人教版八年级下学期 第18章 平行四边形——动点问题(尖子生必练)(无答案)
第18章平行四边形解答题典型必练(二)2020—2021学年人教版八年级数学下册
2020—2021学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形解答题典型必练（二）1．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD 的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形；（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．4．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．5．在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．6．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为；菱形EFCD的面积为．7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC 于E，连BE．（1）求证：四边形DEBC是菱形；（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长．8．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．11．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．12．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE 的长．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．15．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝OB ，DF ＝OD ，∴BE ＝DF ，在△ABE 和△CDF 中，，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝FC ，∵EG ＝AE ，∴EG ＝FC ；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，S 四边形ABCD ＝4S △ABO ，∵EG ＝AE ，点E 为OB 的中点，∴AG 、OB 互相平分，∴四边形ABGO 是平行四边形，∴S △ABO ＝S △BGO ，∴S 四边形ABGO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵OA ＝OC ，EG ＝AE ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∵四边形ABGO 是平行四边形，∴BG ∥AC ，∴四边形BOCG 是平行四边形，∴S 四边形BGCO ＝2S △BGO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵四边形ABGO 是平行四边形，∴GO ∥AB ，GO ＝AB ，∵AB ∥CD ，∴GO ∥CD ，GO ＝CD ，∴四边形CDOG 是平行四边形，∴S 四边形CDOG ＝2S △CDO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴EF ＝BD ＝OD ，∵四边形CDOG 是平行四边形，∴CG ∥EF ，CG ＝OD ，∴EF ＝CG ，∴四边形EFCG 是平行四边形，∴S 四边形EFCG ＝S 四边形CDOG ＝S 四边形ABCD ，∴图中的平行四边形ABGO 、平行四边形BOCG 、平行四边形CDOG 、平行四边形EFCG 四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD 面积的一半． 2．（1）证明：∵BE ∥AC ，OE ∥AB ，∴四边形ABEO 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝2AO ，∵AC ＝2AB ，∴AO ＝AB ，∴四边形ABEO 是菱形；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝AC ＝，OB ＝BD ＝2，连接AE 交BO 于M ，由（1）知，四边形ABEO 是菱形，∴AE 、OB 互相垂直平分，∴OM ＝BO ＝1，∴AM ＝＝＝，∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝＝2，故答案为：2．3．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；∴AF＝DB，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形；（2）解：∵D是BC的中点，∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，∵四边形ADCF是菱形，∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得：x＝，∴BE＝＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥BE，∴∠FAO＝∠BEO，∵O为AE的中点，∴OA＝OE，在△AOF和△EOB中，，∴△AOF≌△EOB（ASA），∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形；∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∵∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：过O作OH⊥BC于H，如图所示：∵E为BC的中点，且BC＝8，∴BE＝CE＝4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°，∴EH＝OE＝1，∴OH＝＝＝，CH＝EH+CE＝5，∴OC＝＝＝2．6．证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD，∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴DE＝CF＝CD，又AD∥BC，∴四边形EFCD是平行四边形，又∵CD＝DE，∴四边形EFCD是菱形；（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，∵四边形EFCD是菱形，∴DE＝EF＝AE，∵∠DEF＝60°，∴∠EFH＝30°，∴EH＝EF，FH＝EH，∴AH＝AE+EH＝3EH，∵AF2＝AH2+HF2，∴12＝9EH2+3EH2，∴EH＝1，∴EF＝2＝DE，HF＝，∴菱形EFCD的面积＝2×＝2，故答案为：2，．7．（1）证明：如图，连接BD交AC于点F，∵AB＝AD，∠DAB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴F是BD的中点，∴BF＝DF，在△AED和△AEB中，，∴△AED≌△AEB（SAS），∴DE＝BE，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠EDF，在△BCF和△DEF中，，∴△BCF≌△DEF（SAS），∴BC＝DE，∵BC∥DE，∴四边形DEBC是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形DEBC是菱形；（2）如图，过点E作EH⊥AD于点H，∵四边形DEBC是菱形，∴∠CDB＝∠EDB＝CDE，∵∠CDE＝2∠EDA，∴∠BDE＝∠ADE，∵BD⊥CE，EH⊥AD，∴EF＝EH＝EC＝，∴AH＝EH＝，∴AE＝＝2，∴AF＝AE+EF＝2+，∴DF＝AF＝2+，∴AD＝AF＝（2+）＝2+2．8．证明：（1）设AC，EF的交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∠OAF＝∠OCE．∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF．在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AB⊥AC，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝CE，∵BC＝2AB，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形．∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，∵CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．9．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADO＝∠CDO，又OD＝OD，∠AOD＝∠COD，∴△AOD≌△COD（ASA），∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD＝BC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵BE∥CE，∴四边形ACEB是平行四边形，∴DC＝AB＝CE，∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．10．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．11．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝70°，∴∠BDE＝∠EDF＝35°．12．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．13．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．14．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBF，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，∴平行四边形BFDE是菱形；（2）连接EF，交BD于O，∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∴BD＝DC＝12，∴∠FDC＝∠A＝90°，∴DF＝，在Rt△DOF中，OF＝，∴菱形BFDE的面积＝．15．（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．。
(完整版)人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题含答案
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判断专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1 ，1)，B(3， 0)为极点，结构平行四边形，以下各点中不可以作为平行四边形极点坐标的是()A ．(－ 3， 1)B．(4， 1)C． (－2，1)D．(2，－ 1)2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B＝90°，AB ＝3，BC＝4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的全部 ?ADCE 中， DE 最小的值是 ()A ．2 3．如图，B．3C．4D．5E 是?ABCD 内随意一点，若平行四边形的面积是6，则暗影部分的面积为____．4．如图， ?ABCD 与 ?DCFE 的周长相等，且∠ BAD ＝60°，∠ F＝110°，则∠ DAE 的度数为_______．5．如图，在平行四边形ABCD 中， E 为 BC 边上一点，且 AB ＝AE.(1)求证：△ ABC ≌△ EAD ；(2)若 AE 均分∠ DAB ，∠ EAC ＝25°，求∠ AED 的度数．6．如图，在 ?ABCD 中， E 是 BC 的中点， AE ＝9，BD＝12，AD ＝10.(1)求证： AE ⊥BD ；(2)求?ABCD 的面积．7 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ BAD 的角均分线 AE 交 CD 于点 F，交 BC 的延伸线于点 E.(1)求证： BE＝CD；(2)连结 BF，若 BF⊥ AE ，∠ BEA ＝60°，AB ＝4，求 ?ABCD 的面积8.如图，已知 AB ∥CD ，BE⊥AD ，垂足为点 E，CF⊥AD ，垂足为点 F，而且 AE ＝DF.求证：四边形 BECF 是平行四边形．9.如图，将一张直角三角形纸片 ABC 沿中位线 DE 剪开后，在平面大将△ BDE 绕着 CB 的中点D 逆时针旋转 180°，点E 到了点 E′的地点，则四边形 ACE′E的形状是 _____________．10. 如图，已知点 E，C 在线段 BF 上， BE＝CE＝CF，AB ∥DE，∠ ACB ＝∠ F.(1)求证：△ ABC ≌△ DEF；(2)试判断四边形 AECD 的形状，并证明你的结论．11.如图 1，在 ?ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点， EF 过点 O 与 AD ，BC 分别订交于点E， F， GH 过点 O 与 AB ，CD 分别订交于点 G， H，连结 EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形 EGFH 是平行四边形；(2)如图 2，若 EF∥AB ，GH∥ BC，在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图 2 中与四边形 AGHD 面积相等的全部的平行四边形．(四边形 AGHD 除外 )12．如图，△ ABC 是等边三角形，点D，F 分别在线段 BC，AB 上，∠ EFB＝60°，DC＝ EF.(1)求证：四边形 EFCD 是平行四边形；(2)若 BF＝ EF，求证： AE＝ AD.答案：1. A2. B3. 34.25°5.解： (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ BC＝ AD ， BC∥AD ，∴∠ EAD＝∠ AEB ，∵AB ＝ AE，∴∠ B＝∠ AEB ，∴∠ B＝∠ EAD ，∴△ ABC ≌△ EAD( SAS) (2)∵AE 均分∠DAB ，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，又∵∠ DAE ＝∠ AEB ，AB ＝AE ，∴∠ BAE ＝∠ AEB ＝∠ B，∴△ ABE 为等边三角形，∴∠ BAE ＝60°，∵∠ EAC ＝25°，∴∠ BAC ＝ 85°，∵△ ABC ≌△ EAD ，∴∠ AED ＝∠ BAC ＝85°6.解： (1)过点 D 作 DF∥AE 交 BC 的延伸线于点 F，∵ AD ∥ BC，∴四边形 AEFD 为1平行四边形，∴EF＝AD ＝10，DF＝ AE＝ 9，∵ E 是 BC 的中点，∴ BF＝2AD ＋AD ＝15，∴ BD2＋DF2＝122＋92＝225＝BF2，∴∠ BDF＝ 90°，即 BD ⊥ DF，∵AE∥ DF，∴AE ⊥BD (2)过点9×1236D 作 DM ⊥BF 于点 M ，∵ BD·DF＝ BF·DM ，∴ DM ＝15＝5，∴ S?ABCD＝BC·DM＝727.