矩阵的秩求法
矩阵求秩方法
矩阵求秩方法
求矩阵的秩是线性代数中常见的问题，以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述：
1. 奇异值分解法：通过对矩阵进行奇异值分解，将矩阵变换为一个对角矩阵，其中非零元素的个数即为矩阵的秩。
2. 初等变换法：利用矩阵的初等行（列）变换，将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
3. 极大线性无关组法：通过逐步选择矩阵中的列，构建一个极大线性无关组，其中向量的个数即为矩阵的秩。
4. 秩-零空间法：矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。
可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。
5. 行列式法：矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。
6. 直接检验法：将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
7. 特征值法：矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。
8. 与单位矩阵求秩法：通过将矩阵与单位矩阵进行连接，得到一个增广矩阵，进而将其化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
9. Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
10. 极大线性无关组与生成组比较法：利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩，其中生成组的个数等于矩阵的秩。
2.5 矩阵的秩及其求法
求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ， 解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
13
1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
19
若求A 若求 的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。 显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
24
例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
7
矩阵秩的求法 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法 定义 。 、子式判别法(定义 定义)。
矩阵的秩求法
4 3 9 12
1 1 7 8
4 1 11 12
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1 0 0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4 1 11 12
1 r3 3r2 0 ~ 0 r4 4r2 0
6 4 0 0
4 3 0 0
1 1 4 4
4 1 8 8
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1 0 0 0 1 r4 3r3 0 ~ 0 0
6 4 0 0 6 4 0 0
4 3 0 0 4 3 0 0
1 1 4 4 1 1 4 0
2 0 0 1 3 0 3 2 24 0, 4
因此R（B）= 3 。
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从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在 于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。 一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻 烦的。 对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 行数。 因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩 阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？
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矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿
5 3 6
0
8
5
4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：RA n A 0
RA n A ~ E
RA n A ~ En
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0
0 0
1 0 E 0 1
RA 3
A为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2,, Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
2 1 所构成的二阶子式为 D2 0 1
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 A aij mn ，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
求矩阵的秩的步骤
矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。
在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。
矩阵秩的性质；
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。
2.初等变换不改变矩阵的秩。
3.矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。
4.如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5.当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。
6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1
阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。
矩阵的秩
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高 等 代 数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为 矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高 等 代 数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高 等 代 数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为 所以
高 等 代 数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例 求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高 等 代 数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式 推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成 为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念 二、矩阵的秩求法
矩阵中秩的计算
矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。
在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。
矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。
矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。
计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。
在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。
我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。
高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。
其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。
2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。
3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。
通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。
但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。
另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。
矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。
矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。
这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。
通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。
矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。
当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。
矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。
一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。
奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。
通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。
矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。
求矩阵的秩的三种方法
求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。
矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。
在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。
本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。
方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。
对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。
我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。
2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。
矩阵的秩等于它的列空间的维度。
我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。
具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。
3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。
阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。
可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。
矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。
总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。
对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。
但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。
还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。
矩阵的秩及其求法求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
２. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。
解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩
定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩．
证明：设 A (aij )sn，A的行秩＝r，A的列秩＝r1， 下证 r r1． 先证 r1 r ．
设A的行向量组为 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 则向量组 1,2 , ,s ,的秩为r， 不妨设 1,2, ,r是它的一个极大无关组， 于是 1,2 , ,r 线性无关，
定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
1 k min(s,n) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵 A的一个k级子式．
注 s n 矩阵 A 的 k 级子式共有 CskCnk 个.
§3.4 矩阵的秩
定理6 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A中有一
a21
x1
a22
x2
a2n xn 0
()
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
()有非零解 系数矩阵A (aij )nn的行列式 A =0 R( A) n.
()只有零解 A 0 R( A) n.
§3.4 矩阵的秩
推论2
a11 a21
A1
a12
a22
a1n a2n
ar1 ar2
arn
的行秩 r （未知量的个数）.
