n维向量的运算
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线性代数3-1 n维向量及其运算
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
Hale Waihona Puke 第三章 向量与向量空间 n维向量及其运算 向量组的线性相关性 秩 向量空间
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第三章 向量与向量空间
第一节 n维向量及其运算
n 维向量的概念 二、 无穷大 n维向量的运算法则
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一、 n 维向量的概念
定义1（P69） n 个有次序的数
的数组称为 n 维向量，这 a1 , a 2 , , a n 所组成 n个 n 个数称为该向量的
(1) (3) 0 ( 5 ) 1 ( 7 ) k ( ) k k (8 )( k l ) k l ( 2 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 0 ( 6 ) k ( l ) l ( k ) ( kl )
分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
1. 行向量，通常用 a , b , , 等表示，如：
T T T T
a
T
( a 1 , a 2 , , a n )
2. 列向量，通常用 a ,b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
3. 向量相等
4. 零向量
5. 负向量
向量组的线性表示
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１
给定向量组A
:1 , 2 ,
,
，对
m
于任
何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
例
向量组A
:
a1
1 1
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
1.3、向量空间
向量
解析几何
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐 标 有次序的实数组成的数组 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
§1—n维向量及其线性运算
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
§3.1 n维向量及其线性运算
n 二、 维向量的表示方法
向量通常写成一行，称为行向量。记为 aT ,bT ,T , T ，如
aT (a1 ,a2 , ,an )
行向量
行矩
向量写成一列，称为列向量。记为 a,b, , ，阵如
列矩阵
列向量
a1
第三章 向量组及其线性关系
§3.1 n 维向量及其线性运算
一、 n 维向量概念 二、 n 维向量表示方法 三、线性运算定义及性质 四、小结，思考题
§3.1 n维向量及其线性运算
n 一、 维向量的概念及其表示方法
定义：n 个有次序的数 a1,a2 ,L ,an 所组成的有序数组
a1, a2 ,L , an 称为一个n 维向量。
a21
x1 L
a22 LL
x2 L
L
L a2n xn LLLLL
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
1 x1 2 x2 L n xn b
x1
即 Ax b 或 1
2 L
n
x2
M
§3.1 n维向量及其线性运算 n 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
Rn x( x1, x2, , xn)T x1, x2, , xnR
n维向量空间
x( x1, x2, , xn)T a1 x1a2 x2 an xnb
叫做n 维向量空间 Rn中的n 1维超平面．
（2） 3 2 3[1,0,4,7]T 2[3,2,1,6]T
3.4 n维向量及其运算
( 2)
方程组( 2)的向量形式 : x1 β 1 + x 2 β 2 + + xn β n = 0
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n 21 A= .......... .......... . .......... a am2 ... amn m1
A的每一行是一个n维行向量 的每一行是一个 α1 = (a11, a12, ..., a1n )
(1)
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 2 AX = ..........22 ..........n .......... . m1 am2 ... amn a
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ....................................... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = 0
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0 ...........................................
am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn xn = 0
例1
0, 5 α = (1, 2,), β = ( 2,4,3,2)
(1)求2( 3α 2 β ); ( 2)3α 2(γ β ) = 0, 求γ. 解 (1)2( 3α 2 β ) = 6α 4 β 0, 30 = (6, 12, ) (8,16,12,8) 16 22 = ( 2, , 24, ) 1 ( 2)2(γ β ) = 3α = [( 3 , 0 , 6 ,15 + ( 4 , 8 , 6 , 4 )]
3.1n维向量概念及其线性运算
( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （ ）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律） （数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数， 向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则 向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合， （ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该 方 程组是否有解。 程组是否有解。对它的 增广矩阵施行初等行变 换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1） ， ）
2．n维零向量 ． 维零向量 3．负向量 ．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )
第二章 n维向量
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
4. 矩阵等价与向量组等价
a11 a 21 A= ⋯ a m 1 a12 ⋯ a1n b11 初等行 b21 a 22 ⋯ a 2 n 初等行变换 B= ⋯ ⋯ ⋯ 初等行变换 初等行 ⋯ a m 2 ⋯ a mn bm 1
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向 组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由 例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由 但 线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
0 0 … … 1
.
