极坐标系的概念
极坐标的概念
极坐标的概念（⼀）极坐标概念确定平⾯内的点的位置有各种⽅法，⽤⼀对实数确定平⾯内的点位置的⽅法称为直⾓坐标⽅法，因其⽅法简捷且应⽤⼴泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）⽽成为解析⼏何中最主要的内容；⽤⽅向（⾓）和距离来确定平⾯内的点的位置是极坐标的基本思想。
极坐标在⼯程中和军事上也有⼴泛应⽤。
1.1极坐标系定义在平⾯上选⼀定点O，由O出发的⼀条射线OX，规定⼀个长度单位和⾓的正⽅向（通常以反时针旋转为正⽅向）合称⼀个极坐标系。
其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极⾓两个量构成点的极坐标，⼀般记作（ρ，θ）。
1.2平⾯内的点与极坐标系的关系平⾯内有⼀点P，|OP|⽤ρ表⽰，ρ称为P点的极径；OX到OP的⾓θ叫极⾓，P（ρ，θ）为极坐标。
(1)有⼀组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯⼀的点与其对应；(2)在极坐标系中有⼀个点P，则有⽆数组极坐标与其对应。
①P点固定后，极⾓不固定。
（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表⽰同⼀点坐标；②P点固定后，ρ的值可正、可负。
ρ＞0时，极⾓的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极⾓为任意⾓，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表⽰同⼀点。
∴极坐标与极坐标平⾯内的点不⼀⼀对应。
例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表⽰同⼀点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点⽽垂直于极轴的直线）对称。
故选D。
例2.在极坐标系中，如果等边三⾓形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（）A. B.C. D.（3，π）分析：∵,极径相同，极⾓相差π，A、B以极点对称，⼜|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极⾓为.∴或故选B 。
例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|=______________________________。
极坐标系定义及互化
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点
M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4
O [2]在OP的反向延长
线上取一点M，使
M
OM= 3
P = /4
X
3、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成 是旋转 ，因此，所谓“负 极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致， 用“负”表示“反向 ”。
1
点Q的极坐标为 (4, 2 ) ，其直角坐
标如何表示？
3
Q
Q(2,2 3)
O
X
极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y)
y
极坐标是 (ρ,θ)
θ
O
x
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
极角的确定：由正切值找角，由象限位置定角
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
不做特殊说明时,≥0,∈R
当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值。
例：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
极坐标系的概念与应用
极坐标系的概念与应用极坐标系是一种坐标系统，它与我们通常使用的直角坐标系不同。
它以极径和极角来描述平面上的点的位置。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与参考线之间的角度。
一、极坐标系的定义和转换公式极坐标系可以用于描述平面上的点的位置，其中原点为极点，极径和极角分别确定了点的位置。
极坐标系的转换公式如下：1. 直角坐标转换为极坐标：极径r = √(x² + y²)极角θ = arctan(y/x)2. 极坐标转换为直角坐标：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)二、极坐标系的特点和优势极坐标系具有以下特点和优势：1. 简洁直观：以极径和极角两个数值来描述点的位置，具有图形直观和空间形式简洁的特点。
2. 方便计算：在某些情况下，极坐标系的计算更加方便，特别是当图形具有对称性或具有某种规律时，使用极坐标系可以简化计算过程。
3. 描述曲线方程：对于一些特定的曲线方程，使用极坐标系可以更加简单和直观地描述其形状和特征，例如圆、椭圆、螺旋线等。
三、极坐标系的应用领域1. 物理学中的力学问题：在力学中，我们经常遇到圆周运动、轨道运动等问题，这些问题可以利用极坐标系来进行描述和计算。
