第二节 微积分基本公式5-2
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5-2牛顿-莱布尼兹莱公式
例1. 求
1 ( sin x ) 解: x 0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
原式 lim e
cos2 x
0 0
解: 原式 =
b 0.
c ≠0 , 故 a 1. 又由
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
d ( x) f (t ) d t f [ ( x)] ( x), dx a ( x) d ( x) d a f (t ) d t f (t ) d t f (t ) d t a dx ( x) dx ( x)
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
0 f (t ) d t
x
2
0
(0 x )
三、牛顿—莱布尼兹（微积分基本公式）公式：
定理2：
b a
函数 , 则
f ( x )d x F (b) F (a ) .
微积分基本公式。 此公式称为： 牛顿 —莱布尼茨公式。
力
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间上的定积分等于它的 任意一个原函数在区间上的增量.
dF ( x) f ( x)dx
称 F ( x) 为 f ( x) 在
I 的一个原函数.
原函数存在的条件？
原函数如果存在，是否唯一？如不唯一，
则原函数之间的关系是什么？
猜想
若
是
的一个原函数，是否有
验证
b a
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x )d x
1
31-微积分的基本公式
2 0
sin
问题的关键是如何求一个 函数的原函数.
sin 0 1.
1 1 (sin 2 sin 0) . 2 4 2
计算
0
0
1 cos 2 x d x .
0
1 cos 2 x d x
0
2 cos2 x d x
2 0
2 | cos x | d x 2 cos x d x 2
故 lim F ( x x) F ( x) f ( )x lim f ( ) f ( x) lim x0 x 0 x 0 x x
x
x
条件
若 f ( x) C ([a, b]), 则 F ( x) f (t ) d t 在 [a, b] a d x 上可导, 且 F ( x) a f (t ) d t f ( x) (a x b) . dx 定理 3 若 f ( x) R([a, b]), 且在点 x0 [a, b] 处连续, 则 F ( x) f (t ) d t 在点 x0 处可导, 且 F ( x0 ) f ( x0 ) .
若 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数 , 则它的所 有原函数可表示为 F ( x) C 的形式. (其中, C 为任意常数 . )
定积分的计算归结为求相应的原函数的计算.
定理
若 f ( x) C ([a, b]), 则 F ( x) f (t ) d t , x [a, b]
a b a a
x
x
x [ a, b] .
x f (t ) d t b
x
b
a
微积分基本公式
解： 利用定积分的定义求极 限
1 1 1 1 原式＝lim ( ＋ 2＋ ＋ 2 ) n 1 2 n n 1 ＋ 2 1 ＋ 2 1 ＋ 2 n n n
1 1 1 ＝lim ＝ dx 2 n i 0 2 n 1 ＋x i 1 1 ＋（ ） n 1 ＝arctan x 0＝ # 4
sin x cos x dx cos x sin x 1 1 0
[错因] (sin x cos x) 2 sin x cos x
π 2 0
而当 0 x
2
时, sin x cos x 并非保持同号.
返回
( x ) f ( x ).
得证
#
定理 2 (原函数存在定理）若f ( x )在a,b 上连续，
则 Φ x ax f (t )dt
注意:
是f ( x )的原函数 .
d () 1 公式运用 f (t )dt f ( ) ； d( ) a
o
2 积分下限函数的导数：
4 0
4 0
cos x sin x ,0 x 4 sin x cos x sin x cos x , x 4 2
2 4
1
sin x cos x 1
x
( cos x sin x )
2 4
2( 2 1)
1 1 1 例 求极限 lim 2 dx . 2 2 x 1 x 1 x 1 x
"
0 型" 0
解：
d 1 1 2x 2 dx 2 dx x 1 x 1 x4
利用洛必达法则 2x 0 4 1 1 0 1 x lim 原式 lim 4 x 1 1 x x 1 2 2x
第二节 微积分基本公式
x x0
x
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说明:
1)定理 2: 连续函数 f (x) 一定有原函数, 函数
( x)
x
f (t)dt
就是f(x)的一个原函数.
a
2) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
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3) 其他变限积分求导
d ( x) f (t )d t f [ ( x)]( x)
设f ( x)
2 sin
x
1
1
t
2
dt
,
求f
(
x
).
