2011年西安交通大学数学建模校内赛一等奖论文
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本题要求我们针对现实生活中学生上自习时趴在桌上睡觉和端坐着看书这 两个情景，分析各自人体的不舒适度与桌椅相关参数之间的关系，进而设计出一种 最适合端坐着看书的同时尽可能不适合趴着睡觉的桌椅。 在任务一中，通过对抽象的脊椎模型受力分析，得到了三个力 Ft 、 Fv 和 Fh （ Ft 、 Fv 和 Fh 分别是脊椎中受的 总弹力，脊椎中总的剪力和手部肌肉总的作用力） 的表达式，它们都是桌面和椅面落差 h 、以及椅背和桌子距离 l 的函数。在得到 Ft 、
联立这几个方程，我们得到第 q 个椎间盘的剪力表达式为：
Fvq [(n q 1)m M ]cos[2 arctan(
1 q 1
li )]g 2a
其中， li 为第 i 个椎间盘的伸长量，于是，总的剪力表达式为：
Fv Fvq {[(n q 1)m M ]cos[2 arct百度文库n(
Fv 和 Fh 的表达式后，我们将不舒适定义为 Ft 、 Fv 和 Fh 的函数，并对其进行归一化，
得到不舒适系数，然后定性讨论了不舒适系数在 h、l 变化时的变化情况，对其性 质有了一个总体的把握。 在任务二中，我们将睡觉时脊椎弯曲现成的曲线拟合成椭圆曲线的一部分，进 而利用解析几何的结论求得脊椎的伸长量，再得到三个力的大小，从而得到睡觉时 不舒适系数和 h、l 之间的函数关系，然后借用数学软件 mathmatica 进行优化求解。 在任务三中，我们将端坐时的脊椎外形拟合成直线和抛物线组成的复合曲线， 再利用解析几何的方法求得脊椎的伸长量，进而求得 Ft 、 Fv 和 Fh 的大小，再求出 端坐时的不舒适系数与 h、l 之间的函数关系，然后借用数学软件 mathmatica 进行 优化求解。 在任务四中，我们先不证明的给出一个数学结论，然后根据该结论将求解桌椅 的折中设计过程转为一个求解有约束条件的优化过程，进而利用数学软件
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写） ： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 西安交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 谭小琦 2. 郭嘉嘉 3. 钟理鹏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011 年 3 月 28 日
l j 2a tan j
则椎间盘弹力可以表示成：
4 l j a 2 3 如果我们设整个脊椎的伸长量为 l ， 那么有： li l Fj
因为脊椎弯曲而受到弹力的椎间盘个数为 n ，且有： L' n d D
' ' 其中 L 为弯曲部分的脊椎长度，在后文中我们可以看到，睡觉时， L L0 ，故 n 23 ；端坐时， L' 为一个受 l、h 约束的函数。所以脊椎受到的总的弹性合力为：
2 臂的力是 f 2 ，肌肉产生的力的大小是 Fh ，有关参数标注见图 3。
的范围是0， ， 的范围是 0， ，设肩膀给手臂的力的大小是 f1 ，桌面给手
7
图 3：手的肌肉作用力分析示意图 在竖直方向上力的平衡方程为 f1 cos f 2 sin (m1 m2 ) g 在水平方向的受力平衡方程为 f1 sin f 2 cos Fh 在粗略计算的情况下可以认为
i arctan(
所受的总重力大小为：
li ) 2a
Gz [(n q 1)m0 M ]g
6
Gz 沿前一锥骨面的分量即为这一椎骨面所受的剪力，于是第 q 个椎间盘所求剪力
的大小为：
Fvq Gz cos =[(n p 1)m M ]cos(2i ) g
1 p 1