2. 工程与建筑设计：在工程和建筑设计中，一些具有旋转或对称性的结构，如桥梁、塔吊等，利用极坐标系可以更直观地描述其形状和特征，方便设计和计算。
3. 天文学中的星体运动：天文学中常常涉及到行星、卫星等星体的运动问题，利用极坐标系可以更加方便地描述和计算其轨道和运动轨迹。
4. 机器人运动路径规划：在机器人运动路径规划中，需要考虑到机器人的位置和朝向，利用极坐标系可以更方便地描述机器人的位置和运动方向，从而进行路径规划和控制。
总结：极坐标系是一种与直角坐标系不同的坐标系统，通过极径和极角来描述平面上的点的位置。
它具有简洁直观、方便计算以及描述特定曲线方程的优势，被广泛应用于物理学、工程与建筑设计、天文学以及机器人运动路径规划等领域。
极坐标系与极坐标方程的应用
极坐标系与极坐标方程的应用极坐标系和极坐标方程是数学中一种常用的坐标系和数学表达方法。
它们在许多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍极坐标系和极坐标方程的基本概念，并探讨它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中的具体应用。
一、极坐标系的基本概念极坐标系是一种二维坐标系，它由一个原点O和一个极轴构成。
极轴是从原点O出发的射线，表示角度的方向。
任意一点P可以用极径r 和极角θ来表示。
极径r是从原点O到点P的距离，极角θ是极轴与射线OP之间的夹角。
二、极坐标方程的基本形式极坐标方程是一种用极径和极角来表示的方程。
一般来说，极坐标方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是θ的函数。
三、极坐标系与物理学的应用极坐标系在物理学中有广泛的应用。
例如，在天文学中，极坐标系可以用来描述天体的位置和运动。
天体的轨迹可以由极坐标方程来表示，通过观测其极径和极角的变化来研究天体的运动规律。
此外，在力学中，我们也可以使用极坐标系来描述刚体的运动。
通过将刚体的运动分解为径向和切向两个方向的运动，可以简化力学问题的求解过程，更加方便地分析刚体受力和受力矩的情况。
四、极坐标方程与工程学的应用在工程学中，极坐标方程有很多应用。
例如，在电磁场分析中，可以使用极坐标方程来描述电荷或电流的分布情况。
通过求解极坐标方程，可以计算出电磁场的分布情况，并用于指导电子器件的设计和优化。
此外，在建筑工程中，极坐标方程也有一些应用。
例如，可以用极坐标方程来描述圆形的建筑物或结构的形状和尺寸。
极坐标方程提供了一种简洁的方式来描述复杂的建筑物形状，有助于工程师进行结构设计和施工规划。
五、极坐标系与计算机图形学的应用在计算机图形学中，极坐标系也有重要的应用。
通过极坐标系，可以方便地描述和生成曲线和图像。
例如，通过调整极径和极角的变化，可以绘制出各种形状的图案和曲线，包括圆、螺旋线、心形线等。
此外，在图像处理中，也可以使用极坐标系来实现图像的旋转和变形等操作。
极坐标系的概念
极坐标系的概念一、极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.二、极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.三、极坐标和直角坐标的互化1、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:2、互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.3、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.练习题：1．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2π(ρ∈R) 对称 D ．重合2.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈3．极坐标方程 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )。
极坐标系与极坐标下的函数
极坐标系与极坐标下的函数极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，通过极坐标系可以更方便地描述与分析圆形、扇形以及螺旋形等图形的性质。
在极坐标系中，每一个点都由极径（r）和极角（θ）唯一确定，而与传统的笛卡尔坐标系中的x和y轴不同，极坐标系中的坐标轴由极径轴和极角轴构成。
极坐标系下的函数也是一种常见的数学概念。
相比于笛卡尔坐标系下的函数，极坐标系下的函数常常用来研究和描述极坐标系中的图形。
一、极坐标系的基本概念在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。
极径指的是点到原点的距离，极角指的是从极径轴到点所在向量与极径轴的夹角。
二、极坐标系下的函数在极坐标系中，我们同样可以描述函数。
极坐标系下描述函数的一般形式为r = f(θ)，其中f(θ)表示一个关于极角的函数。
当给定不同的极角时，函数f(θ)对应的极径r就唯一确定了一个点。
三、常见的极坐标函数1. 极径函数r = a这是最简单的极坐标函数，对于给定的极角θ，极径r始终保持不变。
其中a为常数，表示极径的固定值。
2. 极径函数r = a + bcos(nθ)这是一个过原点的圆形图形的极坐标函数。
其中a表示圆心到原点的距离，b表示圆的半径，n表示几个完整的周期。