剖析： (1)证 AB ＝BE，AB ＝CD，即可获得结论； (2)将?ABCD 的面积转变为△ ABE 的面积求解即可．解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ＝ CD，AD ∥ BE，∴∠ DAE ＝∠ E，∵∠ BAE ＝∠ DAE ，∴∠ BAE ＝∠ E，∴AB ＝ BE，∴ BE＝CD (2)∵AB ＝BE，BF⊥ AE ，∴AF ＝FE，又∵∠ DAF ＝∠ CEF，∠ AFD＝∠ EFC，∴△ AFD ≌△ EFC(ASA)，∴ S?ABCD＝S△ABE，∵AB ＝1BE，∠ BEA ＝60°，∴△ ABE 是等边三角形，由勾股定理得 BF＝23，∴ S△ABE＝2AE·BF＝4 3，∴ S?ABCD＝438.剖析：可经过证 BE 綊 CF 来获得结论．解：∵BE⊥AD ，CF⊥AD ，∴∠ AEB ＝∠ DFC＝90°，∴BE∥CF，∵AB ∥ CD，∴∠ A ＝∠D，又∵ AE ＝DF，∴△ AEB ≌△ DFC(ASA)，∴ BE＝CF，∴四边形 BECF 是平行四边形9.平行四边形10.解： (1)∵AB ∥DE，∴∠ B＝∠ DEF，∵ BE＝EC＝CF，∴ BC＝ EF，又∵∠ ACB ＝∠ F，∴△ ABC ≌△ DEF(ASA) (2)四边形 AECD 是平行四边形．证明：∵△ ABC ≌△ DEF，∴ AC＝DF，∵∠ ACB ＝∠ F，∴AC ∥DF，∴四边形 ACFD 是平行四边形，∴ AD ∥CF，AD ＝CF，∵EC＝CF，∴ AD ∥EC，AD ＝ CE，∴四边形 AECD 是平行四边形11.解：(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD ∥ BC，∴∠ EAO ＝∠ FCO，又∵ OA＝ OC，∠AOE ＝∠ COF，∴△ OAE≌△ OCF(ASA)，∴ OE＝OF，同理 OG＝OH，∴四边形 EGFH 是平行四边形(2)?GBCH， ?ABFE ，?EFCD，?EGFH12.解：(1)∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC ＝ 60°，又∵∠ EFB＝60°，∴∠ ABC ＝∠ EFB，∴EF∥ BC，又∵ DC＝ EF，∴四边形 EFCD 是平行四边形(2)连结 BE，∵∠ EFB＝ 60°，BF ＝EF，∴△ BEF 为等边三角形，∴ BE＝BF＝EF，∠ABE ＝60°，∵ CD＝EF，∴ BE＝CD，又∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ AC ，∠ ACD ＝ 60°，∴∠ ABE ＝∠ ACD ，∴△ ABE ≌△ ACD( SAS)，∴ AE ＝AD。
人教版八年级下册第18章平行四边形单元典型必练题(无答案)
人教版八年级下册第18章平行四边形单元典型必练题一、选择题1.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.52D.22.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( )A．3cm2B．4 cm2C．√3cm2D．2√3cm23.如图,在平行四边形ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为()A.26 cmB.24 cmC.20 cmD.18 cm4.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A．18 B．28 C．36 D．465.已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )A．10与6 B．12与16C．20与22 D．10与186.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为( )A．9 B．10 C．11 D．127.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 AD 上一点，EF 交 AC于 G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则 AC 的长为（）A ．9cmB ．14cmC ．15cmD ．18cm8.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）AOB DEOF S S 四边形∆=中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9.在平行四边形ＡＢＣＤ中，下列描述正确的是（ ）Ａ、对角线交于点Ｏ，则过点Ｏ的直线平分平行四边形的面 Ｂ、∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ：∠Ｄ＝３：１：１：３Ｃ、对角线是平行四边形的对称轴；Ｄ、ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＝ＢＤ；10.顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ②BC=AD ③∠A=∠C ④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种11.如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连结CE.若▱ABCD的周长为16,则△CDE的周长是()A.16B.10C.8D.612.如图所示，矩形ABCD中，AE平分BAD∠交BC于E，15∠=，CAE︒则下面的结论：①ODCBC AB；③135∆是等边三角形；②=2∠=；AOE︒④AOE COE=，其中正确结论有（）S S∆∆A．1个B．2个C．3个D．4个13.如图，已知△ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．814.如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）AB．C D．15.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC 的度数为（）A．α B．23αC．90α-D．2 903α-16.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．60°C．55°D．45°17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD ＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．2418.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（）A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长C．△ABC的面积等于△ABP的面积D．△ABC的面积等于△PBC的面积19.如图，在▱ABCD 中，AB=4，3，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，且 AE=3，连结 DE，若 F 为线段 DE 上一点，满足∠AFE=∠B，则 AF=（）A．2 B3C．6 D．320.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S .当AD AB 2-=时，21S S -的值为( )A ．2aB ．2bC ．2a 2b -D ．2b -二、填空题 1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．2.如图,在▱ABCD 中,点E 在CD 的延长线上,AE ∥BD ,EC=4,则AB 的长是 .3.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．4.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为.5.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC ,AB=√3,AC=2,BD=4,则AE的长为_____7.如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，=____．则EGAB8.．如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，AE=3，AF=4，∠EAF=60°，则▱ABCD 的面积是．9.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，ECF=45°，则CF的长为__________．若CE=10.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：使得四边形BDFC为平行四边形．11.在□ABCD中，∠A =60 ，则∠C=__________________．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．三、解答题1.如图 ,四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,E是AD的中点,连结BE 并延长交CD的延长线于点F.(1)若连结AF,BD,试判断四边形ABDF是何种特殊四边形,并说明理由;(2)若AB=4,BC=5,CD=6,求△BCF的面积.2.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．3.如图,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线,与AD交于点E,连结CE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,若AB=3,BC=5,求△DCE的周长.4.已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．5.如图,平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点,DF∥AC，∠DFC=∠AEB，连接EF.(1)求证：DF=AE；(2)求证：四边形BCFE是平行四边形。
人教版八年级数学下册优秀作业课件(RJ) 第十八章 平行四边形 特殊平行四边形中的动点与最值问题
DE，将△ADE 沿 DE 折叠，点 A 落在点 A′处，连接 A′C，若 F，G 分别为 A′C，
BC 的中点，则 FG 的最小值为(A )
A．1
B．2
C．
7 2
D．
5－1 2
6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上的一动点，PE⊥AB 于点E，PF⊥BC于点F，则EF的最小值为_3__2_．
类型二 特殊平行四边形中的最值问题
3．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，E 为 AD 的中点，P 为对角线 BD
上的一个动点，则 AP＋EP 的最小值是( D )
A．2 B．4 C． 5
D．2 5
4．如图，菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD 的中点，P是对角线BD上的一点，则PM＋PN的最小值为B( )
(2) 当 点 P 运 动 到 BC 的 中 点 时 矩 形 PEMF 变 为 正 方 形 ， 理 由 如 下 ： 连 接 MP ， ∵AB＝AM＝DM＝CD，∠A＝∠D＝90°，∴△ABM≌△DCM，∴BM＝CM.又 ∵点P为BC的中点，∴∠BMP＝∠CMP.又∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴PE＝PF， ∴矩形PEMF为正方形
数学 八年级下册 人教版
第十八章 平行四边形
专题训练(六) 特殊平行四边形中的动点与最值问题
类型一 特殊平行四边形中的动点问题 1．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边 上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN. (1)求证：△NED≌△MEA； (2)当点M运动到什么位置时四边形AMDN是矩形？请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB，∴∠DNE＝∠AME.又∵E 为AD的中点，∴DE＝AE.又∵∠DEN＝∠AEM，∴△NED≌△MEA(AAS) (2) 当 点 M 为 AB 的 中 点 时 四 边 形 AMDN 是 矩 形 ， 理 由 如 下 ： 由 (1) 知 △NED≌△MEA，∴NE＝ME.又∵DE＝AE，∴四边形AMDN是平行四边形．又 ∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB.又∵M，E分别为AB，AD的中点，∴AM＝ AE. 又 ∵ ∠ DAB ＝ 60° ， ∴ △ AME 为 等 边 三 角 形 ， ∴ AE ＝ ME ， ∴ AD ＝ MN ， ∴▱AMDN为矩形
人教版八年级下学期第18章平行四边形——动点问题(尖子生必练)(无答案)
八年级放学期第18 章平行四边形——动点问题1、如图，在边长为 4 的菱形 ABCD中， BD=4， E、 F 分别是 AD、 CD上的动点（包括端点），且 AE+CF=4，连结 BE、EF、 FB．（1）尝试究 BE 与 BF 的数目关系，并证明你的结论；（2）求 EF的最大值与最小值．2、在四边形 ABCD中， AD∥ BC，∠B=90°，AD=24cm， AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从点 A 开始，沿 AD 边，以 1cm/ 秒的速度向点 D 运动；动点 Q 从点 C 开始，沿 CB边，以 3cm/ 秒的速度向 B 点运动。
已知 P、 Q 两点分别从A、C 同时出发，，当此中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动。
假定运动时间为t 秒，问：（1） t 为何值时，四边形 PQCD是平行四边形A P D（2）在某个时辰，四边形 PQCD可能是菱形吗为何,B Q C3、如右图，在矩形 ABCD中， AB=20cm，BC=4cm，点 P 从 A 开始沿折线 A— B— C— D 以 4cm/s 的速度运动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边 1cm/s 的速度挪动，假如点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当此中一点抵达点 D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)， t 为何值时，四边形APQD 也为矩形4、如下图，△ABC中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过O 作直线 MN//BC ，设 MN 交BCA 的均分线于点E，交BCA 的外角均分线于F。
（1）求证：EO FO ；（2）当点 O 运动到哪处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论。
