矩阵的秩求法
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注2定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把 矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非
零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常 用方法。
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4 2 1
例2
求矩阵
A
1 1 2
2 8 14
2 7 13
的秩。
解
1
r1 A
1 8 0
B,
易见R（B）=R（A）= 3 。
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再求A 的一个最高阶非零子式。
因R（A ）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶。
A 的 3 阶子式共有C43 C53 40(个). 要从 40 个子式中
找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察A 的行阶梯
形矩阵，记 A a1, a2 , a3 , a4 , a5 , 则矩阵 A1 a1, a2 , a4 的行阶梯形矩阵为
A 中找要方便得多。
A1 的前三行构成的子式
325 3 2 6 16 0, 205
因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。
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注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，
从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。
由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：
设矩阵A 中有一个 r 阶子式Dr 0, 而所有包含 Dr的
m×n 矩阵A 的 k 阶子式共有CmkCnk个。 定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果有的话）全等于0，那 么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R ( A ) = r 。规定零矩阵的秩等于 0 。
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由定义可知: (1) 矩阵A 的秩 R ( A ) 就是 A 中不等于 0 的 子式的最高阶数；
r + 1 阶子式（如果有的话）全为 0 ，则A 中所有r + 1
阶子式全为 0 ，从而R（A）= r 。
利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的 r + 1
阶子式数从C
r 1 m
Cnr
1个减少到这里的(m
r
)
(n
r
)
个。
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1 1 2 2 1
Ex1.
设A
0 1 2
2 1 0
1 0 3
5 4 1
311,
求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。
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§2. 矩阵的秩
★矩阵的秩的定义 ★矩阵的秩的计算
矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数是否唯一 ?其行数由什么决定?
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定义2 在 m×n 矩阵 A 中任取 k 行、k 列（k ≤ m , k ≤ n ），位于这些行列交叉处的 k2 个元 素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。
1 6 1
0 4
0 0
0 0
1 4 0
,
1 6 4 1 4
B
0 0 0
4 0 0
3 0 0
1 1
4 0
08
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因而R( A1 ) 3, 故A1 中必有 3 阶非零子式。A1的
3 阶子式有 4 个，在 A1 中找一个 3 阶非零子式比在
一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻 烦的。
对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 行数。
因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩 阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？
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定理1 若A～B，则 R（A）= R（B）。 证明:略 注1 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。
~
r2
4 1 2
2 2 8 14
2
1
7 13
r2 r3
r4
4r1 1
r1 ~
2r1
0 0 0
2 10 10 10
2
9
9 9
r3 r2 r4 r2
~
r4 2r1
2 4 0
5 3 0
.
B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所 有4 阶子式全为零，而 3 阶子式
2 1 3
0 3 2 24 0,
00 4
因此R（B）= 3 。
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从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在 于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。
12 9 16 12
7 8
1121
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1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0
12 16
9 12
7 8
1121
1 6 4 1 4
r3 r4
3r2 ~ 4r2
0 0 0
（2）A 的转置矩阵AT 的秩R (AT ) = R ( A )；
（3）对于任何m×n 矩阵A，都有唯一确定的秩， 且R（A）≤min(m, n)；
（4）若矩阵A 中有一个r1 阶子式不为零，则 R（A）≥ r1 ；若矩阵A 的所有r1 ＋1阶子式全等于零， 则R（A）≤ r1 。
(5) 对于 n 阶可逆矩阵A ，有
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5 3 0
.