解
f ( x)
sin 2
x
1
1
t
2dt
f ( x)
1 1 sin2 x
(sinx)
cos x 1 sin2 x
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例3
设f ( x)
x
2
e
t
dt
,
求f
(
x
).
x3
解
f (x) 0 etdt x2 etdt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
所以 lim x0
1 e t 2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
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例5 确定常数 a , b , c 的值, 使
解 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
第五章
第二节 微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 四、小结
微积分基本公式
sin x ⋅ e = lim x →0 2x
− cos 2 x
1 = . 2e
例2
设 f ( x ) 在( −∞ ,+∞ ) 内连续，且 f ( x ) > 0 .
x
∫0 tf ( t )dt 在(0,+∞ )内为单调增 证明函数 F ( x ) = x ∫0 f ( t )dt
加函数.
证
F ′( x ) =
1
2
y
=
1 2 ∫0 2 xdx + ∫1 5dx
o
1 2
2 = [ x 2 ]1 + [5 x ]1 = 6 0
x
max{ x , x 2 }dx . 例6 求∫− 2
2
y
解
由图形可知
2
y = x2
f ( x ) = max{ x , x }
y= x
−2
⎧x2, − 2 ≤ x ≤ 0 ⎪ ⎪ = ⎨x , 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ 2 ⎪x , 1 ≤ x ≤ 2 ⎩
即
b
∫
b
a
f ( x )dx = [F ( x )]
b a
牛顿-莱布尼茨公式
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 它在该区间上的任意一个原函数在区间[a , b]上 的增量.
这样,求定积分的问题就转化为求原函数的 问题. 注意 当a > b 时， ∫ f ( x )dx = F (b ) − F (a ) 仍成立. a
第二节
微积分基本公式
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度 v = v (t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) ≥ 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
微积分的基本公式1
只要证
F(x)0
x
x
证:
F(x)
xf
(x)0 f(t)dtf(x)0tf(t)dt 0xf (t)dt 2
x
f(x)0(xt)
x
0
f
(t)dt
f(t)dt
2
f (x) (x)f()x0
x
0
f
(t)dt 2
(0x)
F(x)在 （ 0， )内为单调.增函数
于 0 | F ( 是 x ) | |x x f ( t ) d t | x x |f ( t ) |d t M x
x
x
由夹逼 x的 定 任 ,即 理 意 F 可 及 (x)性 C 得 (点 a [,b ].)
由 F (x x ) F (x )x xf( t)d t, x
如果 f(x)C(a [,b])则 , 由积分,中 得值定
x x
F ( x x ) F ( x ) f( t) d t f() x , x (在 x与 xx之) 间
故 liF m (x x ) F (x ) lifm () x
x 0 x
例1. 求 lim
1 et2 dt
cosx
0
x 0
x2
0
解: 原式 limeco2sx(sinx) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
xl i0mxlanx1(st2i)nxdtc(c0). b
0 0
解: x 0 时 a x s, x i n 0 ,c0, b0.
取xb, 则得b 到 f( t) d t b f( x ) d x F ( b ) F ( a ).
高等数学@5-2牛顿莱布尼兹公式
x x
x
x x
( x x) ( x) a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt
积分中值公式
f ( ) x ,
( x x x 或 x x x)
பைடு நூலகம்
( x)
lim
f ( ) x
运行路程 s(t)
t
v(t )d t
0
t
0 (v0
at)dt
v0t
1 2
a
t
2
t 0
v0
t
1 2
a
t
2
.
7
例4.
已知
f
(x)
x 1
1 2
x2
x 1 x 1
求
2
0
f
(
x
)
d
x
.
解.