2010 高教社杯全国大学生数学建模大赛 承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、 网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公 开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引 用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞 赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
n 4 Ft Fj l a 2 3 1
5
4.1.2 脊椎所受剪力 Fv 模型的推导
图 2：脊椎剪力受力分析示意图 设弯曲的椎间盘有 n 节，人体头部的质量为 M ，一个椎骨和一个椎间盘的质 量和为 m0 ，剪力是由于重力在分析平面平行的分量产生的，如图所示，对于第 q 个弯曲的椎间盘而言，和它接触的前一个椎骨面和竖直方向的夹角 q 1 2i 2 i 1 其中：
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
1
2010 高教社杯全国大学生数学建模大赛 编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
2
一种给力的桌椅设计 摘要
3
四、模型的建立与求解
人的不舒适度可以用各个椎间盘受到的弹力和剪力来衡量，同时人的不舒适 度还受到手的摆放姿势的影响。而人手的不舒适度可以用肌肉紧张产生的作用力的 大小来衡量，故此处只要求出椎间盘产生的弹力和剪力以及手肌肉产生的力的大小 就可以度量人体脊椎在不同姿态时的不舒适度。 4.1 任务一 4.1.1 脊椎所受弹力 Ft 模型的推导 人的椎间盘在弯曲过程中可以简化为一个被压缩成平行轴线方向截面为一等腰 梯形的几何体。整个分析过程如下图所示：
弹性片的宽度为：
b 2 a2 r 2
于是该弹性片的劲度系数为：
ki a 2 r 2 dr
则此弹性片产生的弹力的大小为：
Fi 2r tan j a 2 r 2 dr
积分可得一段椎间盘产生的弹力大小为：
a 8 Fj 8 tan r a 2 r 2 dr a3 tan j 0 3 j 和椎间盘的外围伸长量的关系是
( Ft , Fv , Fh ) t * Ft v * Fv h * Fh
三个贡献系数为区间 (0,1) 之间的某三个常数，可以将它们取适当的单位使不舒适 度 的单位为 1。同时由于封闭性，并且它们三者大小之和应该为 1。即有：
h t v 1
根据实际情况，肯定有剪力的贡献系数大于弹力的贡献系数，手的肌肉作用力 Fh 对不舒适度的贡献系数最小，即有：
单位
l
L0
m
m m
m
h
li
l
Ft
Fv Fh
m
N N N
脊椎所受剪力
手的肌肉产生的力 人体不舒适度
M
C
不舒适系数 体型正常男性大学生头部重量 端坐时，体型正常男性大学生头部 与桌面的垂直距离，为定值
Kg
m
注：后文如无特殊说明，一律按 L0 取 0.7m, C 取 0.3m， M 取 4.2 Kg 来计算。
的分布去描述各种力在脊椎各处的
分布。 事实上，根据实际情况我们可以知道，必然是腰椎部分的弯曲伸长量是最大， 越往上就越小，且其拉伸量递减速度是越来越慢的。于是，表现在角度 j 上，我 们可以将其近似看成是参数为 0 1 的指数分布，即：
j e j
9
其中
二、基本假设
1. 忽略人体脊椎的四个自然弯曲； 2. 将弹性圆柱片形变后的两个底面和垂直轴线平面的夹角视作相等； 3. 引人手的摆放姿势对舒适度的影响这一概念。
2
三、全局符号说明
符号
说明 椅背与桌面的水平距离，最大为 L0 脊椎直立时的长度，为定值 椅面高度和桌面高度落差，最大为 L0 第 i 个椎间盘的形变量 脊椎弯曲后总的伸长量 脊椎所受弹力
这样， Fh 最终只是 h、l 的函数。
