凸函数中一个重要定理的证明

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凸函数与微分中值定理

凸函数与微分中值定理一、引言凸函数与微分中值定理是微积分中的两个重要概念。

凸函数是指在定义域内任意两点之间的连线上的函数值都不高于曲线上的函数值的函数；微分中值定理是指在一个区间内，如果函数在两个点上取得相同的函数值，那么在这两个点之间，函数的导数就取得相同的值。

本文将分别介绍凸函数和微分中值定理的概念、性质以及应用。

二、凸函数1. 定义凸函数是指对于定义域内的任意两个点，连接这两个点的线段上的函数值都不高于曲线上的函数值的函数。

简而言之，就是曲线上任意两点连线的斜率都不小于曲线上这两点之间的斜率。

2. 性质（1）凸函数的一阶导数递增凸函数的一阶导数递增，也就是说，随着自变量的增大，函数的斜率也逐渐增大。

（2）凸函数的二阶导数非负凸函数的二阶导数非负，也就是说，函数的凹弯程度不会超过水平线。

3. 应用凸函数在优化问题中有广泛的应用。

例如，在经济学中，凸函数可以用来描述效用函数，描述消费者的偏好。

在工程学中，凸函数可以用来描述成本函数，描述生产者的成本。

凸函数还可以用于图像处理、机器学习等领域。

三、微分中值定理1. 定义微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它指出，如果函数在一个区间内连续，且在该区间内可导，那么在这个区间内，存在至少一点使得函数的导数等于函数在该区间的平均变化率。

2. 性质（1）存在性微分中值定理保证了在满足条件的函数中，至少存在一个点使得导数等于平均变化率。

（2）唯一性微分中值定理并不能保证这个点的唯一性，只能保证至少存在一个点。

（3）推广微分中值定理有多种推广形式，如柯西中值定理、拉格朗日中值定理等。

3. 应用微分中值定理在求解函数的性质、证明极值存在性等问题中有广泛的应用。

例如，可以利用微分中值定理证明函数的单调性、判断函数的凹凸性等。

四、凸函数与微分中值定理的关系凸函数与微分中值定理之间有着密切的联系。

根据微分中值定理，如果函数在两个点上取得相同的函数值，那么在这两个点之间，函数的导数就取得相同的值。

凸函数的性质

ｆ（：ｆｂ）（）＋（＿ｂ）（）２
证明：必要性：ｆｘ为［，］设（）ａｂ上的线凸函数，那么Ｖｘ∈［，］ａｂ可表示为
ｘ：ａ１一）或＋（ｂ＝（）３
且ｆｘ＝ｆ入＋１一入ｂ（）［ａ（）］＝Ｘ（）１一入ｆｂｆａ＋（）（）
凸函数的性质
阿荣，敖日格乐
（．内蒙古农业大学职业技术学院，１土默特右旗０４０；．内蒙古教育出版社，１１９２呼和浩特００１）１００
摘要：文章主要研究了凸函数的连续性及可微性、应地给一些凸函数的一般性质。相关键词：凸函数；凹函数；线凸函数中图分类号：０１４１．３７文献标识码：Ａ文章编号：０９— ５５２０）１０００１０３７（０８０ — ２６— ５
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第２９卷第１期２００８年３月
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古
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大
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Ｖ０．９Ｎｏ１１２．
Ｍａ．０８ｒ２０
ＪｕｎｌｆｎｅＭｏｇｌＡｇｉｕｔｒｌＵｉｅｓｙｏｒａｏＩｎｒｎｏｉａｒｌｕａｎｖｒｉｃｔ
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作简：荣０一女蒙）教主事等学教与究器品；紧１－，（族，，从高数的学研．者介阿－１莩羿哿（０）古助要４９）５８
维普资讯
定义：ＩＲ上的一个区间，设为函数ｆ —Ｒ称为Ｉ：Ｉ上的凸函数是指：

