高三数学最后一卷文
福建省部分重点高中2024届高三最后一卷数学试题文试题
福建省部分重点高中2024届高三最后一卷数学试题文试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 2．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718 B ．79 C ．718- D ．79-3．已知点P 是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D ．2 4．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<<D ．116a >6．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．10C ．10 D7．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．8．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ）①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a <<A ．1B ．2C ．3D ．4 9．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．32B ．18C ．321-D ．1962-10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．154C ．265D ．1511．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加12．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市中学2024届高三最后一卷数学试题含答案
合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，1cos 4α=，所以sin 2α==14+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为133OE FG PG ===，2AE =，所以3R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()1cos 211π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则1113sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()34342222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()12111221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。
安徽省合肥2024届高三下学期最后一卷数学试题含答案
合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线方程2:4C y x =，则其焦点坐标为（）A ．()0,1B ．()0,2C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭2．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有A B C D E 、、、、五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A B C 、、三位同学，但A 不是第一名，D E 、两名同学只知道在6至9名，且D 的成绩比E 好，则这5位同学总分名次有多少种可能（）A ．6B ．12C ．24D ．483．已知“正项数列{}n a 满足14nn n a a +⋅=”，则“212a a =”是“数列{}n a 为等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数()()2e cos 2e e 1x x x f x =-（e 为自然函数的底数）的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知角A B C 、、的对边分别为a b c 、、满足2sin sin sin b A Ca c B+=-，则角B 的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π36．已知事件,A B 满足：()()()241,,355P B P A B P B A ===，则()P A =（）A ．34B ．29C ．13D ．237．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）A ．21B ．24C ．27D ．328．已知函数()f x （()f x 不恒为零），其明()f x '为()f x 的异函数，对于任羍的,x y ∈R ，满足()()()()22f x y f x y fx f y +-=-，且()()11,20f f ==，则（）A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．()1f x '+龹于直线1x =对称D ．81()1k f k =-=-∑二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．复数1ii iz +=-（i 为虚数单位）的虚部为2-B ．已知复数12,z z ，若22120z z +=，则120z z ==C ．若1,z z =∈C ，则2z -的最小值为1D ．已知复数12,z z ，复数2z 的虚部不为0，则1122z z z z =10．如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AC 上的动点，则（）A ．不存在点P ，使得1AP CD ⊥B ．1D P AP ⋅的最小值为13-C ．当1123A P AC = 时，1D P AP ⊥ D ．若平面ABCD 上的动点M 满足1π6MD C ∠=，则点M 的轨迹是直线的一部分11．已知函数()()πsin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,2π上有且仅有5个零点，则（）A ．()f x 在()0,2π上有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,2π上有且仅有2个极小值点C ．当π5ϕ=时，ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．当π5ϕ=时，()f x 图像可能关于直线π2x =对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在四边形ABCD 中，2BC AD =，且1,AD CD AD CD ==⊥，则AA BD ⋅= ______．13．设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，()f x '为其导函数，且满足()()()252210,13x f x xf x f -+-==⎡⎤⎣⎦'，则函数在)3,3f处的切线方程为______．14．如图，已知圆222:O x y a +=和椭圆四2222:1(0)x y C a b a b +-=>>，点()()0,,0,A a B b -，()()1,0,,0,0,2a D H a B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AP 交x 轴于D ，直线PQ 平行y 轴交C 于Q （点Q 在x 轴上方），TK KH =，直线BK 交C 于多一点于M ，直线1B M 交x 轴于点(3,0)N ，则椭圆的长轴长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．（1）求李想第二次答题通过面试的概率；（2）求李想最终通过面试的概率。
安徽省合肥市第八中学2023届高三最后一卷数学试题
点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥得到.已知 AB = 2 ，若该半正
多面体的表面积为S ，体积为V ，则 S 为（ ） V
A． 3 3 + 9 5
B． 3 3 +12 7
C．2
D． 3 2
4．若
f
(x) =
ln
1 2x -
1
+
m
+ n 为奇函数，则
f
(1) = （
）
A．3
B．2
C． ln3
点 M , N , S 是棱 PC 上的点，平面 SMN 与棱 PA 的延长线相交于点 Q ，与棱 PB 的延长线
相交于点 R ，则（ ）
( ) A．存在点
S
与直线
MN
，使
uuur PS
×
uuur uuur PQ + PR
=0
B．存在点S 与直线 MN ，使 PC ^ 平面 SRQ
C．若
uuuur PM
四、解答题
17．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，请从以下三个条件中选择一个完成解答. ①数列{an} 是首项为 2 的单调递减的等比数列，且8a1,9a2 ,9a3 成等差数列；
② Sn = 6 - 2an ； ③ a1 + 3a2 + 32 a3 +L + 3n-1 an = 2n+1 - 2 .
安徽省合肥市第八中学 2023 届高三最后一卷数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合
A
=
ì í î
陕西省2025届高三最后一卷数学试卷含解析
陕西省2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-2．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．1023．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-5．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．456．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．77．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()27,8B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,78．已知()3,0A -，()3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥9．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>10．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ） A ．﹣21B ．﹣24C ．85D ．﹣8511．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>12．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市第一中学高三最后一卷数学答案和解析
合肥一中2023届高三最后一卷数学参考答案1.解析：因为][0,2,2,0A B ⎡⎤==-⎣⎦所以{}(){}0,0R A B A B x Rx ⋂=⋂=∈≠∣ð.故选：C .2.解析：因为1z =+，所以1z =，故z 的虚部是.故选：A .3.解析：5x =，故0.155 5.75 6.5y =⨯+=，经计算可得被污损的数据为6.4，答案选B .4.解析：曲线1:sin 2cos22C y x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，把1:cos2C y x =上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，可得cos3y x =的图象；再把得到的曲线向左平移18π个单位长度，可以得到曲线25:cos 3cos 366C y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选：C.5.解析：设直线1y =与y 轴交点为M ，由对称性，易知MFA 为直角三角形，且1602AFM AFB ∠∠== ，2AF FM ∴=，即1212p +=，去绝对值，解得23p =或6,p =∴抛物线的准线方程为13y =-或3y =-.故选：C.6.解析：一方面，考虑{}Ω,,,a b c d =含有等可能的样本点，{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===.则()()()()()()11,24P A P B P C P AB P BC P AC ======，故,,A B C 两两独立，但()1148P ABC =≠，故此时，()()()()P ABC P A P B P C =不成立.另一方面，考虑{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8=含有等可能的样本点，{}{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,4,6,7,8A B C ===.则()()()()11,28P A P B P C P ABC ====()111822P AC =≠⨯，故,A C 不独立，也即,,A B C 两两独立不成立.综上，“,,A B C 两两独立”是“()()()()P ABC P A P B P C =”的既不充分也不必要条件.故选D.7.解析：作AQ 垂直下半平面于，作AH x ⊥轴于H ，连接,HQ QB .设11,,,(0)A m B m m m m ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题可知60AHQ ∠= ，则11,,22AH QH AQ m m m ===，两点间距离公式可得222144QB m m =+.22222144AB AQ QB m m =+=+≥，当且仅当22m =时，AB 取最小值2.故选A.8.