2
1
2
0 f ( x) dx 0 f ( x)dx 1 f ( x)dx
第二节 微积分基本公式
b
a
f
(
x)
dx
b
a
f
(t
)
dt
,
其结果是一个数.
x
a
f
(t)dt
x
a
f
( x)dx
是积分上限x 的函数 ,
(x)
a
xb
x
( x) a f ( x)dx
或
(
x)
x
a
f
(t)dt
.
称为积分上限函数或变上限定积分.
课件：微积分基本公式
二、积分上限函数及其导数
设f ( x)在[a,b]上连续, x [a,b],
记 ( x) ax f (t)dt ----积分上限函数
◆积分上限函数的重要性质：
定理1 若f ( x)在[a,b]上连续,则积分上限函数
( x) ax f (t )dt在[a,b]上可导,且x (a,b)有 :
( x)
其中: I可以为任意形式的区间.
d
x
x
f (t)dt [ f (t)dt] f (x)
dx a
a
例1 已知f ( x) 0x t 2 sin tdt,求f ( x). 解 f ( x) [0x t 2 sin tdt ] x2 sin x.
例2
已知f
(
x)
x2
0
t2
sintdt,求f
证 x (a,b),
y
( x x) axx f (t )dt
( x x) ( x)
axx f (t )dt ax f (t )dt
( x) (x)
o a x x x b x
x
f (t)dt
x x
f (t)dt
x
f (t)dt
x x
f (t)dt,
a
x
a
x
由积分中值定理得:
sin x
arctan x
xf
(t )dt ,
求g( x).
思考题解答
1. 已知f ( x)在[a,b]上连续,问ax f (t )dt与xb f (u)du 是 谁 的 函 数? 它 们 在[a , b]上 可 导 吗? 如可导, 求其导数.
解: 都是x的函数; 可导;
d dx
ax
§5、2 微积分基本公式
0
x
= ∫ f (t )dt ．
0
x
定理 1 指出了一个重要结论：连续函数 f ( x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还 原为 f ( x) 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知 Φ ( x) 就是连续函数 f ( x) 的一 个原函数．因此，可得不定积分概念那一节未证的原函数的存在定理．
s(T1) T1
∫T1 v ( t ) d t = s = s ( T 2 ) − s ( T1 ) 6 447 4 4 8
s(T2) T2
T2
s t
隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程 s 可以用速度函数 v(t ) 在 [T1 , T2 ] 上的定积分来表达：
s = ∫ v(t )dt ；
T1
f ( x) 在部分区间 [a, x] 上的定积分
∫
x a
f ( x)dx
y
在几何上表示如图所示曲边梯形的面积 Ax ． 这里， 记号 x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积 分变量的记法无关，所以，为了明确起见，我们把积分变 量改用其他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写 成
a ∆
x
一的值与之对应．因此，
Φ ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b)
a
x
为上限 x 的函数． 为了几何直观表述积分上限的函数，上面我们对被积函数 f ( x) 作了非负、连续的假 设．实际上，此条件减弱为可积即可．一般地，我们有如下定义．
定义 设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
注： （1）设 f ( x) 连续， g ( x) 、 h( x) 均可导， a 为常数，则 ① ②
d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) ； dx ∫ a d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) − f [h( x)] ⋅ h′( x) ． dx ∫ h ( x )
x
= ∫ f (t )dt ．
0
x
定理 1 指出了一个重要结论：连续函数 f ( x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还 原为 f ( x) 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知 Φ ( x) 就是连续函数 f ( x) 的一 个原函数．因此，可得不定积分概念那一节未证的原函数的存在定理．
s(T1) T1
∫T1 v ( t ) d t = s = s ( T 2 ) − s ( T1 ) 6 447 4 4 8
s(T2) T2
T2
s t
隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程 s 可以用速度函数 v(t ) 在 [T1 , T2 ] 上的定积分来表达：
s = ∫ v(t )dt ；
T1
f ( x) 在部分区间 [a, x] 上的定积分
∫
x a
f ( x)dx
y
在几何上表示如图所示曲边梯形的面积 Ax ． 这里， 记号 x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积 分变量的记法无关，所以，为了明确起见，我们把积分变 量改用其他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写 成
a ∆
x
一的值与之对应．因此，
Φ ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b)
a
x
为上限 x 的函数． 为了几何直观表述积分上限的函数，上面我们对被积函数 f ( x) 作了非负、连续的假 设．实际上，此条件减弱为可积即可．一般地，我们有如下定义．
定义 设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
注： （1）设 f ( x) 连续， g ( x) 、 h( x) 均可导， a 为常数，则 ① ②
d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) ； dx ∫ a d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) − f [h( x)] ⋅ h′( x) ． dx ∫ h ( x )
高等数学5-2
∫a
x
f ( x )dx = ∫a f ( t )dt
x
上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动，则对于 定积分有一个对应值， 每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b ]上定义了一个函数， 上定义了一个函数，
记 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt .
定理的重要意义： 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的 ）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 ） 间的联系. 间的联系
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 13
x
莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 三、牛顿—莱布尼茨 牛顿 莱布尼茨 公式
变速直线运动中路程为
∫T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) − s(T1 )
∴ ∫ v ( t )dt = s(T2 ) − s(T1 ). 其中 s′( t ) = v ( t ). T
1
T2
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
上一页
下一页
2
二、积分上限函数及其导数
上连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续 ， 并且设 x 上的一点， 为[a , b]上的一点， 考察定积分
∴ Φ′( x ) = f ( x ).
上一页 下一页 5
∆ x → 0, ξ → x
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
说明: 说明 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的 同时为 证明了连续函数的原函数是存在的. 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 变限积分求导 变限积分求导:
微积分基本公式 上限函数及其导数
数( x)
x
a
f
(t )dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
y
证
x x
( x x) a
f (t)dt
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
变速直线运动中路程为 T2 v(t )dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1 ).
其中 s(t) v(t).
二、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x) 在区间[a, b]上连续，并且设x
为[a, b]上的一点， 考察定积分
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t)dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f(
2
t
)dt
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) 0 f (t)dt 0,
x
( x t) f (t) 0, 0 ( x t) f (t)dt 0,
F( x) 0 ( x 0).
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
(5.2) 第二节 微积分基本公式(少学时简约版)
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用
例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x21xftdtx,求 : f2. 0
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的
表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。
lim x 1. x x0
有了变上限函数的概念及对原函数结构的认识，便 可方便地证明最初的猜测，即定积分这样复杂的和式极 限可归结为它的一个原函数在积分区间上增量的计算。
定理 3 牛顿－莱布尼兹公式 如果函数 F( x )是连续函数 f( x )在区间[ a ,b ]上的
一个原函数，则有
bfxdxFbFa. a
a
a
即有 S ta tv td t S a l i m 0 i n 1 v iti S a .
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F xa xfxdxli m 0 i n 1fi xi.
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数
形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有
x l x i m 0 x x l x i m 0 f l i m x f f x .
即证得当 x ( a,b )时有
xd d xa xftdtfx.
定理 2 连续函数的原函数的存在性
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则
x
x
f tdt
a
构造变上限辅助函数进行证明
构造辅助函数 xa xftdt,x a,b.
由于函数 f( x )在区间[a ,b]上连续，故其在区间
微积分基本定理
1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，
最新5—2微积分基本公式
即 Φ '(x)d d xa xf(t)d tf(x).
结论：变上限积分所确定的函数
x a
f
(对t )d积t 分上限
x的导数等于被积函数f (t)在积分上限 x 处的值f (x).
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定理2 如果函数 f (x)在区间[a , b]上连续，则函数
x
Φ(x)= a f ( t )d t .
，其中
f
(x)
x12x12
当 当
x ≤1 x ＞1
解 2f(x)d x1(x1)d x21x2dx
0
0
12
0 1 d 0 x 1 x d 1 2 x 1 2 x 2 d 1 x 1 2 x 21 0 1 2 1 3 x 31 2
111(8 1 ) 1371 68
26
66 6 3
所以 1 31 1 x2d xarc x 1 t3 aanrc3 t an rc 1 t)an(
437 .