凸函数的性质及其应用

即证f在（上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １， x ＝（∨x３得x∈ ［ａ，ｂ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２２) －－ fx （１ x １) ，
３、应用举例：
例１：用凸函数方法证明ｙｏｕｎｇｅｒ不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ｙ）≥２f（ x ）f（ y ），故（Ｄ）式成立，结论得证。另：设 f （ x )=e－２x＞０为Ｒ上的凸函数，但 f（１x ） =e－２x 仍为凸函数定理６：若 f （ x )为区间Ｉ上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为Ｉ的内点，则单侧导数f （＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间Ｉ上的凸函数，则f（ x ）在区间Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ，有 n f （ ∑ i＝１ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１）推论１：若 f （x ）在区间Ｉ上为凸函数，则对Ｉ上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２）注：若 f （x ）在Ｉ上连续，则上述定义１，２，３等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ）为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １）＋
１－λ f （x２）
………

第三节凸函数

d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）

2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日在18世纪提出的。

拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它建立了函数在一个闭区间内存在某一点的导数与函数在该闭区间的两个端点的函数值之间的关系。

拉格朗日中值定理在数学分析中有重要的应用，尤其在凸函数理论、微分方程、最优化理论等领域中起着重要的作用。

在许多实际问题中，通过应用拉格朗日中值定理，可以简化问题的求解过程，提高计算的效率。

拉格朗日中值定理可以描述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上可导且在开区间(a, b)内连续，那么在(a, b)内，至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。

其中，c是在(a, b)内的某一点，f'(c)表示f(x)在c处的导数。

拉格朗日中值定理的证明过程可以进行如下推导：首先，利用柯西中值定理证明了存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)成立。

然后，由于f(x)在闭区间[a, b]上连续，所以f(x)在[a, b]上达到了最大值和最小值，即存在两个点x1、x2，使得f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)对任意x ∈ [a, b]成立。

由于f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)，所以可以推断出f'(x1) ≤ f'(c) ≤ f'(x2)，其中x1、x2均属于区间(a, b)。

根据确界的性质，可以得到f'(x1) ≤ f'(c) ≤ f'(x2)中存在一个点c，使得f'(c) = f'(x1) = f'(x2)，即在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