解析：因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+①，所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称，因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②，又()()31f x g x -+=③，②+③得()()132f x f x -+-=④，即()()132f x f x +++=，即()()22f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，又()()13g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得()()132f x f x ++-=，故()f x 的图象关于点()2,1中心对称，且()21f =，故选项A 正确，易得()()01,41f f ==，且()()132f f +=，故()()()()12344f f f f ++==，故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑，因为()1f 与()3f 值不确定，故选项C 错误，因为()()31f x g x -+=，所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-，所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦，故()()()()01230g g g g +++=，故2023()50600i g i ==⨯=∑，所以选项D 正确，故选C .9.解析：A.()()22AD AF AB AF ED =+=+，故A 错误；B.因为()()2,22||AB EA AB EA FA AB FA AB EB AB ⊥⋅+=⋅=⋅= ，故B 正确；C.()()11,22BC CD FE BC BC CD FE FE ⋅=⋅= ，又BC FE =，所以()()BC CD FE BC CD FE ⋅=⋅ ，故C正确；D.AE 在CB方向上的投影向量为()3322AE CB CB AE CB CB CB e CB CB⋅=⋅=-=，故D 错误.故选BC .10.解析：由切线长定理易得12l r r =+，A 正确.由勾股定理知()()222121212(2)4R r r r r r r =+--=，解得R =，B 正确.()()()222122222221212121212124422S R R R S r r r r r r r r l r r r r ππππ===+++++++.()()33212222222121212121212442331233R R V R R V r r r r r r r r h r r r r ππππ===++++++.所以1122,C S V S V =正确.1122212212122122231S r r r r S r r r r r r ==≤++++，当且仅当12r r =时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D 错误.综上，答案为ABC .11.解析：以BC 为x 轴，DA 为y 轴建系，则()(0,0,D A 可以求得动点M 的轨迹方程：22302x y y +-=.这是一个圆心在点0,4P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为34的圆(不含原点)D A 项：()1,0B -，所以max 193||4BM BP r =+=.故A 错误B项：2222||1||11424CB MB MC MD MD ⎛⎫⋅=-=-≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭ .故B 正确C 项：易知直线:10AB x y -+=，故1328ABM M AB S AB d -=≤.故C 错误D 项：易知cos MBC ∠取最小值，当且仅当MBC ∠取最大值，也即BM 与P 相切时.此时3tan 24MBC ∠=，故221tan 132cos 191tan2MBCMBC MBC ∠∠∠-==+.故D 正确.故选：BD.12.解析：由sin 0,cos 0x x >>得()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,2x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不在定义域内，故()()f x f x π+=不成立，易知()f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误，又()22222cos log cos 2sin log sin 2f x x x x x f x π⎛⎫-=⋅+⋅=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以选项B 正确，因为()222222sin log sin cos log cos f x x x x x =⋅+⋅，设2sin t x =，所以函数转化为()()()()()()2222log 1log 1,0,1,log log 1g t t t t t t g t t t =⋅+-⋅-∈='--，所以()0g t '>得，()0g t '<得102t <<，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故min 1()12g t g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即min ()1f x =-，故选项C 正确，因为()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由2sin t x =，令210sin 2x <<得20sin 2x <<，又()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得22,4k x k k Z πππ<<+∈，因为2sin t x =在2,24k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的单调递减区间为2,2,4k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，同理函数的递增区间为2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选BCD.13.解析：因为22(1)y x =-'，所以曲线11xy x+=-在点()2,3-处的切线斜率为2，所以切线方程为()322y x +=-，即27y x =-，即270x y --=.14.解析：法1：()tan tan tan 1,tan tan tan tan 11tan tan αβαβαβαβαβ++==-∴+=-- .()()()cos sin 1tan tan tan tan 2cos cos βααβαβαβαβ--+∴=-++=.法2：（特殊值法）令38παβ==，易得答案.15.解析：0.255205.2550.250.0025510.0199=+++=+=- .16.解析：设双曲线的右焦点为2F ，根据双曲线方程知，2c =.直线过原点，由对称性，原点O 平分线段原点AB ，又原点O 平分线段2,FF ∴四边形2AFBF 为平行四边形.ABF 和2ABF 中，分别有中位线，,OP BF OQ AF ∥∥，,,OP OQ AF BF ⊥∴⊥∴ 四边形2AFBF 为矩形，2BFF ∴ 为直角三角形.不妨设B 在第一象限，设直线AB 倾斜角为2θ，则2,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且OFB OBF ∠∠θ==，在Rt 2BFF中可得：22124cos 4sin ,2cos 2sin 4c a BF BF e a θθπθθθ∴=-=-∴===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,,,3264ππππθθ⎡⎫⎡⎫∈∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，易知()14f θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上为增函数，)11,4e ∞πθ∴=∈+⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解析：（1）因为1cos 3B =，所以2222sin 1cos 2costan 222cos 2A CB AC B A C ++++=++()()1cos 1cos 21cos A C B A C -++=+++1cos 1cos 821cos 3B B B ++=+=-.（2）因为ABC S =1122sin 223ac B ac =⋅=，所以6ac =再由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，即222614263c c ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，也即4220360c c -+=，解得c =c =.18.解析：（1）因为21342n n n n S S S a +++=-，所以()21132n n n n n S S S S a +++-=--，即2132n n na a a ++=-所以()()()()()()21111111223222220n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++---=----=---=（为常数）所以数列{}12n n a a +-是等差数列.（2）由（1）知121221n n a a a a +-=-=，即121n n a a +=+.也即()1121n n a a ++=+，又112a +=，所以11222n n n a -+=⋅=..所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===-⎢+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦.∴数列{}n b 的前n 项和()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=-=-⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦19.（1）补全四面体PQRS 如图，即证：PQ SR ⊥取SR 的中点M ，正四面体中各个面均为正三角形，故,PM SR QM SR ⊥⊥，又PM QM M ⋂=，所以SR ⊥面PQM .又PQ ⊂面PQM ，所以PQ SR ⊥.（2）在QSR 的中心建系如图：则()(33,,,0,,02222S P R Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,0,,,33623A C ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31,,022K ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，.设面ACK 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()n =- ，又33,,22PQ ⎛=- ⎝ ，所以22sin cos ,11n PQ θ== .20.解析：（1）设事件A 为“小周在这三个月集齐三款模型”，则()3333111034500A P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）1,2,,12X = ，由题意得()()1911,2,,111010k P X k k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()1191210P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭11111199()12101010k k k E X -=⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑，错位相减求得最后结果为()11910910E X ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.21.解析：（1）将()1,1M 代入，可以求得243b =.联立22314410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得24610x x --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12262AB x =-=，又易知点M 到直线l的距离为2，故ABM的面积4ABM S = ..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立22314410x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得()223230t y ty +--=，则1221222333t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，11sin ,sin 22ABM PQM S AM BM AMB S PM QM PMQ ∠∠== ，又sin sin PMQ AMB∠∠=所以5PQM ABM S S = 等价于5PM QM AM BM =，也即5QM AM BMPM=5QM AMBMPM =即1251313x x -=-，也即129115x x --=，也即1295ty ty --=，也即223935t t =+，解得322t =±.22.