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n 任何一个n维向量
α=
a1 a2 an … …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, 线性表示. 事实上,
α = a1
1 0 … … 0
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 推论2.4. 若α1, α2, …, αs线性相关, 线性相关, 则α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt也线性相 关. 反之, 反之, 若α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt线性 无关, 无关, 则α1, α2, …, αs也线性无关. 线性无关.
线性代数-3n维向量
α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量 维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量 维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量 分量的个数称为向量的维数 其中 ai (i=1,2…n)是实数 称为分量 分量的个数称为向量的维数 是实数 称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 设 1.相等 相等 2.加法 加法 3.数乘 数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组 必含有相同个数的向量 必含有相同个数的向量; 推论 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关 维向量组必然线性相关. 推论 任意 个 维向量组必然线性相关 二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩 设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组 设一个向量组的某一部分组是线性无关的 并且从该向量组 中的其余向量中任取一个添进去 所得的新的向量组线性相关 所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关 则称该部分组为一个极大线性无关组 则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组
(完整版),n维向量及其运算向量组的线性相关性
亦即（k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 0,
因
1，
2，
线性无关，故有
3
k1 k3 0, k1 k2 0,
k2 k3 0.
由于此方程组的系数行列式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组只有零解 k1 k2 k3 0，所以向量组 b1, b2 , b3线性无关.
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
因 k1, k2 ,L , ks , k中至少有一个不为0，
注意
1. 若 1,2 ,L
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 L km 0时, 才有
k11 k22 L kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
4令.包k含零 0向，量的任何向量 组是线性相关的.
向量
组线性 a无rj 关，
则它的a任rj 何 部分组都线性无关.
ar
1,
j
即 j添上一个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 , ,m线性无关,则向量组B：b1, b2 , , bm也线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线 性相关 .
线性代数 第三章3.2
km −1 k1 k2 α m = − α1 − α 2 − L − α m−1 km km km
αm 是其余向量的线性组合
定理4.1 向量组 α1,α2 ,L,αm (m≥ 2) 线性相关 定理
向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合
若 αm 是其余向量的线性组合
αm = k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 + (−1)αm = 0
（Ⅱ）
β 1β 2 L β s
线性表示， 若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示， 则称向量组（ 线性表示. 则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示， 则称向量组（ 等价. 则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质： 向量组之间的等价关系具有以下性质： 性质
b1 b2 称为行向量 例如:① 例如 ① α = (a1, a2 ,L, an )称为行向量, β = M 称为 bn 列向量.
称为零向量 ②分量全为零的向量 (0, 0, L , 0) ,称为零向量. 称为 ③
等表示向量. 小写希腊字母 α, β ,γ 等表示向量
L 其中是 ε1，ε2， ，εn ，n维单位行向量组.
α1 =(1, 2,3)T， （ ） 例. 证明向量 β = −1,1,5 是向量组
T
将β 用向量组 α1，α2，α3 线性表出.
的线性组合,并具体 α 3 = ( 2 , 3 , 6 ) T 的线性组合 并具体 α 2 = 0,1, 4）， = β ⇔ ai = bi (i = 1, 2,L, n)
αm 是其余向量的线性组合
定理4.1 向量组 α1,α2 ,L,αm (m≥ 2) 线性相关 定理
向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合
若 αm 是其余向量的线性组合
αm = k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 + (−1)αm = 0
（Ⅱ）
β 1β 2 L β s
线性表示， 若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示， 则称向量组（ 线性表示. 则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示， 则称向量组（ 等价. 则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质： 向量组之间的等价关系具有以下性质： 性质
b1 b2 称为行向量 例如:① 例如 ① α = (a1, a2 ,L, an )称为行向量, β = M 称为 bn 列向量.
称为零向量 ②分量全为零的向量 (0, 0, L , 0) ,称为零向量. 称为 ③
等表示向量. 小写希腊字母 α, β ,γ 等表示向量
L 其中是 ε1，ε2， ，εn ，n维单位行向量组.
α1 =(1, 2,3)T， （ ） 例. 证明向量 β = −1,1,5 是向量组
T
将β 用向量组 α1，α2，α3 线性表出.