拉格朗日中值定理的应用是非常广泛的。

例如，可以利用该定理证明连续函数在区间内的等式和不等式，求解函数在某一区间内的最大值和最小值，证明函数的单调性等。

凸集分离定理

凸集分离定理凸集分离定理是一个在几何学、集合理论和优化计算中有着重要应用的定理。

它指出，一个向上凸的集合可以被一个超平面分离，即凸集的任何子集都可以用一个超平面来完全分离，而不用再考虑其它的超平面。

凸集的分离定理是求解凸优化问题的基础，在机器学习中也有各种应用。

该定理的历史可以追溯到1850年代的爱因斯坦，他宣称，“只要从交换的凸数学集合中排除超平面，就可以将其分割开。

”爱因斯坦的定理是一个比较抽象的定义，却提供了凸集分离定理的理论框架，并对现代数学学术界产生了深远的影响。

20世纪60年代，凸集分离定理又被希尔伯特和斯特拉普金斯基应用于优化问题。

他们提出了一种基于凸函数的数学模型，来解决优化问题，其中凸集分离定理发挥了关键作用。

斯特拉普金斯基在1971年发表的文章中，详细地介绍了凸集分离定理。

在几何学中，凸集分离定理可以用来证明空间中各个凸集之间的关系。

具体地说，若两个凸集K和L之间存在一个超平面，其中一个集合在超平面一边，另一个集合在另一边，则K和L是分离的。

这种分离性质可以用来证明几何形状的重要性质，如圆的无穷个非重叠近似。

凸集分离定理的应用不仅局限于几何和优化领域，在机器学习领域也有许多应用。

例如，随机梯度下降法（SGD）可以用来快速估计凸损失函数的参数。

它是一种基于梯度下降思想的机器学习优化算法，使用凸集分离定理来快速计算梯度。

在支持向量机（SVM）中，定义凸集分离定理也发挥了重要作用，它可以用来求解SVM的最优分隔超平面。

凸集分离定理有着广泛的应用，它可以用来解决很多几何、代数和机器学习问题。

该定理不仅能够明确表达凸集之间的关系，还能够用于求解凸优化问题。

因此，凸集分离定理对进一步探索优化算法和机器学习的研究保持着非常重要的地位。

凸函数的性质及应用(0907142王波波).docx

目录1引言 (2)2凸函数的定义及性质 (2)2.1凸函数的几种不同定义及其关联 (2)2.2凸函数的判定定理及证明 (4)2.3凸函数的性质 (5)3凸函数的应用 (6)3.1詹森不等式及应用 (6)3.2凸函数在微分学的应用 (8)3.3凸函数在积分学的应用 (9)结论 (11)参考文献 (11)凸函数的性质及应用王波波，数学计算机科学学院扌商要：凸函数是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重要的作用•在本文中，我们分析总结了凸函数的性质及相关定理•最后用凸函数方法和詹森不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些讨论. 关键i司：凸函数;方法；不等式；推论Properties of Convex Function and Its ApplicationWangbobo , College of Mathematic and Computer Science Abstract：Convex function is a basic content of higher maths.lt plays an important role in proving more complex inequality. In this paper，we summarized some properties and theorem of convex function . And finally we proved some important inequality using the method of Convex function and Jensen inequality of convex function and discussed some conclusion.Key words：Convex function; Method; Inequality; Inference1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、黎曼集合、最优化理论等当中•常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。

凸函数

§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。

如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。

例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。

定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。

若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。

作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。

Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。

moreau分解定理 -回复

moreau分解定理-回复什么是Moreau分解定理？Moreau分解定理是凸分析中的一个重要定理，它将一个凸函数分解为一个仿射函数和一个极大次梯度函数的和。

具体地说，对于任意一个凸函数f: R^n -> R，Moreau分解定理表示为：f(x) = f^μ(x) + f^μ*(T_μ(x))其中，f^μ(x)是一个仿射函数，T_μ(x)是x在函数f(x)上的一个极大次梯度，f^μ*(T_μ(x))是关于T_μ(x)的凸共轭函数。

Moreau分解定理的推广形式是Bregman-Moreau分解定理，它是Moreau分解定理在一般的差分空间上的推广。

Moreau分解定理的证明思路是先对函数f(x)进行延拓，然后使用喜渐近规则（prox-gradient algorithm）进行展开，并应用极大次梯度的性质进行递推。

接下来，我们将一步一步回答关于Moreau分解定理的相关问题。

问题1：为什么Moreau分解定理是凸函数的一个重要定理？回答1：Moreau分解定理是凸函数的一个重要定理，因为它能够将一个凸函数分解为一个仿射函数和一个极大次梯度函数的和。

通过这样的分解，我们可以更好地理解凸函数的性质，并能够通过对分解后的函数进行研究来解决更复杂的凸优化问题。

问题2：Moreau分解定理的具体形式是什么？回答2：Moreau分解定理的具体形式可以表示为：f(x) = f^μ(x) + f^μ*(T_μ(x))，其中，f^μ(x)是一个仿射函数，T_μ(x)是x在函数f(x)上的一个极大次梯度，f^μ*(T_μ(x))是关于T_μ(x)的凸共轭函数。

