考点规范练52 直线与圆锥曲线
圆锥曲线的综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线的综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系ZHI SHI SHU LI 知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0， ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .当Δ__＞___0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； 当Δ__＝___0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ__＜___0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k (k 不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2·|x 1－x 2|或|P 1P 2|＝__1＋1k2·|y 1－y 2|___. (2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.ZHONG YAO JIE LUN重要结论求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型，就是指定类型．也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，就是利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外．当焦点位置无法确定时，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)．SHUANG JI ZI CE双基自测1．(2019·天津模拟)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝( D ) A ．14B ．12C ．2D ．4[解析] 因为双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点为(－3＋p 216，0)，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，所以－3＋p 216＝－p2，得p ＝4，故选D ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( D ) A ．x 23＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 24＝1D ．x 29＋y 25＝1[解析] 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D ．3．(2019·宁夏模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B ．4．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( B ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B ．5．(2019·桂林模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过(c,0)，(0，b )两点的直线的距离为c2，则椭圆的离心率为( A )A ．32B ．22 C ．12D ．33[解析] 经过(c,0)，(0，b )两点的直线方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，所以由题设得bcb 2＋c 2＝c2，化简得c 2＝3b 2，得c 2＝3(a 2－c 2)，所以4c 2＝3a 2，所以2c ＝3a ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝32.故选A ．6．(2019·温州模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为__x 25－y 220＝1___.[解析] 由题设知点M (－3,4)与右焦点F 2(c,0)关于直线y ＝ba x 对称，所以－4c ＋3·b a ＝－1，即4b ＝a (c ＋3)①，且线段MF 2的中点(c －32，2)在直线y ＝ba x 上，即2＝b a ·c －32，得b (c －3)＝4a ②.由①÷②得4c －3＝c ＋34，得c 2＝25，c ＝5，代入①可得b ＝2a .又c 2＝a 2＋b 2，所以25＝a 2＋(2a )2，所以a 2＝5，从而b 2＝4a 2＝20. 故所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.考点1 直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透例1 (1)(2019·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0(2)(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D ) A ．3 B ．2 C ．－2D ．－3(3)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D ) A ．(0，52) B ．[1，52] C ．(－52，52) D ．(1，52) [解析] (1)∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B ．(2)由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，即A (p 2，p )，则直线AB 的方程为y －p ＝6(x －p2)，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧ x ＝2p9，y ＝－2p 3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B (2p 9，－2p3)，所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p 32p9＝－3.故选D ．(3)由题意知k >0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k2>0，x 1x 2＝－51－k 2>0，解得1<k <52，即k ∈(1，52)，故选D ． 名师点拨 ☞研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常利用几何条件，利用数形结合的方法求解．考点2 直线与圆锥曲线的弦长问题——师生共研例2 (2019·常州模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点P 的纵坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为5. (1)求抛物线E 的方程；(2)如图，设斜率为k 的两条平行直线l 1，l 2分别经过点F 和H (0，－1)，l 1与抛物线E 交于A ，B 两点，l 2与抛物线E 交于C ，D 两点．问：是否存在实数k ，使得四边形ABDC 的面积为43＋4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义知，点P 到抛物线E 的准线的距离为5. ∵抛物线E 的准线方程为y ＝－p 2，∴4＋p2＝5，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)由已知得，直线l 1：y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0， Δ1＝16(k 2＋1)>0恒成立，|AB |＝1＋k 2·16(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．直线l 2：y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx ＋4＝0，由Δ2＝16(k 2－1)>0得k 2>1， |CD |＝1＋k 2·16(k 2－1)＝4(k 2＋1)(k 2－1)， 又直线l 1，l 2间的距离d ＝2k 2＋1，∴四边形ABDC 的面积S ＝12·d ·(|AB |＋|CD |)＝4(k 2＋1＋k 2－1)．解方程4(k 2＋1＋k 2－1)＝4(3＋1)，得k 2＝2(满足k 2>1)，∴存在满足条件的k ，k 的值为± 2. 名师点拨 ☞处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 〔变式训练1〕(2019·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝(x 12，y 1)，n ＝(x 22，y 2)，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值？