AM O F NEB C D5、（ 1）如图 1，纸片□ABCD中， AD＝ 5，S□ABCD＝ 15，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为E，沿 AE 剪下△ ABE，将它平移至△DCE' 的地点，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D 的形状为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（ 1）中的四边形纸片AEE'D 中，在 EE'上取一点F，使 EF＝ 4，剪下△ AEF，剪下△ AEF，将它平移至△ DE'F'的地点，拼成四边形AFF' D．①求证：四边形AFF'D 是菱形；②求四边形AFF'D 的两条对角线的长。
人教八年级数学下册第18章 平行四边形 专项训练.docx
初中数学试卷桑水出品第18章平行四边形专项训练专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D 落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE恰好经过BC的中点，那么▱ABCD的面积是________．2．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第2题)矩形的折叠问题3．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第3题)菱形的折叠问题(第4题)4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连接CF，那么∠BFC的度数是( )A．60° B．70° C．75° D．80°5．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．(第5题)正方形的折叠问题(第6题)6．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．7．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第7题)专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到．．．．一般的思想．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．已知，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE，试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型名师点金：本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．特殊平行四边形中的折叠问题1．如图，将一张长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(图③中的虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )A．10 cm2B．20 cm2C．40 cm2D．80 cm2(第1题)(第2题)2．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝46，则FD的长为( )A．2 B．4 C. 6 D．2 33．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( )A．15° B．30° C．45° D．60°(第3题)(第4题)特殊平行四边形中的动点问题4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°.点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0≤t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为( ) A．5 B．10C．15 D．205．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E.若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是( )A．2 B．4 C．2 2 D．4 2(第5题)(第6题)特殊平行四边形中的中点四边形问题6．如图，在四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形An BnCnDn.下列结论正确的是( )①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7的周长为a＋b8；④四边形An BnCnDn的面积为ab2n.A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④7．如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°，则四边形EFGH的面积为________．(第7题)(第8题)特殊平行四边形中的图形变换问题8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( )A.34B.2－12C.2－1 D．1＋ 29．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离．(第9题)灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，连接AF ，CE. (1)求证：△BEC ≌△DFA ；(2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形，并说明理由．(第10题)11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交AE 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形DEFG 为菱形； (2)若CD ＝8，CF ＝4，求CEDE的值．(第11题)12．如图①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 上的点，且AF ⊥BE. (1)求证：AF ＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且MP ⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(第12题)专训4.全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个性质，一个定理，四个图形，三个技巧．考点1 一个性质——直角三角形斜边上的中线性质1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.(第1题)考点2 一个定理——三角形的中位线定理2．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形．(第2题)考点3 四个图形图形1平行四边形3．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．(第3题)图形2矩形4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．(第4题)图形3菱形5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？(第5题)图形4 正方形6．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H.(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．(第6题)考点4 三个技巧技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)7．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，求阴影部分图形的周长(第7题)技巧2 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．技巧3解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)9．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．答案专训11．127 点拨：如图，设AE ，BC 的交点为O ，连接BE ，已知O 是BC 的中点． ∵在△ABC 和△CDA 中，AB ＝CD ，BC ＝DA ，AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA ，则△ABC ≌△CEA ，∴∠ACB ＝∠CAE ，同时，BC ＝AE ，即在四边形ABEC 中，两条对角线相等．∵在△AOC 中，∠ACB ＝∠CAE ，∴AO ＝OC ，易得O 是AE 的中点．∴四边形ABEC 是矩形，在Rt △AEC 中，CE ＝AB ＝6，AE ＝AD ＝8，由勾股定理得AC ＝AE 2－CE 2＝82－62＝27.∴▱ABCD 的面积＝AB·AC＝6×27＝127.(第1题)(第2题)2．解：设AE 与BC 相交于点F ，如图． ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD 沿对角线AC 所在直线折叠，点D 落在点E 处， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC ＝FA. ∵F 为BC 边的中点，BC ＝6， ∴AF ＝CF ＝BF ＝12×6＝3.又∵AB ＝3，∴△ABF 是等边三角形．∴∠B ＝60°.(第3题)3．(1)证明：由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC. ∴EG ＝CH.(2)解：∵∠ADE ＝45°，∠FGE ＝∠A ＝90°，AF ＝2， ∴DG ＝2，DF ＝2.∴AD ＝2＋ 2. 如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.4．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC ＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.5．解：如图，连接BD，AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.∴∠ABO＝90°－60°＝30°.∵∠AOB＝90°，∴AO＝12AB＝12×2＝1.由勾股定理，得BO＝DO＝ 3. ∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得EF为△ABD的中位线，∴EF＝12BD＝12×(3＋3)＝ 3.(第5题)6．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠BGN＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.(第6题)7．(1)证明：∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不变且为定值8.证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由(1)知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.(第7题)专训21．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD.∵∠AEB ＋∠AED ＝∠CFD ＋∠CFB ＝180°， ∴∠AED ＝∠CFB.∴AE ∥CF. 2．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC.∴∠CAD ＝∠ACB ，∠AEF ＝∠CFE. ∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ， ∴OA ＝OC.∴△AOE ≌△COF.∴OE ＝OF. ∴四边形AFCE 为平行四边形． 又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形． 设AF ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm ，(第2题)在Rt △ABF 中，AB ＝4 cm ，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5. ∴AF ＝5 cm .(2)显然当P 点在AF 上，Q 点在CD 上时，A ，C ，P ，Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上，Q 点在DE 或CE 上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上，Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP ，CQ ，则以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC ＝QA.∵点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，∴PC ＝5t cm ，QA ＝(12－4t)cm . ∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43.∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.3．证明：(1)如图①，连接AC.∵在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BCD ＝180°－∠B ＝120°.∴△ABC 是等边三角形．又∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC.∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－∠AEF ＝30°.∴∠CFE ＝180°－∠FEC －∠BCD ＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC ＝∠CFE.∴EC ＝CF.∴BE ＝DF.(第3题)(2)如图②，连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH为正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.设EG与BD交于O点．∵BE綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．专训31．A2．B 点拨：连接EF ，由题易知，AE ＝EG ＝ED ，∠A ＝∠EGB ＝∠EGF ＝∠D ＝90°，又EF ＝EF ，所以Rt △EGF ≌Rt △EDF ，所以FG ＝DF.设DF ＝x ，则BF ＝6＋x ，CF ＝6－x ，在Rt △BCF 中，(46)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x ＝4，所以FD ＝4.3．C4．