其中 w g ( z )
1 (7) f ( z ) 其中 w f ( z ) 与z ( w ) 是两个互 '( w ) 为反函数的单值函数且 ' ( w ) 0
处处不解析。
1 例 4 研究函数w 的解析性。 z
解：因为w 在复平面内除了 z 0 点外处处可导，且
dw 1 2 dz z
1 所以在除 z 0 外的复平面内，函数w 处处解析， z 而 z 0 是它的奇点。
对解析函数我们有如下定理：
g( z ) 的和、 定理：(1)在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与
x
（2）不论 z0 z z0 的方式如何，极限
解析函数
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
复变函数课件2-2函数解析的充要条件
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
解 (1) w z ,
u x, v y,
u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y 不满足柯西－黎曼方程,
5
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
6
例2 解
函数 f ( z ) xy 在点 z 0 不可导.
18
例5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u , 求 f ( z ).
2
解
u v u 2u , x y y u v u 2 u , y x x
2 2
2
4
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
所以 u 常数, v 常数,
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
21
参照以上例题可进一步证明:
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) 恒取实值;
复变函数 _第3讲
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
11
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
x
9
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z ) 在 z 0 解析 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数 ).
14
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 的奇点 . f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为
4
例1 解
求 f ( z ) z 的导数 .
2
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
5
例2 解
讨论 f ( z ) Im z 的可导性 .
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
11
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
x
9
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z ) 在 z 0 解析 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数 ).
14
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 的奇点 . f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为
4
例1 解
求 f ( z ) z 的导数 .
2
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
5
例2 解
讨论 f ( z ) Im z 的可导性 .
03充要条件.doc
充要条件北京四中 吕宝珠知识要点：一、充要条件(1)若 ，则p 是q 的充分非必要条件；(2)若 ，则p 是q 的必要非充分条件；(3)若 ，则p 是q 的充要条件；(4)若 ，则p 是q 的非充分非必要条件．二、充分、必要条件的判定方法(1)定义法；(2)传递法；(3)集合法：若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现， 即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；(4)等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结论， 有时可以准确快捷地得出结果．三、典型例题例1 判断下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a>b ，q ：a>b －1.(2)p ：a>b ，q ：lga>lgb(3)p ：a>b ，q ：2a >2b(4)p ：a>b ，q ：a 2>b 2探究 判定充要条件应注意：①弄清条件p 和结论q 分别是什么？②尝试p ⇒q ，q ⇒p .③一定要熟悉命题内容涉及到的知识．思考题 判断下列各题中p 是q 的什么条件？ (1) p ：a >b ，q ：a >b .(2) p ：a >b ，q ：2a >2b －1.(3 )p ：x 2－2x －3≥0，q ：x ≤1或x ≥2. (4) p ：ΔABC 中，∠A ≠60°，q ：sin A ≠32. (5) 设向量AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，p ：A 、B 、C 三点构成三角形； q ：a ＋b ＋c ＝0例2、已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0， 若﹁p 是﹁q 充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 解析：由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴﹁p ：x ＜1或x ＞5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴﹁q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.又∵﹁p 是﹁q 充分而不必要条件，例3、已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同的交点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B例4、对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件∴ ⎩⎨⎧ m －1≥1，m ＋1≤5.2≤m ≤4。
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f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z , l z 0 i ( z ) m 0 .
证法2: 由连续的定义
z l z 0 i (f( m z ) f( z 0 ) ) z l z 0 i [f( m z z ) z f0 ( z 0 )( z z 0 ) ] f( z 0 )0 0
举例:多项式, 有理分式函数 解析函数的特性
➢ 解析函数可无限可导 ➢ 非常值解析函数的零点孤立 ➢ 在局部上解析函数是幂级数的和函数
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f( z ) u ( x ,y ) 定 义i( 在x v ,y 区)域 内，则 D f (z在) 内D一点 z可x导i的y充要条件是： 与u(x,在y)点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
§1 解析函数的概念
求导法则:
(1) (c ) 0 (c 为 任 意 的 复 常 数 )
(2) (zn)nzn1(n为正整 ) 数
(zn)lim(zz)nzn
z 0
z
limznc1 nzn1zcn 2zn2(z)2 (z)nznnzn1
z 0
z
(3) (f(z) g (z)) f(z) g (z)
Example1.求函数 f (z)的导z2函数.
Example2. f(z)x是否2可y导i ?
该函数在复平面内是处处连续但处处不可导.导数的性质
神秘的无穷小量
n 牛顿的看法:在他的一些经典的推导中,他既用无穷
小量作分母进行除法,这意味着无穷小量不是零;然而 他又把被无穷小量所乘的项当做没有而去掉,这说明他 又认为无穷小量是零.奇怪的是,这样所推导的公式在 力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的.他本人 也意识到了这种逻辑上的混乱,但无法摆脱.