8
4.1.4 不舒适系数
对应于剪力、弹力、和手的肌肉作用力，我们可以给出如下定义： 不舒适度 必然是 Ft Fv Fh 的函数，且三个力对不舒适度的贡献是不同的，我们 设三个力对不舒适度有不同的贡献系数，分别为 t v h 。于是不舒适度 为：
j
j 1
n
对模型进行受力分析可知，圆柱片主要受到拉力，压力和剪力的作用。当模型 的弯曲程度不同时圆柱片受到的力也将发生相应的变化。由于 j
服从指数分
布，即弯曲部分的圆柱片越靠近弯曲部分的底部， j 越大。根据前文 Ft 的表达式 可知，所受到的弹力也就越大，但分析剪力表达式 Fv 后发现，剪力却没有这么简 单，应为剪力还受到受力面和重力夹角的影响，考虑头部的影响以后会发现，当人 处于坐姿时，越和头部紧邻的椎间盘，其受到的剪力越大，这也和人们长久处于坐 姿容易引起脊椎病的实际情况相符 4.2 任务二
f1 f 2
则
Fh (m1 m2 )(sin cos ) g cos sin
当
Fh =0 ，即此时的手不用主动用力，这与实际是相符的。 时， 2 根据力矩关系，我们还可以得到一组求解 Fh 的约束方程：
sin sin =l 4 cos cos L0 h 5
图 1：脊椎弹力受力分析示意图 假设椎骨的长度是 D ，半径是 a 。椎间盘的半径是 a ，长度是 d ，压缩几何体 的轴线方向截面梯形的底角的余角 j ,角标为有弹性力的第 j 个椎间盘。如图所示，
4
整个脊椎的长度为 L0 ，我们将椎间盘切片看成弹性片，由于弹性片的劲度系数满 足：
k uv 其中 u 为弹性片的宽度， v 为弹性片的厚度， 为与人体椎间盘弹性能力有关 的一个固定系数。 以椎间盘的轴线为 z 轴，建立空间柱坐标系，将几何体平行轴线方向切片，形 成一系列长方体弹性片，在距轴线 r 处的弹性切片的压缩或拉伸量为： d = r tan j
h t v
为了便于分析，我们将不舒适度归一化，归一化之后称之为不舒适系数，即：
于是，不舒适系数的取值范围为 [0,1] 。
max
4.1.5 对力随脊椎不同弯曲方式的变化分布的描述 在我们建立的模型中，脊椎被抽象成由刚性圆柱体和弹性圆柱片组成的一个 力学系统。组成弹性圆柱片的材料的劲度系数被认为是随材料的厚度和宽度线性变 化的，在模型弯曲过程中，弹性圆柱片的一部分被压缩，一部分被拉伸，使得其上 下表面不再平行。其上下表面的夹角的二分之一被定义为 j ，脚标 j 意为从腰椎到 颈椎的第 j 个椎间盘。于是我们可以用 j
mathmatica 求解其相应的优化解，最终得出结论。
关键字：脊椎，不舒适系数，优化
1
一、问题简要分析和本文行文结构
针对本问题进行分析，我们可以看出本问题着重于对脊椎抽象后的受力分析 和几何计算。本问题的工作环节较多，完整的解决本问题需要扎实的力学知识、几 何学、微积分以及用计算机和数学软件的扎实能力。本题的关键之处在于求得不舒 适系数与 h、l 之间的关系，进而利用数学软件求解繁琐的优化过程。 本文接下来的部分分别是： 第二部分，我们给出了一些基本假设，这些假设都是在合理分析实际的基础上 大胆舍弃无关因素的影响，强调主要因素。 第三部分，我们给出了本文出现的全局符号进行了说明，未说明的符号均会在 第一次出现时给出详细的定义。 第四部分，我们分别分析并解答了任务一、二、三、四中的问题。 第五部分，我们给本文做了一个总结。 第六部分为参考资料信息。
q 1 q 1 1 n n q 1
li )]g} 2a
考虑到每一个 li 都很小很细微，于是有： l lim i 0 li 0 2a 所以我们可以对 Fv 式进行简化，简化后，有：
Fv Fvq {[(n q 1)m M ]g}
q 1 q 1 n n
4.1.3 手的肌肉作用力 Fh 的推导 设人体手部的两根长骨（即肩关节到肘关节的长度和肘关节到腕关节的长度） 4 4 的长度同为 ，人的肩膀处于脊椎的 处，即 L0 处，手和桌面接触点和肘关节的 5 5 距 离 设 为 ， 质 量 分 别 是 m1和 m2 ， 他 们 和 竖 直 方 向 的 夹 角 分 别 是 和 ，