并说明理由． [解析] (1)∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0，∵m ·n ＝0， ∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时， 由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0， 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1， ∴|x 1|＝2，|y 1|＝22，∴S △POQ ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0， ∴x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1， ∵原点O 到直线PQ 的距离d ＝|b |1＋k 2，∴S △POQ ＝12·|b |1＋k 2·|PQ |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|b |4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1.综上可得，△POQ 的面积S 为定值．考点3 中点弦问题——多维探究角度1 利用中点弦确定直线方程例3 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x ＋2y －3＝0___.[解析] 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k .设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.角度2 利用中点弦确定曲线方程例4 过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为__x 2＝2y 或x 2＝4y ___.[解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p ，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p ＝12，解得p ＝1或p ＝2. 角度3 利用中点弦解决对称问题例5 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A ) A ．32B ．52C ．2D ．3[解析] 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A ． 名师点拨 ☞处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·江西五市联考)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( A ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327(2)(角度3)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围是__(－12，0)___.[解析] (1)由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，整理得y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－a b ，∴a b ＝－32，故选A ．(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， 所以方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，因为点A 和点B 关于直线l 对称， 所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为 y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，因为k ≠0，所以－12<x G <0，即点G 横坐标的取值范围为(－12，0)．故填(－12，0)．。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型29 直线与圆锥曲线(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型:之直线与圆锥曲线【高考题型一】：直线与圆锥曲线在简答题中的步骤体现。
『解题策略』：答题规范模板:步骤1：设直线方程：注意设直线的技巧。
①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为b kx y +=； ②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为n my x +=；③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。
)。
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。
步骤3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出)0(0≥∆>∆）。
步骤4：转化已知条件，转化为两根的关系。
步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中。
※注：若题目中不涉及根与系数，则．．．．．．．．．．．．．步骤．．4．\．步骤．．5．可省略。
．．．． 弦长公式：弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。
弦长公式：直线与曲线联立，若消y ，转化为关于x 的一元二次方程，20,ax bx c ++=则弦长=a ；若消x ，则转化为关于y 的一元二次方程:20,ay by c ++=则弦长。
【题型1】：直线与椭圆的位置关系。
『解题策略』：直线0:=++C By Ax l ，椭圆C :221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；判定方法：∆法：直线与椭圆方程联立：220,00,10,Ax By c mx ny ∆>⎧++=⎧⎪⇒∆=⎨⎨+=⎩⎪∆<⎩相交相切相离。
1.(高考题)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为：142222=-+a y a x ，代入点A 得椭圆方程为2211612x y +=。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线1．从几何的角度看，可以分：直线与圆锥曲线有两个不同公共点，仅有一个公共点，无公共点； ⑴有两个公共点，就是相交，直线被圆锥曲线截得的线段称为曲线的弦； ⑵仅有一个公共点，对于圆和椭圆来说，表示直线与其相切； 对于双曲线来说，表示直线与其相切或与渐近线平行； 对于抛物线来说，表示直线与其相切或平行于对称轴； ⑶无公共点，就是相离；2．从代数的角度看，将表示直线的方程0Ax By C ++=代入到圆锥曲线的方程()0f x y =，中，消去一个变元y （或x ）后，得到方程20ax bx c ++=；⑴若0a =，当圆锥曲线是双曲线时，说明直线与其渐近线平行； 当圆锥曲线是抛物线时，说明直线与其对称轴平行； ⑵若0a ≠，记24b ac ∆=-，则 0∆>，说明直线与圆锥曲线相交； 0∆=，说明直线与圆锥曲线相切； 0∆<，说明直线与圆锥曲线相离；知识梳理第10讲直线与圆锥曲线3．斜率为k 的直线与圆锥曲线()0f x y =，相交，将两者方程联立，消去y ，得到方程20ax bx c ++=，则弦长公12x x -=；4．当过定点00()P x y ，的直线斜率可能不存在时，为避免分类讨论，可以设斜率的倒数为m ，把直线方程写成x my n =+；这种形式的方程能够表示斜率不存在的情形，但不能够表示斜率为0的情形． 此时同样代入圆锥曲线方程，消去x ，得到20ay by c ++=．5．在计算圆锥曲线内接三角形面积时，我们常常用到下面这些计算公式：111sin sin 222ABC S dl d l ll αθ''===△由三角形的面积容易推出圆锥曲线内接四边形的计算公式：1sin 2ABCD S AC BD α=⋅（其中α为对角线夹角）特别地，对角线互相垂直的四边形的面积为ABCD S =12AC⋅<教师备案>直线与圆锥曲线的位置关系：⑴讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（x 或y ），若消去y 得到20ax bx c ++=，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是： ①二次项系数a 可能有0a =或0a ≠两种情况，（例外情形：当圆锥曲线为双曲线且直线平行于渐近线时，或者当圆锥曲线为抛物线且直线平行于对称轴时，二次项系数为0）只有当0a ≠，才能用∆判断根的个数；②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切．经典精讲⑵在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较．⑶当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．