§3.4 矩阵的秩
从而在矩阵 A1 的行向量组 (a11,a21, ,ar1, ),(a12 ,a22 , , ar 2 ), ,(a12 , a2n , , arn )
a22
由归纳假设，矩阵
3.2 矩阵的秩
非零元为对角元素的3阶行列式
2 0 0 1 3 0 3 2 = 4
24 0,
B =
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2 0 0 0
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3 2 2 5 . 3 0
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从例 1可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数
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二、初等行变换法求秩
1 3 1 2 例2．求矩阵 A= 2 1 2 3 的秩。 3 2 1 1 1 4 3 5 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 0 7 4 7 0 7 4 7 2 1 2 3 解：A= ， 0 7 4 7 0 0 0 0 3 2 1 1 0 7 4 7 0 0 0 0 1 4 3 5 所以R(A)=2。
2 2 6
1
3
1
1 1
4 5 1
～
+3
8
～
r3 r 2
1 0 0
2 4 0
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因为R(A)=2,
所以
5 = 0, = 5, 即 1 = 0, = 1.
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课堂练习 P58 29
30
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矩阵秩的本质
A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数.
3-4矩阵的秩
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1
求矩阵的秩的简便方法
求矩阵的秩的简便方法
以下是 6 条关于求矩阵的秩的简便方法：
1. 嘿，你知道吗，有一种方法就像在矩阵的世界里点亮一盏明灯，那就是通过观察行与行之间的关系呀！比如说，看这矩阵[1 2 3; 2 4 6; 3 6 9]，是不是一眼就能发现有些行之间存在倍数关系呀，这就能帮我们快速找到秩啦！
2. 哇塞，还有一种神奇的方法呢，那就是利用行列式呀！就好比在迷宫中找到关键的钥匙。
像矩阵[1 0 0; 0 2 0; 0 0 3]，它的行列式不为零，那它的秩不就是 3 嘛，是不是超简单！
3. 嘿呀，还有一个妙招，那就是化简矩阵呀！把它变得像剥洋葱一样清晰。
就像[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过化简后，一下子就能看出秩来啦，你不觉得很神奇吗？
4. 告诉你哦，通过子矩阵也能找到秩呢！就好像在一堆拼图里找到关键那几块。
例如矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，找几个特定的子矩阵研究一下，秩就乖乖现身啦！
5. 哇哦，还有一种超有趣的方法呢，就是看矩阵的线性无关行向量的数量呀！好比数星星一样。
比如矩阵[1 0; 0 1; 1 1]，很容易就能看出有两个线性无关行向量，那秩就是 2 呀，有意思吧！
6. 嘿，你尝试过通过初等变换来找矩阵的秩吗？这就如同在matrix 的海洋里畅游，把它变得简单易懂。
像是矩阵[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过初等变换后，秩就一目了然啦！
总之，求矩阵的秩有很多简便又有趣的方法，只要多去尝试和探索，就能轻松掌握啦！。
矩阵的秩公式
矩阵的秩公式
矩阵的秩公式是一种数学工具，用于确定矩阵的秩。
秩是描述矩阵中非零行的最大数量的参数。
对于一个m×n的矩阵，使用高斯消元法可以将矩阵化为行最简形式。
在行最简形式矩阵中，所有非零行都位于零行之上，并且每个非零行的首个非零元素都为1。
根据矩阵的行最简形式，我们可以确定矩阵的秩。
矩阵的秩等于行最简形式中的非零行数量。
这个数量即为矩阵的秩。
对于一个m×n的矩阵，其秩可以表示为r(A)，其中A为矩阵。
矩阵A的秩满足以下条件：
1. 如果m ≤ n，则r(A) ≤ m；
2. 如果m > n，则r(A) ≤ n；
3. 如果矩阵A的元素全为0，则r(A) = 0。
此外，我们可以使用矩阵的性质来进一步求解秩。
例如，可以使用行变换来简化矩阵，以便更轻松地计算秩。
矩阵的秩在线性代数和各个领域都有广泛应用，包括图论、线性方程组求解和最小二乘法等。
总结而言，矩阵的秩公式是一个用于确定矩阵秩的数学工具。
它可以通过高斯消元法和矩阵的行最简形式来计算。
秩在多个领域有广泛应用，是解决各种问题的重要参数。
线性代数第二章
例3
1 11 2 0 4 1 设 A 11 4 56 2 1 5
例4
1 1 2 参 数 ____ 时, 矩 阵 2 1 5 的 秩 最 小 1 10 6 1
例3
1 11 2 2 0 4 1 1 设 A , 求 rA 11 4 56 5 2 1 5 6
1 1 1 例4 令A 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 2 1 1 解：A 0 0 0 3 0 2 1 4 1 1 1 2 0 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0
说 明
(5)n阶矩阵A为满秩矩阵 A可逆 |A 0 | (6)n阶矩阵A为降秩矩阵 rA n |A 0 |
2.矩阵秩的求法 定理 矩阵经初等变换后秩不变 推论1 注： 推论2 若A ≌ B , 则 rA= rB 若rA= rB , A 与B不一定等价
若A 、B是同阶矩阵, 则A ≌ B当且仅当rA= rB
1 A 4 2 2 5 0 3 6 1 4 0 8 1 三阶子式： 4 2 2 5 0 4 0 8