联立这几个方程，我们得到第 q 个椎间盘的剪力表达式为：
Fvq [(n q 1)m M ]cos[2 arctan(
1 q 1
li )]g 2a
其中， li 为第 i 个椎间盘的伸长量，于是，总的剪力表达式为：
Fv Fvq {[(n q 1)m M ]cos[2 arct百度文库n(
Fv 和 Fh 的表达式后，我们将不舒适定义为 Ft 、 Fv 和 Fh 的函数，并对其进行归一化，
得到不舒适系数，然后定性讨论了不舒适系数在 h、l 变化时的变化情况，对其性 质有了一个总体的把握。 在任务二中，我们将睡觉时脊椎弯曲现成的曲线拟合成椭圆曲线的一部分，进 而利用解析几何的结论求得脊椎的伸长量，再得到三个力的大小，从而得到睡觉时 不舒适系数和 h、l 之间的函数关系，然后借用数学软件 mathmatica 进行优化求解。 在任务三中，我们将端坐时的脊椎外形拟合成直线和抛物线组成的复合曲线， 再利用解析几何的方法求得脊椎的伸长量，进而求得 Ft 、 Fv 和 Fh 的大小，再求出 端坐时的不舒适系数与 h、l 之间的函数关系，然后借用数学软件 mathmatica 进行 优化求解。 在任务四中，我们先不证明的给出一个数学结论，然后根据该结论将求解桌椅 的折中设计过程转为一个求解有约束条件的优化过程，进而利用数学软件
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写） ： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 西安交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 谭小琦 2. 郭嘉嘉 3. 钟理鹏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011 年 3 月 28 日
l j 2a tan j
则椎间盘弹力可以表示成：
4 l j a 2 3 如果我们设整个脊椎的伸长量为 l ， 那么有： li l Fj
因为脊椎弯曲而受到弹力的椎间盘个数为 n ，且有： L' n d D
' ' 其中 L 为弯曲部分的脊椎长度，在后文中我们可以看到，睡觉时， L L0 ，故 n 23 ；端坐时， L' 为一个受 l、h 约束的函数。所以脊椎受到的总的弹性合力为：
2 臂的力是 f 2 ，肌肉产生的力的大小是 Fh ，有关参数标注见图 3。
的范围是0， ， 的范围是 0， ，设肩膀给手臂的力的大小是 f1 ，桌面给手
7
图 3：手的肌肉作用力分析示意图 在竖直方向上力的平衡方程为 f1 cos f 2 sin (m1 m2 ) g 在水平方向的受力平衡方程为 f1 sin f 2 cos Fh 在粗略计算的情况下可以认为
i arctan(
所受的总重力大小为：
li ) 2a
Gz [(n q 1)m0 M ]g
6
Gz 沿前一锥骨面的分量即为这一椎骨面所受的剪力，于是第 q 个椎间盘所求剪力
的大小为：
Fvq Gz cos =[(n p 1)m M ]cos(2i ) g
1 p 1
2010 高教社杯全国大学生数学建模大赛 承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、 网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公 开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引 用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞 赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