尖子班学案1【铺1】 ⑴若直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为________．⑵过定点(01)，且与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点的直线l 的斜率的取值范围________．【解析】 ⑴1m ≥且5m ≠ ⑵()1,1-考点：直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 ⑴过定点(01)-，且与抛物线24y x =有且只有一个公共点的直线有_____条；．⑵过点()4,4P 且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有______条．⑶已知两定点(10)M -，，(10)N ，，若直线上存在点P ，使得||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是． ①1y x =+②2y =③3y x =-+④23y x =-+⑷（海淀一模文8）若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是（）A ．22(1)1x y -+=B ．2212x y +=C ．2y x =D ．221x y -=【解析】 ⑴3；⑵4 ⑶①④ ⑷B<教师备案>直线与圆锥曲线问题的基本方法：直线与圆锥曲线的问题尤其是相交问题，最基本的方法分为两种：⑴代入法；即联立直线与圆锥曲线的方程，把直线的方程代入后者消去一个变元（通常是y ），得到关于x 的二次方程，二次方程的根即代表交点的横坐标，然后用韦达定理与坐标运算去求解交点的相关问题； 代入法的优点：适用性强，基本上对于任何问题都能适用；代入法的缺点：通常计算量较大，当方程含参时，坐标运算比较复杂； 在与弦长有关的问题中，通常采用代入法． ⑵点差法：以直线与椭圆相交为例，设出交点的坐标()A A x y ，，()B B x y ，，由于这两者都满足椭圆方程，相减就得：22222222A B A B x x y y a a b b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用平方差公式就得：22A B A BA B A By y x x b x x a y y -+=--+ 若设AB 的中点为M ，就得到了斜率与AB 中点坐标的一个简单关系式：22M Mx b k a y =-；这种方法称为点差法．点差法的优点：计算量非常小；点差法的缺点：适用范围非常狭窄，通常只能用来解决中点弦问题，或者斜率与坐标和密切相关的问题；而且点差法的变换过程不是等价的，需要考虑是否有0∆>；在与中点弦有关而且不太需要交点坐标运算的问题中，可以考虑使用点差法．考点：代入法与点差法【例2】 ⑴已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线与椭圆相交于A B ，两点，则弦长AB =________．⑵直线l 与椭圆22184x y +=交于两点A B ，，AB 的中点坐标为(11)-，，则直线l 的方程是．⑶ABC △的三个顶点都在抛物线24y x =上，A 点与原点重合，且三角形重心恰为抛物线的焦点，则三角形的周长是．⑷经过抛物线2y x =上一点(42)A -，引两条直线1l 和2l ，与抛物线分别交于M 、N 两点，若1l 与2l 的斜率互为相反数，则直线MN 的斜率为．【解析】 ⑴247； ⑵230x y --=⑷14【例3】 （石景山一模文19）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）右顶点到右焦点的距离为1-，短轴长为 ⑴求椭圆的方程；⑵过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB，求直线AB 的方程． 【解析】⑴椭圆方程为22132x y +=．⑵直线AB0y -+=0y +=．目标班学案1【拓2】 （东城二模文19）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2⑴求椭圆的方程；⑵过1F 作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值． 【解析】⑴椭圆方程为22143x y +=．⑵由⑴知()11,0F -，当直线m 与x 轴重合时，此时3,4AB CD ==，11AB CD +1173412=+=． 当直线m 不与x 轴重合时，设直线m 的方程为：1x my =-． 由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2234690m y my +--=．由直线过椭圆内定点1F 知一定有0∆>．则有()2212134m AB m +==+．在上式中用1m -代换m ，同理可知()2212143m CD m +=+． 所以11AB CD +()()22223434712121121m m m m ++=+=++． 综上，11AB CD +为定值712．【例4】 ⑴连接抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则OAM △的面积为（ ）A ．1-B ．32C ．1D ．32⑵过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB△的面积为___________．⑶已知抛物线24y x =，点()4,0M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于A 、B 两点．则ANB △面积的最小值为________．【解析】 ⑴ B⑵53； ⑶32【例5】 （丰台二模文20）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点()01，，过右焦点F 且不与x 轴重合的动直线l交椭圆于A 、C 两点，当动直线l 的斜率为2时，坐标原点O 到l ． ⑴求椭圆的方程；⑵过F 的另一直线交椭圆于B 、D 两点，且AC BD ⊥，当四边形ABCD 的面积169S =时，求直线l 的方程．【解析】 ⑴椭圆的方程为2212x y +=．⑵直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．尖子班学案2【铺1】 若已知点(C ，平行于CO 的直线l 和椭圆221124x y +=交于M 、N 两个不同点，当CMN △面积取最大值时，求直线l 的方程．【解析】 直线l 的方程为0x y +±=．【例6】 （西城二模文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．⑴求椭圆C 的方程；⑵过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB △（O 为原点）面积的最大值．【解析】⑴椭圆C 的方程是2213x y +=．⑵AOB △． 【点评】本题求面积也可以用传统面积公式点O 到直线AB的距离d =，弦长12AB x x -，【备选】（朝阳一模文19）已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标)1，AB ． ⑴求椭圆M 的方程；⑵当ABC △的面积最大时，求直线AB 的方程．【解析】 ⑴椭圆M 的方程为22162x y +=．⑵直线AB 的方程为y =过定点312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线l 与抛物线24y x =相交所得的弦长为4，求直线l 的方程．【解析】 错解：设直线的斜率为k ，直线的方程可以写成3(1)2y k x +=-，与抛物线方程联立消去y ，得： 22223(234)02k x k k x k ⎛⎫-++++= ⎪⎝⎭222223(234)416241602k k k k k k ⎛⎫∆=++-+=++> ⎪⎝⎭恒成立； 然后得弦长4s ==化简得323321022k k k +++=，即2(1)(32)0k k k +++=，1k =-；所以直线方程为3(1)2y x +=--，即102x y ++=．【点评】 上面的误解中，设直线斜率时没有讨论斜率是否存在；若斜率不存在，则直线方程为1x =，与抛物线的两个交点为(12)±，，弦长正好也为4，所以满足题意的直线有两条：1x =或者102x y ++=．在设直线方程时，如果是用点斜式或者斜截式，一定要讨论斜率是否存在．（北京文19）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>()0，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(32)P -，．⑴求椭圆G 的方程； ⑵求PAB △的面积．【解析】 ⑴椭圆G 的方程为221124x y +=．⑵PAB △的面积92S =．【演练1】若直线4mx ny +=和圆O ：224x y +=仅有一个交点，则过点()m n ，的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为________．【解析】 1或2【演练2】已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA与FB 的比值等于．