解析：（1）()ln f x x ax =-'在()0,∞+上有两个变号零点，即ln xa x=有两个不等实根，设()()2ln 1ln ,x x g x g x x x-'==，故()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，所以max 1()g x e=，且()10g =，又(),0x g x ∞+→+→，故10a e<<，且121x e x <<<，所以()2111111ln 12f x x x ax x =--+，又11ln x a x =，所以()21111111111ln 11ln 1ln 122x f x x x x x x x x x =-⋅⋅-+=-+，设()()1ln 1,1,2h x x x x x e =-+∈，所以()()1ln 102h x x =-<'，所以()h x 在()1,e 上单调递减，所以()1,02e h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以()11,02e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）法一：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以()2121ln ln x x a x x -=-，得：2121ln ln x x a x x -=-，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：123ln22ax ax +<，即证：()2123ln2a x x ->，即证：()212121ln ln 23ln2x x x x x x -->-，即证：2211212ln 3ln2x x xx x x -⋅>-，即证：22121121ln 3ln21x x x x x x -⋅>-，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-，设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法二：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以2211ln ln x x x x =，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，.由2211ln ln x x x x =可得：12ln ln ln ,ln 11t t tx x t t ==--，.要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：ln 2ln 3ln211t t t t t +<--，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法三：由（1）知：10a e<<，且121x e x <<<，()ln xg x x=在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，又1122x x x <<，且()()12g x g x a ==，所以()()()2112g x g x g x =<，所以1111ln ln22x x x x <，所以211ln ln2x x <，所以2112x x <，所以112x <<，又()ln222g =，所以ln202a <<，又ln2ln424=，即()()24g g =，所以24x >，因为122x x <，所以212284x x x <<，故2128x x <.。
陕西省高三高考前最后一卷数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．已知，则的值为（ ）()3i i ,a b a b =-∈R a b +A ． B ．0 C ．1 D ．21-【答案】C【分析】由复数相等的充要条件可得的值.,a b 【详解】因为，所以，()3i i ,a b a b =-∈R i i a b -=-由复数相等的充要条件得，所以.0,1a b ==1a b +=故选：C.2．已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（）{}Z 24A x x =∈-<<{}R 1B x x =∈<A ．B ．C ．D ．{}14x x ≤<{}1,0-{}1,2,3{}21x x -<<【答案】C【分析】根据给定条件，用列举法表示集合A ，再结合韦恩图列式求解作答.【详解】依题意，，而阴影部分表示的集合是，{1,0,1,2,3}A =-()A B R ð又，则，{}R 1B x x =∈<{}R R 1B x x =∈≥ð所以.{}R 3()1,2,A B = ð故选：C3．设，则“”是“”的（ ）x ∈R 1x <ln 0x <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据对数函数定义域可知充分性不成立；由对数函数单调性可确定必要性成立.【详解】当时，若，则无意义，充分性不成立；1x <0x ≤ln x 当时，，成立，必要性成立；ln 0x <01x <<1x ∴<综上所述：，则“”是“”的必要不充分条件.x ∈R 1x <ln 0x <故选：B.4．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为（ ）a b a - a b A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】对两边平方，再根据向量，为单位向量，可得，由此即可求a - a b 1cos ,2a b 〈〉=- 出结果.【详解】因为，所以，a - 22447a ab b -⋅+= 又向量，为单位向量，所以，所以，即a b 54cos ,7a b -〈〉= []1cos ,,,0,π2a b a b =-∈ ，120,a b 〈〉=︒ 故向量与向量的夹角为.a b 120︒故选：C.5．在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差.后来又转学来一位同学.若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是（ ） A ．班级平均分不变，方差变小B ．班级平均分不变，方差变大C ．班级平均分改变，方差变小D ．班级平均分改变，方差变大【答案】A 【分析】根据平均数以及方差的计算公式，求得转来一位同学后的平均值和方差，比较可得答案. 【详解】设该班原有n 个学生，平均分为 ，方差为 ，x 2s 则， 222212121,[(()(]n n x x x x s x x x x x x n n +++==-+-++- 故，22221212,(()(n n x x x nx x x x x x x ns +++=-+-++-= 则转来一位同学后的平均分为， 1211n x x x x nx x x n n +++++==++ 方差， 222222121[()()()()]11n ns x x x x x x x x s n n -+-++-+-=<++ 故选：A.6．已知函数，则对任意非零实数x ，有（ ） 1()e 1x f x =-A ． B ．()()0f x f x --=()()1--=-f x f x C ．D ． ()()1f x f x -+=()()1f x f x -+=-【答案】D【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答.()()f x f x --()()f x f x -+【详解】函数，， 1()e 1xf x =-0x ≠则，显然，且11e 1e 1e 1e 11e e 1e 1()()x x x x x x x f x f x -+-=-=-=-------()()0f x f x --≠，AB 错误；()()1f x f x --≠-，D 正确，C 错误. 11e 11e 1e )11(1)e e (x x x x x f x f x -+=+=--+-=---故选：D7．函数的图像大致是（ ）()()e e cos 2x x f x x -=+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由定义得到的奇偶性，排除BC ，代入特殊点，排除D ，得到正确答案.()f x 【详解】的定义域为R ，且()()e e cos 2x x f x x -=+，()()()()e e cos 2e e cos 2()x x x x f x x x f x ---=+-=+=故为偶函数，排除BC ；()()e e cos 2x x f x x -=+又，故A 正确，D 错误.(0)2cos 02f ==故选：A8．为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示x y 的散点图：则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是y x （ ）A ．B ． y a bx =+e x y a b =+C ．D ．b y a x =+2y a bx =+【答案】C【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C 正确.故选：C.9．已知两定点，，直线：上满足的个数()0,1M -()0,1N l y x =+l PM PN +=P 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1或2【答案】B【分析】求出点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的点的P P 个数．【详解】详解：∵，，∴在以为焦点，PM PN +=2MN=P ,M N由于，，因此， 2a =a =1c=1b ==椭圆方程为， 2212y x +=由，解得,∴点只有一个．2212y x y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P 故选：B ．10．已知点P 在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ ）1111ABCD A B C D -PA PB ⋅A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】取中点，连接，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.AB O PO 【详解】取中点，连接，如图，AB O PO则， ()()2221PA PB PO OA PO OB PO OA PO ⋅=+⋅+=-=- 当在正方体表面上运动时，运动到或处时，最大，P 1D 1C PO 所以,2222max 19PO D D DA AO =++= 所以的最大值为8.PA PB ⋅ 故选：C11．设，，，则（ ） ln 5ln 3a =-232e 5b =23c =A ．B ． b c a >>a b c >>C ．D ．a cb >>c a b >>【答案】A 【分析】要比较的大小只需比较与的大小，故考虑构造函数，利,a c 2ln 13⎛⎫+ ⎪⎝⎭23()()ln 1f x x x =+-用函数的单调性比较其大小，要比较的大小，只需比较与的大小，故考虑构造函数,b c 23e 213+，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.()e 1x g x x =--【详解】因为，又 52ln 5ln 3ln ln 133a ⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭23c =由函数，， ()()ln 1f x x x =+-01x <<可得， ()11011x f x x x-'=-=<++所以函数在上为减函数，()()ln 1f x x x =+-()0,1所以， ()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，故，所以， 22ln 1033⎛⎫+-< ⎪⎝⎭2ln 5ln 33-<a c <因为，， 232e 5b =23c =故要比较的大小只需比较与的大小， ,b c 23e 53故只需比较与的大小， 23e 213+故考虑构造函数，其中，()e 1x g x x =--01x <<由求导可得，()e 1x g x x =--()e 10x g x '=->所以函数在上单调递增，()e 1x g x x =--()0,1所以， ()203g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以， 232e 103-->所以，即， 232e 13>+235e 3>所以，即， 2322e 53>b c >所以，b c a >>故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于观察被比较的数的结构特征，确定两者的结构上的共性，考虑构造函数，利用函数的单调性确定被比较的数的大小.12．椭圆E ：的左右焦点分别为，，点P 在椭圆E 上，的重心为()222210x y a b a b+=>>1F 2F 12PF F △G .若的内切圆H 的直径等于，且，则椭圆E 的离心率为（ ） 12PF F △1212F F 12GH F F ∥A B ． C D ． 2312【答案】D【分析】根据题意表达出，利用两种方法表达出焦点三角形面积，求出，求332P H c y y ==2a c =出离心率.【详解】因为的重心为G ，设，，，所以，因为12PF F △(),P P P x y ()11,G x y (),H H H x y 113P y y =，所以，因为的内切圆H 的直径等于，所以半径为，故12GH F F ∥13H P y y =12PF F △1212F F c =2c ，从而，根据椭圆定义得：，其中2H c y =332P H c y y ==122PF PF a +=，又，122121322PF F P P c S F F y c y =⋅⋅=⋅= ()()1221212112222222PF F c c ac c S PF PF F F a c +=⋅++⋅=+⋅= 从而，解得：，所以E 的离心率为. 22322c ac c +=2a c =12c a =故选：D二、填空题13．曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 21()ln 2f x x x x =+(1(1))f ，10ax y --==a 【答案】． 12-【分析】先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可求出结果. 