3. 极径函数r = a + bsin(nθ)这也是一个过原点的圆形图形的极坐标函数。
其中a表示圆心到原点的距离，b表示圆的半径，n表示几个完整的周期。
4. 极径函数r = a + bsin(θ)这是一个螺旋线图形的极坐标函数。
其中a表示螺旋线起始点到原点的距离，b表示螺旋线的半径，θ表示螺旋线的转动角度。
四、极坐标系与笛卡尔坐标系的转换由于极坐标系与笛卡尔坐标系描述的是同一个平面上的点，因此两者之间存在一定的关系。
通过对极坐标系下的坐标进行适当的变换，可以得到对应的笛卡尔坐标系下的坐标。
在极坐标系下，坐标(r,θ)可以表示为(r*cos(θ), r*sin(θ))的笛卡尔坐标形式。
极坐标系
1.极坐标系的概念（1）在平面内取一定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
极坐标系的要素：极点、极轴、长度单位，角度单位和它的正方向。
极坐标系的五要素缺一不可。
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离，|OM|叫做点M 的 极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 极角，记为θ.有序数对（ρ，θ）叫做点M 的极坐标，记为M （ρ，θ）．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．（2）点的极坐标点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与 (ρ，θ＋ 2kπ) (k ∈Z)表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．2.点的极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为_极点_，x 轴的正半轴作为_极轴_，并在 两种坐标系中取相同的_长度单位_，如图所示．(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝__________y ＝__________ ρ2＝________tan θ＝y x （x ≠0）在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．3.直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.（2）过垂直于极轴的直线：4. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：.（2）若，，以为直径的圆：注意：（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．（2）点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋ 2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π) (k∈Z)．在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．（3）联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带。
§12.2极坐标与参数方程
22 5 5 2 5 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为 .
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1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入 消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅是要把参数消去,还要注 意x、y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方 程的等价性.
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4.已知圆的极坐标方程为ρ=2cos θ,则圆心的直角坐标是 .
答案 解析
;半径为
(1,0);1
由ρ2=2ρcos θ得x2+y2=2x,即圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.于是圆
心坐标为(1,0),半径为1.
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x 1 t, 5.若直线l的参数方程为 (t为参数),则直线l的斜率为 y 2 3 t
(2)因为ρ=6cos θ ,
3
,即 所以ρ=6 cos θ cos sin θ sin
3 3
ρ2=3ρcos θ+3 3 ρsin θ,
栏目索引
所以x2+y2=3x+3 3 y, 即x2+y2-3x-3 3 y=0. ∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3 3 y=0.
轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是
6
6
.
(2)(2014陕西,15C,5分)在极坐标系中,点 到直线 ρ sin θ 2, =1的距离
是
.