【解析】3+【演练3】已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为()22M ，，则ABF△的面积等于．【解析】 2实战演练真题再现【演练4】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，则E 的方程为（）A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【解析】B【演练5】（西城一模文19）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(40)M ，．⑴若点F 到直线ll 的斜率；⑵设A B ，为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．【解析】 ⑴l的斜率为2±． ⑵设线段AB 中点的坐标为00()N x y ，；因为AB 不垂直于x 轴，则MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -； 但另一方面，22044244A B A B AB A B A BA B y y y y k y y x x y y y --====-+-； ∴00042x y y -=，∴02x =；即AB 中点的横坐标恒为定值2． 【演练6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F 、2F 为左右焦点，点A 是椭圆上位于第一象限的点，且满足2AF x ⊥轴，直线AO 交椭圆于点B ，若2ABF △的面积为【解析】 椭圆方程为221168x y +=．（上海交大自主招生考试）已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的距离最短时M 点的坐标．【解析】 如图所示，抛物线的焦点为104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为14x =-；过A M B ，，分别作准线的垂线，垂足为P R Q ，，；大千世界则()111424M x MR AP BQ =-=+-()1124AF FB =+- 115244AB -=≥等号成立当且仅当A F B ，，共线，即AB 过焦点F ．设此时AB 的方程为14x my -=，与抛物线方程联立得214y my =+，∴A B y y -∴231A B AB y m =-=+，m =；∴()21152422424A B A B M M y y y y mm x y m ⎛⎛⎫++⎛⎫=+=+=± ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，∴M 点的坐标为54⎛± ⎝⎭，．。
第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系(3大考点+强化训练)(习题版)
第16讲直线与圆锥曲线的位置关系（3大考点+强化训练）[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等．知识导图考点分类讲解考点一：弦长问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.易错提醒(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．【例1】（22-23高三·全国·对口高考）通过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（）A ．B ．3CD ．6【变式1】（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线C ：22142-=y x ，则双曲线C 的渐近线方程是；直线1x =与双曲线相交于M ，N 两点，则MN =.【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知中心在坐标原点的椭圆 E 的一个焦点为)，且过点()4,0，过原点O 作两条互相垂直的射线交椭圆于 A 、 B 两点，则弦长 AB 的取值范围为．考点二：面积问题规律方法圆锥曲线中求解三角形面积的方法(1)常规面积公式：S ＝12×底×高．(2)正弦面积公式：S ＝12ab sin C .(3)铅锤水平面面积公式：①过x 轴上的定点：S ＝12a |y 1－y 2|(a 为x 轴上定长)；②过y 轴上的定点：S ＝12a |x 1－x 2|(a 为y 轴上定长)．【例2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若8AB =，则OBF 的面积为（）A B C D 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线1y x =+与椭圆22221x ya b+=()0a b >>交于A ，B 两点，点A关于x 轴的对称点记为P ，且OBP 的面积为2，则椭圆恒过定点（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．(D ．【变式2】（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知A 是左、右焦点分别为12,F F 的椭圆22:143x y E +=上异于左、右顶点的一点，C 是线段1AF 的中点，O 是坐标原点，过2F 作1AF 的平行线交直线CO 于B 点，则四边形12AF BF 的面积的最大值为（）A ．2B ．34C D【变式3】（2024·山东泰安·一模）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF 周长最小时，该三角形的面积为（）A ．B ．C ．D ．考点三：中点弦问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k .若E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.规律方法处理中点弦问题常用的求解方法【例3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过C 的焦点F 且倾斜角为π3的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为W ，4||3FW =，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>分别交于A B 、两点，若线段AB 的中点横坐标是45m ，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【变式2】（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知,A B 为双曲线2219y x -=上两点，且线段AB 的中点坐标为()1,4--，则直线AB 的斜率为.【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线l 交抛物线2:28C x y =-于,M N 两点，且MN 的中点为()2,11--，则直线l 的斜率为（）A ．114-B ．1114C ．17D ．17-强化训练一、单选题1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）将抛物线21:2(0)C y px p =>绕原点O 顺时针旋转90︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与抛物线2C 交于异于原点O 的点B ，记抛物线1C 与2C 的焦点分别为M 、N ，且四边形OMBN 的面积为8，则p =（）A ．4B ．2C ．22D 22．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A ，B 为双曲线221816x y -=上的两点，若线段AB 的中点为()1,2M ，则直线AB 的方程是（）A ．30x y +-=B ．230x y +-=C ．10x y -+=D ．230x y -+=3．（2023高三·全国·专题练习）已知12,F F 分别为双曲线22:36C x y -=的左、右焦点，A 是双曲线C 右支上(顶点除外)任意一点，若12F AF ∠的角平分线与以1AF 为直径的圆交于点B ，则12BF F △的面积的最大值为（）A ．182B ．183C ．362D ．34．（2023·四川资阳·三模）已知抛物线C ：28y x =，过点()2,1P -的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AP BP =，则直线l 的斜率是（）A ．4-B ．4C ．14-D ．145．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为e ．倾斜角为120︒的直线与C 交于,A B 两点，并且满足21AB AF BF e=-，则C 的离心率为（）A ．12B C D 6．（22-23高三上·江西·期末）如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A ．22y x =B ．24y x=C ．2y =D ．