问题3：Moreau分解定理如何证明？回答3：Moreau分解定理的证明可以通过对凸函数的延拓、喜渐近规则的展开以及极大次梯度的性质进行递推来完成。

具体地说，我们可以先对凸函数f(x)进行延拓，然后使用喜渐近规则进行展开，得到一个逐渐逼近的序列。

接着，通过极大次梯度的性质，我们可以利用递推关系对序列进行化简和归纳，最终得到Moreau分解定理的表达式。

凸函数积分不等式证明

凸函数积分不等式证明
凸函数积分不等式是数学中一个重要的定理，它是指在凸函数的积分范围内，凸函数的积分不等式成立。

凸函数积分不等式的证明可以从凸函数的定义出发，即凸函数的导数是单调递增的。

首先，我们来看一个凸函数的定义：凸函数是指在它的定义域内，其导数是单调递增的。

因此，凸函数的积分不等式可以由凸函数的定义来证明。

其次，我们来看一个凸函数的积分不等式：设函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有：
∫a^bf(x)dx≥f(a)∫a^bdx+f(b)∫a^bdx
证明：由凸函数的定义，我们可以知道，函数f(x)在区间[a,b]上的导数是单调递增的，即f'(x)≥0。

因此，我们可以得出：
f(x)≥f(a)+f'(a)(x-a)
将上式代入积分不等式，可以得出：
∫a^bf(x)dx≥f(a)∫a^bdx+f(b)∫a^bdx
以上就是凸函数积分不等式的证明。

综上所述，凸函数积分不等式是一个重要的定理，它可以从凸函数的定义出发来证明。

凸函数的积分不等式可以用来分析凸函数的性质，为凸函数的研究提供重要的理论依据。

凸函数的性质及其应用

中文题目：凸函数的性质及其应用英文题目：The Property and Applications of ConvexFunctions完成人：指导教师：系（院）别：数学与信息科技学院专业、班级：数学与应用数学0602班完成时间：二〇一〇年六月河北科技师范学院数信学院制目录中文摘要 (1)1 引言 (1)2 预备知识 (1)2.1 凸函数的定义 (2)2.2凸函数的运算性质 (2)2.3 Jesen不等式 (2)3 本文的主要结果 (3)3.1 凸函数的连续性 (3)3.2 凸函数的微分性质 (3)3.3 凸函数的积分性质 (6)3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7)结束语 (12)参考文献 (12)英文摘要 (13)致谢 (13)凸函数的性质及其应用(河北科技师范学院数学与信息科技学院数学与应用数学专业0602班)指导教师：摘要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。