说 明
例
定义
若在m×n矩阵A中 有一个r阶子式不为0, 而所有r +1阶子式全为0, 则称数r为A的秩. 记为rank(A)=r 或 rA = r
rA=m, 则称A为行满秩矩阵;
五. 矩 阵 的 秩
1. 概念
2.矩阵秩的求法
1. 概念
定义 设A=(aij)m×n , 任取k行k列,1≤k ≤min{m, n}, 位于 这些行列交点处的k2 个元素, 按其在A中原相对 位置构成的k阶行列式称为A的k阶行列式 (1) aij即为A的1阶子式 (2)n阶矩阵A, 其行列式|A|是A的唯一的n阶子式
1.5矩阵的秩与方阵的逆
r3 k
1 0 E5 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 k 0 0 0 0 1
的秩．
1.5.1矩阵的秩及其求法
1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 例4：设 A ，求矩阵 A 及矩阵 , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
B = (A, b) 的秩． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 B ( A, b ) ，则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从
中同时看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 2 4 8 0 解：B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 1 2 2 r 0 0 ~ 3 0 0 4 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 记作 E5(3, 5) 0 0 1 0 0 1 0 0
r3 r5
0 0 c 3 c5 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0
线性代数
1.5矩阵的秩与方阵的逆
1.5.1矩阵的秩及其求法
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这k 行 k 列交叉处的元素， 按照原来的位置构成的 一个k 阶行列式，称为矩 阵 A 的一个 k 阶子式．
k k C C 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 m n
矩阵的秩
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵 (奇异矩阵)
又称降秩矩阵.
例 4 求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 A 2 4 2 3 7 2 3 0 5 , B 0 1 0 1 3 0 0 0 1 0 0 3 2 4 0 2 5 . 3 0
C C
k m
k 个． n
定义 4 设在矩阵 Ａ 中有一个不等于 0 的 r
阶子式 D ， 且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）
那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子 全等于 0 ，
并规定零 式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
矩阵的秩等于 0 ．
由行列式的性质可知，在 A 中当所有 r + 1 阶 子式全等于 0 时，所有高于 r + 1 阶的子式也全等 于 0 ，因此 Ａ 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子 式的最高阶数．
三、 主要结论
定理 2 若 A ~ B, 则 R(A) = R(B).
推论 若可逆矩阵 P、Q 使 PAQ = B，则
R(A) = R(B).
四、矩阵秩的求法
根据这一定理, 为求矩阵的秩, 只要把矩阵 用初等行变换变成行阶梯矩阵, 行阶梯形矩阵 中非零行的行数即是该矩阵的秩.
下面用该方法求矩阵的秩.
第三节
主要内容
定义
矩 阵 的 秩
主要结论 矩阵秩的求法 矩阵秩的性质
二、 定义
定义 3 在 矩阵 A 中, 任取 k 行与 k 列
( k m, k n ), 位于这些行列交叉处的 k2 个元
素，不改变它们在 Ａ中所处的位置次序而得到的
k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
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零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常 用方法。
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4 2 1
例2
求矩阵
A
1 1 2
2 8 14
2 7 13
的秩。
解
1
r1 A
1 6 1
0 4
0 0
0 0
1 4 0
,
1 6 4 1 4
B
0 0 0
4 0 0
3 0 0
1 1
4 0
08
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因而R( A1 ) 3, 故A1 中必有 3 阶非零子式。A1的
3 阶子式有 4 个，在 A1 中找一个 3 阶非零子式比在
0 1 2
2 1 0
1 0 3
5 4 1
311,
求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。
上页
返回
r + 1 阶子式（如果有的话）全为 0 ，则A 中所有r + 1
阶子式全为 0 ，从而R（A）= r 。
利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的 r + 1
阶子式数从C
r 1 m
Cnr
1个减少到这里的(m
r
)
(n
r
)
个。
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1 1 2 2 1
Ex1.