28y x=7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线22:13y C x -=，直线l 经过点(且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．点P 为y 轴上一点且满足PA PB =，则22OP PA -=（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2023·河南·模拟预测）已知直线l 与椭圆221:12x C y +=相切于点P ，与圆222:4C x y +=交于A ，B 两点，圆2C 在点A ，B 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ △的面积的最大值为（）AB ．1C D ．2二、多选题1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线3x ty =+过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，则（）A ．3p =B ．6p =C ．MN 的最小值为6D ．MN 的最小值为122．（2024·云南昭通·模拟预测）已知椭圆22:143x y C +=，直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率为12B ．椭圆的长轴长为2C ．若直线l 的方程为1y x =+，则右焦点到lD ．若直线l 过点()1,0，且与y 轴平行，则32AB =3．（2023·河北沧州·三模）已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12π3F PF ∠=，12F F =1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则（）A ．C 的实轴长为2B ．C 的离心率为C ．12F PF △的面积为D ．12F PF ∠10y --=三、填空题1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知O 为坐标原点，过抛物线C ：26y x =的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，2OM OF =，若AF AM =，则AB =．2．（2023高三·全国·专题练习）过点(0,1)P 作斜率为1-的直线l 与椭圆22186x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为.3．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作C 的一条渐近线的垂线并交C 于,M N 两点，若34MN =，则1△MNF 的周长为.四、解答题1．（2023·河南·三模）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，圆22(1)1y x +-=经过抛物线C 的焦点.(1)求C 的方程；(2)若直线:40l mx y +-=与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ABP 面积的最小值.2．（2023高三·全国·专题练习）已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C ：2214y x -=交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．3．（2023高三·全国·专题练习）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OABE 的标准方程；4．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆C 的方程()222210x y a b a b+=>>，右焦点为()1,0F ，且离心率为12(1)求椭圆C 的方程；(2)设A B ，是椭圆C 的左、右顶点，过F 的直线l 交C 于D E ，两点（其中D 点在x 轴上方），求DBF 与AEF △的面积之比的取值范围.5．（2024·云南曲靖·一模）已知斜率为1的直线1l 交抛物线()2:20E x py p =>于A 、B 两点，线段AB 的中点Q 的横坐标为2．(1)求抛物线E 的方程；(2)设抛物线E 的焦点为F ，过点F 的直线2l 与抛物线E 交于M 、N 两点，分别在点M 、N 处作抛物线E 的切线，两条切线交于点P ，则PMN 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．。
原创2：2.5直线与圆锥曲线
(1)若直线l的斜率不存在，则|AB|＝|y1－y；
(2)若直线l的斜率为0，则|AB|＝|x1－x2|；
(3)若直线l的方程为y＝kx＋b，则|AB|＝
或
1
1＋ 2|y1－y2|
k
.
1＋k2|x1－x2|
典例导航
题型一：直线与圆锥曲线的交点个数的判定
例1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
3
=
4(2−)2 −12
3+4 2
=
(3−2)2 −12
3+4 2
3
2
= + −
又直线AF的斜率为(-k),上式中以(-k)代k
=
(3+2)2 −12
3+4 2
3
2
= − + +
O
E
(动点)
x
F
(动点)
∴ =
−
−
=
由韦达定理知1 + 2 =
2
，
+
1 ∙ 2 =
−1
+
则|AB|＝ 1 + 2 × (1 + 2 )2 −41 2
＝ 2×
42
(+)2
−
4(−1)
+
= 2×
4 2 −4(+)(−1)
(+)2
∵|AB|＝2 2，∴
+−
＝1.
+
①
1 +2
将y＝2x－4代入得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
+16
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线知识点
直线与圆锥曲线知识点
一．考点分析。
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长
上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围.。
2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 49直线与圆锥
考点规范练49 直线与圆锥曲线基础巩固组1.(2017浙江嘉兴质检)若方程x 2+y 2a =1(a 是常数),则下列结论正确的是( ) A.任意实数a 方程表示椭圆 B.存在实数a 方程表示椭圆 C.任意实数a 方程表示双曲线 D.存在实数a 方程表示抛物线2.已知直线x=1过椭圆x 24+y 2b2=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A .k ∈ -12,12B .k ∈ -∞,-1 ∪ 1,+∞ C .k ∈ - 2, 2D .k ∈ -∞,- 2∪ 2,+∞3.(2017浙江绍兴模拟)椭圆ax 2+by 2=1与直线y=1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 3,则a的值为( ) A. 3B.2 3C.9 3D.2 34.过双曲线x 2-y 2=1的右焦点作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若使得|AB|=λ的直线l 恰有3条,则λ为( ) A .1 B .2C .3D .45.经过椭圆x 2+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O 为坐标原点,则OA ·OB 等于( ) A .-3 B .-13C .-13或-3D .±136.(2017浙江湖州测试)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹方程为;轨迹所包围的图形的面积为.7.(2017浙江嘉兴七校联考)椭圆x 24+y23=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当m=时,△FAB的周长最大,此时△FAB的面积是.8.(2017浙江杭州学军模拟)函数y=ax2-2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于2,则实数a的取值集合是.能力提升组9.(2017浙江金华十校联考)已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆x 212+y216=1上,且满足|AP|-|BP|=2,则AP·BP为()A.-12B.12C.-9D.910.已知A,B,C是抛物线y2=4x上不同的三点,且AB∥y轴,∠ACB=90°,点C在AB边上的射影为D,则|AD|·|BD|=()A.16B.8C.4D.211.已知抛物线C:y2=2px与点N(-2,2),过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,若NA⊥NB,则p=()A.-2B.2C.-4D.412.(2017浙江新高考冲刺卷)已知F为抛物线4y2=x的焦点,点A,B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧,若OA·OB=15(O为原点),则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为()A.1B.5C.5D.6513.