n 4 Ft Fj l a 2 3 1
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4.1.2 脊椎所受剪力 Fv 模型的推导
图 2：脊椎剪力受力分析示意图 设弯曲的椎间盘有 n 节，人体头部的质量为 M ，一个椎骨和一个椎间盘的质 量和为 m0 ，剪力是由于重力在分析平面平行的分量产生的，如图所示，对于第 q 个弯曲的椎间盘而言，和它接触的前一个椎骨面和竖直方向的夹角 q 1 2i 2 i 1 其中：
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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2010 高教社杯全国大学生数学建模大赛 编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
2
一种给力的桌椅设计 摘要
3
四、模型的建立与求解
人的不舒适度可以用各个椎间盘受到的弹力和剪力来衡量，同时人的不舒适 度还受到手的摆放姿势的影响。而人手的不舒适度可以用肌肉紧张产生的作用力的 大小来衡量，故此处只要求出椎间盘产生的弹力和剪力以及手肌肉产生的力的大小 就可以度量人体脊椎在不同姿态时的不舒适度。 4.1 任务一 4.1.1 脊椎所受弹力 Ft 模型的推导 人的椎间盘在弯曲过程中可以简化为一个被压缩成平行轴线方向截面为一等腰 梯形的几何体。整个分析过程如下图所示：
弹性片的宽度为：
b 2 a2 r 2
于是该弹性片的劲度系数为：
ki a 2 r 2 dr
则此弹性片产生的弹力的大小为：
Fi 2r tan j a 2 r 2 dr
积分可得一段椎间盘产生的弹力大小为：
a 8 Fj 8 tan r a 2 r 2 dr a3 tan j 0 3 j 和椎间盘的外围伸长量的关系是
( Ft , Fv , Fh ) t * Ft v * Fv h * Fh
三个贡献系数为区间 (0,1) 之间的某三个常数，可以将它们取适当的单位使不舒适 度 的单位为 1。同时由于封闭性，并且它们三者大小之和应该为 1。即有：
h t v 1
根据实际情况，肯定有剪力的贡献系数大于弹力的贡献系数，手的肌肉作用力 Fh 对不舒适度的贡献系数最小，即有：
单位
l
L0
m
m m
m
h
li
l
Ft
Fv Fh
m
N N N
脊椎所受剪力
手的肌肉产生的力 人体不舒适度
M
C
不舒适系数 体型正常男性大学生头部重量 端坐时，体型正常男性大学生头部 与桌面的垂直距离，为定值
Kg
m
注：后文如无特殊说明，一律按 L0 取 0.7m, C 取 0.3m， M 取 4.2 Kg 来计算。
的分布去描述各种力在脊椎各处的
分布。 事实上，根据实际情况我们可以知道，必然是腰椎部分的弯曲伸长量是最大， 越往上就越小，且其拉伸量递减速度是越来越慢的。于是，表现在角度 j 上，我 们可以将其近似看成是参数为 0 1 的指数分布，即：
j e j
9
其中
二、基本假设
1. 忽略人体脊椎的四个自然弯曲； 2. 将弹性圆柱片形变后的两个底面和垂直轴线平面的夹角视作相等； 3. 引人手的摆放姿势对舒适度的影响这一概念。
2
三、全局符号说明
符号
说明 椅背与桌面的水平距离，最大为 L0 脊椎直立时的长度，为定值 椅面高度和桌面高度落差，最大为 L0 第 i 个椎间盘的形变量 脊椎弯曲后总的伸长量 脊椎所受弹力
这样， Fh 最终只是 h、l 的函数。
8
4.1.4 不舒适系数
对应于剪力、弹力、和手的肌肉作用力，我们可以给出如下定义： 不舒适度 必然是 Ft Fv Fh 的函数，且三个力对不舒适度的贡献是不同的，我们 设三个力对不舒适度有不同的贡献系数，分别为 t v h 。于是不舒适度 为：