21()ln 2f x x x x =+(1(1))f ，【详解】因为，所以， 21()ln 2f x x x x =+()ln 1f x x x '=++因此，曲线在点处的切线斜率为； 21()ln 2f x x x x =+(1(1))f ，(1)112k f '==+=又该切线与直线垂直，所以. 10ax y --=12a =-故答案为 12-【点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 14．已知，则的值是__________． tan 2θ=1sin 2cos 2θθ+【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可.tan 2θ=【详解】因为，tan 2θ=所以 2211sin 2cos 22sin cos cos sin θθθθθθ=++- 2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ+=+- 221tan 2tan 1tan θθθ+=+-， 221252212+==⨯+-故答案为：5.15．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件A B 为“取到的两个数均为偶数”，则________．(|)P B A =【答案】 13【分析】根据条件概率公式，结合组合数公式，即可求解.【详解】因为事件，所以， B A ⊆()()2327C 1C 7P AB P B ===而，所以. ()223427C C 3C 7P A +==()()()()()13P AB P B P B A P A P A ===故答案为： 1316．已知圆，直线（、不同时为0），当、变化22:16C x y +=()():20l a b x b a y a -+--=a b a b 时，圆被直线截得的弦长的最小值为______.C l 【答案】【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l 截得l (1,1)--C 的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线化为 ，()():20l a b x b a y a -+--=(21)()0a x y b x y --+-+=，恒过定点， 210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩(1,1)--当圆被直线l 截得的弦长的最小值时，C 圆心到定点(0,0)(1,1)--=圆心到直线()():20l ab x b a y a -+--=此时直线弦长为最小值=故答案为：.三、解答题17．正项数列的前n 项和为，已知．{}n a n S 221n n n a S a =+(1)求证：数列为等差数列，并求出，； {}2n S n S n a (2)若，求数列的前2023项和． (1)nn nb a -={}n b 2023T 【答案】(1)；=n S =n a (2).2023T =【分析】（1）将代入递推公式即可求出答案；1n n n a S S -=-（2）将通项公式代入，将展开并项求和即可得出答案.n a {}n b 2023T 【详解】（1）由可得，，221n n n a S a =+221121S S =+又因为为正项数列的前n 项和，所以，n S {}n a 111S a ==因为，所以，1n n n a S S -=-()()21121n n n n n S S S S S ---=-+所以，数列为等差数列， ()22112n n S S n --=≥{}2n S所以 ，，，所以2n S n =n S ())112n n a n ⎧==≥=n a（2）， (1)(1)nn n n b a -==-202311T =-++⋅⋅⋅=18．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，P ABCD -ABCD PB ⊥ABCD 3AB BC ==3BP =，，． 13CF CP =13DE DA =(1)证明：平面；EF P ABP (2)求直线与平面所成角的正弦值．PC ADF 【答案】(1)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线EF ABP 面角即可.【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分BC BA BP B BC BA BP 别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ,,x y z B xyz -则，，，，()0,0,0B ()3,0,0C ()2,3,0E ()2,0,1F 所以，．()3,0,0BC = ()0,3,1EF =- 底面，底面，PB ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PB BC ∴⊥又，，BC BA ⊥ PB BA B ⋂=且平面,,PB BA ⊂ABP 平面，BC ∴⊥ABP 所以是平面的一个法向量．()3,0,0BC = ABP 因为，()()3,0,00,3,10BC EF ⋅=⋅-= 所以．BC EF ⊥ 又平面，所以平面．EF ⊄ABP EF P ABP （2）因为，，，，，()0,3,0A ()3,0,0C ()3,3,0D ()0,0,3P ()2,0,1F 所以，，，()3,0,0AD = ()2,3,1AF =- ()3,0,3PC =- 设平面的法向量为，则ADF (),,n x y z = 由，解得，令， 30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 03x z y =⎧⎨=⎩1y =得平面的一个法向量为．ADF ()0,1,3n = 设直线与平面所成的角为，PC ADF θ则sin cos<,PC θ= 故：直线与平面 PC ADF 19．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表： 日均收看世界杯时间（时） []0.5,1 (]1,1.5 (]1.5,2 (]2,2.5 (]2.5,3(]3,3.5频率0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05 如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为22⨯“足球迷”与性别有关；非足球迷 足球迷 合计 女70 男40 合计(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式：，其中． ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关99.9%(2)分布列见解析，()1E X =【分析】（1）由频率分布表求出“足球迷”对应的频率即可得到样本中“足球迷”的人数，从而完善列联表，计算出卡方，即可判断；（2）由（1）从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，则，求114P =14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭出相应的概率，从而得到分布列与数学期望.【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，0.20.050.25+=则在抽取的人中，“足球迷”有人，2002000.2550⨯=所以列联表如下：22⨯非足球迷 足球迷 合计 女70 10 80男8040 120合计 150 50200所以， ()222007040801010011.11110.82815050801209K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.99.9%（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，0.25所以从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，所以， 114P =14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭即的可能取值为、、、、，X 01234所以，， ()040411810C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()131411271C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ()222411272C 144128P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()31341133C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()40441114C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以随机变量的分布列为X X 0 1 2 3 4 P 81256 2764 27128 3641256所以. ()1414E X =⨯=20．已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线()2222:10y x C a b a b+=>>1F 2F 231F l （与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.y C M N 2MNF 12(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点A 是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：C l AM AN k 1k 2k 0k ≠为定值. 12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) 22195y x +=(2)证明见解析【分析】（1）由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求，由此可得椭圆方程；,,a b c （2）由已知设的方程为，联立方程组利用设而不求法求，由此证明结论. l ()20y kx k =+≠1211k k +【详解】（1）依题意，的周长为， 2MNF 221212412MF MN NF MF MF NF NF a ++=+++==解得. 3a =设椭圆的半焦距为， C c 因为椭圆的离心率为，C 23所以，即，解得. 23c e a ==233c =2c =因为，222a bc =+所以b ===所以椭圆的标准方程为. C 22195y x +=（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.()10,2F ()0,3A l ()20y kx k =+≠由消去得， 222,1,95y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()225920250k x kx ++-=.()22240050090090010k k k ∆=++=+>设，，则，. ()11,M x y ()22,N x y 1222059k x x k +=-+1222559x x k =-+所以，. 11111113231y kx kx k x x x -+--===22222223231y kx kx k x x x -+--===所以. 1212121211625x x k k k k k k x x x x ++=-+-=-=. 21212121212111925x x k k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅=-⋅-=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. 12121211103k k k k k k k ++==-⋅所以，为定值. 12111103k k k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21．已知函数．()2ln f x x a x =-(1)当时，求函数的单调区间；1a =()y f x =(2)若函数恒成立，求实数a 的取值范围．()(2)e x f x a x x ≥+-【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递区间为 ()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)[0,e]a ∈【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域是，()f x (0,)+∞当时，， 1a =1()2f x x '=-令得，所以函数在上单递递增； ()0f x '>12x >()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭令得，所以函数在上单调递减． ()0f x '<102x <<()f x 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦所以函数的单调递增区间为，单调递区间为． ()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）恒成立，等价于恒成立，()(2)e x f x a x x ≥+-()ln 0x x xe a xe -≥令，()e (0)x t g x x x ==>因为恒成立，所以在上单调递增，()(1)e 0x g x x '=+>()g x (0,)+∞所以，即，()()00g x g >=0t >所以恒成立，等价于恒成立()(2)e x f x a x x ≥+-ln 0t a t -≥令，问题等价于恒成立()ln (0)h t t a t t =->()0h t ≥①若时，恒成立，满足题意；0a =()0h t t =>②若时，则，所以，不满足题意； a<010e 1a<<1111e e e 10a a a a h alne ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭③若时，因为，令，得， 0a >()1a h t t=-'()0h t '=t a =，，单调递减，，，单调递增，(0,)t a ∈()0h t '<()h t (,)t a ∈+∞()0h t '>()h t 所以在处取得最小值，()h t t a =()(1ln )h a a a =-要使得，恒成立，只需，()0h t ≥()(1ln )0h a a a =-≥解得0e a <≤综上：[0,e]a ∈【解法二】恒成立，等价于，()(2)e x f x a x x ≥+-(ln )0x xe a x x -+≥令()e (ln )(0)x h x x a x x x =-+> 1()(1)e 1(1)e x x a h x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+=+- ⎪⎭' ⎪⎝⎝⎭①若时，，所以在上单调递增，0a =()(1)0x h x x e '=+>()h x (0,)+∞，即，满足，()00h =()0h x >(ln )0x xe a x x -+≥②若时，则， ，所以在上单调递增，0<a 0a ->()0h x '>()h x (0,)+∞由，()()e (ln )e ln x x h x x a x x x a x a -=-+=-函数在上单调递增，值域为；函数在上()()e 0x y x a a =<-(0,)+∞()0,∞+()ln 0a a y x -=<(0,)+∞单调递增，值域为；(),-∞+∞所以，使得，不满足题意．