(2017课标Ⅰ高考)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C 交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1014.(2017浙江名校联考)已知双曲线x 2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同于A1,A2的两个不同的动点,则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为.15.已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2=2px (p>0)交于x 轴上方的不同两点A ,B ,记直线OA ,OB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1+k 2的取值范围是16.(2017浙江金华十校联考)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点,则直线的斜率为 时,|AF|+4|BF|取得最小值.17.(2017浙江温州十校模拟)已知点C (1,0),点A ,B 是☉O :x 2+y 2=9上任意两个不同的点,且满足AC·BC =0,设P 为弦AB 的中点. (1)求点P 的轨迹T 的方程;(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.18.(2017浙江湖州丽水联考)已知点P t ,12 在椭圆C :x 22+y 2=1内,过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且点P 是线段AB 的中点,O 为坐标原点.(1)是否存在实数t ,使直线l 和直线OP 的倾斜角互补?若存在,求出t 的值,若不存在,试说明理由; (2)求△OAB 面积S 的最大值. 答案：1.B 当a>0且a ≠1时,方程表示椭圆,故选B .2.A 易知椭圆中c 2=a 2-b 2=4-b 2=1,即b2=3,∴椭圆方程是x 24+y 23=1.与y=kx+2联立可得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0.由Δ≤0可解得k ∈ -12,12 .故选A .3.A 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 中点M (x 0,y 0). 由题设k OM =y0x 0= 32.由 ax 12+by 12=1,ax 22+by 22=1,得(y 2+y 1)(y 2-y 1)(x 2+x 1)(x 2-x 1)=-a b. 又y 2-y 1x 2-x 1=-1,y 2+y 121=2y 00= 3,所以a = 3. 4.D ∵使得|AB|=λ的直线l 恰有3条,∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直.此时A ,B 的横坐标为 3,代入双曲线方程,可得y=±2,故|AB|=4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4, 综上可知,|AB|=4时,有三条直线满足题意.∴λ=4.5.B 依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1), 即y=x-1,代入椭圆方程x 22+y 2=1并整理得3x 2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点坐标分别为(0,-1), 43,13 , ∴OA ·OB=-1, 同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA ·OB=-1. 6.x 2+y 2-4x=0 4π 设P (x ,y ),由|PA|=2|PB|, 得 (x +2)2+y 2=2 (x -1)2+y 2,∴3x 2+3y 2-12x=0,即x 2+y 2-4x=0.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心,半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 7.1 3设椭圆x 24+y 23=1的右焦点为F',则F (-1,0),F'(1,0).由椭圆的定义和性质易知,当直线x=m 过F'(1,0)时,△FAB 的周长最大,此时m=1,把x=1代入x 24+y 23=1得y 2=9,y=±3,S △FAB =1|F 1F 2||AB|=1×2×3=3.8. a a <-98或a =0或a >98 (1)若a=0,则y=2x 与y=x 为相交直线,显然y=2x 上存在两点到y=x 的距离等于 2,符合题意; (2)若a>0,则y=ax 2-2x 与直线y=x 相交,∴y=ax 2-2x 在直线y=x 上方的图象必有两点到直线y=x 的距离等于 2, 又直线y=x 与y=x-2的距离为 2,∴抛物线y=ax 2-2x 与直线y=x-2不相交,联立方程组 y =ax 2-2x ,y =x -2,消元得ax 2-3x+2=0,∴Δ=9-8a<0,解得a>9. (3)若a<0,同理可得a<-9.故答案为 a a <-98或a =0或a >98 .9.D 由|A P |-|BP |=2,可得点P (x ,y )的轨迹是以两定点A ,B 为焦点的双曲线的上支,且2a=2,c=2,∴b= ∴点P 的轨迹方程为y2-x 2=1(y ≥1).由 x 212+y 216=1,y 2-x 23=1,解得 x 2=9,y 2=4,∴AP ·BP=(x ,y+2)·(x ,y-2)=x 2+y 2-4=9+4-4=9. 10.A 设A (4t 2,4t ),B (4t 2,-4t ),C (4m 2,4m ), 则CA =(4t 2-4m 2,4t-4m ),CB =(4t 2-4m 2,-4t-4m ),由条件CA ·CB =0,即16(t 2-m 2)2-16(t 2-m 2)=0,∵t 2-m 2≠0,∴t 2-m 2=1,∴在Rt △ABC 中,|AD|·|BD|=|CD|2=[4(t 2-m 2)]2=16,故选A .11.D 由题意,设直线为y=2 x -p2 ,与y 2=2px 联立,消去x 得y 2-py-p 2=0,设A y 122p ,y 1 ,B y 222p ,y 2 ,则y 1+y 2=p ,y 1y 2=-p 2,由NA ⊥NB 得 y 122p +2 y 222p +2 +(y 1-2)·(y 2-2)=0,所以p 44p 2+1p [(y 1+y 2)2-2y 1y 2]+4-p 2-2p+4=0,即-3p 2+p+8=0,解得p=4或p=-8(舍),故选D . 12.D 设直线AB 的方程为x=ty+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0), 联立 4y 2=x ,x =ty +m ,可得4y 2-ty-m=0,根据韦达定理有y 1y 2=-m 4,∵OA ·OB=15,∴x 1x 2+y 1y 2=16,从而16(y 1y 2)2+y 1y 2-15=0, ∵点A ,B 位于x 轴的两侧,∴y 1y 2=-1,故m=4. 不妨令点A 在x 轴上方,则y 1>0,又F 116,0 ,∴S △ABO +S △AFO =1×4×(y 1-y 2)+1×1y 1=65y 1+21≥265y 1×21= 65, 当且仅当6532y 1=2y 1,即y 1=8 6565时,取“=”号,∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 652,故选D .13.A 方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意.设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得y 2=4x ,y =k 1(x -1), 消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥216k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ 不妨令θ∈ 0,π2 .作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得 |AF |·cos θ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cos θ.同理可得|BF|=21+cos θ,所以|AB|=41-cos 2θ=4sin 2θ.又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,则|DE|=4sin 2 π2+θ=4cos 2θ,所以|AB|+|DE|=42+42=422=414sin 22θ=162≥16,当θ=π时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .14.x 2+y 2=1(x ≠0且x ≠± ) 由题设知|x 1|> A 1(- ,0),A 2( 则有直线A 1P 的方程为y=1x + 2(x+ ① 直线A 2Q 的方程为y=1x -2(x- 2),②联立①②,解得 x =2x 1,y = 2y 1x 1,∴ x 1=2x ,y 1= 2y x ,③ ∴x ≠0,且|x|< 2. ∵点P (x 1,y 1)在双曲线x 2-y 2=1上,∴x 12−y 12=1. 