(4) (f(z )g (z ) ) f(z )g (z ) f(z )g (z ) (5) (g f((z z)))f(z)g (z g )2 (zf)(z)g (z)(g (z)0 )
§1 解析函数的概念
( f( g ( z ) ) ) f ( w ) g ( z ) ( w g ( z ) )
(1)当函数在某一点上域内
解析
可导
连续
Example. f(z)z2,g (z)x 2y,h i(z)z2
判断三个函数的连续性,可导性和解析性.
Thinking. f (z) z
§1 解析函数的概念
定理 （1）在区域 D内解析的两个函数 f和(z) 的g和(z)、差、 积、商（除分母等于零的点）在 内解析. D （2）设函数 hg在(z) 平面z上的区域 内解D析，函数 在 w平面f(的h)区域h 内解析，若G ，则复合g(函D)数G 在 内解析. wf[g(z)] D
可导
D
. z z 0
解析
若 f ( z在) 处z 不0 解析,则称 为 z 0的奇f 点( z).
奇点产生的原因有很多,比如函数在该点没定义,或者不 连续,或者连续却不可导,或者可导却不能保证在该点的 某个邻域内可导等等情况.
总之 f (在z) 点z具0 有奇异性.
§1 解析函数的概念
连续,可导与解析三者之间的关系
n 莱布尼茨的看法:莱布尼茨也无法解释为什么两个
无穷小量之比可能是一个有限数.因此他对无穷小量产 生了疑问: “无穷小量是否真的存在?它们有没有严格 的依据?”
神秘的无穷小量
英国主教贝克莱曾嘲笑无穷小量是“逝 去的量的灵魂”. 德国数学家魏尔斯特拉斯总结了前人的 工作,于1855年给出了极限的严格定义,
第二章 解析函数
✓§1 解析函数的概念 ✓§2 解析函数的充要条件
§3 初等函数 — 指数函数 — 对数函数 — 幂函数 — 三角函数
上次课主要内容回顾
什么是区域? D
区域
区域的分类问题?
有界的单 连通区域
有界区域和无界区域, 单连通区域和多连通区域
复变函数的极限定义与连续性
§1 解析函数的概念
(6) f(z)(1 w ) (7)（ 其 中 w f(z)与 z(w )互 为 反 函 数 的 单 值 函 数 且 (w )0）
可导与可微的关系
f(z0)ddw zzz0 dwf(z0)dz
§1 解析函数的概念
定义 若函数 w在f(z)的某z 0 邻域内可导，则称
f (z)
在 z 0处解析.若 f在(z区) 域 内每D一点均解析，称 f (在z) 区域 内D解析.
定义 设函数 wf定(z义) 于区域 ， D，z若0极D限
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在，则称 f (在z) 处z 0可导，该极限值称为 在f (z)处的z 0导 数.记为
或f(z0) .
dw d z zz0
若函数在区域内处处可导,就称该函数在区域内可导,又 若其导函数连续则称该函数是连续可导,若其导函数可 导则称该函数二阶可导,若函数的各阶导函数都存在则 称该函数无穷次可导或可微.
uaxby1x2y, vbxay2x1y.
u,v在 (x,y)可微，且 au满 v,足 b方 u 程 v. x y y x
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f( z ) u ( x ,y ) 定 义i( 在x v ,y 区)域 内，则 D f (z在) 内D一点 z可x导i的y充要条件是： 与u(x,在y)点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
即今天的"和N" "说法,"他与德国数学
家戴德金,康托一起创立了实数理论. 至此,人们才知道无穷小量只不过是在某 个变化过程中以零为极限的变量.
导数
§1 解析函数的概念
可导与连续的关系
连续不一定意味着可导,而可导必然连续.
性质 若函数 f (在z) 处z 0可导，则 在f (z处) 连z续0 . 证法1:由导数的定义 f(z0) lz i0m f(z0 zz )f(z0)等价于：
uv, uv. x y y x
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,l i m ( z ) 0 .
z 0
f ( z z ) f ( z ) u i v , f ( z ) a i ,( b z ) 1 i 2
证法2: 由连续的定义
z l z 0 i (f( m z ) f( z 0 ) ) z l z 0 i [f( m z z ) z f0 ( z 0 )( z z 0 ) ] f( z 0 )0 0
举例:多项式, 有理分式函数 解析函数的特性
➢ 解析函数可无限可导 ➢ 非常值解析函数的零点孤立 ➢ 在局部上解析函数是幂级数的和函数
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f( z ) u ( x ,y ) 定 义i( 在x v ,y 区)域 内，则 D f (z在) 内D一点 z可x导i的y充要条件是： 与u(x,在y)点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
§1 解析函数的概念
求导法则:
(1) (c ) 0 (c 为 任 意 的 复 常 数 )
(2) (zn)nzn1(n为正整 ) 数
(zn)lim(zz)nzn
z 0
z
limznc1 nzn1zcn 2zn2(z)2 (z)nznnzn1
z 0
z
(3) (f(z) g (z)) f(z) g (z)
Example1.求函数 f (z)的导z2函数.