00x ∃>()00h x <③若时，令，∴，0a >()0h x '=e x a x =令，则在上单调递增， ()e x a k x x=-()k x (0,)+∞函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为e x y =(0,)+∞()1,+∞()0a y a x=>(0,)+∞；()0,∞+则，；，，；，，0(0,)x ∃∈+∞()00k x =()00,x x ∈()0k x <()0,x x ∈+∞()0k x >所以，，， 0(0,)x ∃∈+∞()00h x '=00e x a x =，，单调递减，，，单调递增，()00,x x ∈()0h x '<()h x ()0,x x ∈+∞()0h x '>()h x 只需即可，()()()00min 0000000()e ln e 1ln 0x x h x h x x a x x x x x ==-+=--≥∴，∴，001ln 0x x --≥00ln 1x x +≤令，，∴在上单调递增， ()ln (0)m x x x x =+>1()10m x x'=+>()m x (0,)+∞，∴时，，，，()11m =0(0,1]x ∈00ln 1x x +≤e x y x =(1)e 0x y x '=+>所以在上单调递增，∴，e x y x =(0,1]e (0,e]x x ∈即，00e (0,e]xa x =∈综上：[0,e]a ∈【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.22．直角坐标系xOy 中，点，动圆C ：. ()0,1P ()()22sin 3sin 11()x y ααα-+--=∈R (1)求动圆圆心C 的轨迹；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为：，过点P 的直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，且，求直线l 的斜22222cos sin ρθθ=+47PA PB -=率.【答案】(1)圆心C 的轨迹为线段；(2) 【分析】（1）设圆心，根据即可得圆心C 的轨迹； (),C x y sin 3sin 1x y αα=⎧⎨=+⎩（2）将曲线M 的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线的倾斜角为，得直线的参数方程为l βl （为参数），代入曲线M 的直角坐标方程，设，可得cos 1sin x t y t ββ=⎧⎨=+⎩t 12,PA t PB t ==，根据韦达定理可求的值，结合即可求解. 1247PA PB t t -=+=sin β0πβ≤<【详解】（1）设圆心，因为，所以. (),C x y sin 3sin 1x y αα=⎧⎨=+⎩31,11y x x =+-≤≤所以圆心C 的轨迹方程为，()3111y x x =+-≤≤即圆心C 的轨迹为线段.（2）因为，所以， 22222cos sin ρθθ=+22222cos 2sin ρθρθ+=因为，所以，即曲线的直角坐标方程为. cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2222x y +=M 2222x y +=设直线的倾斜角为，由点在直线上，l βP l 得直线的参数方程为（为参数）， l cos 1sin x t y t ββ=⎧⎨=+⎩t 代入曲线的方程得：，M ()2222cos sin 2sin 10t t βββ++-=设，由于点在曲线的内部， 12,PA t PB t ==P M 所以， 12222sin 42cos sin 7PA PB t t βββ-=+==+化简得：，解得. 22sin 7sin 40ββ+-=1sin 2β=由于，所以，或， 0πβ≤<1sin 2β=π3β=2π3β=所以的斜率为tan β=l23．设不等式的解集为，且，. ()*1x a a +>∈N A 32A ∈12A ∉(1)求的值；a(2)若、、为正实数，且，求的最小值.m n s m n a ++=222m n s ++【答案】(1)2a =(2)的最小值为222m n s ++1【分析】（1）根据，可得出实数的取值范围，结合可得出的值； 32A ∈12A ∉a a *∈N a（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得的最小值.1m n +=222m n s ++【详解】（1）因为，，所以，，即， 32A ∈12A ∉131122a +≤<+3522a ≤<因为，则.a *∈N 2a =（2）由（1）可知，，1,,,0m n m n s +=>由柯西不等式可得，()()2222222114m n s m n ⎡⎤++++≥+=⎢⎥⎣⎦当且仅当时，即当， m n ==12m n ==s所以，，当且仅当，2221m n s ++=m n ==12m n ==s =成立， 因此，的最小值为.222m n s ++1。
2025届安徽省马鞍山二中高三最后一模数学试题含解析
2025届安徽省马鞍山二中高三最后一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12- C ．12D ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53πB ．43π C ．223π+D ．243π+3．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．104．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞7．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>8．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π9．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞10．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．711．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．162712．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东佛山市禅城区2025届高三最后一模数学试题含解析
广东佛山市禅城区2025届高三最后一模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．303．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 4．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．1222x y290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．22D ．326．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]7．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-9．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-10．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥ ）A ．935B ．635C ．537D ．73711．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题12．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．313．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______． 14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 15．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面积为5，则实数a 的取值范围是____.16．点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 三、解答题：共70分。
吉林省四平市2025届高三(最后冲刺)数学试卷含解析
吉林省四平市2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．62．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．63．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．164．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．95．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C ．32 D ．347．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A 5B ．3C 10D ．48．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数9．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．332B 3C ．33D ．2311．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省亳州市蒙城第一中学2023届高三下学期最后一卷(三模)数学试题(含解析)
安徽省亳州市蒙城第一中学2023届高三下学期最后一卷（三
模）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．23
3
B．23
7．已知关于x的不等式210
ax bx
++>的解集为
二、多选题
三、填空题
DE AB；
(1)证明：//
--
(2)若二面角1B DE B
20．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，
参考答案：
tan 60底面ABC 是边长为2的正三角形，取且2sin 603CG =︒=，GH =所以13CE CH CB CG ==，ABC S 因为11//DE A B ，所以1,A B 又1A D ，1B E 不平行，故A
设()()1122,,,B x y C x y ，
因为直线BC 的斜率存在，故12x x ≠故直线112:2y AB y x x +=-，令=y -直线:3BC y kx =-，由22345y kx x y =-⎧⎨+=。
淮北一中2020届高三最后一卷数学(文)试题
第 3页
18.在Δ ABC 中，内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c 已知 b sin C 1 . a c sin A sin B
（I）求 A ; uur uur
（II）若 b 5,CA CB 5, 求Δ ABC 的面积.
10．已知函数
f
x 对任意的 x R ，都有
f 1 2
x
f 1 x ，函数 2
f 1 x是奇函数，当 1
2
x
1 2
时，
f x 2x ，则函数 f x 1 在区间 3，5内的零点个数为( )
2
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
11.某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试 学校对参加测试的 200 名学生的逻辑思 维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：
已知在极坐标系中曲线 C
的极坐标方程为
2,0 3 sin(
2
, )2
．
6
（I）求曲线 C 与极轴所在直线围成图形的面积；
（II）设曲线 C 与曲线 sin 1交于 A 、 B ，求 | AB | ．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
设 x, y, z 均为正数，且 x y z 1，证明： （Ⅰ） xy yz zx 1
淮北一中 2020 届高三最后一卷
数学（文）试题
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2. 选择题用铅笔在答题卡对应题号上规范填涂，非选择题将答案写在答题卡上，在试卷上填写无效！ 3. 考试结束后，将答题卡交回.