B 点拨：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE ∥DF ，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．5．C 点拨：连接BD 交AC 于点O ，由图可知，DQ ＋PQ 的最小值即为DO 的长，由正方形的边长为4可知，DO 的长为22，所以DQ ＋PQ 的最小值为2 2.6．A(第7题)7．9 3 cm 2 点拨：连接AC ，BD ，设AC ，BD 相交于点O ，如图， 易知，四边形EFGH 是矩形． 由四边形ABCD 是菱形， ∠ABC ＝60°， 可得∠ABO ＝30°， 又∵∠AOB ＝90°， ∴AO ＝12AB ＝3 cm .∴AC ＝6 cm .在Rt △AOB 中，OB ＝AB 2－OA 2＝33(cm )， ∴BD ＝6 3 cm . ∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝3 3 cm ，EF ＝3 cm .∴矩形EFGH 的面积＝EF·EH＝3×33＝93(cm 2)． 8．C9．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BAG ＋∠EAD ＝90°. ∵DE ⊥AG ，∴∠AED ＝∠DEG ＝90°. ∴∠EAD ＋∠ADE ＝90°. ∴∠ADE ＝∠BAF. 又∵BF ∥DE ，∴∠AFB ＝∠DEG ＝90°. 在△AED 和△BFA 中，∵⎩⎨⎧∠AED ＝∠AFB ，∠ADE ＝∠BAF ，AD ＝AB ，∴△AED ≌△BFA(AAS )． ∴BF ＝AE. ∵AF －AE ＝EF ， ∴AF －BF ＝EF.(第9题)(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连接F′E，由(1)易得DE ＝AF.根据题意知：∠FAF′＝90°，DE ＝AF ＝AF′， ∴∠F′AE＝∠AED ＝90°. 即∠F′AE＋∠AED ＝180°. ∴AF′∥ED.∴四边形AEDF′为平行四边形． 又∠AED ＝90°， ∴四边形AEDF′是矩形． ∵AD ＝3，∴EF′＝AD ＝3.10．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，BC ＝AD. ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝DF.∴△BEC ≌△DFA(SAS )．(2)解：四边形AECF 是矩形，理由：∵AE＝12AB，CF＝12CD，AB＝CD，∴AE＝CF.∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．当CA＝CB时，CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，∵FG∥CD，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴FG＝FE.∴DG＝GF＝EF＝DE.∴四边形DEFG为菱形．(2)解：设DE＝x，则EF＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴CE＝8－x＝3.∴CEDE＝35.(第11题)12．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠BAE＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE(ASA)．∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD 于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.专训四1．证明：(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.∴四边形ADEF是平行四边形．(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF.在Rt△AHB中，∵D是AB的中点，∴DH＝12AB＝AD，∴∠DAH＝∠DHA.同理可得HF＝12AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.∴∠DAF＝∠DHF.∴∠DHF＝∠DEF.2．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，∴EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴▱EFGH是矩形．(2)∵点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的中点，∴EP＝12BC，PG＝12AD，GQ＝12BC，QE＝12AD.∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四边形EQGP是菱形．点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.又∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS )．(2)解：四边形MFNE 是平行四边形．证明：由(1)知△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ，∠AEB ＝∠CFD.∵M ，N 分别是BE ，DF 中点，∴ME ＝NF.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠AEB ＝∠EBC.∴∠CFD ＝∠EBC.∴BE ∥DF.∴四边形MFNE 是平行四边形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，∴∠AEO ＝∠CFO.在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠AEO ＝∠CFO ，∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC.∴△AOE ≌△COF(AAS )．(2)解：当AC ＝EF 时，四边形AECF 是矩形．理由如下：由(1)知△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF.∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．5．(1)证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC.又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形．(2)解：答案不唯一，下列解法供参考．当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形．理由：∵D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB.∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝12 BC.又∵AB＝BC，∴BD＝DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．6．(1)解：DE⊥FG.理由如下：由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG.∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．7．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案8．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形，∴∠EOF ＝90°，∴∠EOF ＝∠BOC.∴∠EOF －∠BOF ＝∠BOC －∠BOF ，即∠BOE ＝∠COF.∴△BOE ≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC .∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1.∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 9．解：(1)如图，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，BG ＝12BD ＝12×16＝8， 由勾股定理得AG ＝AB 2－BG 2＝102－82＝6，∴AC ＝2AG ＝2×6＝12.菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(第9题)(2)如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF， 即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF， 解得OE ＋OF ＝9.6是定值，不变．(3)如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF，解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．所以OE＋OF的值变化，OE，OF之间的数量关系为：OE－OF＝9.6.。
人教版数学八年级下册第章平行四边形课本页动点问题课件
（人1教）版求：B第、十C两八点章的平坐行标四；边形 （书：第68页13题）
无从钱运之 动人开脚始杆，硬使，PQ有∥钱CD之和人P骨Q头=C酥D。，分别需经过多长时间？为什么？
人教版：第十八章平行四边形 （书：第68页13题）
题目来源：课本八年级下册
第十八章平行四边形 （第68页13题）
从运动开始，使PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多长时间？为什么？
∴ 当运动时间为6s时PQ//CD和PQ=CD
八年级（下册）数学 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；
点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向B运动.
主讲人：
题目来源：课本八年级下册
第十八章平行四边形 第68页13题
AP
D
B
Q
C
如图，在四边形ABCD中，AD//BC， ∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出发， 以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向B运动.规定其中一个动点到达端点 时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使 PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多长时间？为什么？
解：设运动时间为t秒 （0 t 26）
3
则AP=t,PD=24-t,QC=3t,BQ=26-3t (1)如图1，若PQ//CD ∵ AD//BC
t
24-t
∴ 四边形PQCD为平行四边形 ∴ PQ=QC
即 24-t=3t 解得 t=6
26-3t
3t
∴ 当运动时间为6s时PQ//CD和PQ=CD
图1
时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使 人教版：第十八章平行四边形 （书：第68页13题）
201x八年级数学下册第十八章平行四边形小专题八四边形中的动点问题练习 新人教版
小专题(八) 四边形中的动点问题——教材P68T13的变式与应用教材母题如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发以3 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？【解答】①设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形．∵PD＝(24－t)cm，CQ＝3t cm，∴24－t＝3t，∴t＝6.∴当t＝6时，PQ∥CD，且PQ＝CD.②设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC 边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ 时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90 °，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm.当四边形PQCD 为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(24－t )＋4＝3t.∴t ＝7.∴当t ＝7 s 时，PQ ＝CD.当四边形PQCD 为平行四边形时，由①知，当t ＝6 s 时，PQ ＝CD.综上所述，当t ＝6 s 时，PQ∥CD ；当t ＝6 s 或7 s 时，PQ ＝CD.1．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a ，c)，C(b ，0)，并且a ，b 满足b ＝a －21＋21－a ＋16.动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发，在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P ，Q 分别从点A ，O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t 秒．(1)求B ，C 两点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P ，Q 两点的坐标；(3)当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P ，Q 两点的坐标．解：(1)∵b ＝a －21＋21－a ＋16，∴⎩⎨⎧a －21≥0，21－a≥0， 解得a ＝21.∴a ＝21，b ＝16.∵AB∥OC，A (0，12)，∴c＝12.∴B (21，12)，C (16，0)．(2)由题意，得AP ＝2t ，QO ＝t ，则PB ＝21－2t ，QC ＝16－t.∵当PB ＝QC 时，四边形PQCB 是平行四边形，∴21－2t ＝16－t ，解得t ＝5.∴P (10，12)，Q (5，0)．(3)当PQ ＝CQ 时，过点Q 作QN⊥AB，垂足为N.由题意，得PN ＝AP －OQ ＝t ，则122＋t 2＝(16－t )2，解得t ＝3.5.∴P (7，12)，Q (3.5，0)． 当PQ ＝PC 时，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M.由题意，得QM ＝t ，CM ＝16－2t ，则t ＝16－2t ，解得t ＝163.∴P (323，12)，Q (163，0)． 综上所述：P 1(7，12)，Q 1(3.5，0)；P 2(323，12)，Q 2(163，0)．2．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是线段AD 上一动点(不与点D 重合)，PO 的延长线交BC 于点Q.(1)求证：四边形PBQD 为平行四边形；(2)若AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度向点D 匀速运动．设点P 运动时间为t s ，问四边形PBQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，OD ＝OB.∴∠PDO ＝∠QBO.在△POD 和△QOB 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠QBO，OD ＝OB ，∠POD ＝∠QOB，∴△POD≌△QOB (ASA )．∴OP ＝OQ.又∵OB ＝OD ，∴四边形PBQD 为平行四边形．(2)四边形PBQD 能够成为菱形．点P 从点A 出发运动t s 时，AP ＝t cm ，PD ＝(4－t )cm . 当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(4－t )cm . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90 °. 在Rt △ABP 中，AB ＝3 cm ，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝(4－t )2，解得t ＝78. ∴点P 运动时间为78s 时，四边形PBQD 为菱形． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