本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。

并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。

关键词: 凸函数；不等式；证明1 引言凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】。

对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有着十分重要的作用【4】。

人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。

函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。

对数性凸函数的性质及应用解读

对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。

关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。

凸函数的定义及有关定理.doc

凸函数的定义及有关定理定义设f 为区间I 上的函数.如果()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈,总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-则称f 在I 上为下凸函数.如果上述不等式中“≤”改为“＜”,则称f 在I 上为严格下凸函数.如果()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈，总有 ()()()()()121211fx x f x f x λλλλ+-≥+-则称f 在I 上为上凸函数.如果上述不等式中“≥”改为“＞”,则称f 在I 上为严格上凸函数.定理1 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为下凸(或上凸)函数的充要条件是()0f x ''≥ (或()0f x ''≤),.x I ∈用定义直接来判断一个函数是不是凸函数,往往是很困难的.但用该定理来判断一个光滑函数是否凸,则是相当方便的. 在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性,再反过来引出它必定满足凸性不等式.关于凸函数，有重要的Jensen （詹森）不等式. 定理2（Jensen 不等式）[2]若f 在区间I 上为下凸函数,则()1,01,2,,,1ni i i i x I i n λλ=∀∈∀>==∑,有()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ (1)证明用数学归纳法.当2n =时,由定义显然有()()()11221122.fx x f x f x λλλλ+≤+假设当n N =时,有()11N Ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑,其中1 1.Ni i λ==∑当1n N =+时,11111N Ni i N N i i i i f x f x x λλλ+++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑11111Ni i Ni N N kNk i i x f x λλλλ=++==⎛⎫⎪⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ ()11111Ni i Ni N N k N k i i x f x f λλλλ=++==⎛⎫⎪ ⎪≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ ()()11111NiiNi N N kNk ii f x f x λλλλ=++==≤+∑∑∑()11N iii f x λ+==∑当且仅当12n x x x ===时取等号.在定理2中只要把“下凸”改为“上凸”即可得证:()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑ (2)凸函数的定义及有关定理定义[1]设f 为区间I 上的函数.如果()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈,总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-则称f 在I 上为下凸函数.如果上述不等式中“≤”改为“＜”,则称f 在I 上为严格下凸函数.如果()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈，总有 ()()()()()121211fx x f x f x λλλλ+-≥+-则称f 在I 上为上凸函数.如果上述不等式中“≥”改为“＞”,则称f 在I 上为严格上凸函数.定理1 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为下凸(或上凸)函数的充要条件是()0f x ''≥ (或()0f x ''≤),.x I ∈ (《数学分析》教材已证，这里从略.)用定义直接来判断一个函数是不是凸函数,往往是很困难的.但用该定理来判断一个光滑函数是否凸,则是相当方便的. 在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性,再反过来引出它必定满足凸性不等式.关于凸函数，有重要的Jensen （詹森）不等式. 定理2（Jensen 不等式）[2]若f 在区间I 上为下凸函数,则()1,01,2,,,1ni i i i x I i n λλ=∀∈∀>==∑,有()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ (1)证明用数学归纳法.当2n =时,由定义显然有()()()11221122.fx x f x f x λλλλ+≤+假设当n N =时,有()11N Ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑,其中1 1.Ni i λ==∑当1n N =+时,11111N Ni i N N i i i i f x f x x λλλ+++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑11111Ni i Ni N N kNk i i x f x λλλλ=++==⎛⎫⎪⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ ()11111Ni i Ni N N k N k i i x f x f λλλλ=++==⎛⎫⎪ ⎪≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ ()()11111NiiNi N N kNk ii f x f x λλλλ=++==≤+∑∑∑()11N iii f x λ+==∑当且仅当12n x x x ===时取等号.在定理2中只要把“下凸”改为“上凸”即可得证:()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑ (2)。

凸函数中一个重要定理的证明

F
(
x) x
− −
F( x0
x0
)
,因
此右导数存在。
∀x1 < x0 < x3 , 由定理 1 有 f( x1 ) = (F( x1)-F( x0 )) / ( x1- x0 ) ≤ f( x2 ) = (F( x2 )-F( x0 )) /
( x2 - x0 )
令 x1 → x0− 得 F 在 x0 点的左导数小于等于 F 在 x0 点的右导数
Θ D + F(x)是单增的（由定理 4） ∴ F’ (x) 是单增的
下面只需证 D + F(x)在（a, b）上的至多可数个点不连续由定理 4， D + F(x)在（a, b）上是单增函数
∴D + F(x)在（a, b）上的不连续点有至多可数个（根据实变函数论知识）
即除了至多可数个点外， F’处处存在
∴ F’ (x)= D + F(x)=D − F(x)
，x∈ D,
≤ θF (x1 ) + (1 −θ )F (x2 )
定理 1 F 是（ a, b ）上的凸函数，当且仅当 ∀x1 < x2 < x3 , x1 ， x2 ， x3 ∈ （ a,
b）,m ij =m ji =(F(x i )-F(x j ))/ x i - x j ,I, j=1,2,3;i ≠ j.有 m 12 ≤ m 13 ≤ m 23
D + F(z)=
D + F(z)
−
连续
即 D + F(x)
定理 4、设 F（x）是 R 上的凸函数则 D + F(x)是 R 上的增函数
F(y) − F(x )