பைடு நூலகம் θ 2 (1) ρcos =1 4
极坐标系定义
极坐标系定义
极坐标系是一种用来描述平面上点的坐标系统。
它由两个数
值组成，分别是极径和极角。
在极坐标系中，每个点可以通过一个有序对(r,θ)来表示，其
中r表示点到原点的距离，即极径，θ表示点与正向极轴的夹角，即极角。
极径是一个非负数，它可以是实数或者正无穷大。
而极角是
一个弧度数，它的取值范围通常是[0,2π)或者(π,π]。
极轴是极坐标系中一个特殊的直线，通常与正x轴重合。
在极坐标系中，一个点的坐标可以有不同的表示方法，例如(r,θ)，(r,θ+2kπ)，(r,θ+360°)，其中k是整数。
这是因为极角的定义具有周期性。
极坐标系的优点是可以方便地描述环形结构和对称性。
例如，圆的方程在极坐标系中变为简单的r=constant的形式，而直
线在极坐标系中通常会变为一个斜线。
在极坐标系中，坐标变换与直角坐标系相比较复杂，因此在
实际应用中，一般会选择最方便的坐标系来描述问题。
但对于
一些特殊的情况，如天文学中描述星体的运动轨迹、电力工程
中描述电场分布等，极坐标系仍然是一种重要的工具。
极坐标系与曲线的性质
极坐标系与曲线的性质极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它以极轴和极角来确定点的位置。
在极坐标系下，曲线的性质可以通过极坐标方程来表示和理解。
本文将介绍极坐标系的基本概念，并探讨曲线在极坐标系下的性质。
一、极坐标系的基本概念在极坐标系中，点的位置由极径r和极角θ确定。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
极坐标系与直角坐标系可以相互转化，而直角坐标系中的点(x, y)可以通过以下关系转换为极坐标系中的点(r, θ)：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、极坐标系下的曲线在极坐标系下，曲线由极坐标方程描述。
常见的曲线方程包括极坐标方程以及对数螺线、阿基米德螺线等。
1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是一个关于θ的函数。
这个函数决定了曲线在极坐标系下的形状。
不同的函数f(θ)对应不同的曲线类型，如圆、椭圆、双曲线等。
2. 对数螺线对数螺线是一种以指数函数表示的曲线，其极坐标方程为r = a^θ，其中a为常数。
当a>1时，对数螺线向外蜷曲，当0<a<1时，对数螺线向内蜷曲。
3. 阿基米德螺线阿基米德螺线是一种以线性函数表示的曲线，其极坐标方程为r = a + bθ，其中a和b为常数。
阿基米德螺线是一种螺线，具有类似于一根拧入木头的螺钉的形状。
三、曲线的性质分析在极坐标系下，可以通过曲线的极坐标方程来推导和分析曲线的性质。
1. 曲线的对称性根据极坐标方程，可以判断曲线是否具有对称性。
例如，当极坐标方程中包含cosθ或sinθ时，曲线具有对称性。
当cosθ存在于r的表达式中时，曲线在极轴关于原点对称；当sinθ存在于r的表达式中时，曲线在极轴关于直线θ=π/2对称。
2. 曲线的极值点极坐标方程的极值点可通过求导数来确定。
通过对极坐标方程中的r关于θ求导，可以求得极值点的极角。
3. 曲线的曲率曲线的曲率可以通过曲线的极坐标方程以及柯西-罗尔定理来计算。
4-4极坐标系的概念
即 r - 2a cosq =0
【例2】指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1)ρcos(θ- )=2; (2)ρ2cos2θ=3;
3
(3)ρ= 2 .
1 sin
(1) r cos(q - p ) = 2 3
变式训练 在极坐标系中，求两点间距离：
B(8, )
2
8
A(2, )
2
6
O
x
方法一：转换成直角坐标 由互化公式得
A( 3,1), B(0,8)
| AB | ( 3 0)2 (1 8)2 52 2 13
B(8, )
2
方法二：利用三角形余弦定理 连接ＡＢ，则
8
A(2, )
2
6
O
x
AOB
(2)ρ2cos2θ=3;
(2)原方程变形为ρ2(cos2θ - sin2θ)=3, 即x2 -y2=3, 它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲 线.
化简得：y = - 1 x2 +1 4
这类题多采用化生为熟的方法，即 常将极坐标方程化为普通方程，再 进行判断.