将③代入上式,整理得所求轨迹的方程为x 22+y 2=1(x ≠0,且x ≠± .15.(2,+∞) 设直线方程为y=1x+b ,即x=2y-2b , 代入抛物线方程y 2=2px ,可得y 2-4py+4pb=0, Δ=16p 2-16pb>0,∴p>b.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),得y 1+y 2=4p ,y 1y 2=4pb , k 1+k 2=y 1x 1+y2x 2=y 1x 2+x 1y 2x 1x 2=y 1(2y 2-2b )+(2y 1-2b )y 2(2y 1-2b )(2y 2-2b )=16pb -8pb16pb -16pb +4b2=2pb >2.故答案为(2,+∞). 16.±2 2 由题意,设|AF|=m ,|BF|=n ,则1m +1n =2p =1,∴m+4n= 1m +1n (m+4n )=5+4nm +mn≥9,当且仅当m=2n 时,m+4n 的最小值为9,设直线的斜率为k ,方程为y=k (x-1),代入抛物线方程,得 k 2(x-1)2=4x.化简得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=1,x1+x2=2+4k2.根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴x1+1=2(x2+1),联立可得k=±2 2.17.解(1)如图,连接CP,OP,由AC·BC=0,知AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|=1|AB|,由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,化简,得x2-x+y2=4.(2)存在.根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p>0)上,其中p2=1.∴p=2,故抛物线方程为y2=4x,由方程组y2=4x,x2-x+y2=4,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,由x≥0,故取x=1,此时y=±2.故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).18.解(1)存在.由题意直线l的斜率必存在,设直线l的方程是y-1=k(x-t).代入x2+2y2=2得(1+2k2)x2+4k-kt+12x+2-kt+122-2=0.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2t,即4k kt-121+2k2=2t,解得k=-t,此时方程①即(1+2t2)x2+4k t2+12x+2 t2+122-2=0.由Δ=-8t4+8t2+6>0,解得0<t2<3,当t=0时,显然不符合题意;当t≠0时,设直线OP的斜率为k1,只需k1+k2=0,即1+(-t)=0,解得t=±2,均符合题意.(2)由(1)知l的方程是y=-tx+t2+1,所以S=12t2+12|x1-x2|=1 2 t2+12-8t4+8t2+61+2t2=14-8t4+8t2+6,因为0<t2<32,所以当t2=12时,S max=22.。
20-21版：§2.5 直线与圆锥曲线（步步高）
§2.5直线与圆锥曲线学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离知识点二弦长公式若直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] .1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．( × ) 2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．( √ )题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？ 解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．反思感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形． 跟踪训练1 已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，直线l 的斜率为k 且直线l 过点P (1,1)，当k 为何值时，直线l 与双曲线C ：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ 解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(1－k )，x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.(*)当k 2－2＝0，即k ＝±2时，(*)式只有一解，直线l 与双曲线相交，只有一个公共点． 当k 2－2≠0时，Δ＝24－16k ，若Δ＝0，即k ＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k <32且k ≠±2，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k >32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点；(2)当k <32且k ≠±2时，直线l 与双曲线有两个公共点；(3)当k >32时，直线l 与双曲线无公共点．题型二 中点弦及弦长问题例2 已知点A (－1,0)，B (1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝322，求直线PQ 的方程．解 (1)设M (x ，y )，则k MA ＝y x ＋1，k MB ＝y x －1(x ≠±1)， ∴y x ＋1×y x －1＝－2，∴x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0，∴k ∈R ， x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，∴|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22·k 2＋1k 2＋2， ∴|PQ |＝322＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，∴直线PQ 的方程是y ±2x －1＝0.反思感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．跟踪训练2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B ，C 是AB 中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0，a ≠b )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得， a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a ， 再由|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 2＋2y 2＝3. 题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题例3 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)求证：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (易知k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，得A ⎝⎛⎭⎫2k 2，2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，得B (2k 2，－2k )． ∴直线AB 所在直线方程为(y ＋2k )⎝⎛⎭⎫2k 2－2k 2＝⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x －2k 2)，化简得x －⎝⎛⎭⎫1k －k y －2＝0， ∴直线过定点P (2,0)．(2)解 由于直线AB 所在直线方程过定点P (2,0)， ∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0. ∴|y 1－y 2|＝(2m )2＋16＝4m 2＋16.∴S △AOB ＝12|y 1|·|OP |＋12|y 2|·|OP |＝12|OP |·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝4m 2＋16≥4.∴△AOB 面积的最小值为4. 