第三节凸函数

f(x)=
2,x=1
f(x)是区间[1,4]上的凸函数，但显然在边界点x=1 处不连续。
三、凸函数的判定
定理1 （凸函数的一阶充要条件）
设D是开凸集，f(x)在D上具有一阶连续导
数。那么，f(x)是D上的凸函数的充要条件是：对D上任意两个不同点x1,x2，恒有
f(x2)≥ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
1
_
阵。现任取D上两相异点x1,x2,由Taylor展式，有
f(x2)=f(x1)+▽f(x1)T(x2-x1)+ (x2-x1) T ▽2
其中，x =λx1+(1-λ)x2 , 0≤λ≤1
_
_
2
f) (x2-x1( x )
由于D是凸集，故 x
定矩阵。于是有
∈D,由已知条件，当然▽2
_
也是半正 f(x)
▽2f( X
)是半正定矩阵。
定理2' （严格凸函数的二阶充分条件）设f(x)是开凸集上的实函数，若f(x)的
Hesse矩阵▽2f(x)在D上处处正定，则
f(x)是D上的严格凸函数。
证明略
例4 试判断下列函数的凸凹性。
a)f(x)=5x12+x1x2+x22-5x1+4x2,x∈（-∞,+∞）
b)f(x)=-x12+3x1x2-4x22-6x1+3,x∈（-∞,+∞） c)f(x)=x12+2x23-x3,x1≥0,x2≥0,-∞≤x3≤+∞
_
(x2-x1)T ▽2f ( x )(X2-X1) ≥0
（所以，
f(x2)＞ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)

凸函数在不等式中的证明

凸函数在不等式中的证明1.函数的定义及其常见的凹凸函数大家都熟悉函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。

我们可以下这样一个定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,x x 恒有 1212()()()22x x f x f x f ++≤ 那么称()f x 在(,)a b 内是凸函数.定义2 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,,(0,1)x x λ∈ ，有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 则称()f x 在(,)a b 内是凸函数.以上若不等式的方向相反，则称()f x 在(,)a b 内是凹函数.1.1常见的凹凸函数有1.1.1 )0()(<=k x x f k 或)0(>k ,x x x f ln )(=均为(0,)∞内的严格凸函数;1.1.2 ()ln(1),()0)x f x e f x c =+=≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.1.2 凸函数的常见性质及其判定定理性质1 设()f x 为凸函数，0k >为常数，则()kf x 是凸函数：若()(1,2,...,)i f x i n = 是凸函数，则1()ni i f x =∑ 仍是凸函数：若()u ϕ是增凸函数，()u f x =也是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数[1].性质2 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则在(,)a b 的任一闭子区间上有界.性质3 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则()f x 在(,)a b 内连续.定理1[1]()f x 是区间I 上的凸函数的充要条件是：对于满足11ni i λ==∑ 的任意12,,...,0n λλλ≥ ，有：11()()n n i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 12,,...,n x x x I ∀∈ (1)定理2 若()f x 在区间I 上二阶可微，则()f x 在I 上是凸函数的充要条件是：1.3凸函数的不等式 1.3.1 凸函数基本不等式设()f x 是(,)a b 内的严格凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组不全相同的值12,,...,n x x x ，必有不等式[2]：1.3.2 Jensen 不等式Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：（1）设()f x 是(,)a b 内的凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组值12,,...,n x x x 及任意正数12,,...,n p p p 必有不等式： 112211221212...()()...()()()......n n n n n np x p x p x p f x p f x p f x f p p p p p p ++++++≤≥++++++ （2）设(),()f x p x 为[,]a b 上的可积函数，而 (),()0,()0ba m f x M p x p x dx ≤≤≥>⎰则当()()t m t M ϕ≤≤为凸（凹）函数时有()()()[()]()()()()bbaabbaap x f x dxp x f x dxp x dxp x dxϕϕ≤≥⎰⎰⎰⎰2.凸函数在证明不等式中的简单应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1 设0,1,2,...,i a i n >= ，证明：1212...111...nna a a n na a a +++≤≤+++证明设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有01)(2''>=x x f ，从而，函数()ln f x x =-在(0,)∞是严格凸函数，取121(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a q i n q q q n=∈∞==+++=有1212ln ln ln ln(...)...n n a a a a a a n n n n n n-+++≤----或n n n n n n na a a a a a na a a ...ln )ln ...ln (ln ...ln 211121121-=+++-≤+++- 即12...na a a n+++≤取 1211(0,),,1,2,...,,...1i i n i x q i n q q q a n=∈∞==+++= 同样方法，有12...nn a a a ≤+++于是，n N +∀∈ ，有1212......nna a a n na a a +++≤≤+++例2 证明12,,...,,1n x x x R p +∀∈≥ 有 11212......()p p p pn n x x x x x x n n++++++≤上式称为算术平均不大于(1)p p ≥ 次平均，特别的，当2p = ，得到算术平均值不大于平方平均值。

