压杆稳定应力状态与强度理论习题解答

第10章 压杆稳定
主要知识点：（1）压杆稳定的概念；
（2）压杆的临界载荷； （3）压杆的稳定计算。

1. 怎样判别结构钢制成的压杆是属于细长杆、中长杆还是短杆？它们的正常工作条件是怎样的？
答：对于结构钢，当压杆柔度≥λ100；对于铸铁，当压杆柔度≥λ80时，压杆称为大柔度杆或细长杆。

正常工作条件是杆件压力小于用欧拉公式计算出来的临界力，不产生失稳现象。

对于结构钢，当10060<λ≤时，压杆称为中柔度杆或中长杆。

正常工作条件是杆件压力小于用经验公式计算出来的临界力，不产生失稳现象。

对于结构钢，当λ<60时，压杆称为小柔度杆或短杆。

短杆没有失稳现象，正常工作要求是满足压缩强度条件。

2. 用结构钢制成如图所示构架，规定稳定安全系数n st =2，试根据AB 杆的稳定条件求CD 杆D 处工作载荷F 的许可值。

解：（1）计算AB 杆的柔度λ
惯性半径m d d d A I
i 01.044
6412141====
ππ
长度系数μ=1μ=2。

于是柔度λ为：
808
.01=⨯=
=
l
μλ （2）计算临界力F cr
因为60<λ<100,所以属于中长杆，应用公式（11-3）计算临界应力cr σ：
a a cr MP MP
b a 214)8012.1304(=⨯-=-=λσ
临界力 kN N d F cr
cr 2694
04.014.3102144
26
21=⨯⨯⨯==πσ （3）规定稳定安全系数n st =2，所以AB 杆的所受的压力允许值为
kN F F st
cr
AB 135==
（4）AB 杆对CD 杆反作用力kN F F AB AB
135=='，04.41800
600
arccos ==θ。

画CD 杆受力图（见图11-6），由0)(1=∑=n
i i C F M 得：
0900600sin =⨯-⨯'F F AB
θ 计算得到CD 杆D 处工作载荷F 的许可值为
kN F F AB
5.59900
600sin =⨯'=
θ
图11-3
第11章 应力状态与强度理论
主要知识点：（1）轴向拉压杆斜截面上的应力；
（2）应力状态分析； （3）强度理论。

轴向拉压杆斜截面上的应力
1. 求图示斜截面上的应力（图中应力单位均为MP a ）。

解：按照正负号规定，x σ=+25MP a ，x τ=0，y σ=45MP a ,
α=600。

由公式（11-10）得到
a
x y
x y x MP 40120sin 0120cos 24525245252sin 2cos 2200=⨯-⨯-++=--+
+=
α
τασσσσσα
由公式（11-11）得到
a
x y
x MP 66.8120cos 0120sin 2
45252cos 2sin 00-=⨯+⨯-=+-=
ατασστα ατ负号表示与图11-13a 所示方向相反。

应力状态分析
2. 图示单元体分别属于什么应力状态（图中应力单位均为MP a ）？
解：x σ=20MP a ，x τ=-20MP a ,y σ=20MP a 。

单元体最大主应力和最小主应力：
a
x y x y x MP ））（2020(202202022020222
2
22
min max ±=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-±+=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±+=τσσσσσσ
即a MP 40max 1==σσ，032==σσ。

只有一个主应力不等于零，单元体属于单向应力状态。

3. 已知应力状态如图所示，图中应力单位均为MP a 。

试求： 主应力大小，主平面位置；
在单元体上画出主平面位置及主应力方向； 最大切应力。

解：x σ=-40MP a ，x τ=-40MP a ，y σ=-20MP a 。

单元体最大主应力和最小主应力：
a
a x y x y x MP MP )2.4130(}402)20(4022040{222
2
2
2
min
max ±-=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---±--=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±+=）（τσσσσσσ 单元体最大主应力1σ=max σ=11.2 MP a ， 最小主应力3σ=min σ=-71.2MP a 。

主平面法线与x 轴夹角：
000.38])
20(40402arctan[21)2arctan(2
1-=----⨯-=--
=）
（y x x σστα
在单元体上画出主平面位置及主应力方向如图11-3所示。

最大切应力
a a x y x MP MP 2.41}402)20(402
2
2
22
max =-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=）（τσστ
强度理论
4. 平面应力状态如图所示，设各应力有三种情况： （1）a x a y a x MP MP MP 40,80,60-=τ-=σ=σ （2）0,50,40=τ=σ-=σx a y a x MP MP （3）a x y x MP 45,0,0===τσσ
试按第三强度理论和第四强度理论求相当应力3r σ、4r σ。

解：(1) 单元体最大主应力和最小主应力：
a
a x y x y x MP MP ）6.8010(})40(2)80(6028060{222
2
2
2
min
max ±-=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--±-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±+=τσσσσσσ 单元体最大主应力1σ=max σ=70.6 MP a ，最小主应力3σ=min σ=-90.6MP a ，2σ=0。

按第三强度理论求相当应力
a r MP 161313=-=σσσ
按第四强度理论求相当应力
a
a r MP MP 140)6.90(6.7000)6.90(06.702221
332212
322214=-⨯----++=---++=σσσσσσσσσσ
(2) 单元体最大主应力和最小主应力：
a
a x y x y x MP MP ）455(}025********{2222
2
2
min
max ±=+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--±+-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±+=τσσσσσσ
单元体最大主应力1σ=max σ=50 MP a ，最小主应力3σ=min σ=-40MP a ，2σ=0。

按第三强度理论求相当应力
a r MP 90313=-=σσσ
按第四强度理论求相当应力
a
a r MP MP 1.78)40(5000)40(0502221
332212
322214=-⨯----++=---++=σσσσσσσσσσ
(3) 单元体最大主应力和最小主应力：
a
a x y x y
x MP MP 45}45200200{2222
22
min
max ±=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-±+=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±+=τσσσσσσ
单元体最大主应力1σ=max σ=45 MP a ，最小主应力3σ=min σ=-45MP a ，2σ=0。

按第三强度理论求相当应力
a r MP 90313=-=σσσ
按第四强度理论求相当应力
a
a r MP MP 9.77)45(4500)45(0452221
332212
322214=-⨯----++=---++=σσσσσσσσσσ
5. 单元体的主应力分别为：a a a MP MP MP 20,40,75321-=σ=σ=σ。

若材料的许用应力[]a MP 120=σ，试用第三强度理论和第四强度理论校核各点的强度。

解：第三强度理论的强度条件为[]σ≤σ-σ31，
第四强度理论的强度条件为
()()()[]
[]σ≤σ-σ+σ-σ+σ-σ2132322212
1
[]σσσσ≤=-=a r MP 95313，按照第三强度理论校核，满足强度条件； ()()()[]
[]σσσσσσσσ≤=--+++-=-+-+-=a a r MP MP 2.83])7520()2040()4075[(2
1212222
132322214 按照第四强度理论校核，满足强度条件。