的线性组合,并具体 α 3 = ( 2 , 3 , 6 ) T 的线性组合 并具体 α 2 = 0,1, 4）， = β ⇔ ai = bi (i = 1, 2,L, n)
n维向量及其线性运算
（称为行向量）
an
其中第i(i 1,2,n)个数ai称为n维向量的第i
个坐标或第i个分量，向量中分量或坐标的个
数称为向量的维数。
说明：
1.分量全为实（复）数的向量称为实（复）向量 2. 分量全为零的向量称为零向量 3.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量
若无明确说明，所论向量均指列向量。
4. 两个向量当且仅当它们的各对应分量都相等时才 是相等的，即如果
解 因为对任意的
a b
x
2a
,
y
2b
V
3a 3b
及任意的数 R , 都有
a b x y 2(a b) V
3(a b)
所以V是向量空间。
a
x 2a V 3a
由上述例题可知，并不是任何一个由同维数的向量 所组成的集合都构成向量空间。
我们称由若干个维数相同的向量所组成的集合为向量组
(1)集合 V对向量的加法运算封闭，即对任意
, V , 都有 V
(2)集合 V对数与向量的乘法运算封闭，即对任意
V和任意的实数 都有 V， 则称V是 R的n 一个子空间， 也称V为实数域上的向量空间
例3.3 由单个三维零向量 V {(0,0,0)T } 组成的集合
是 3 维向量空间 R3 的一个子空间，称其为零子空间。
0.15a 0.15b
1.3 n维向量空间及其子空间
定义3.4 实数域上的全体n维向量组成的集合，连同定义在
其上的加法和数与向量的乘法运算，称为实数域上的
n维向量空间，记为 R n 当 n 3 时，三维向量空间 R3就是几何空间中全体
向量所组成的空间。
定义3.5
设V为 n维向量空间 Rn的非空子集合，且满足
线性代数课件-3.2 n维向量
定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义 若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】 已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系 】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系
第2章向量
类似数的运算性质
说明 1.只有当两个向量是同型向量时，才能进行加、减法运算. a1 a1 a a 2 2 2.向量 称为向量 的负向量，记为- . an an
1 2 0 -2 -1 1 例2 设 = ， = ， = 0 3 -1 2 1 -1 (1)求2 -3 (2)设2 - +2 - =q ，求 .
,s 线性相关.
例3
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , 1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
2 2 3 , 3 3 1 , 试证1 , 2 , 3线性无关 .
证
x1 1 x2 2 x3 3 q 即 x （ x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) q , 1 1 2）
k1 k2 k3 0
所以，有唯一一种表示方法：
01 0 2 03 q
2.定义6
给定向量组A : 1 , 2 , 全为零的数k1 , k2 , , ks使 k s s q k11 k2 2 , s , 如果存在不
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意 1. 若 1 , 2 , , n 线性无关 , 则只有当
给定 向量组 A : 1 , 2 , k1，k2， ，ks，表达式 k11 k2 2 ks s 称为向量组的一个 线性组合 ， k1，k2， ，ks 称为这个线性组合的组合系数. 给定向量组A : 1 , 2 , 组实数k1，k2， ，ks，使 , s，和向量 对于任何一 , s，对于任何一组实数
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
说明 1.只有当两个向量是同型向量时，才能进行加、减法运算. a1 a1 a a 2 2 2.向量 称为向量 的负向量，记为- . an an
1 2 0 -2 -1 1 例2 设 = ， = ， = 0 3 -1 2 1 -1 (1)求2 -3 (2)设2 - +2 - =q ，求 .
,s 线性相关.
例3
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , 1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
2 2 3 , 3 3 1 , 试证1 , 2 , 3线性无关 .