安徽师范大学附属中学2024届高三下学期最后一卷(三模)数学试题(含答案)
2024届安师大附中高三最后一卷模拟数学试题本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 2024年5月28日注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．四答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足21i z i-=，且z 是复数z 的共轭复数，则zz 的值是（ ）A B ．3C ．5D ．92．设a b c ∈R ,,，则“2b ac =”是“b 为a c ,的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（ ）A ．正方体各面所在平面将空间分成27个部分B ．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行C ．若空间中四条不同的直线1234l l l l ,,,满足123342l l l l l l ⊥⊥⊥,,，则14l l ⊥D ．若m n ,为异面直线，m ⊥平面n α⊥,平面β，且α与β相交，若直线l 满足l m l n ⊥⊥,则l 必平行于α和β的交线4．下列选项中，所得到的结果为4的是（ ） A ．双曲线221y x -=的焦距 B ．28cos 154-的值C ．函数ππtan 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期 D ．数据2245677810111516，，，，，，，，，，，的下四分位数5．已知A 、B 、C 、D 、E 、F 六个人站成一排，要求A 和B 不相邻，C 不站两端，则不同的排法共有（ ）种 A ．186 B ．264C ．284D ．3366．已知221090C x y x +-+=:与直线l 交于A 、B 两点，且C 被l 截得两段圆弧的长度之比为13:，若D 为C 上一点，则DA DB ⋅的最大值为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．247．设1111111ln 101011a b c e ===⋅,,，则（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数()f x 与()g x 是定义在R 上的函数，它们的导函数分别为()f x '和()g x '，且满足()()()()6235f x f x f x g x +-==--,，且()()()1231f x g x f --='''=-,，则()20241k g k =='∑（ ）A ．1012B ．2024C ．-1012D ．-2024二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的为（ ）A ．在回归模型的残差分析中，决定系数2R 越接近1，意味着模型的拟合效果越好 B ．数据12n x x x ,，,的标准差为s ，则数据12n ax b ax b ax b +++,，,的标准差为a s C ．已知随机变量()21N ξσ~,，若()202P ξ>=．，则()0206P ξ≤≤=． D ．在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件10．已知()()ππ2sin cos 01212g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面结论正确的是（ ） A ．1ω=时，()g x 在ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 B ．若()()1211g x g x ==-,，且12x x -的最小值为π，则1ω= C ．若()g x 在[]02π，上恰有7个零点，则ω的取值范围是41472424⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．存在()13ω∈，，使得()g x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 11．已知()11P x y ,、()22Q x y ,是曲线2227666321C x y y x y -+++-=:上不同的两点，O 为坐标原点，则（ ） A ．221112x y ≤+≤B ．24≤C ．线段PQ 的长度的最大值为D ．当P Q ,均不在x 轴上时，过点P Q ,分别作曲线C 的两条切线1l 与2l ，且当12l l ∥时，1l 与2l 之间的距离记为d ，则d 的取值范围为3⎡⎢⎣⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出62x⎛- ⎝的展开式的第4项的系数：______．（用数字表示） 13．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，则四面体11AC EB 的外接球的体积为______．14．已知实数a b ∈R ,，且满足2218618a b ab +-=，当a 取得最大值时，a b +=______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本大题满分13分）已知a b c ,,分别为ABC △三个内角A B C ,,的对边，且cos sin b A A a c =+ （1）求B ；（2）若2b ABC =,△D 为AC 边上一点，满足2CD AD =，求BD 的长． 16．（本大题满分15分）如图，三棱锥ABCD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ACD ⊥平面BCD ， （1）求证：AD BD CD ,,两两垂直；（2）若123DA DB DC P ===,,,为AB 中点，Q 为AC 中点，求BQ 与平面PDC 所成角的正弦值．17．（本大题满分15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：（1）依据小概率值0001=．的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：（2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为45；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为23，求甲同学星期四选择②号套餐的概率．（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X ．事件“X k =”的概率为()P X k =，求使()P X k =取得最大值时k 的值． 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．18．（本大题满分17分）已知点()Q Q Q x y ,是椭圆()221211x C y a a+=>:与抛物线()2120C y px p =>:的交点，且0Q y A >,、B分别为1C 的左、右顶点．（1）若1Q x =，且椭圆1C 的焦距为2，求2C 的准线方程：（2）设点()10F ，是1C 和2C 的一个共同焦点，过点F 的一条直线l 与1C 相交于C D ,两点，与2C 相交于E G ,两点，CD EG λ=l 的斜率为1，求λ的值：（3）设直线QA ，直线QB 分别与直线1x a =+交于M N ,两点，QMN △与QAB △的面积分别为12S S ,，若12S S 的最小值为54，求点Q 的坐标． 19．（本大题满分17分）若数列{}n a 的各项均为正数，且对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足211t t t a a a -+≤，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足112t t t a a a -++≤则称该数列为“凸数列”． （1）已知正项数列{}n c 是一个“凸数列”，且n cn a e =，（其中e 为自然常数，*n N ∈），证明．数列{}n a 是一个“对数性凸数列”，且有11056a a a a ≤；（2）若关于x 的函数()231234f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中()01234i b i >=，，，．证明：数列1234b b b b ,,,是一个“对数性凸数列”：（3）设正项数列01n a a a ,，,是一个“对数性凸数列”，求证：110101111111n n n n i j i j i j i j a a a a n n n n --====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 最后一卷数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．C2．B3、A4．C5．D6．B7．A8．D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABC10．CD11．BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．-1601314．7四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（1）由正弦定理有sin cos sin sin sin B A B A A C =+ 由()sin sin C A B =+sin sin sin cos B A A A B =+ 由sin 0A ≠1cos B B =+，可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故ππ5π666B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭舍，则π3B =． （2）由12sin 2b S ac B ===,4ac = 又2222cos b a c ac B =+-可得228a c +=，易得2a c ==有正ABC △在ABD △中，222221282223329BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故BD16（1）在BC 上任取一点E ，作EF BD ⊥交BD 于F ，作EG DC ⊥交DC 于G ，由平面ABD ⊥平面BCD 交于BD EF ⊂，面BCD ，EF BD ⊥有EF ⊥面ABD ，又AD ⊂面ABD 有EF AD ⊥，同理EG AD ⊥，又由面BCD 中，EFEG E =可得AD ⊥面BCD ，则,AD BD AD CD ⊥⊥．同理可得BD CD ⊥，即AD BD CD ,,两两垂直．（2）分别以DB ，DC ，DA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系易得()()311200,0,10,030222B Q P C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，， 有()131100302222DP DC BQ ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，， 设面PDC 的法向量()y z n x =,,，则由00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取()102n =-，，．3130cos 65BQ n BQ n BQ n⋅==,则BQ 与平面PDC 17．（1）0H ：假设食堂就餐与性别无关由列联表可得()2210040301020166671082850506040χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．所以依据小概率值0001α=．的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关． （2）记星期二选择了①号套餐为事件1A ，选择②号套餐为2A ， 星期四选择了①号套餐为事件1B ，选择②号套餐为2B ，则()()(()121112142253P A P A P B A P B A ====,∣,∣， 所以()()()()()1111212141211252315P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=∣∣， 所以()()21114111515P B P B =-=-=． （3）依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率6031005P ==， 则3105B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，，所以()()101010103332C 1C 0105555kkkkk k P k k k ξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-=⋅≤≤∈ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N 且，若()P k ξ=取得最大值，则()()()()11P k P k P k P k ξξξξ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩， 10191101010111110103232C C 55553232C C 5555k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩即2310551311228335555k k k k k -⎧≥⨯⎪⎪+⎨-⎪⨯≥≤≤⎪⎩，解得， 又010k ≤≤且N k ∈，所以6k =．18．（1）由题意得22c =，故1c =，则211a -=，解得22a =，故椭圆22112x C y +=：，因为1Q x =，所以2Q y =， 所以12Q ⎛ ⎝⎭，，将其代入()220y px p =>中，即122p =，解得14p =， 故2C 的准线方程为128p x x =-=-,； （2）由题意得21112p a -==，，解得222a p ==,， 故22212142x C y C y x +==,::，直线l 的方程为1y x =-，联立2212x C y +=:得，2340x x -=，设()()1122C x y D x y ,,,，则1212403x x x x +==,， 故433CD ===， 联立1y x =-与224C y x =:得，2610x x -+=， 设()()3344E x y G x y ,,,，则343461x x x x +==,，故8EG ===，若CD EG ，方向相同，4386CD EGλ===若CD EG ，方向相反，λ=所以6λ=±； （3）由()()()01Q Q M A a Q x y M a y -+，,，,,三点共线，可得 21Q MQ y y a x a =++，故()21Q M Q y y a x a=++， 同理，由()()()01Q Q N B a Q x y N a y +，,,,,三点共线，可得 Q N Q y y x a=-，则()()()()111121122QQ M N Q Q Q Q y y S y y a x a a x x a x a ⎛⎫=-⋅+-=+-⋅+- ⎪ ⎪+-⎝⎭()()()22222111Q QQ QQ Q Qa x a y a x a y a x x a a x ----=⋅+-=--，因为2222Q Q x a y a +=，所以2222Q Q a x a y -=，所以()()()22212222111Q QQ QQ QQQa x a y a x a y x a S a xa yay ------===-，又212Q Q S AB y y a =⋅=， 故()()2212222211Q Q QQx a x a S S a ya x----==-，因为()0Q x a ∈,，令()111Q a x t a +-=∈+,， 则1Q x a t =+-，所以()()()()221222221111222121221Q Qx a S t S a x t a t a a a t t--===--++----++-其中1111t a ⎛⎫∈⎪+⎝⎭，因为1a >，所以()()21121221y a a t t=--++-的开口向下， 对称轴为()22122121a a a a ++-=--+ 其中()()()()221121210211211211a a a a a a a a a a a +++---==>++++++， 故当1121a t a +=+时，()()21121221y a a t t=--++-取得最大值， 最大值为()()221121221212121a a a y a a a a a ++⎛⎫=--++⋅-= ⎪+++⎝⎭， 故12S S 的最小值为221a a +， 令22154a a +=，解得2a =，负值舍去，故113215a ta +==+，解得53t =， 5412133Q x a t =+-=+-=，又2222Q Q x a y a +=，故Q y =则点Q的坐标为43⎛ ⎝⎭19．