解 在A 中，容易看出左上角一个2阶子式
12 0,
23
A 的 3 阶子式只有一个|A|，经计算可知|A| = 0，因此 R（A）=2。
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2 1 0 3 2
B
0 0 0
3 0 0
1 0 0
|A| ≠ 0 <=> R(A) = n <=> A 的标准形为 n 阶单位阵E
可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。
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例1 求矩阵A 和B 的秩，其中
1 A 2
4
2 3 7
3 5, 1
B
2 0 0 0
1 3 0 0
解 先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行
阶梯形矩阵：
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3
A
3 2 1
r1 r4 1
r2
r3 r4
r4 ~ 2r1
3r1
0 0 0
2 0 5 0
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413 ,
6 4 1 4 4 3 1 1
4 0 0
3 0 0
1 1
4 4
88
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1 6 4 1 4
0 4 3 1 1
0 0
0 0
0 0
4 4
88
1 6 4 1 4 Байду номын сангаас
r4
3r3 ~
0 0 0
4 0 0
3 0 0
1 4 0
1 0 0 0
2 10
0 0
2
9 0 0
B,
可见R（B）= 2 ， 所以R（A）= 2 。
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3 2 0 5 0
例3
设A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
1 3 4
,
求矩阵A的秩，并
求A 的一个最高阶非零子式。
零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常 用方法。
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例2
求矩阵
A
1 1 2
2 8 14
2 7 13
的秩。
解
1
r1 A
1 8 0
B,
易见R（B）=R（A）= 3 。
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再求A 的一个最高阶非零子式。
因R（A ）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶。
A 的 3 阶子式共有C43 C53 40(个). 要从 40 个子式中
找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察A 的行阶梯
形矩阵，记 A a1, a2 , a3 , a4 , a5 , 则矩阵 A1 a1, a2 , a4 的行阶梯形矩阵为
A 中找要方便得多。
A1 的前三行构成的子式
325 3 2 6 16 0, 205
因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。
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注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，
从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。
由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：
设矩阵A 中有一个 r 阶子式Dr 0, 而所有包含 Dr的
m×n 矩阵A 的 k 阶子式共有CmkCnk个。 定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果有的话）全等于0，那 么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R ( A ) = r 。规定零矩阵的秩等于 0 。
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由定义可知: (1) 矩阵A 的秩 R ( A ) 就是 A 中不等于 0 的 子式的最高阶数；
r + 1 阶子式（如果有的话）全为 0 ，则A 中所有r + 1
阶子式全为 0 ，从而R（A）= r 。
利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的 r + 1
阶子式数从C
r 1 m
Cnr
1个减少到这里的(m
r
)
(n
r
)
个。
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Ex1.
设A
0 1 2
2 1 0
1 0 3
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311,
求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。
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§2. 矩阵的秩
★矩阵的秩的定义 ★矩阵的秩的计算
矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数是否唯一 ?其行数由什么决定?
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定义2 在 m×n 矩阵 A 中任取 k 行、k 列（k ≤ m , k ≤ n ），位于这些行列交叉处的 k2 个元 素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。
1 6 1
0 4
0 0
0 0
1 4 0
,
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B
0 0 0
4 0 0
3 0 0
1 1
4 0
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因而R( A1 ) 3, 故A1 中必有 3 阶非零子式。A1的
3 阶子式有 4 个，在 A1 中找一个 3 阶非零子式比在
一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻 烦的。
对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 行数。
因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩 阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？
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定理1 若A～B，则 R（A）= R（B）。 证明:略 注1 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。
~
r2
4 1 2
2 2 8 14
2
1
7 13
r2 r3
r4
4r1 1
r1 ~
2r1
0 0 0
2 10 10 10
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9
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r3 r2 r4 r2
~
r4 2r1
2 4 0
5 3 0
.
B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所 有4 阶子式全为零，而 3 阶子式
2 1 3
0 3 2 24 0,
00 4
因此R（B）= 3 。
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从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在 于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。
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7 8
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r3 r4
3r2 ~ 4r2
0 0 0
（2）A 的转置矩阵AT 的秩R (AT ) = R ( A )；
（3）对于任何m×n 矩阵A，都有唯一确定的秩， 且R（A）≤min(m, n)；
（4）若矩阵A 中有一个r1 阶子式不为零，则 R（A）≥ r1 ；若矩阵A 的所有r1 ＋1阶子式全等于零， 则R（A）≤ r1 。
(5) 对于 n 阶可逆矩阵A ，有
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5 3 0
.
解 在A 中，容易看出左上角一个2阶子式
12 0,
23
A 的 3 阶子式只有一个|A|，经计算可知|A| = 0，因此 R（A）=2。
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B
0 0 0
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|A| ≠ 0 <=> R(A) = n <=> A 的标准形为 n 阶单位阵E
可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。
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例1 求矩阵A 和B 的秩，其中
1 A 2
4
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B
2 0 0 0
1 3 0 0
解 先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行
阶梯形矩阵：
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A
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r1 r4 1
r2
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2 0 5 0
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413 ,
6 4 1 4 4 3 1 1
4 0 0
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B,
可见R（B）= 2 ， 所以R（A）= 2 。
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例3
设A
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2 0 6
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1 3 4
,
求矩阵A的秩，并
求A 的一个最高阶非零子式。