证
x1 1 x2 2 x3 3 q 即 x （ x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) q , 1 1 2）
k1 k2 k3 0
所以，有唯一一种表示方法：
01 0 2 03 q
2.定义6
给定向量组A : 1 , 2 , 全为零的数k1 , k2 , , ks使 k s s q k11 k2 2 , s , 如果存在不
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意 1. 若 1 , 2 , , n 线性无关 , 则只有当
给定 向量组 A : 1 , 2 , k1，k2， ，ks，表达式 k11 k2 2 ks s 称为向量组的一个 线性组合 ， k1，k2， ，ks 称为这个线性组合的组合系数. 给定向量组A : 1 , 2 , 组实数k1，k2， ，ks，使 , s，和向量 对于任何一 , s，对于任何一组实数
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
n维行向量和n维列向量
N维行向量和N维列向量1. 引言在线性代数中，向量是一个非常重要的概念。
它是具有大小和方向的量，可以用来表示各种物理量和数学对象。
在向量的定义中，我们通常将它表示为一个有序的数列。
本文将介绍N维行向量和N维列向量的概念，并探讨它们在线性代数中的应用。
2. N维行向量和N维列向量的定义在线性代数中，N维行向量是由N个实数按照一定顺序排列而成的一个数列。
通常用一个横向的行来表示，如下所示：而N维列向量则是由N个实数按照一定顺序排列而成的一个数列。
通常用一个纵向的列来表示，如下所示：可以看出，N维行向量和N维列向量的主要区别在于它们的排列方式不同。
3. N维行向量和N维列向量的表示在数学中，我们通常用符号来表示向量。
对于N维行向量，我们可以使用一个大写的字母，如A，来表示。
而对于N维列向量，我们可以使用一个小写的字母，如a，来表示。
在Markdown中，我们可以使用如下方式来表示一个N维行向量和一个N维列向量：•N维行向量A的表示：A = [a1, a2, ..., an]•N维列向量a的表示：a = [a1; a2; ...; an]其中，a1, a2, …, an表示向量中的元素。
4. N维行向量和N维列向量的运算N维行向量和N维列向量之间可以进行一系列的运算，如加法、减法、数乘等。
4.1 加法对于N维行向量A和N维列向量B，它们的加法运算定义如下：• A + B = [a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn]4.2 减法对于N维行向量A和N维列向量B，它们的减法运算定义如下：• A - B = [a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn]4.3 数乘对于N维行向量A和一个实数k，它们的数乘运算定义如下：•kA = [ka1, ka2, …, kan]4.4 点乘对于N维行向量A和N维列向量B，它们的点乘运算定义如下：• A · B = a1b1 + a2b2 + … + anbn5. N维行向量和N维列向量的应用N维行向量和N维列向量在线性代数中有着广泛的应用。
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3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α) 求向量α. 解 将上式合并同类项，得
6α=3α1+2α2－5α3
n维向量的运算
n维向量的运算
【例3-2】
用向量表示线性方程组
n维向量的运算
n维向量的运算
反之，若是给出向量组（3-2），作向量方程（3-3）， 可得线性方程组（3-1）.通常将向量方程（3-3）称为线性方 程组（3-1）的向量形式.
（1）α+β=β+α（加法交换律）. （2）α+(β+γ)=(α+β)+γ（加法结合律）. （3）α+0=α. （4）α+(-α)=0. （5）k(α+β)=kα+kβ（数乘分配律）. （6）(k+l)α=kα+lα（数乘分配律）. （7）(kl)α=k(lα)（数乘结合律）. （8）1·α=α. 其中，α，β，γ是n维向量，0是n维零向量，k和l是 任意实数.
n维向量的运算
定义3-5
设k为常数，数k与向量α=(a1，a2，…，an)的各分量的乘 积所构成的n维向量，称为数k与向量α的乘积（简称数乘），记 为kα，即
kα=（ka1，ka2，…，kan） 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.利用上述定 义，不难验证向量的线性运算满足下述八条运算律：
n维向量的运算
n维向量的运算
n维向量的运算
定义3-2
所有分量都是0的向量称为零向量，记为 0=（0,0，…，0） 由n维向量α=(a1，a2，…，an)各分量的相反数 构成的向量，称为α的负向量.记为 -α=（-a1，-a2，…，-an）
n维向量的运算
定义3-3
如果n维向量α=(a1，a2，…，an) 与β=(b1，b2，…，bn)对应的分量相等， 即ai=bi（i=1，2，…，n），那么称这 定义3-6
设n维向量α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，…， bn)，则向量α与βT的乘积为一阶方阵，即一个数，即
n维向量的运算
向量αT与β的乘积为n阶方阵，即
n维向量的运算
【例3-1】
设向量α1=(2,5,1,3)T，α2=(10,1,5,10) T，α3=(4,1,-1,1)T， α满足
n维向量的运算
定义3-4
设n维向量 α=（a1，a2，…，an），β=（b1,b2,…,bn） α与β对应分量的和所构成的n维向量称为向量α与β的 和,记为α+β.即 α+β=（a1+b1,a2+b2,…,an+bn） 由向量的加法和负向量的定义，还可以定义向量的减 法，记为α-β.即 α－β=α+－β=（a1－b1,a2－b2,…,an－bn）