设A
~
r2
4 1 2
2 2 8 14
2
1
7 13
r2 r3
r4
4r1 1
r1 ~
2r1
0 0 0
2 10 10 10
2
9
9 9
r3 r2 r4 r2
~
r4 2r1
|A| ≠ 0 <=> R(A) = n <=> A 的标准形为 n 阶单位阵E
可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。
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例1 求矩阵A 和B 的秩，其中
1 A 2
4
2 3 7
3 5, 1
B
2 0 0 0
1 3 0 0
4 0 0
3 0 0
1 1
4 4
88
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1 6 4 1 4
0 4 3 1 1
0 0
0 0
0 0
4 4
88
1 6 4 1 4
r4
3r3 ~
1 4 0
1 8 0
B,
易见R（B）=R（A）= 3 。
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再求A 的一个最高阶非零子式。
因R（A ）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶。
A 的 3 阶子式共有C43 C53 40(个). 要从 40 个子式中
找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察A 的行阶梯
形矩阵，记 A a1, a2 , a3 , a4 , a5 , 则矩阵 A1 a1, a2 , a4 的行阶梯形矩阵为
2 4 0
5 3 0
.
B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所 有4 阶子式全为零，而 3 阶子式
2 1 3
0 3 2 24 0,
00 4
因此R（B）= 3 。
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从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在 于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。
解 先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行
阶梯形矩阵：
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3
A
3 2 1
r1 r4 1
r2
r3 r4
r4 ~ 2r1
3r1
0 0 0
2 0 5 0
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413 ,
6 4 1 4 4 3 1 1
一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻 烦的。
对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 行数。
因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩 阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？
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定理1 若A～B，则 R（A）= R（B）。 证明:略 注1 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。
A 中找要方便得多。
A1 的前三行构成的子式
325 3 2 6 16 0, 205
因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。
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注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，
从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。
由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：
设矩阵A 中有一个 r 阶子式Dr 0, 而所有包含 Dr的
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5 3 0
.
解 在A 中，容易看出左上角一个2阶子式
12 0,
23
A 的 3 阶子式只有一个|A|，经计算可知|A| = 0，因此 R（A）=2。
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2 1 0 3 2
B
0 0 0
3 0 0
1 0 0
1 0 0 0
2 10
0 0
2
9 0 0
B,
可见R（B）= 2 ， 所以R（A）= 2 。
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3 2 0 5 0
例3
设A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
1 3 4
,
求矩阵A的秩，并
求A 的一个最高阶非零子式。
m×n 矩阵A 的 k 阶子式共有CmkCnk个。 定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果有的话）全等于0，那 么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R ( A ) = r 。规定零矩阵的秩等于 0 。
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由定义可知: (1) 矩阵A 的秩 R ( A ) 就是 A 中不等于 0 的 子式的最高阶数；
12 9 16 12
7 8
1121
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1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0
12 16
9 12
7 8
1121
1 6 4 1 4
r3 r4
3r2 ~ 4r2
0 0 0
（2）A 的转置矩阵AT 的秩R (AT ) = R ( A )；
（3）对于任何m×n 矩阵A，都有唯一确定的秩， 且R（A）≤min(m, n)；
（4）若矩阵A 中有一个r1 阶子式不为零，则 R（A）≥ r1 ；若矩阵A 的所有r1 ＋1阶子式全等于零， 则R（A）≤ r1 。
(5) 对于 n 阶可逆矩阵A ，有
§2. 矩阵的秩
★矩阵的秩的定义 ★矩阵的秩的计算
矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数是否唯一 ?其行数由什么决定?
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定义2 在 m×n 矩阵 A 中任取 k 行、k 列（k ≤ m , k ≤ n ），位于这些行列交叉处的 k2 个元 素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。