广东省数学中考复习专题函数

一. 教学目标：

1. 会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标

2. 会确定点关于x 轴，y 轴及原点的对称点的坐标

3. 能确定简单的整式，分式和实际问题中的函数自变量的取值范围，并会求函数值。

4. 能准确地画出一次函数，反比例函数，二次函数的图像并根据图像和解析式探索并理解其性质。

5. 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系并用函数解决简单的实际问题。 二. 教学重点、难点：

重点：一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质及应用 难点：函数的实际应用题是中考的重点又是难点。 三.知识要点：

知识点1、平面直角坐标系与点的坐标

一个平面被平面直角坐标分成四个象限，平面内的点可以用一对有序实数来表示平面内的点与有序实数对是一一对应关系，各象限内点都有自己的特征，特别要注意坐标轴上的点的特征。点P （x 、y ）在x 轴上⇔y ＝0，x 为任意实数，

点P （x 、y ）在y 轴上，⇔x ＝0，y 为任意实数，点P （x 、y ）在坐标原点⇔x ＝0，y ＝0。 知识点2、对称点的坐标的特征

点P （x 、y ）关于x 轴的对称点P 1的坐标为（x ，－y ）；关于y 轴的对称轴点P 2的坐标为（－x ，y ）；关于原点的对称点P 3为（－x ，－y ）

知识点3、距离与点的坐标的关系

点P （a ，b ）到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，即｜b ｜ 点P （a ，b ）到y 轴的距离等于点P 的横坐标的绝对值，即｜a ｜

点P （a ，b ）到原点的距离等于：22b a +

知识点4、与函数有关的概念

函数的定义，函数自变量及函数值；函数自变量的取值必须使解析式有意义当解析式是整式时，自变量取一切实数，当解析式是分式时，要使分母不为零，当解析式是根式时，自变量的取值要使被开方数为非负数，特别地，在一个函数关系中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。

知识点5、已知函数解析式，判断点P （x ，y ）是否在函数图像上的方法，若点P （x ，y ）的坐标适合函数解析式，则点P 在其图象上；若点P 在图象上，则P （x ，y ）的坐标适合函数解析式．

知识点6、列函数解析式解决实际问题

设x 为自变量，y 为x 的函数，先列出关于x ，y 的二元方程，再用x 的代数式表示y ，最后写出自变量的取值范围，要注意使自变量在实际问题中有意义。

知识点7、一次函数与正比例函数的定义：

例如：y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的一次函数，特别地当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx （k 是常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。

知识点8、一次函数的图象和性质

一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过点（０，b ）和点（－

k

b

，０）的一条直线，k 值决定直线自左向右是上升还是下降，b 值决定直线交于y 轴的正半轴还是负半轴或过原点。

知识点9、两条直线的位置关系

设直线 1和 ２的解析式为y ＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2则它们的位置关系由系数关系确定 k 1≠k 2⇔ 1与 ２相交，k 1＝k 2，b 1≠b 2⇔ 1与 ２平行，k 1＝k 2， b 1＝b 2⇔ 1与 ２重合。

知识点10、反比例函数的定义

形如：y ＝

x

k 或y ＝kx －

1（k 是常数且k ≠0）叫做反比例函数，也可以写成xy ＝k （k ≠0）形式，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应的函数值y 之积等于已知常数k ，

知识点11、反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像是双曲线，它是以原点为对称中心的中心对称图形，同时又是直线y ＝x 或y ＝－x 为对称轴的轴对称图形，当k ＞0时，图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，当k ＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

知识点12、反比例函数中比例系数k 的几何意义。

过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB 所得矩形的PAOB 的面积为|k|。 知识点13、二次函数的定义

形如：y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数，它常用的三种基本形式。 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k （a ≠0） 交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（ a ≠0，x 1、x 2是图象与x 轴交点的横坐标） 知识点14、二次函数的图象与性质