人教版八年级下第十八章 平行四边形 专题5 特殊平行四边形中的动点问题(word无答案)
人教版八年级下第十八章平行四边形专题5 特殊平行四边形中的动点问题(word无答案)一、单选题(★) 1 . 如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一动点．若，，则的值可能是（）A．3.2B．3.5C．3.6D．3.8二、解答题(★★) 2 . 如图所示，在矩形中，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间（）．（1）当为何值时，为等腰三角形？（2）求四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．(★★) 3 . 已知点分别在菱形的边上滑动（点不与重合），且．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由；（3）如图3，若，请直接写出四边形的面积．(★★) 4 . 如图所示，四边形是正方形，是延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点，且直角顶点在边上滑动（点不与点重合），另一条直角边与的平分线相交于点．（1）如图1所示，当点在边的中点时：①通过测量的长度，猜想与满足的数量关系是________________；②连接点与边的中点，猜想与满足的数量关系是________________；③请证明上述你的两个猜想．（2）如图2所示，当点在边上的任意位置时，请你在边上找到一点，使得，进而猜想此时与的数量关系．(★) 5 . 如图，四个小球分别从正方形的四个顶点处出发（小球的大小忽略不计），以同样的速度分别沿方向滚动，其终点分别是点，顺次连接四个小球所在的位置，得到四边形．（1）不论小球滚动多长时间，求证；四边形总是正方形；（2）这个四边形在什么时候面积最大？（3）在什么时侯四边形的面积为正方形面积的一半？请说明理由．。
2022年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形必考点解析试题(含答案及详细解析)
人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在菱形ABCD 中，两条对角线AC =10，BD =24，则此菱形的边长为（ ）A ．14B ．25C ．26D ．132、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83、如图，已知平行四边形ABCD 的面积为8，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则△AEF 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若D 为斜边AB 上的中点，AB 的长为10，则DC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25、如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于点E ．若AB ＝4，BC ＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．10C ．12.5D ．7.56、下列说法中，不正确的是（ ）A ．四个角都相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形C ．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形7、在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AO =COB ．AO =BOC ．AO ⊥BOD ．AB ⊥BC8、已知直线:l y x =，点P 在直线l 上，点(2A ，点(2B +，若APB △是直角三角形，则点P 的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、如图所示，公路AC 、BC 互相垂直，点M 为公路AB 的中点，为测量湖泊两侧C 、M 两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km10、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（）A．16 B．12 C．8 D．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连BG，DH，且BG DH∥，当AG AD＝_______时，四边形BHDG为菱形．2、如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m，在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，若容器壁厚忽略不计，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是______m．3、如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝8，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝___．在点D运动过程中，CE的最小值为 ___．4、在直角墙角FOE中有张硬纸片正方形ABCD靠墙边滑动，如图所示，AD=2，A点沿墙往下滑动到O点的过程中，正方形的中心点M到O的最小值是______．5、平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF DE⊥，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG CE=；（2）若BE=DG=BG的长．2、如图，在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =．30B ∠=︒．点P 在BC 上由点B 向点C 出发，速度为每秒2cm ；点Q 在边AD 上，同时由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ．当点P 运动到点C 时，点P ，Q 同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形ABPO 为平行四边形？（2）设四边形ABPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）当t 为何值时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三？求出此时PQD ∠的度数．（4）连接AP ，是否存在某一时刻t ，使ABP △为等腰三角形？若存在，请求出此刻t 的值；若不存在，请说明理由．3、如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝BC ，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转角a 到11A BC 的位置，AB 与11A C 相交于点D ，AC 与111A C BC ，分别交于点E ，F ．（1）求证：BCF 1BA D ≌；（2）当 C＝a时，判定四边形1A BCE的形状并说明理由．4、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F 处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长．5、如图：已知△BCD是等腰直角三角形，且∠DCB＝90°，过点D作AD∥BC，使AD＝BC，在AD上取一点E，连结CE，点B关于CE的对称点为B1，连结B1D，并延长B1D交BA的延长线于点F，延长CE交B1F于点G，连结BG．（1）求证：∠CBG＝∠CDB1；（2）若AE＝DE，BC＝10，求BG长；（3）在（2）的条件下，H为直线BG上一点，使△HCG为等腰三角形，则所有满足要求的BH的长是．（直接写出答案）---------参考答案-----------一、单选题1、D【解析】【分析】由菱形的性质和勾股定理即可求得AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OB=OD=12BD=12，OA=OC=12AC=5，在Rt△ABO中，AB，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB =13是解题的关键．2、C【解析】【分析】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB =，再根据PB PQ AP PQ AQ +=+≥计算即可；【详解】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，∵6BC =，BDC ∆面积为21， ∴1212BC DH =， ∴7DH =，∵MN 垂直平分AB ，∴PA PB =，∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小，∵AD BC ∥，∴7AQ DH ==，∴PB PQ +的值最小值为7；故选C ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．3、B【解析】【分析】连接AC ，由平行四边形的性质可得1===42ABC ADC ABCD S S S △△平行四边形，再由E 、F 分别是BC ，CD 的中点，即可得到1=22ABE ABC S S =△△，1=22AFD ADF S S =△△，1=14ECF ABC S S =△△，由此求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ， ∴1===42ABC ADC ABCD S S S △△平行四边形∵E 、F 分别是BC ，CD 的中点， ∴1=22ABE ABC S S =△△，1=22AFD ADF S S =△△，1=14ECF ABC S S =△△， ∴=3AEF ABE ECF AFD ABCD S S S S S =---△△△△平行四边形，故选B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，与三角形中线有关的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．4、A【解析】【分析】利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，AB，∴CD=12∵AB的长为10，∴DC=5，故选：A．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．5、B【解析】【分析】利用折叠的性质可得∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACB，进而可得出AE＝CE，根据矩形性质可得AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，设AE＝CE=x，则ED＝8﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出△ACE的面积，则可得出答案．【详解】解：由折叠的性质，∠ACF＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠CAD＝∠ACF，∴AE＝CE．∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，设AE＝CE=x，则ED＝8﹣x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得222CD DE EC+=，即42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴图中阴影部分的面积＝S△ACE=12AE•AB=12×5×4＝10．故选：B【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出AE的长是解题的关键．6、D【解析】【分析】根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；故选：D．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．7、C【解析】【分析】根据菱形的判定分析即可；【详解】∵四边形ABCD时平行四边形，AO⊥BO，∴ABCD是菱形；故选C．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．8、C【解析】【分析】分别讨论90PAB ∠=︒，90PBA ∠=︒，90APB ∠=︒三种情况，求出P 点坐标即可得出答案．【详解】如图，当90PAB ∠=︒时，点A 与点P 横坐标相同，(22,0)A -2x ∴=y x =中得：2y =1(2P ∴，当90PBA ∠=︒时，点B 与点P 横坐标相同，(22,0)B +，2x ∴=代入y x =中得：2y =2(2P ∴，当90APB ∠=︒时，取AB 中点为点C ，过点P 作PM AB ⊥交于点M ，设(,)P a a ，OM a ∴=，PM a =，(22,0)A -，(2B +，2(2AB ∴=+=12AC PC AB ∴==22OC OA AC ∴=+==，2CM a ∴=-，在Rt PMC 中，222(2)a a +-=，解得：1a =，(1,1)P ∴，P ∴点有3个．故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的性质与平面直角坐标系，掌握分类讨论的思想是解题的关键．9、D【解析】【详解】 根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM ＝12AB ，即可求出CM ．