j
j 1
n
对模型进行受力分析可知，圆柱片主要受到拉力，压力和剪力的作用。当模型 的弯曲程度不同时圆柱片受到的力也将发生相应的变化。由于 j
服从指数分
布，即弯曲部分的圆柱片越靠近弯曲部分的底部， j 越大。根据前文 Ft 的表达式 可知，所受到的弹力也就越大，但分析剪力表达式 Fv 后发现，剪力却没有这么简 单，应为剪力还受到受力面和重力夹角的影响，考虑头部的影响以后会发现，当人 处于坐姿时，越和头部紧邻的椎间盘，其受到的剪力越大，这也和人们长久处于坐 姿容易引起脊椎病的实际情况相符 4.2 任务二
f1 f 2
则
Fh (m1 m2 )(sin cos ) g cos sin
当
Fh =0 ，即此时的手不用主动用力，这与实际是相符的。 时， 2 根据力矩关系，我们还可以得到一组求解 Fh 的约束方程：
sin sin =l 4 cos cos L0 h 5
图 1：脊椎弹力受力分析示意图 假设椎骨的长度是 D ，半径是 a 。椎间盘的半径是 a ，长度是 d ，压缩几何体 的轴线方向截面梯形的底角的余角 j ,角标为有弹性力的第 j 个椎间盘。如图所示，
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整个脊椎的长度为 L0 ，我们将椎间盘切片看成弹性片，由于弹性片的劲度系数满 足：
k uv 其中 u 为弹性片的宽度， v 为弹性片的厚度， 为与人体椎间盘弹性能力有关 的一个固定系数。 以椎间盘的轴线为 z 轴，建立空间柱坐标系，将几何体平行轴线方向切片，形 成一系列长方体弹性片，在距轴线 r 处的弹性切片的压缩或拉伸量为： d = r tan j
h t v
为了便于分析，我们将不舒适度归一化，归一化之后称之为不舒适系数，即：
于是，不舒适系数的取值范围为 [0,1] 。
max
4.1.5 对力随脊椎不同弯曲方式的变化分布的描述 在我们建立的模型中，脊椎被抽象成由刚性圆柱体和弹性圆柱片组成的一个 力学系统。组成弹性圆柱片的材料的劲度系数被认为是随材料的厚度和宽度线性变 化的，在模型弯曲过程中，弹性圆柱片的一部分被压缩，一部分被拉伸，使得其上 下表面不再平行。其上下表面的夹角的二分之一被定义为 j ，脚标 j 意为从腰椎到 颈椎的第 j 个椎间盘。于是我们可以用 j
mathmatica 求解其相应的优化解，最终得出结论。
关键字：脊椎，不舒适系数，优化
1
一、问题简要分析和本文行文结构
针对本问题进行分析，我们可以看出本问题着重于对脊椎抽象后的受力分析 和几何计算。本问题的工作环节较多，完整的解决本问题需要扎实的力学知识、几 何学、微积分以及用计算机和数学软件的扎实能力。本题的关键之处在于求得不舒 适系数与 h、l 之间的关系，进而利用数学软件求解繁琐的优化过程。 本文接下来的部分分别是： 第二部分，我们给出了一些基本假设，这些假设都是在合理分析实际的基础上 大胆舍弃无关因素的影响，强调主要因素。 第三部分，我们给出了本文出现的全局符号进行了说明，未说明的符号均会在 第一次出现时给出详细的定义。 第四部分，我们分别分析并解答了任务一、二、三、四中的问题。 第五部分，我们给本文做了一个总结。 第六部分为参考资料信息。
q 1 q 1 1 n n q 1
li )]g} 2a
考虑到每一个 li 都很小很细微，于是有： l lim i 0 li 0 2a 所以我们可以对 Fv 式进行简化，简化后，有：
Fv Fvq {[(n q 1)m M ]g}
q 1 q 1 n n
4.1.3 手的肌肉作用力 Fh 的推导 设人体手部的两根长骨（即肩关节到肘关节的长度和肘关节到腕关节的长度） 4 4 的长度同为 ，人的肩膀处于脊椎的 处，即 L0 处，手和桌面接触点和肘关节的 5 5 距 离 设 为 ， 质 量 分 别 是 m1和 m2 ， 他 们 和 竖 直 方 向 的 夹 角 分 别 是 和 ，