二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象是以（a b ac a b 44,22--）为顶点，以直线y ＝a

b 2-为对称轴的抛物线。

在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x ＜a

b

2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞a

b

2-

时，y 随着x 的增大而增大。 在a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x ＜a

b

2-时，y 随着x 的增大而增大。在对称轴的右侧，即当x ＞a

b

2-

时，y 随着x 的增大而减小。 当a ＞0，在x ＝a

b

2-时，y 有最小值，y 最小值＝a b ac 442-，

教学准备

专题复习之五 函数

当a ＜0，在x ＝a

b

2-时， y 有最大值，y 最大值＝a b ac 442-。

知识点15、二次函次图象的平移

二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。

知识点16、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的交点。 （1）与y 轴永远有交点（0，c ）

（2）在b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，A （x 1，0）、B （x 2，0）这两点距离为AB ＝|x 1－x 2|，（x 1、x 2是ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根）。

在b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴只有一个交点。 在b 2－4ac ＜0时，则抛物线与x 轴没有交点。 知识点17、求二次函数的最大值

常见的有两种方法：（1）直接代入顶点坐标公式（a

b a

c a b 44,22

--）。 （2）将y ＝ax 2

＋bx ＋c 配方，利用非负数的性质进行数值分析。

两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。

例1. 若一次函数y ＝2x 222

m m --＋m －2的图象经过第一、二、三象限，求m 的值．

分析：这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为y ＝kx ＋b （k ≠0）．首先要考虑m 2－2m －2＝1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是k ＞0，b ＞0，而k ＝2，只需考虑m －2＞0．由

2221

20

m m m ⎧--=⎨

->⎩便可求出m 的值． 所以m ＝3

例2. 鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，•下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： （1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？ （2）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？

分析：本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间．

解：（1）一次函数，

（2）设y ＝kx ＋b ，则由题意，得2216,2

2819,10k b k k b b =+=⎧⎧⎨⎨

=+=-⎩⎩

解得，∴y ＝2x －10， （3）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42．

答：应该买42码的鞋．

例 3. 某块试验田里的农作物每天的需水量y （千克）与生长时间x （天）之间的关系如折线图所示．•这些农作物在第10•天、•第30•天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前

一天增加100千克．

（1）分别求出当x ≤40和x ≥40时y 与x 之间的关系式；

（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，•那么应从第几天开始进行人工灌溉？

分析：本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间．

解：（1）当x ≤40时，设y ＝kx ＋b ．

根据题意，得20001050

300030,1500.k b k k b b =+=⎧⎧⎨⎨

=+=⎩⎩

解这个方程组,得， ∴当x •≤40时，y 与x 之间的关系式是y ＝50x ＋1500，

∴当x ＝40时，y ＝50×40＋1500＝3500，

当x ≥40•时，根据题意得，y ＝100（x －40）＋3500，即y ＝100x －500． ∴当x ≥40时，y 与x 之间的关系式是y ＝100x －500．

（2）当y ≥4000时，y 与x 之间的关系式是y ＝100x －500， 解不等式100x －500≥4000，得x ≥45， ∴应从第45天开始进行人工灌溉． 例4. 若函数y ＝（m 2－1）x 235

m m +-为反比例函数，则m ＝________．

分析：在反比例函数y ＝k x

中，其解析式也可以写为y ＝k ·x －

1，故需满足两点，一是m 2－1≠0，二是3m 2＋m －5＝－1 解：m ＝

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- 点评：函数y ＝

k

x

为反比例函数，需满足k ≠0，且x 的指数是－1，两者缺一不可． 例5. 已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）是反比例函数y ＝•2

x

的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0

＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A. y 3＜y 2＜y 1 B. y 1＜y 2＜y 3 C. y 2＜y 1＜y 3

D. y 2＜y 3＜y 1

解析：反比例函数y ＝

2

x

的图象是双曲线、由k ＝2＞0•知双曲线两个分支分别位于第一、三象限内，且在每一个象限内，y 的值随着x 值的增大而减小的，点P 1，P 2，P 3•的横坐标均为负数，故点P 1，P 2均在

例题精讲