（1）法一：由212n n n a a a ++≤得到106958736429584736251a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ≥≥≥≥≥，，，，，累乘法得到11056a a a a ≥： 法二：由109329821a a a a a a a a ≥≥≥≥得到11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥；（2）根据题意及三次函数的性质易知()223423f x b b x b x =++'有两个不等实数根，所以22132432444303b b b b b b ∆=-⨯>⇒>， 又()01234i b i >=，，，，所以2324243b b b b b >>，显然()1000x f b =⇒=>，即0x =不是()f x 的零点，又2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t x=，则()231234f t b b t b t b t =+++也有三个零点， 即32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭有三个零点， 则()321234g x b x b x b x b =+++有三个零点，所以()212332g x b x b x b '=++有两个零点，所以同上有2222132131344303b b b b b b b b ∆=-⨯>⇒>>， 故数列1234b b b b ,,,为一个“对数性凸数列”； （3）记121n S a a a -=+++．则欲证不等式可化归为()()()()22001n n n S a a S n S a S a ++≥-++，即()()200n n S a S a n a a ++≥．①由数列{}n a 为对数性凸数列知01112n na a a a a a -≤≤，即01122n n n a a a a aa --≤≤≤．故(1112n n k n k k k a a S n ---==+=≥≥-∑再由0n a a+≥()()()(22222000n n o n n S a S a Sa a S a a S S n a a ++=+++≥++=≥故式①成立．从而，原不等式成立．。
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三(最后冲刺)数学试卷含解析
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三（最后冲刺）数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-325．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．236．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．18．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 9．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为5C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C 19D ．1910．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．1611．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省九江市同文中学2025届高三最后一卷数学试卷含解析
江西省九江市同文中学2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一2．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1 4．已知函数()()1x f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞- B ．()1,e -+∞ C ．(],0e - D ．(]1,1e - 5．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ）A ．a b c +>B ．2ab c >C ．a b 2c +>D ．112a b c+> 6．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ）A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.15 7．使得()13n x n N x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．79．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ）A ．12B ．21C ．24D ．36 10．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =± 12．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省亳州市第一中学2023届高三最后一卷数学试题(含解析)
安徽省亳州市第一中学2023届高三最后一卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．66B．865．在数字通信中，信号是由数字0或1可能被错误的接收为二、多选题三、填空题四、双空题（1）3a =______；（2）若n *∀∈N ，都有23n n a a λ≤恒成立，则实数λ的取值范围是______．五、解答题(1)求证：平面PAD ⊥平面(2)求直线PC 与平面PBD 18．已知函数()sin f x A =(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移()()sin cos 20g x k x x +++=在x参考答案：)2⎤⎦)2⎤⎦67)]⨯D.2000()(0)()lim lim lim()0x x xf x f x D xxD xx x→→→-===-，故()00f'=，故故选：C对于C ，根据题意，即求异面直线分别以AB ，AD ，1AA 为则()0,0,0A ，()4,0,0B ，C 则()4,0,4BA =- ，(4,AC =13．56【分析】根据多项式乘法法则，求得【详解】()62(1)21x x x +++展开式中含故答案为：56．14．12如图，可知，MN 的最大值是圆心距加两个圆的半径，即故答案为：1215．33,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【详解】2214x y +=的左、右焦点分别为(1F -由角平分线知1122PF F MPF F M=，则()2221232102⎛+ ⎝⎛⎫+ ⎪⎝⎭18．(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)32,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数的图象求得延长DA 与CB 交于1F ，因为3,tan 4AB AD ABC ∠⊥=-，所以114,3,5AB AF BF ===，设2AF x =，则()354x x -=--2222543110,,23c c a =+===-。
2025届广西部分重点中学高三最后一卷数学试卷含解析
2025届广西部分重点中学高三最后一卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．42．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．233．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8 4．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞ 5．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A ．16B ．17C ．18D ．196．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}7．若双曲线22214x y a -=的离心率为3，则双曲线的焦距为（ ） A ．26 B ．25 C ．6 D ．88．函数()2cos2cos221x x f x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π10．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．16911．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ） A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>-D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 12．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江西省新建二中高三最后一卷数学试卷含解析
2025届江西省新建二中高三最后一卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()sin xyx-=（[),0xπ∈-或(]0,xπ∈）的图象大致是（）A．B．C． D．2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=22，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BE B．EF//平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE,BF所成的角为定值3．已知六棱锥P ABCDEF-各顶点都在同一个球（记为球O）的球面上，且底面ABCDEF为正六边形，顶点P在底面上的射影是正六边形ABCDEF的中心G，若6PA=，2AB=，则球O的表面积为（）A．163πB．94πC．6πD．9π4．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．65．已知函数()ln xf x x =，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24e D ．21e 6．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ） A ．54B ．43C ．32D ．27．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%8．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<9．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A 2B ．14C ．1162D ．14或4 10．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．1C ．3D ．412．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学后一卷文试题_2
黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度 2021年泗县一中最后一卷数学〔文〕才能测试试题考试时间是是：120分钟试卷分值：150分注意：本套试卷一共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷及答题卡的相应位置上，答写在试卷上不予记分。
第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题〔每一小题5分，一共50分。
每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合要求〕1.复数ii++121〔i 是虚数单位〕的虚部是 A ．23B ．21C ．3D ．12.集合{|2x A x =>，{|0B x x =<≤，那么R A C B =A ．12⎛⎝ B ．(C ．(,0)-∞D ．)+∞3.以下命题中是假命题的是A.⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ,x x sin >B ．0x R ∃∈,0lg 0=x C ．x R ∀∈,03>xD ．0x R ∃∈,2cos sin 00=+x x4.m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出以下四个命题，其中真命题为 〔1〕βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m 〔2〕m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα〔3〕,,βα⊥⊥m m 那么α∥β〔4〕βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．〔1〕、〔2〕B ．〔3〕、〔4〕C ．〔2〕、〔3〕D ．〔2〕、〔4〕5.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为2的等腰梯形,那么该几何体的体积是A.28πB.π328C.73πD.7π6.A 、B 、C 是圆22:1O x y +=和三点，OA OB OC +=，AB OA ⋅=A ．32B ．32-C ．32-D ．127.函数)62sin()(π-=x x f ，假设存在),0(π∈a ，使得(2)()f x a f x +=恒成立，那么a 的值是 A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π 8.从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}2,3,4,5中随机选取一个数为b ，那么a b >的概率为A ．25B ．310C ．15D ．1109.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，那么切线长的最小值为A ．22B ．223C ．210D ．210.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到其左、右焦点的间隔之差为4，假设抛物线2y ax =上的两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，且1212x x =-，那么m 的值是 A ．34B ．32C ．54D ．52第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．〕221x ky +=的离心率是2，那么实数k 的值是正视图 侧视图俯视图12．假设变量x 、y 满足2040x y x y y a ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，假设2x y -的最大值为1-，那么a=13.在等差数列{}n a 中，80a =，44a =，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a --=，那么10b =14.给出右面的程序框图，那么输出的结果为_________. 15．给出以下结论：①甲从四面体中任意选择一条棱，乙也从该四面体中任意选择一条棱，那么所得的两条棱所在的直线是异面直线的概率是1;6②关于x 的不等式222sin sin ax x<+恒成立，那么a的取值范围是a < ③假设关于x 的方程10(0,1)x k x x-+=∈在上没有实数根，那么k 的取值范围是2k ≥；④函数()2(0)x f x e x x =--≥有一个零点。