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。
M (ρ,θ)…
O
X
原因在于：极径有正有负；极角有无数个。
(ρ,θ)=(ρ, θ+2kπ)=（－ρ, θ+(2k+1)π） 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了
O
X
叫做点M的极角，
人教版八年级下册数学平面极坐标系
人教版八年级下册数学平面极坐标系1. 极坐标系的定义极坐标系用于描述平面上的点，它基于两个参数：极径和极角。
- 极径（r）是点到原点的距离，可以是正数或零。
- 极角（θ）是点到正半轴的角度，可以是0到360度之间的任意角度。
2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系和直角坐标系是可以相互转换的。
- 直角坐标系转换为极坐标系：- 极径（r）可以通过点到原点的欧几里德距离（√(x^2+y^2)）计算得出。
- 极角（θ）可以通过点到正半轴的角度（tan^(-1)(y/x)）计算得出。
- 极坐标系转换为直角坐标系：- x坐标可以通过极径（r）和极角（θ）的关系计算得出：x = r * cos(θ)。
- y坐标可以通过极径（r）和极角（θ）的关系计算得出：y = r * sin(θ)。
3. 极坐标系的特点与应用极坐标系具有以下特点和应用：- 特点：- 极坐标系能够简洁地描述以原点为中心的环形区域。
- 极坐标系可以更方便地描述出现对称性的图形。
- 极坐标系的方程可以表达一些特殊的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
- 应用：- 极坐标系常用于物理学、天文学等领域中描述环形运动、天体运动等问题。
- 极坐标系在工程中也常用于描述圆形构件、旋转机械等。
4. 总结人教版八年级下册数学平面极坐标系是一种常用于描述平面上点的坐标系统。
它由极径和极角两个参数组成。
极坐标系和直角坐标系可以相互转换，且具有各自的特点和应用。
掌握极坐标系的概念和转换方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
以上就是关于人教版八年级下册数学平面极坐标系的简要介绍。
参考文献：- 张俊峰. (2016). 数学（九年级上册）. 人民教育出版社.。
选修4-4极坐标系的概念
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
3、点的极坐标的表达式的研究
M
如图：OM的长度为4，
4
O
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
4 ，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
思考：这些极角有何关系？
有。（ρ，2kπ+θ）
课后作业
思考:
极坐标系中, 点M的坐标为(-10, 坐标中, 不是M点的坐标的是(
3
), )
则下列各
(A) (10,4 ) (B) (-10, 5- ) (C) (102, - ) (D)(210,
3
3
3
3
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点规M定((,,)的)对位应置的规点定的：位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
° O
x
° O
x
•M(-2,
5)
•M(,
)
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
计__算__角__度__的__正___方__向_____； O
(2) 平面内点的极坐标用(__,___)表示.
X
极点的极坐标为__(0__,__)_,____可__为___任__意__值.
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2
5
6 D• E•
4
•C
极坐标系及其运算
极坐标系及其运算引言在数学和物理学中，极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统。
与直角坐标系相比，极坐标系更适合描述圆形或径向对称的问题。
本文将介绍极坐标系的基本概念、转换公式以及一些常见的极坐标系运算。
一、极坐标系的基本概念极坐标系由两个参数组成：极径（r）和极角（θ）。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正极轴（通常为x轴）之间的角度。
在极坐标系中，点的坐标表示为（r，θ）。
其中，r可以是非负实数，θ可以是任意实数。
极坐标系中的点可以通过极坐标转换为直角坐标系中的点，转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)二、极坐标系的运算1. 极坐标系的加法在极坐标系中，两个点的加法可以通过将两个点的极径和极角相加得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的和的坐标为（r1 + r2，θ1 + θ2）。