【解答】解：∵公路AC ，BC 互相垂直，∴∠ACB ＝90°，∵M为AB的中点，AB，∴CM＝12∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10、C【解析】【分析】由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，∴OA＝OB＝8，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝8，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．二、填空题1、49【解析】【分析】设,BG DG x ,AB a = 则3,AD a =再利用矩形的性质建立方程2223,x a a x 求解,x 从而可得答案. 【详解】 解： 四边形BHDG 为菱形，,BG BH DH DG 设,BG DG xAD ＝3AB ，设,AB a = 则3,AD a =3,AG a x矩形ABCD ，90,A ∴∠=︒2223,x a a x 解得：5,3a x 543,33aa AG a443,39a AGAD a 故答案为：49【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，菱形的性质，利用图形的性质建立方程确定,AG AD 之间的关系是解本题的关键.2、2.5．【解析】【分析】如图所示，将容器侧面展开，连接AB ，则AB 的长即为最短距离，然后分别求出AC ，BC 的长度，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，将容器侧面展开，连接AB ，则AB 的长即为最短距离，∵圆柱形容器高为0.8m ，底面周长为4.8m 在容器内壁离底部0.1m 的点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A 处，∴0.8m AD =， 2.4m DE =，0.1m BE =，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD =90°，∵四边形ADEF 是矩形，∴∠ADE =∠DEF =90°∴四边形BCDE 是矩形，∴ 2.4m BC DE ==，=0.1m CD BE =，∴=0.7m AC AD CD =-，∴ 2.5m AB ，答：则壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m ．故答案为：2.5．【点睛】本题主要考查了平面展开—最短路径，解题的关键在于能够根据题意确定展开图中AB 的长即为所求．3、 4 【解析】【分析】以AC 为边作正△AFC ，并作FH ⊥AC ，垂足为点H ，连接FD 、CE ，由直角三角形可求BC ＝4，AC =SAS ”可证△FAD ≌△CAE ，得CE ＝FD ，CE 最小即是FD 最小，此时12FD CH AC ===CE 的最小值是 【详解】解：以AC 为边作正△AFC ，并作FH ⊥AC ，垂足为点H ，连接FD 、CE ，如图：在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°， ∴142BC AB ==，∴AC ==∵△AFC ，△ADE 都是等边三角形，∴AD ＝AE ，AF ＝AC ，∠DAE ＝∠FAC ＝60°，∴∠FAD +∠DAC =∠CAE +∠DAC ，即∠FAD ＝∠CAE ，在△FAD 和△CAE 中，AD AE FAD CAE AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FAD ≌△CAE （SAS ），∴CE ＝FD ，∴CE 最小即是FD 最小，∴当FD ⊥BD 时，FD 最小，此时∠FDC ＝∠DCH ＝∠CHF ＝90°，∴四边形FDCH 是矩形，∴12FD CH AC === ∴CE的最小值是故答案为：4，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质．4、2【解析】【分析】 取AD 的中点为G ，连接,OG GM ，根据直角三角形的性质求出OG 和MG 的长，然后根据两点之间线段最短即可求解．【详解】 解：取AD 的中点为G ，连接,OG GM ，ABCD 为正方形， ,AM MD AM MD ∴⊥=， 2AD =，G 为中点， 1MG =∴， 又AOD 为直角三角形， 112OG AD ∴==， G ∴的轨迹是以O 为圆心的圆弧， OM ∴最小值为当,,O G M 三点共线时， 即2OM OG GM =+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．5、菱形【解析】【分析】先在坐标系中画出四边形ABCD，由A、B、C、D的坐标即可得到OA=OC=3，OB=OD=2，再由AC⊥BD，即可得到答案．【详解】解：图象如图所示：∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），∴OA=OC=3，OB=OD=2，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的判定条件．三、解答题1、（1）见解析；（2）BG=【分析】（1）由正方形的性质可得BC DC=，BCG DCE∠=∠，由E∠的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；CG BC，进而勾股定理即可求得BG的（2）证明正方形的性质可得BC DC=，结合已知条件即可求得,长【详解】（1）∵BF⊥DE∴∠BFE=90°∵四边形ABCD是正方形∴∠DCE=90°BC DC=,BCG DCE∴∠=∠∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，∴∠CBG=∠CDE∴△BCG≌△DCE∴CG=CE（2）∵BC DC=，且BE=DG=∴CE CG=∵CG =CE∴CG BC =在Rt BCG 中，BG =【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．2、（1）163；（2）y ＝S 四边形ABPQ ＝2t ＋32（0＜t ≤8）；（3）t ＝8，75PQD ∠=；（4）当t ＝4或ABP △为等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）利用平行四边形的对边相等AQ ＝BP 建立方程求解即可；（2）先构造直角三角形，求出AE ，再用梯形的面积公式即可得出结论；（3）利用面积关系求出t ，即可求出DQ ，进而判断出DQ ＝PQ ，即可得出结论；（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =，由运动知，AQ ＝16−t ，BP ＝2t ，∵四边形ABPQ 为平行四边形，∴AQ ＝BP ，∴16−t ＝2t∴t ＝163， 即：t ＝163s 时，四边形ABPQ 是平行四边形； （2）过点A 作AE ⊥BC 于E ，如图，在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝8，∴AE＝4，由运动知，BP＝2t，DQ＝t，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝16，∴AQ＝16−t，∴y＝S四边形ABPQ＝12（BP＋AQ）•AE＝12（2t＋16−t）×4＝2t＋32（0＜t≤8）；（3）由（2）知，AE＝4，∵BC＝16，∴S四边形ABCD＝16×4＝64，由（2）知，y＝S四边形ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8），∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三∴2t＋32＝34×64，∴t＝8；如图，当t＝8时，点P和点C重合，DQ＝8，∵CD＝AB＝8，∴DP＝DQ，∴∠DQC＝∠DPQ，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠DQP＝75°；（4）①当AB＝BP时，BP＝8，即2t＝8，t＝4；②当AP＝BP时，如图，∵∠B＝30°，过P作PM垂直于AB，垂足为点M，∴BM＝4，22242BPBP⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：BP，∴2t，∴t③当AB＝A P时，同（2）的方法得，BP＝∴2t＝∴t＝所以，当t＝4或ABP为等腰三角形．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用AQ＝BP建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题．3、（1）见解析；（2）菱形，见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB =BC ，∠A =∠C ，由旋转的性质得到A 1B =AB =BC ，∠A =∠A 1=∠C ，∠A 1BD =∠CBC 1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF ≌△BA 1D ；（2）由（1）可知∠1A =∠1C =∠A =∠C =a ,1A B =1C B =AB =BC通过证明∠FBC =∠1C 可得11C A ∥ BC ，利用∠1A EC =∠C =180°推出∠1A EC +∠1A =180°得到1A B ∥CE 从而证明四边形1A BCE 为平行四边形再利用1A B =BC 可证明四边形1A BCE 为菱形．【详解】（1）证明：∵等腰三角形ABC 旋转角a 得到11A BC∴∠1A BD =∠FBC =a∠1A =∠1C =∠A =∠C 1A B =1C B =AB =BC ∴BCF 1 BA D ≌（ASA ） （2）解：四边形1A BCE 为菱形理由：∵ C =a由（1）可知∠1A =∠1C =∠A =∠C =a 1A B =1C B =AB =BC又∵ ∠1A BD =∠FBC =a∴∠FBC =∠1C∴11C A ∥BC∴∠1A EC =∠C =180°∴∠1A EC+∠1A=180°∴1A B∥CE∴四边形1A BCE为平行四边形又∵1A B=BC∴ 四边形1A BCE为菱形【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．4、（1）18；（2）CE的长为83；（3）CG的长为910．【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAC=36°，根据折叠的性质得∠DAE=18°；（2）根据矩形性质得∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF ＝ED，根据勾股定理得BF=8，则CF=2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，根据勾股定理得2222+(6)x x=-，解得：83x=，即CE的长为83；（3）连接EG，，由题意得DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，则∠EFG＝∠C=90°，由HL得Rt△CEG≌Rt△FEG，则CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝10+y，BG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得226+(10)=(10+)y y-，解得910y=，即CG的长为910．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAC=90°-∠BAC=90°-54°=36°，∵△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处，∴∠DAE=∠EAC=12∠DAC=12×36°=18°，故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴8BF=，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：2222+(6)x x=-，224+3612x x x=-+1232x=解得：83x=，即CE的长为83；（3）解：如图所示，连接EG，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，由折叠的性质得：AF ＝AD ＝10，∠AFE ＝∠D ＝90°，FE ＝DE ，∴∠EFG ＝∠C=90°，在Rt △CEG 和Rt △FEG 中，EG EG CE FE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △FEG （HL ），∴CG ＝FG ，设CG ＝FG ＝y ，则AG ＝AF +FG ＝10+y ，BG ＝BC ﹣CG ＝10﹣y ，在Rt △ABG 中，由勾股定理得：22361002010020y y y y +-+=++，4036y = 解得：910y =， 即CG 的长为910． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．5、（1）证明过程见解析；（2）BG的长为（3）【分析】（1）连结BB1交CG于点M，交CD于点Q，证明四边形ABCD是正方形，再根据对称的性质得到CE垂直平分BB1，得到△BCG≌△B1CG（SSS），即可得解；（2）设BG交AD于点N，得到△BCQ≌△CDE（ASA），得到CQ＝DE＝5，BQ＝CE＝理得到BM，最后利用勾股定理计算即可；（3）根据点G的位置不同分4种情况进行讨论计算即可；【详解】（1）证明：如图1，连结BB1交CG于点M，交CD于点Q，∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BC＝DC，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∵点B1与点B关于CE对称，∴CE垂直平分BB1，∴BC ＝B 1C ，BG ＝B 1G ，∵CG ＝CG ，∴△BCG ≌△B 1CG （SSS ），∴∠CBG ＝∠CB 1G ，∵DC ＝B 1C ，∴∠CDB 1＝∠CB 1G ，∴∠CBG ＝∠CDB 1．（2）解：如图1，设BG 交AD 于点N ，∵BC ＝CD ＝AD ＝10，∴DE ＝12AD ＝5，∵∠CDE ＝90°，∴CE∵∠BCQ ＝∠CDE ＝∠BMC ＝90°，∴∠CBQ ＝90°﹣∠BCM ＝∠DCE ，∴△BCQ ≌△CDE （ASA ），∴CQ ＝DE ＝5，BQ ＝CE ＝∵CM ⊥BQ ，∴S △BCQ ＝12BQ •CM ＝12BC •CQ ，∴1110522⨯=⨯⨯，∴CM ＝∴BM=∵∠ABC＝∠BAN＝90°，∴∠GDN+∠CDB1＝90°，∠ABN+∠CBG＝90°，∴∠GDN＝∠ABN，∵∠GND＝∠ANB，∴∠GDN+∠GND＝∠ABN+∠ANB＝90°，∴∠BGB1＝90°，∠BGB1＝45°，∴∠BGM＝∠B1GM＝12∵∠BMG＝90°，∴∠BMG＝∠BGM＝45°，∴GM＝BM＝∴BG=∴BG的长为（3）解：如图1，由（2）得CM＝GM＝∴CG＝如图2，CH＝CG＝CHG＝∠CGH＝45°，∴∠GCH＝90°，∴GH∴BH＝GH﹣BG＝＝如图3，HG＝CG＝H与点B在直线FB1的同侧，∴BH＝HG﹣BG＝如图4，CH＝GH，则∠HCG＝∠HGC＝45°，∴∠CHG＝90°，∴CH2+GH2＝CG2，∴2GH2＝（2，∴GH＝∴BH＝BG﹣GH＝如图5，HG＝CG＝H与点B在直线FB1的异侧，∴BH＝HG+BG＝综上所述，BH的长为或，故答案为：或【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)动点问题专项训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形动点问题训练1.