凸函数的性质及其应用

推论：若，为区间ｊ ∽ 上的凸函数，ｘ）区间珀ｑ则在内点连续，定理７，为区间ａ】的凸函数日对Ｖｘａ】３ ∈Ｒ：㈤，上ｂ０，，仅Ｅ［ｂ，
ｓ对ｘ∈ Ｉ．ｔ奄
， ≥ ｏ（ ∽ ｔ卜）ｔ
定义１：设ｆ）区间Ｊ在上有定义，）Ｊ成为凸函数当，在上且仅当对Ｖｘ，ｘ ∈Ｉ一２，ＶＡ∈（，有，Ａ＋１０１）（。（一Ａ））Ａ，ｘ） ≤ ２（Ｉ＋
推论１：若ｆ）区间Ｊ为凸函数，则对ＪＶｘ，，在上上Ｉ＜有
ｆ２ｓ。ｆ３厂。））））３－．：，ｆ）
总有，∽ ≥ 仅
）０。
２） —了 ■一每—了 ■一每 —了丁一
，（Ａｊ）≤ Ａｆ（），
厂 ≥仅一 ∽ ‘
）
（Ｖｘ∈［．】ａｂ）
≥ 仅 ≥—
在上式中分令：，：得 —ｘ（）ｆ３ｆｘ（），－
即证。
ｆｘ）（）（ｘ２ｆ１－
，
。 ‘
（分性）对充使得
．
＜，＜ ∈ ａｂ，由题设，对 ‘ ，存在ｏ，［，】ｔ
注：若ｆ（在Ｊ连续，则上述定义１，３价ｘ）上，２等２性质、定理１：若ｆ）区间Ｊ为凸函数，对Ｖｋ≠ ０则：ｉ在ｘ上，ｋ０时，㈣在区间上为凸函数＞ｋ０，切在区问上为凹函数＜时定理２：若））区间Ｊ为凸函数，对Ｖｋ， ∈Ｒ，ｇ在上ｌ，ｋｋ０２０，ｌ，＞时＞ｋ），），的凸函数ｇ为上ｋ００，七）七ｌ，时＜＜＋）Ｊ的凹函数为上注：定理２中的．，，有一个为零时，即为定理１定理３：若ｆ（））区间Ｊ为凸函数，则ｍｘｘ，）ｘ，ｇ在上ａ￣（）｝ｇ为Ｊ的凸函数上定理４Ｊｎｅ不等式）ＶＡ ≥ ０（＝１，…ｎ且：（ｅｓｎ对，ｉ，２）Ａ＝，则对Ｖｘ ∈，＝，２１，ｉ１，…ｎ。有