2. 极坐标系的减法与加法类似，两个点的减法可以通过将两个点的极径和极角相减得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的差的坐标为（r1 - r2，θ1 - θ2）。
3. 极坐标系的乘法和除法在极坐标系中，两个点的乘法可以通过将两个点的极径相乘，极角相加得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的乘积的坐标为（r1 * r2，θ1 + θ2）。
类似地，两个点的除法可以通过将两个点的极径相除，极角相减得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的商的坐标为（r1 / r2，θ1 - θ2）。
4. 极坐标系的平方根和幂运算在极坐标系中，点的平方根可以通过将点的极径开方，极角除以2得到。
假设点A的坐标为（r，θ），则点A的平方根的坐标为（√r，θ / 2）。
类似地，点的幂运算可以通过将点的极径的幂次方，极角乘以幂次方得到。
假设点A的坐标为（r，θ），则点A的幂运算的坐标为（r^n，n * θ）。
极坐标系的概念和应用
极坐标系的概念和应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r 代表该点到原点的距离，θ代表该点与参考线的夹角。
极坐标系能够简洁地描述圆形、对称图形以及其他一些具有旋转特性的图形，因此在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系统，它与直角坐标系密切相关。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为(x,y)的形式，其中x为该点与x轴的水平距离，y为该点与y轴的垂直距离。
而在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r为该点到原点的距离，θ为该点与参考线的夹角。
二、极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系之间存在着一种转换关系，通过这种关系可以实现坐标系的相互转换。
具体而言，对于给定的极坐标(r,θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)同样地，对于给定的直角坐标(x,y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r,θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这种转换关系使得在不同的应用场景中能够灵活地使用极坐标系和直角坐标系。
三、极坐标系的应用1. 圆的极坐标方程在极坐标系中，圆可以用简洁的形式进行表示。
对于圆心在原点，半径为a的圆，其极坐标方程为：r = a通过这个方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质。
2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，某些曲线的方程可以用极坐标表示。
例如，对于给定的极坐标方程r = f(θ)，其中f(θ)是一个与θ有关的函数，我们可以通过描绘不同θ值对应的r值来绘制出相应的曲线。
3. 极坐标系在物理学中的应用极坐标系在物理学中有着重要的应用。
例如，极坐标系可以用来描述某些旋转对称的物理问题，比如自转的刚体、天体运动等。
通过使用极坐标系，可以更加简洁地描述物体在旋转过程中的运动规律。
极坐标系的基本概念
极坐标系的基本概念极坐标系是一种描述在平面上的几何图形的坐标系统。
与笛卡尔坐标系不同，极坐标系通过极径和极角来描述一个点的位置。
极径表示点与原点之间的距离，而极角表示从x轴正半轴逆时针旋转的角度。
这种坐标系统的特点是具有对称性，使得许多简单的曲线在此坐标系中表达更为简洁明了。
极坐标系的转换如果一个坐标系需要转换到极坐标系，我们需要借助于以下的公式：x = r cos(θ)y = r sin(θ)其中，(x,y) 为原坐标系的点，r 为该点离原点的距离，θ 为该点与x轴正半轴之间的角度。
反之，如果需要将一个极坐标系转换为笛卡尔坐标系，则可以使用如下公式：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这些公式使得我们可以在两种不同的坐标系之间进行转换，方便我们的数学计算和建模。
极坐标系中的简单曲线极坐标系中许多简单的曲线在笛卡尔坐标系中无法用较简洁的方式描述。
其中一些简单曲线包括线、圆、花瓣以及螺旋等。
我们可以看一下这些曲线在极坐标系中的方程。
直线的极坐标方程: r = cos(θ)圆的极坐标方程: r = a花瓣的极坐标方程: r = a cos(2θ)螺旋的极坐标方程: r = a + bθ在这些曲线方程中，a 和 b 是常量，代表曲线的半径和角度增长的速率。
以图形的方式描绘出这些曲线需要大量计算。
因此，一般我们会采用计算机辅助绘图来绘制这些复杂的曲线。
极坐标系在物理学中的应用极坐标系在物理学中也有广泛的应用。
特别是在描述圆形、球形和圆柱形系统时，这种坐标系使用较为广泛。
