凸函数中一个重要定理的证明

≤ θF ( x1 ) + (1 − θ ) F ( x 2 )
定理 1 F 是 （ a, b ） 上 的 凸 函 数 ， 当 且 仅 当
∀x1 < x 2 < x3 , x1 ， x 2 ， x3 ∈ （ a,
b）,m ij =m ji =(F(x i )-F(x j ))/ x i - x j ,I, j=1,2,3;i ≠ j.有 m 12 ≤ m 13 ≤ m 23 定理 2 设 F 在（ a, b）是 凸 函数，则 1、 F 在（a, b）处处存在左、右导数，且 左导数小于右导数 2、 F 在（a, b）连续 证 明 ： 1 、 ∀x0 ∈ ( a, b), ∃U ( x0;δ ) ⊂ ( a, b) ， 记 f(x) =( F(x)-F( x0 ) ) (x- x0 ) ,x ∈ ( a, b), ∀x1 < x 2 且 x1 ， x 2 ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) 由 定 理 1 / 有
+Biblioteka Baidu
F ( y) − F ( x ) y−x
的单调性易证。
定理四的证明： 根据命题 2 ，连续性已证。 下面证 F 的可导性和单调性 F 可导 ⇔ D F=D F 由定理 3，设 F ( x) 在集合 D 上可导，则 D 由使得 D F(x)连续的点 x 组成 下面只需证 D F(x)在（a, b）上的至多可数个点不连续 由定理 4， D F(x)在（a, b）上是单增函数
+ + + + −
∴ D + F(x)在（a, b）上的不连续点有至多可数个（根据实变函数论知识）
即除了至多可数个点外， F’处处存在
∴ F’ (x)= D + F(x)=D − F(x) Θ D + F(x)是单增的（由定理 4） ∴ F’ (x) 是单增的
，x ∈ D,
( x 2 - x0 ) 令 x1 → x 0 得 F 在 x0 点的左导数小于等于 F 在 x0 点的右导数 2.因为 F 在（a, b）任一点处左连续，且 右连续，因而连续 所以 F 在（a, b）连续 定理 3 设 F 是凸函数，F 在 x0 点的右导数等于它在 x0 点的左导数，当 且 仅 当 F 的右导
凸函数中一个重要定理的证明 2001 级 1 班 付 尧
定理四 如果 F 是（a, b）上有限的凸函数，则 F 在（a, b）上连续，并且除了至多可数个点 外，F’处处存在 ，且 单 增。
定义（凸 函数） − ∞ ≤ a < b ≤ +∞.F : ( a, b) → R 为凸函数，当 且仅当 F (θx1 + (1 − θ ) x 2 ）
，且大于等
lim D
z→x+ z→x
−
+
F(z) ≥ D F(x) ∴
+
lim D
z→x+
+
F(z)=D F(x)
+
同理易证
lim D
连续
+
F(z)=D F(x) ∴
−
D F(z)=D F(x) ⇔
+
−
lim D
z→x
+
+
F(z)=
lim D
z→x
−
+
F(z)
即 D F(x)
+
定理 4、设 F（x）是 R 上的凸函数则 D F(x)是 R 上的增函数 证明（略）由
f( x1 )=(F( x1 )-F( x0 ))/( x1 - x0 ) ≤ f( x 2 )=(F( x 2 )-F( x0 ))/( x 2 - x0 ) 即 f(x)在 ( x 0 − δ , x 0 ) 单调增 再在 x0 右方任取定一点 c, c ∈ ( x 0 , x0 + δ ) f( x1 ) ≤ f( x 2 ) ≤ f(c) 所以 F 在 ( x 0 − δ , x 0 ) 单 调 增 且有上界， 于是当 x → x 0 ， 它在 x0 点的左导数趋近于 f(x)，
−
由定理 1 易证
当 x → x 0 ，趋近于
−
F ( x) − F ( x0 ) ,因此左导数存在。 x − x0
+
同理可证当 x → x 0 ，F 在 x0 点的右导数趋近于 f(x)，当 x → x 0 趋近于 此右导数存在。
+
F ( x) − F ( x0 ) ,因 x − x0
∀x1 < x0 < x3 , 由定理 1 有 f( x1 ) = (F( x1 )-F( x0 )) / ( x1 - x0 ) ≤ f( x 2 ) = (F( x 2 )-F( x0 )) /
−
数在 x0 点连续 证明：因为 F(x)连续 所以 F（z） → F ( x) ， （z → x ）
+
∴ ∃ε > 0 ,当 x<y<x+ ε 且 z → x + 时，有
于 z → x 时 F 在 z 的右导数的极限
+
F ( y) − F ( x ) y−x
趋近于
F ( y) − F ( z ) y−z