n维向量的运算

n维向量的运算
n维向量的运算
定义3-2
所有分量都是0的向量称为零向量，记为 0=（0,0，…，0） 由n维向量α=(a1，a2，…，an)各分量的相反数 构成的向量，称为α的负向量.记为 -α=（-a1，-a2，…，-an）
n维向量的运算
定义3-3
如果n维向量α=(a1，a2，…，an) 与β=(b1，b2，…，bn)对应的分量相等， 即ai=bi（i=1，2，…，n），那么称这 两个向量相等.记为α=β.
（1）α+β=β+α（加法交换律）. （2）α+(β+γ)=(α+β)+γ（加法结合律）. （3）α+0=α. （4）α+(-α)=0. （5）k(α+β)=kα+kβ（数乘分配律）. （6）(k+l)α=kα+lα（数乘分配律）. （7）(kl)α=k(lα)（数乘结合律）. （8）1·α=α. 其中，α，β，γ是n维向量，0是n维零向量，k和l是 任意实数.
3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α) 求向量α. 解 将上式合并同类项，得
6α=3α1+2α2－5α3
n维向量的运算
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【例3-2】
用向量表示线性方程组
n维向量的运算
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反之，若是给出向量组（3-2），作向量方程（3-3）， 可得线性方程组（3-1）.通常将向量方程（3-3）称为线性方 程组（3-1）的向量形式.
n维向量的运算
定义3-5
设k为常数，数k与向量α=(a1，a2，…，an)的各分量的乘 积所构成的n维向量，称为数k与向量α的乘积（简称数乘），记 为kα，即
kα=（ka1，ka2，…，kan） 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.利用上述定 义，不难验证向量的线性运算满足下述八条运算律：
n维向源自文库的运算
n维向量的运算
定义3-6
设n维向量α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，…， bn)，则向量α与βT的乘积为一阶方阵，即一个数，即
n维向量的运算
向量αT与β的乘积为n阶方阵，即
n维向量的运算
【例3-1】
设向量α1=(2,5,1,3)T，α2=(10,1,5,10) T，α3=(4,1,-1,1)T， α满足
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n维向量的运算
定义3-4
设n维向量 α=（a1，a2，…，an），β=（b1,b2,…,bn） α与β对应分量的和所构成的n维向量称为向量α与β的 和,记为α+β.即 α+β=（a1+b1,a2+b2,…,an+bn） 由向量的加法和负向量的定义，还可以定义向量的减 法，记为α-β.即 α－β=α+－β=（a1－b1,a2－b2,…,an－bn）