在电学中，极坐标系用于旋转对称的电场和磁场系统的描述，可以使问题的求解更加简洁。
同理，在光学和声学中，极坐标系也被广泛应用。
总结极坐标系是描述平面上几何图形的一种坐标系统，通过极径和极角来描述点的位置。
许多简单的曲线在极坐标系中具有更为简洁明了的表达。
在物理学中，极坐标系也有广泛的应用，例如描述旋转对称的电场和磁场等系统。
极坐标系
极坐标系一、 极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O ，叫极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径，θ 叫做点M 的极角，对应 (ρ,θ)就叫点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
二、极坐标与直角坐标的转化：在直角坐标系中一点M 0为(x 0,y 0)则在以其处直角坐标系的原点为极点的极坐标系中其极径ρ0=√x 02+y 02 , 极角θ0=tan −1(y0x 0) （极角所在象限由原角而定），得M 0极坐标为(√x 02+y 02,tan −1(y0x 0))。
那么得极坐标方程与直角坐标方程的互化公式： {ρ=2+y 2θ=tan −1(y x ) {x =ρcos θ y =ρsin θ三、极坐标系的运用及简单图像的方程：1) 极坐标系中两点的距离：若在极坐标系中存在不同的两点A (ρ1,θ1)、B (ρ2,θ2)则其距离d 为：d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2) 推导过程: 由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC得:|AB |2=|OA |2+|OB |2−2|OA ||OB |cos ∠AOB其中有：|OA |=ρ1 , |OB |=ρ2 ∠AOB =θ1−θ2则有：|AB |2=ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)即：d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)2) 极坐标系中直线的方程：若在极坐标系中存在过极点的直线l 0，其倾斜角为φ，则该直线的的极坐标方程为：θ=φ (ρ ∈R )3) 极坐标系中圆的方程：若在极坐标系中存在一个圆，圆心在极点上，半径为r ,则该圆的的极坐标方程为：ρ=r (θ ∈R )若其圆心在点O (ρ1,θ1)则该圆的的极坐标方程为：ρ2+ρ12−2ρρ1cos (θ−θ1)=r 2 M (ρ,θ)x θρ极坐标系O )4)极坐标系中圆锥曲线的方程：圆锥曲线的极坐标方程为ρ=±ep1−ecosθ或ρ=±ep1−esinθp表示准线到焦点的距离。
高考数学中的极坐标系与极坐标方程详解
高考数学中的极坐标系与极坐标方程详解极坐标系与极坐标方程是高中数学中的一项重要知识点，也是高考数学中的必考内容。
对于不少同学来说，极坐标系和极坐标方程相对传统的笛卡尔坐标系和方程来说可能会较为陌生，因此需要我们对其进行深入的了解和探究。
一、极坐标系的概念及其构成方式极坐标系是一种平面直角坐标系，只不过采用了极轴和极角这两个参数来表示平面上的点。
极轴通常被用作坐标系中的横轴，而极角则被用作坐标系中的纵轴，符号通常为 $(\rho,\theta)$。
在图形上，我们可以将极坐标系的构建方式理解为：首先确定一个原点 $O$，然后以该点为中心，画出若干个互相垂直的半射线，这些半射线便构成了极坐标系的纵轴，也就是极角。
此外，为了确定另一个参数 $\rho$，可以在每一条极角半射线上取一个刻度点，并沿着该半射线逐渐扩大或缩小刻度单位，这样就可以标出每个点的极径，并用 $(\rho,\theta)$ 的形式进行表示。
二、极坐标方程的定义与求解方法极坐标方程是表示极坐标系中点的一种数学表达式形式，它由极径 $\rho$ 和极角 $\theta$ 两个参数所构成。
在大多数情况下，极坐标方程可以被转化为解析式，以便进行更加方便的数学分析和计算。
通常情况下，我们可以通过利用直角三角形的正、余弦等基本函数，将极坐标方程 $\rho=f(\theta)$ 转化为解析式 $y=f(x)$ 的形式，以便于对其进行计算和分析。
特别地，对于圆、椭圆、抛物线和双曲线等常见几何图形，其极坐标方程已经有了标准型的表示形式，我们只需根据标准方程进行微小的变形即可。
另外，值得注意的是，在进行极坐标方程的求解过程中，我们需要格外关注不仅仅是函数本身的性质，还需要注意其在不同情况下的定义域和值域等约束条件，以避免发生计算失误和解题错误。
三、极坐标系的使用场景与一些具体例子极坐标系在数学和物理学中都有着很广泛的应用场景，比如在三维坐标系中，许多物理量都可以通过以其他物理量或极坐标系为基础进行计算和表示。
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【归纳总结】 1.极坐标系的四要素 ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向. 四者缺一不可. 2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极 径,最终确定点的位置.