Example2. f(z)x是否2可y导i ?
该函数在复平面内是处处连续但处处不可导.导数的性质
神秘的无穷小量
n 牛顿的看法:在他的一些经典的推导中,他既用无穷
小量作分母进行除法,这意味着无穷小量不是零;然而 他又把被无穷小量所乘的项当做没有而去掉,这说明他 又认为无穷小量是零.奇怪的是,这样所推导的公式在 力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的.他本人 也意识到了这种逻辑上的混乱,但无法摆脱.
(4) (f(z )g (z ) ) f(z )g (z ) f(z )g (z ) (5) (g f((z z)))f(z)g (z g )2 (zf)(z)g (z)(g (z)0 )
§1 解析函数的概念
( f( g ( z ) ) ) f ( w ) g ( z ) ( w g ( z ) )
(1)当函数在某一点上域内
解析
可导
连续
Example. f(z)z2,g (z)x 2y,h i(z)z2
判断三个函数的连续性,可导性和解析性.
Thinking. f (z) z
§1 解析函数的概念
定理 （1）在区域 D内解析的两个函数 f和(z) 的g和(z)、差、 积、商（除分母等于零的点）在 内解析. D （2）设函数 hg在(z) 平面z上的区域 内解D析，函数 在 w平面f(的h)区域h 内解析，若G ，则复合g(函D)数G 在 内解析. wf[g(z)] D
可导
D
. z z 0
解析
若 f ( z在) 处z 不0 解析,则称 为 z 0的奇f 点( z).
奇点产生的原因有很多,比如函数在该点没定义,或者不 连续,或者连续却不可导,或者可导却不能保证在该点的 某个邻域内可导等等情况.
总之 f (在z) 点z具0 有奇异性.
§1 解析函数的概念
连续,可导与解析三者之间的关系
n 莱布尼茨的看法:莱布尼茨也无法解释为什么两个
无穷小量之比可能是一个有限数.因此他对无穷小量产 生了疑问: “无穷小量是否真的存在?它们有没有严格 的依据?”
神秘的无穷小量
英国主教贝克莱曾嘲笑无穷小量是“逝 去的量的灵魂”. 德国数学家魏尔斯特拉斯总结了前人的 工作,于1855年给出了极限的严格定义,
第二章 解析函数
✓§1 解析函数的概念 ✓§2 解析函数的充要条件
§3 初等函数 — 指数函数 — 对数函数 — 幂函数 — 三角函数
上次课主要内容回顾
什么是区域? D
区域
区域的分类问题?
有界的单 连通区域
有界区域和无界区域, 单连通区域和多连通区域
复变函数的极限定义与连续性
§1 解析函数的概念
(6) f(z)(1 w ) (7)（ 其 中 w f(z)与 z(w )互 为 反 函 数 的 单 值 函 数 且 (w )0）
可导与可微的关系
f(z0)ddw zzz0 dwf(z0)dz
§1 解析函数的概念
定义 若函数 w在f(z)的某z 0 邻域内可导，则称
f (z)
在 z 0处解析.若 f在(z区) 域 内每D一点均解析，称 f (在z) 区域 内D解析.
定义 设函数 wf定(z义) 于区域 ， D，z若0极D限
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在，则称 f (在z) 处z 0可导，该极限值称为 在f (z)处的z 0导 数.记为
或f(z0) .
dw d z zz0
若函数在区域内处处可导,就称该函数在区域内可导,又 若其导函数连续则称该函数是连续可导,若其导函数可 导则称该函数二阶可导,若函数的各阶导函数都存在则 称该函数无穷次可导或可微.
uaxby1x2y, vbxay2x1y.
u,v在 (x,y)可微，且 au满 v,足 b方 u 程 v. x y y x
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f( z ) u ( x ,y ) 定 义i( 在x v ,y 区)域 内，则 D f (z在) 内D一点 z可x导i的y充要条件是： 与u(x,在y)点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
即今天的"和N" "说法,"他与德国数学
家戴德金,康托一起创立了实数理论. 至此,人们才知道无穷小量只不过是在某 个变化过程中以零为极限的变量.
导数
§1 解析函数的概念
可导与连续的关系
连续不一定意味着可导,而可导必然连续.
性质 若函数 f (在z) 处z 0可导，则 在f (z处) 连z续0 . 证法1:由导数的定义 f(z0) lz i0m f(z0 zz )f(z0)等价于：
uv, uv. x y y x
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,l i m ( z ) 0 .
z 0
f ( z z ) f ( z ) u i v , f ( z ) a i ,( b z ) 1 i 2