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在的直线对着得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P在BC何处时，点N是MQ的中点．（3）若AB=3，P是BC的三等分点，求QM的长；2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的动点，连接AE，以AE为边在AE的右上侧作Rt△AEF，使得∠AEF=90°，AE=EF，再过点F作FG⊥BC，交BC的延长于点G．（1）求证：∠BAE=∠GEF；（2）求证：CG=FG；（3）填空：若正方形ABCD的边长是2，当点E从点B运动到点C的过程中，点F也随之运动，则点F运动的痕迹的长是______．3.如图，点P是正方形ABCD（在小学，同学们学习过：正方形四边相等，四个角都是直角）对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连结PD，O为AC 中点．（1）如图①，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的关系，并说明理由；（2）如图②，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．4.如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，（1）求∠BGE的大小；（2）求证：GC平分∠BGD．5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．（1）如图1所示，当∠DPA'=10°时，∠A'PB=______度；（2）如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．6.如图，边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．7.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，连接BE，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．（1）求证：∠DEF+∠CBF=90°；，求△BEF的面积；（2）若AB=3，△BCF的面积为32（3）求证：DE=2CF．8.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：△NDE≌△MAE；（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．9.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≅△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.11.如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2＋13．菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH＝2，顶点G、E分别是边DC、AB上的动点，连结CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长；（2）若△FCG的面积等于3，求DG的长；（3）试探究点G运动至什么位置时，△FCG的面积取得最小值.12.如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E，F，已知AD=4，试说明AE2+CF2的值是一个常数．13.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB=90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE=CD，点P是DE的中点.(1)如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；(2)如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长.14.如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,O是△ABC内一动点,F、G分别是OB、OC的中点.判断四边形DEGF的形状,并说明理由.15.在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.（1）求证：△ABF≌△BCE.（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB=2，求DG的长.16.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=10，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE．设每秒运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）当t为多少秒时，△BPE是直角三角形．参考答案1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，在△ABP和△BCQ中，AB=BC∠ABC=∠CBP=CQ，∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴∠BAP=∠CBQ，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；（2）解：由折叠的性质得：NQ=CQ，∠BNQ=∠C=90°，∠NBQ=∠CBQ，∴∠BNM=90°，∵点N是MQ的中点，∴NQ=MN，由（1）得：MQ=MB，∴MN=12MB，∴∠MBN=30°，∴∠CBN=60°，∴∠NBQ=∠CBQ=30°，∴CQ=33BC，∴BP=CQ=33BC，即BP=33BC时，点N是MQ的中点．（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，P是BC的三等分点，∴BP=2CP，或CP=2BP，①当BP=2CP时，BP=2，由折叠的性质得：NQ=CQ=BP=2，BN=BC=3，∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB，设MQ=MB=x，则MN=x-2，在Rt△MBN中，MB2=BN2+MN2，即x 2=32+（x -2）2，解得：x =134，即MQ =134；②当CP =2BP 时，BP =1，由折叠的性质得：NQ =CQ =BP =1，BN =BC =3，∵∠NQB =∠CQB =∠ABQ ，∴MQ =MB ，设MQ =MB =x ，则MN =x -1，在Rt △MBN 中，MB 2=BN 2+MN 2，即x 2=32+（x -1）2，解得：x =5，即MQ =5；综上所述，若AB =3，P 是BC 的三等分点，QM 的长为134或5．2.解：（1）∵∠AEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠GEF ，（2）在△ABE 和△EGF 中，∠ABE =∠EGF ∠BAE =∠GEF AE =EF，∴△ABE ≌△EGF （AAS ），∴BE =GF ，AB =EG ，∴BE =CG ，∴CG =FG ；（3）223.解:（1）当点P在线段AO上时PE=PD且PE⊥PD.理由：当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中AB=AD∠BAP=∠DAP=45∘AP=AP∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,如图，过点P作PM⊥CD于点M,作PN⊥BC于点N,∵AC平分∠BCD，∴PM=PN，在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE,PM=PN∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EP N,易得∠MPN=90∘,∴∠DPE=90∘,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为:PE=PD,PE⊥PD;（2）当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；如图2,当点P在线段OC上时，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，又PA=PA，∴△BAP≌△DAP(SAS)，∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD，①当点E与点C重合时，PE⊥PD；②当点E在BC的延长线上时，如图2所示，∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP=∠ADP，∠CDP=∠CBP，∵PB=PE，∴∠CBP=∠PEC，故∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD，综上所述：PE⊥PD，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；4.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB，∠BAD=60°∴△ADB是等边三角形∴AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD∵AE=DF，∠DAB=∠ADB=60°，AD=BD∴△ADE≌△DBF（SAS）∴∠ADE=∠DBF又∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB∴∠BGE=∠ADB=60°（2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，由（1）得∠ADE=∠DBF∴∠CBF=60°+∠DBF=60°+∠ADE=∠DEB又∠DEB=∠MDC∴∠CBF=∠CDM∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED∴点C在∠BGD的平分线上即GC平分∠BGD5.856.（1）证明：∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO=90°，∠MFO=90°，∵正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴∠EOF=90°，∴四边形OEMF为矩形；（2）解：∵边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴利用勾股定理可以得到OA=OB=42，当M在AB的中点时，EF有最小值，最小值=OE2+OF2=(22)2+(22)2=4.7.证明：（1）过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，∴∠MEF+∠EFM=90°，∵∠EFB=90°，∴∠BFN +∠EFM =90°，∴∠MEF =∠BFN ，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．∴MN ⊥BC ，∴∠FBN +∠BFN =90°，∴∠FBN +∠MEF =90°，即∠DEF +∠CBF =90°；证法二：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEB +∠CBE =180°，即∠DEF +∠BEF +∠EBF +∠CBF =180°，∵∠EFB =90°，∴∠BEF +∠EBF =90°，∴∠DEF +∠CBF =90°；（2）由（1）得MN ⊥AD ，∴正方形ABCD 的性质得四边形MNCD 是矩形，∴MN =CD =AB =3，在△BFN 与△FEM 中，由（1）得∠MEF =∠BFN ，∠EMF =∠FNB =90°，∵△BEF 为等腰直角三角形，∴BF =EF ，在△BFN 与△FEM 中，∠EMF =∠FNB ∠MEF =∠BFN BF =EF，∴△BFN ≌△FEM （AAS ），∵BC =AB =3，∴S △BCF =12BC ⋅FN =32FN =32，∴FN =1．∴BN =FM =MN -FN =2，在Rt △BFN 中，EF =BN 2+FN 2=12+22=5，∴S △BEF =12BF 2=12×(5)2=52；（3）在△BFN与△FEM中由（2）△BFN≌△FEM，MD=NC，∴BN=FM，EM=FN，∵MN=AB=BC，∴FM+FN=BN+NC，∴FN=NC=MD=EM，∴∠FCN=45°，DE=2MD=2CN，CF，在Rt△FNC中，CN=22∴DE=2×2CF=2CF．28.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAEDE=AE，∠DEN=∠AEM∴△NDE≌△MAE（ASA）；（2）∵△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（3）解：当AM=1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=1．9.解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME EN=EM∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，∴CE+CG=8是定值．10. (1)∵点F,H分别是BC,CE的中点,∴FH //BE ,FH =12BE ,∴∠CFH =∠CBG .又∵点G 是BE 的中点,∴FH =BG .又∵BF =FC ,∴△BGF ≅△FHC .(2)连接EF ,GH .当四边形EGFH 是正方形时,可知EF ⊥GH且EF =GH .∵在△BEC 中,点G ,H 分别是BE ,EC 的中点,∴GH =12BC =12AD =12a ,且GH //BC ,∴EF ⊥BC .又∵AD //BC ,AB ⊥BC ,∴AB =EF =GH =12a ,∴S 矩形ABCD =AB ⋅AD =12a ⋅a =12a 211.解：（1）∵四边形EFGH 为正方形，∴HG =HE ，∠ADG =∠HAE =90°，∵∠DHG +∠AHE =90°，∠DHG +∠DGH =90°，∴∠DGH =∠AHE ，∴△DGH ≌△AHE （AAS ），∴DG =AH =2；（2）如图，作FM⊥DC，M为垂足，连结GE．∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEG-∠HEG＝∠MGE-∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，又∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离恒等于2，∴S▵FCG=1×2⋅GC=3，2解得GC＝3，∴DG＝2；（3）设DG＝x，则CG＝5-x，由（2）可知，S△FCG＝5-x．要使△FCG的面积最小，须使x最大，∵在Rt△DHG中，DH=13，∴当GH取得最大时，x最大当点E与点B重合时，HE最大，此时，HE=22+52=29，则GH=HE=29，在Rt△DHG中，x=(29)2−(13)2=4，∴当DG＝4时，△FCG的面积取得最小值．12.