特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的, 反之,若已知点,则其极坐标不确定.
类型一 极坐标系与点的极坐标
【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一 点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正确表示的序号为____________.
【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离 为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的 极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正确. 答案:②③
(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么 两点间的距离公式 | P1P2 | 12 22－212cos(1－2 ) 的两种 特殊情形为: ①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|; ②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.
提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原 点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴. (2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是 (ρ,θ).
2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?
提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都 有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以 有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应,果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外的任意一点 都有唯一的极坐标(ρ,θ)与之对应,反之亦然.
3 62
所以S△AOB=1 6 6 18.
2
2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.
【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),
则
6
2 3
5，
6 cos(
2 3
6)
3
2，
2 12
2
故线段AB中点M的极坐标为(3 2，5).
12
【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距 离公式 (1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角 θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}. 如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除极点外,点与有 序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.
6
又因为点的极坐标为(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R),
所以点E的极坐标为 (4，2k 7)k Z.
6
同理,点F的极坐标为 (3，2k 2)k Z.
3
类型二 极坐标系中两点间的距离
【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点 A(6， )，
6
B(6，2 )，求|AB|的值.
【典例】在极坐标系中,点P (2，) 到极点的距离为
6
________,点P (2，) 到极轴的距离为________.
6
【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离? 提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化 为三角函数计算.
【解析】因为在极坐标系中,点P (2，) ,ρ=2,θ= ,所
二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念
【自主预习】 1.极坐标系 (1)取极点:平面内取一个_定__点__O_. (2)作极轴:自极点引一条射线Ox. (3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取 弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).
2.点的极坐标 (1)定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为 _M_(_ρ__,_θ__)_. (2)意义:ρ=_|_O_M_|_,即极点O与点M的距离(ρ≥0). θ=_∠__x_O_M_,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.
【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,
两点 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 间的距离是 ( )
4
12
A. 41 B. 39 C.6
3
【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可 得∠AOB为多少度? 提示:∠AOB=90°.
【解析】因为 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故 AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知条件不变,试求△AOB的面积.
【解析】因为 2 故 ∠，AOB=90°,
6
6
以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1.
6
答案:2 1
【方法技巧】确定点的极坐标的方法 点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则 (1)ρ为点P到极点的距离,是个定值. (2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ 是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对 值较小的角.
【即时小测】
1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为 ( )
A.(1,0)
B.(2,π)
C.(1,2016π)
D.(1,2017π)
【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相 同的角的概念得,点(1,π)与点(1,2017π)相同.
2.点M的直角坐标是(-1, 3 ),则点M的极点坐标为 ()
2.如图,在极坐标系中,
(1)作出以下各点:
A(5，0)，B(3， )，C(4，3 )，D(2，－ 3 ).
6
2
2
(2)求点E,F的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R).
【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是 确定的. (2)由于点E的极径为4, 在θ∈[0,2π)内,极角 7，
A.(2， ) 3
C.(2, 2 ) 3
B.(2, ) 3
D.(2, 2k )(k Z) 3
【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,
则ρcosθ=x得:cosθ=- ,1
2
结合点在第二象限得:θ= 2,
3
则点M的极坐标为(2，2 ).
3
【知识探究】 探究点 极坐标系 1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?