3 4 1212 12
前页 后页 结束
例3 求
d dx
x1ln1(t2)dt.
解 d d x x 1ln(1t2)dt ln(1x2).
x
例4 求
arctantdt
lim 0
x0
前页 后页 结束
作业
习题5—2
P274 1 (1) P275 4 (1) (3) (5) (7) (9) (10)
5 (1) (3) .
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该公式把计算定积分归结为求原函数的问题.
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例1 求
5-2第二节 微积分基本公式
证明: 根据定理1我们得到
F ( x) f (t )dt C, x a C F (a) f (t )dt F ( x) F (a)
a a x x
x b f (t )dt F (b) F (a) F ( x) |b a
a
b
此定理表明:在某区间[a,b]上,连续函数f(x)的定积分等于它的 任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求
量x求导数,就等于被积函数在上限变量x处的值.(2)
是错误的.这里的上限为x2.因此必须利用复合函数求 导公式 x 2 x sin x x 2 x sin x x 2 sin x 2 2 ( dx)x ( dx)x 2 ( x ) 2x 2 2 2 2 0 1 cos x 0 1 cos x 1 cos ( x )
x
a
f (t )dt
高 等 数 学 电 子 教 案
这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上 限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由 原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一
个原函数.因此,这里引出定理2
定理2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
dx 0 1 x 2
1
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一 来,原式
高 等 数 学 电 子 教 案
1 lim xi 2 0 i 1 1 i
n
dx 1 0 1 x 2 arctgx 0 4 .
1
例8 计算 1.∫cosxdx. 2.∫0π/2 cosxdx.
5.2 微积分基本公式
例5 求
∫1 e−t2 dt
lim cos x
.
x→0
x2
作业 习题二十九: 二（1, 4），四，六
数
两者有何 关系呢？
如何研究？？
x
∫a f ( x)dx
x
∫a f (t)dt
积分上限函数
一、积分上限函数及其导数
设 f (x) 在区间 [ a , b ] 上连续，x 为区间 [ a , b ]
内的问任题意：一积点分，上则限f函(x数) 在Φ([xa)是, x否]可上导也？连若续能，，其
∫ ∫ 考察导积数分等于什么？x f ( x)d x =
2
32
2
= 2+π3 −π .
∫ 24 2 π 2 (2cos x + x2 − 1)dx 0
= [2sin x +
x3 3
−
π
x]02
= 2+π3 −π .
24 2
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
解：先去被积函数中的绝对值
|2−
x
|=
2− x−
F(b) − F(a)
二、牛顿 － 莱布尼兹公式
定理3 设函数 f (x) 在 区间 [ a , b ] 上连续， F(x) 是 f (x) 在 [ a , b ] 上的一个原函数，则
b
∫a
f (x)d x
= F(b) − F(a)
记为
=
[F
(
x
)]
b a
（1）
公式（1）称为牛顿—莱布尼茨公式(微积分基本公式)
微积分5-2
1 1 a x a 2 x 2 dx 2a ln a x C
微
积
分
说明：
从以上例子可以看出，使用第一换元积分法的关键是
' g ( x ) dx 凑成 f ( ( x )) ( x)dx的形式 设法把被积表达式 以便选取变换 u ( x),化成易于积分的 f (u )du.最后
微
积
分
解法 2 解法2
(sec x tan x)
sec x tan x d (sec x tan x) sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x sec x tan x
1 1 sin x ln C 2 1 sin x
同样可证 或
1 1 C 2 1 x 2(1 x )
1 1 C. 2 1 x 2(1 x )
微
积
分
例： cos 3x cos 2 xdx.