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS），∠AEB=∠BFC∴AE=BF，∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数．13.解：（1）AP=1DE，理由如下：2连接AE.∵CE⊥CD，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACE=∠BCD，在△BCD和△ACE中，CE=CD∠ACE=∠BCD，AC=BC∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠EAC=∠B=45°，∴∠EAD=90°，∵P为DE中点，DE.∴AP=12（2）①当Q在边AB上时，连接AE，EQ.∵P 为DE 中点，CE =CD ，∴PC 垂直平分DE ，∴DQ =QD ，∵AB =5，AQ =2，∴BD =3，设BD =AE =x ，则QD =EQ =3-x ，在Rt △AEQ 中，AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(3-x )2解得x =56;当Q 在BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，如图，设BD =AE =x ，同理可得AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(7-x )2解得x =4514.综上可得BD =56或4514.14.解析 四边形DEGF 是平行四边形.理由:∵D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点,∴DE =12BC ,DE //BC ,∵F、G分别是OB、OC的中点,BC,FG//BC,∴FG=12∴DE=FG,DE//FG,∴四边形DEGF是平行四边形15.（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB=90°，∴∠GCB+∠GBC=90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC=90°，∴∠GCB=∠FBA，又∵BC=AB，∠FAB=∠EBC=90°，在△ABF与△BCE中，∠GCB=∠FBABC=AB，∠EBC=∠FAB∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB=1，∵AB=2，∴BC=2，∴CE=BC2+EB2=22+12=5，在Rt △CEB 中，由CE •BG =EB •BC 得BG =EB ⋅BC CE =1×25=255，∴CG =455，∵∠DCE +∠BCE =∠BCE +∠CBF =90°，∴∠DCE =∠CBF ，又∵DC =BC =2，∠CHD =∠CGB =90°，在△CHD 与△BGC 中，∠CHD =∠CGB =90°∠DCE =∠CBF DC =BC，∴△CHD ≌△BGC （AAS ）∴CH =BG =255，∴GH =CG -CH =255=CH ，∵DH =DH ，∠CHD =∠GHD =90°，在△DGH 与△DCH 中，GH =CH ∠GHD =∠CHD DH =DH，∴△DGH ≌△DCH （SAS ），∴DG =DC =2．16.解：（1）在矩形ABCD 中，∠C =∠B =90°，CD =AB =10，在Rt △BCE 中，CE =CD -ED =10-7=3，根据勾股定理得，BE =BC 2+CE 2=42+32=5，（2）①当以P 为直角顶点时，即∠BPE =90°，则∠C =∠B =∠BPE =90°，∴四边形CBPE 是矩形，∴BP =CE =3，即10-t =3，∴t =7，②当以E 为直角顶点时，即∠BEP =90°，由勾股定理得，BE 2+PE 2=BP 2，过点P 作PF ⊥CD 于F ，则PF=AD=4，DF=AP，设AP=t，则EF=7-t，BP=10-t，PE2=42+（7-t）2，∴52+42+（7-t）2=（10-t）2，，解得，t=53∴当t=7或5秒时，△BPE是直角三角形．3。
人教版八年级下册第十八章平行四边形单元练习题(含答案)(K12教育文档)
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第十八章平行四边形一、选择题1。
如图，在▱ABCD中,点E是BC延长线上一点，且∠A＝120°，则∠DCE的度数是( )A．120°B．60°C．45°D． 30°2.如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上,且AM＝AB，则∠C为（)A．100°B．105°C．110°D．120°3。
如图，△ABC中，AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6,则四边形AEDF的周长是（）A． 24B． 28C． 32D． 364.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点,给出下列四个条件:①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（)A． 0个B． 1个C． 2个D． 3个5。
正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等6。
菱形的周长为8 cm,高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．4∶1B．5∶1C．6∶1D．7∶17。
新人教版2019八年级数学下册第十八章平行四边形小专题八四边形中的动点问题练习新版
小专题(八) 四边形中的动点问题——P68T13的变式与应用教材ABCDADBCBABADBC，24 cm8 cm，∠，＝90°，教材母题如图，在四边形＝中，＝∥PADQC同时出发以运动；点从点3 cm/s出发，以1 cm/s的速度向点＝26 cm.点从点B运动．规定其中一个动点到达端点时，的速度向点另一个动点也随之停止运动．从运动开PQCDPQCD，分别需经过多少时间？为什么？和始，使∥＝为平行四边形．此时四边形PQCD①设经过t s时，PQ∥CD，【解答】，CQ3t ，cmcm＝∵PD＝(24－t)6.3t，∴tt∴24＝－＝CD.，PQ∥CD，PQ∴t6＝且当时＝F.，DF，EBC ，P，DPE，CD②t s，PQ垂足分别为分别过点＝作设经过时边的垂线EQ ，PQCDCF或平行四边形．四边形)为梯形当(＝腰相等时 90 ，∵∠B∠A∠DFB°＝＝＝BF. ∴AD∴ABFD＝四边形是矩形． 26 ，BC，∵AD24 cmcm＝＝.BCBF2 ∴CF cm＝＝－ PQCD ，时)(腰相等当四边形为梯形，CQAD2PDBC＝(－)＋7.43t.∴tt24∴＝＝＋)－(CD.，PQ∴t7 s ＝当时＝CD. ，PQPQCD ，①，t6 s＝为平行四边形时当由时知当四边形＝CD. PQ6 s，PQ∥CD t6 s7 s，，t＝时或；当综上所述时当＝＝b满足a，bC(b，12)，B(a，c)，，0)，并且A(01．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，个单位长度的速度向点2A出发，在线段AB上以每秒21＋－a＋16.动点P从点＝a－21QC运动，点P，Q运动；动点从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点B 随之停止运动．设运动时间为t秒．O，同时出发，当点P运动到点B时，点Q分别从点A ，C两点的坐标；(1)求B Q两点的坐标；t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P，(2)当两点的坐标．PQ 为腰的等腰三角形？并求出P，Q为何值时，△PQC(3)当t是以，a＋16∵b＝a－21－＋21(解：1)－21≥0，a??∴?－a≥0，21??21. a＝解得16. ＝，∴a＝21b 12)，，∵AB∥OC，A(012.∴c＝．)0，16(C，)12，21(∴B．(2)由题意，得AP＝2t，QO＝t，则PB＝21－2t，QC＝16－t.∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，∴21－2t＝16－t，解得t＝5.∴P(10，12)，Q(5，0)．(3)当PQ＝CQ时，过点Q作QN⊥AB，垂足为N.(3.57，12)，Q3.5.∴P＋t＝(16－t)，解得t＝(t，由题意得PN＝AP－OQ＝，则12 )．0M. ，222，垂足为过点P作PM⊥x轴PQ当＝PC时，，t＝16－2t＝t，CM＝16－2t，则QM由题意，得163216 ，0)．，＝.∴P(，12)Q(解得t3331632 )．)，Q(，0PQ7，12)，(3.5，0)；(，12P综上所述：(221133重上一动点AD(不与点D，ABCD中，对角线ACBD相交于点O，点P是线段如图，矩形2．Q.的延长线交BC于点PO合)，求证：四边形PBQD为平行四边形；(1)DAADP匀速运动．设出发，以的速度向点1 cm/sAB(2)若＝3 cm，＝4 cm，点从点tPtPBQD值；如果不运动时间为 s点，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的能，说明理由．，是矩形ABCD四边形∵证明：)1(解：∴AD∥BC，OD＝OB.∴∠PDO＝∠QBO.在△POD和△QOB中，∠PDO＝∠QBO，???OD＝OB，??∠POD＝∠QOB，∴△POD≌△QOB(ASA)．∴OP＝OQ.又∵OB＝OD，∴四边形PBQD为平行四边形．(2)四边形PBQD能够成为菱形．，PD4t. cm＝t cm－)＝(t s点P从点A出发运动时，AP PBQD，PBPD4t.cm＝－当四边形＝是菱形时()∵ABCD，∴∠BAP90 .°是矩形四边形＝222 PB，，△ABP，AB3 APAB＝在Rtcm中＋＝7222.t3t4，t＝＝(－)解得即＋87∴P s，PBQD为菱形．点运动时间为时四边形8。
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八年级下学期第18章平行四边形——动点问题
1、如图，在边长为4的菱形
ABCD 中，BD=4，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE 、EF 、FB ．
（1）试探究BE 与BF 的数量关系，并证明你的结论； （2）求EF 的最大值与最小值．
2、在四边形ABCD 中，AD ∥BC，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1cm/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3cm/秒的速度向B 点运动。
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t 秒，问：
（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ ,
3、如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从
A 开始沿折线A —
B —
C —
D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？
A B
C
D P
Q
A
M O F N E
B C D
4、如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。
（1）求证：EO FO =；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。
5、（1）如图1，纸片□ABCD 中，AD ＝5，S □ABCD ＝15，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，沿AE 剪下△ABE ，将它平移至△DCE '的位置，拼成四边形AEE 'D ，则四边形AEE 'D 的形状为（ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE 'D 中，在EE '上取一点F ，使EF ＝4，剪下△AEF ，剪下△AEF ，将它平移至△DE 'F '的位置，拼成四边形AFF 'D ．
①求证：四边形AFF 'D 是菱形；②求四边形AFF 'D 的两条对角线的长。
C B A
E E'D
E E'
F F'D
A
图1 图2
6、在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H （点H 与点D 不重合）．通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于E ，延长EG 交CD 于F ． （1）如图①，当点H 与点C 重合时，可得FG FD ．（大小关系）
（2）如图②，当点H 为边CD 上任意一点时，猜想FG 与FD 的数量关系，并说明理由． （3）在图②中，当AB=8，BE=3时，利用探究的结论，求CF 的长。
7、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC。
（1）求证：OC平分∠ACB；（2）若AC＝5，BC＝7，求CO的长。
8、如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝23，AC、BD相交于点O；
（1）求边AB的长及菱形ABCD的面积；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF，判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由。
（3）求（2）中△AEF的面积的最小值。
9、如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2 cm/s的速度向点D运动。
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积。
10、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD=CF．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由．
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
11、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系式________；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明。
12、如图，P是等边三角形ABC内一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ。
（1）观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4；5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。
13、（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
14、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，且AD=8，BC=12，E，F是AB，AC的中点。
(1)线段EF=
(2)连接ED，FD，求证：四边形AEDF是菱形。
(3)动点P从B点以2个单位每秒的速度沿BC运动，运动____________秒时，△BEP是直角三角形？。