sion极大极小定理

sion极大极小定理Sion极大极小定理引言：在数学中，极大极小定理是一种重要的工具，它可以用来证明函数在给定区间上存在最大值和最小值。

其中，Sion极大极小定理是极大极小定理的一个特殊情况，它在凸优化中具有广泛的应用。

本文将介绍Sion极大极小定理的定义、证明以及应用。

一、Sion极大极小定理的定义Sion极大极小定理是由瑞士数学家Ernest Sion在1958年提出的。

该定理主要研究凸集上的连续函数，并给出了关于凸集上的极大极小值的一个重要结论。

Sion极大极小定理的定义如下：设X为一个凸集，f为X上的一个连续函数，若对于任意的x∈X，存在一个y∈X，使得f(y)≥f(x)，则f在X上存在一个极大值。

二、Sion极大极小定理的证明Sion极大极小定理的证明基于反证法。

假设f在X上不存在极大值，即对于任意的x∈X，都存在一个y∈X，使得f(y)>f(x)。

由于X是一个凸集，根据凸集的定义，可以得到αx+(1−α)y∈X，其中0≤α≤1。

根据f的连续性，可以得到f(αx+(1−α)y)≤αf(x)+(1−α)f(y)<αf(x)+(1−α)f(x)=f(x)，与f(y)≥f(x)矛盾。

因此，假设不成立，f在X上存在一个极大值。

三、Sion极大极小定理的应用Sion极大极小定理在凸优化中有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 凸规划问题的求解：凸规划问题是指目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。

利用Sion极大极小定理，可以证明凸规划问题存在最优解，并且可以通过求解极大极小问题来求解凸规划问题。

2. 博弈论中的纳什均衡：纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，表示一种策略选择的状态，使得每个参与者的策略都是最优的，且不存在悔改的动机。

利用Sion极大极小定理，可以证明纳什均衡的存在性。

3. 经济学中的最优化问题：在经济学中，很多问题可以抽象为最优化问题，例如最大化利润、最小化成本等。

坎托洛维奇定理的证明

坎托洛维奇定理的证明1. 引言坎托洛维奇定理（Cantorlovich’s theorem）是数学分析中的一个重要定理，它在经济学、物理学和运筹学等领域有着广泛的应用。

本文将对坎托洛维奇定理进行详细证明。

2. 坎托洛维奇定理的表述在介绍坎托洛维奇定理的证明之前，我们先来看一下该定理的表述：坎托洛维奇定理：设X和Y是两个非空集合，f: X × Y → R是一个定义在X与Y的笛卡尔积上的函数。

如果f满足以下两个条件：1.对于任意x∈X，存在y∈Y使得f(x,y)取得最小值；2.对于任意y∈Y，存在x∈X使得f(x,y)取得最大值。

那么必然存在一个点(x, y)使得f(x, y)既是f在X × Y上的最小值，又是f在X × Y上的最大值。

3. 坎托洛维奇定理的证明为了证明坎托洛维奇定理，我们首先引入以下定义：凸集：设X是一个向量空间，C是X的一个非空子集。

如果对于任意x, y∈C以及任意0≤λ≤1，都有λx+(1-λ)y∈C，那么称C为X中的一个凸集。

凸函数：设f是定义在凸集C上的函数。

如果对于任意x, y∈C以及任意0≤λ≤1，都有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，那么称f为C上的一个凸函数。

我们现在来证明坎托洛维奇定理。

步骤 1首先我们假设f(x,y)在X × Y上存在最小值和最大值。

记最小值为m，即对于任意(x,y)∈X × Y，有f(x,y)≥m。

记最大值为M，即对于任意(x,y)∈X × Y，有f(x,y)≤M。

步骤 2我们定义两个子集A和B：A = {(x,y) ∈ X × Y | f(x,y) ≤ m}，B = {(x,y) ∈ X × Y | f(x,y) ≥ M}。

由步骤 1 的假设可知，A和B都是非空的。

步骤 3我们将证明A和B都是凸集。

首先证明A是凸集。

对于任意(a,b), (c,d)∈A，以及任意0≤λ≤1，我们需要证明λ(a,b)+(1-λ)(c,d)∈A。

凸函数中一个重要定理的证明

凸函数与微分中值定理

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