积化和差公式： (1) (2) (3) (3) 1 sin sin =- [cos( ) cos( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2
微
积
分
1 dx . 例6 求 2 2 a x
解
1 1 1 1 d x dx a2 x2 2a a x a x 1 1 1 d a x d a x a x 2a a x 1 1 a x ln a x ln a x c ln C. 2a 2a a x
微积分基本公式
此性质可推广到有限多个函数之和的情况．
( x 3)2 例2 求 （1） x xdx （2） x dx. 3 2 5 解 （1） x xdx x 2 dx x 2 C 5
( x 3) 2 6 9 （2） x dx (1 x x ) dx
x 12 x 9 ln x C .
1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x
dx x ln x C; dx 1 ln x C , x 说明： 0, (l n x ) x x
0 x
d x d x sin( x t )dt sin udu sin x. dx 0 dx 0
d ( x) 思考： a f ( t ) d t ? dx
证：
( x)
a
f ( t ) d t可以看作一个以 ( x )为内层函数的复合
u
复合结构为 ( u) f ( t )dt, u ( x ). 函数，即 a
定义2：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分，记为 f ( x )dx .
积 被 分 积 号 函 数
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式 积 分 变 量
任 意 常 数
x 5dx . 例1 (1)求
不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
o
x0
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定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f
(t )dt 也是
f
( x) 的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
第五章第二节
14
令 x a F(a) (a) C,
a
(a) a f (t)dt 0
F(a) C,
x
F ( x) a f (t)dt C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
x
ห้องสมุดไป่ตู้a
f
(t )dt .
积分上限函数
第五章第二节
3
积分上限函数的性质：
定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt 在[a,b] 上具有导数，且它的导
数是(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
(a x b)
y
证
xx
( x x) a
由积分中值定理得
( x)
oa
f ( )x [x, x x],
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
第五章第二节
5
补充：
如果 f (t )连续，a( x)、b( x) 可导，
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
第五章第二节
12
例题
x et2 dt 2
0
lim x0 x te2t2 dt 0
例题：求a的值，使 lim 1 x2
x x0 4 0
t dt 1 at
第五章第二节
13
三、牛顿—莱布尼茨公式
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
第五章第二节
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t )dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
证 F ( x) 0 b( x) f (t)dt a(x) 0
18
例题 设y=yx由方程 y et2 dt x2 sin tdt 1
0
0t
确定，求y
例题 已知函数f x在a,b上连续，且f x 0
则在 a, b 上至少存在一点，使得：
a
f
xdx
b
f
xdx
1 2
b
a
f
xdx
第五章第二节
第二节 微积分基本公式
教学内容 1 积分上限的函数及其导数； 2 牛顿-莱布尼茨公式
教学重点 牛顿-莱布尼茨公式
本节考研要求 理解变上限定积分定义的函数，会求它
的导数，掌握牛顿-莱布尼兹公式。
第五章第二节
1
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
第五章第二节
o 12x
17
例题
求 1 0
x
2x
1
dx
sin x
例题
已知f
x
x
2
0 x 1 1 x 2
x2
求F
x
x
0
f
t dt.
第五章第二节
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x ecos2 x
lim
x0
2x
1. 2e
第五章第二节
9
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数F
(
x)
0
x
tf
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t )dt
加函数.
19
四、小结
1.积分上限函数
( x)
x
a
f
(t )dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
第五章第二节
20
牛顿—莱布尼茨公式
第五章第二节
15
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
第五章第二节
10
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f (t)dt
( x x) ( x)
x x
x
a
f (t)dt f (t)dt a
o
第五章第二节
( x)
a x x x b x
4
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
2
二、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a, b]上的一点，考察定积分
x
a f ( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)
F
(a
) 仍成立.
第五章第二节
16
例4
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例5
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解
2
1
2
y
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1 f ( x)dx
0
dx
第五章第二节
8
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
第五章第二节
7
设
x
y
t2
1 u ln udu ,t 1,求 d 2 y
1 u2 ln udu
dx2
t2
例题：设F x = x2 x sin t2dt,求 dF
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1] 上只有一个解.