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俯视图正视图侧视图4322 合肥一六八中学 高考最后一卷（文科数学）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，复数iiz ++=121的虚部是 （A ）12i（B ）21（C ）32（D ）12-2．设b a ,为两个非零向量，则“||||b a b a ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 （A ）83（B ）163（C ）833（D ）16334．设函数∈+=a x a x x f (3cos 3sin )(Ｒ）满足)6()6(x f x f +=-ππ，则a 的值是 （A ）3（B ）2（C ）1 （D ）05．执行如图所示的程序框图，那么输出的k 为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）46.已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100， 那么714a a ⋅的最大值为 (A)25 (B)50(C)100 (D)不存在7.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 (A)43(B)75(C)85(D)38．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列否是{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值(A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为0 (D)可正可负9.在平面直角坐标系中，不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00（a 为常数）表示的平面区域的面积为8，则32+++x y x 的最小值为(A) 1028- (B) 245- (C) 246- (D) 3210.若三棱锥ABC S -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2=AB ，2===SC SB SA ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）(A) 163π (B)433 (C) 43π (D) 83π第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、 填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分．11．如图是某学校抽取的n 名学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第3小组的频数为18，则的值n 是12．设二次函数c x ax x f +-=4)(2的值域为[)+∞,0，则22u a c =+的最小值为13．设正整数n m ,满足304=+n m ，则n m ,恰好使曲线方程12222=+ny m x 表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是14．设21,F F 分别是双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线上一点，且a PF 21=，321π=∠PF F , 则该双曲线的离心率e 的值是15．给出下列四个命题： ①,;xx R e ex ∀∈≥②0(1,2)x ∃∈，使得02000(32)340xx x e x -++-=成立；③若函数f(x)=xsinx ，则对任意实数,()||x f x x ≤恒成立④在ABC ∆中，若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形， 写出所有正确命题的序号三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在ABC ∆中c b a ,,分别为A ,B ,C 所对的边，23ππ<<C 且sin 2sin a C b A =（1）判断ABC ∆的形状； （2）若2=+BC BA ，求BC BA •的取值范围17．（本小题满分12分）就餐时吃光盘子里的东西或打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”.某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区[]25,55岁的人群中随机抽取n 人进行了一次调查.得到如下统计表： 组数 分组 频数 频率 光盘占本组的比例第一组 [)25,30 50 0.05 30% 第二组 [)30,35 100 0.1 30% 第三组 [)35,40 150 0.15 40% 第四组 [)40,45 200 0.2 50% 第五组 [)45,50a b 65% 第六组[50,55]2000.260%（1）求a 、b 的值并估计本社区[]25,55岁的人群中“光盘族”人数所占的比例；（2）从年龄段在[35,45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从8人中选取2个人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别为1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心 （1）求证：//DE 平面ACB ；（2）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值．19.（本小题满分13分）设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ， 245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2=，*∈N n ．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设))(1(λ-+=n n n nb S C ，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分13分）已知点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆E ：12222=+b y a x （0>>b a ）上一点，1F 、2F 分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，x PF ⊥1轴． （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 是椭圆E 上两个动点，λ=+)2,40(≠<<λλ．求证：直线AB 的斜率为定值；21．（本小题满分13分）已知函数∈+-=a x x a x f .ln )1()(2R ．（1）当41-=a 时，求函数)(x f y =的单调区间； (2）当),1[+∞∈x 时，函数)(x f y =图象上的点都在不等式组⎩⎨⎧-≤≥11x y x 所表示的区域内，求a 的取值范围．合肥一六八中学 高考最后一卷（文科数学）答案一、选择题：BACDC AAACA二、 填空题： 48; 8; 71: 3; ①②③④. 三、解答题：16.解：（1）由题意sin sin 2a Ab C=由正弦定理知，CA B A b a 2sin sin sin sin == 在ABC ∆中，C B A 2sin sin 0sin =∴≠ C B 2=∴或π=+C B 2 ……………3分当C B 2=时，)2,3(ππ∈C ),32(ππ∈∴B 则π>+C B 舍 当π=+C B 2时，C A C C B =⇒-=+π 即ABC ∆为等腰三角形。
………6分（2）在等腰三角形ABC ∆，)3,0()2,3(πππ∈∴∈=B C A 取AC 中点D2=+，得1=BD又由，()ABC BA BC BA 22sin 124-=•⇒=+所以，⎪⎭⎫⎝⎛∈•1,32BC BA ………12分 17. 解：1.第一组人数为50，频率为0.05，所以抽查的总人数n=5010000.05=人， 第五组频率为b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.15)=0.3 第五组人数a=300人 抽取的样本中“光盘族”比例为520521000=﹪ ……………6分2.应用分层抽样：在[)35,40年龄段人数为150×40%=60人，在[)40,45年龄段人数为200×50%=100人，两组人数比例为3:5，抽取的8人中在[)35,40组有3人，在[)40,45有5人，抽取2人总的抽样方法为28种，概率 1528p =…12分18．（本小题满分12分）解：（1）取FC EF F AB ,,连结中点， ………………2分 由已知可得A A EF 1//,A A EF 121=, 又A A DC 1//,AA DC 121=所以四边形DEFC 为平行四边形 ………………4分 则,,,//ABC FC ABC ED CF ED 平面平面因为⊂⊄所以ABC ED 平面// ………………6分 （2）HB H DF EH E 连结于作过,⊥，,11AB CC ABC AB ABC CC ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面,CF AB FB AF BC AC ⊥⇒⎭⎬⎫==又,,,DEFC CD CF C CD CF 平面⊂= 所以,AB DEFC ⊥平面,EH DEFC ⊂平面,AB EH ⊥所以又,,,,ABD DF AB F AB DF DF EH 平面⊂=⊥ 所以ABD EH 平面⊥， 所以,1所成角的平面角与平面为ABD B A EBH ∠……………9分131,,22==⋅=∆∆FD FD FH EF DEF Rt ABD H 中在的重心为所以得,3,2,2,36,33,3======EB FB CF EH HF FD 得32sin ==∠EB EH EBH ，所以B A 1与平面ABD 所成角的正弦值为32． ……………12分19. 解：（1）由245S S =，,0>q 得 12,2-==n n a q ……………3分又11)1(11212+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==---n n b b b n T b n T n n n n nn （)1>n ， 则得)1(23142132111232211+=⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅⋅-----n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n n 所以)1(2+=n n b n ，当1=n 时也满足．………6分（2）21n n S =-，所以)12(2λ-+=n C nn ，使数列{}n C 是单调递减数列， 则0)1224(21<-+-+=-+λn n C C nn n 对*∈N n 都成立， …………8分即max )1224(01224+-+>⇒<-+-+n n n n λλ， …………10分 n n n n n n n 232)2)(1(21224++=++=+-+， 当1=n 或2时，,31)1224(max =+-+n n 所以31>λ． ……13分20.解：（1）∵PF 1⊥x 轴， ∴F 1（-1，0），c =1，F 2（1，0），|PF 2|=2523222=+）（，2a =|PF 1|+|PF 2|=4，a =2，b 2=3， 椭圆E 的方程为：13422=+y x ； ……5分 （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由 λ=+得（x 1+1，y 1-23）+（x 2+1，y 2-23）=λ（1,- 23）， 所以x 1+x 2=λ-20≠，y 1+y 2=23（2-λ）0≠………①又12432121=+y x ，12432222=+y x ，两式相减得3（x 1+x 2）（x 1-x 2）+ 4（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0………．．② 以①式代入可得AB 的斜率k =212121=--x x y y 为定值； ……13分21．解：（1）x x x f a ln )1(41)(,412+--=-=，)0(>x xx x x x x x x x f 2)1)(2(2212121)(2+--=++-=++-='， …………2分（1）当;)2,0()(,0)(,20单调递增在时x f x f x >'<< （2）当2,()0,()(2,);xf x f x '><∞时在单调递减所以函数的单调递增区间是)2,0(，单调递减区间是),2(+∞． ……5分（2）由题意得,),1[1ln )1(2恒成立对+∞∈-≤+-x x x x a设1ln )1()(2+-+-=x x x a x g ，),1[+∞∈x .则使),1[,0)(max +∞∈≤x x g 成立.求导得xx ax x x a ax x g )1)(12(1)12(2)(2--=++-='， ……7分①当0≤a 时，若,),1[)(,0)(,1单调递减在所以则+∞<'>x g x g x;0,00)1()(max ≤≤==a g x g 得成立 …………9分②当21≥a 时，121≤=ax ，,),1[)(上单调递增在+∞∈x x g 0)1()(,1=>>g x g x 使所以存在，则不成立； ………11分③当,]21,1[)(,121,210上单调递减在则时a x f a x a >=<<,),21[单调递增+∞a 则存在),,21[1+∞∈a a 有01ln 111ln )11()1(2>-+-=+-+-=a a aa a a a g ，所以不成立…12分 综上得0≤a ． ……13分。