反思感悟 (1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2，设C (x C ，y C )，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C＝k ⎝⎛⎭⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1， 若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,4) 答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交， 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，得4x 2－4x －m ＝0.(*) 设此直线与抛物线相切，有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入(*)式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43.∴S △AOB ＝12|OF ||y A －y B |＝53.5．过点A (6,1)作直线l 与双曲线x 216－y 24＝1相交于两点B ，C ，且A 为线段BC 的中点，则直线l 的方程为________________． 答案 3x －2y －16＝0解析 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116－y 214＝1，x 2216－y224＝1，∴x 21－x 2216－y 21－y 224＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝124×2＝32.即k BC ＝32，∴直线l 的方程是y －1＝32(x －6)．即3x －2y －16＝0，经验证符合题意．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．。
高二数学 专题 直线与圆锥曲线的综合问题(强化训练)(解析版)
专题直线与圆锥曲线的综合问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中点弦问题题型四定点问题题型五定值问题题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.【详解】将直线l ：()()211740+++--=m x m y m 变形为l ：(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，于是直线l 过定点()3,1，而223171181212+=<，于是点()3,1在椭圆C ：2211812x y +=内部，因此直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=相交．故选：A ．2．若直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)(1,5)⋃D ．[1,5)(5,)+∞ 【答案】D【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.【详解】直线1y kx =+恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即220115m+≤，解得m 1≥，又5m ≠.故选：D3．直线340x y -=与双曲线221916y x -=的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断【详解】方法一：联立直线340x y -=与双曲线221916y x -=的方程，221916340y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，得221691916y y -=，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.方法二：由220916y x -=，得340x y ±=，所以双曲线的渐近线方程为340x y ±=，因为直线340x y -=是双曲线221916y x -=的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A4．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线y =与C 无公共点”的e 的一个值为.【答案】2（注：区间(]1,2内任何一个值）【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为b y x a=±，离心率1e >，若满足直线y =与C无公共点，则需222231312b c a e e a a -≤≤⇒-≤⇒<≤，故答案为：25．直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则实数k =．【答案】1±【分析】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，对二次系数是否为0分类讨论可得.【详解】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，整理得()221220k x kx -+-=，当210k -≠时，由()22Δ4810k k =+-=得k =又注意到直线1y kx =-恒过点()0,1-，且渐近线的斜率为1±时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：1±6．已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，则实数a 的值为.【答案】0或1-或45-【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.【详解】当0a =时，曲线2y ax =为直线0y =，显然直线1y x =-与0y =有唯一公共点(1,0)，因此0a =；当0a ≠时，由2(1)1y a x y ax=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：22(1)(32)10a x a x +-++=，当1a =-时，1,1x y =-=-，直线1y =-与曲线2y x =-有唯一公共点(1,1)--，因此1a =-；当0a ≠且1a ≠-时，222(32)4(1)540a a a a ∆=+-+=+=，则45a =-，此时直线115y x =-与曲线245y x =-相切，有唯一公共点，因此45a =-，所以实数a 的值为0或1-或45-.故答案为：0或1-或45-7．如图，已知直线:450l x y m -+=和椭圆22:1259x y C +=．m 为何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【答案】(1)2525m -<<(2)125m =，225m =-(3)25m <-，或25m >【分析】（1）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据0∆>求解即可.（2）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据Δ0=求解即可.（3）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据Δ0<求解即可.【详解】（1）由方程组22450,1259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222582250x mx m ++-=，()()2222644252253625m m m ∆=-⨯⨯-=⨯-．由0∆>，得2525m -<<．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点．（2）由Δ0=，得125m =，225m =-．此时方程①有两个相等的实数根，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．（3）由Δ0<，得25m <-，或25m >．此时方程①没有实数根，直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二弦长问题8．已知椭圆的长轴长为2a，焦点是()1F、)2F，点1F到直线2x=2F且倾斜角为45︒的直线l与椭圆交于,A B两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB的长．【答案】(1)221 4x y+=(2)8 5 .【分析】（1）根据题意及椭圆方程,,a b c的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【详解】（1）由已知可得c=2⎛=⎝，解得24a=，则222431b a c=-=-=，所以椭圆方程：2214x y+=.（2）由已知可得直线l斜率1k=，方程为y x=联立2214y xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2580x-+=，设()11,A x y，()22,B x y，则12x x+1285x x=，则85 AB===，所以线段AB的长为85.9．直线y kx b=+与椭圆2214x y+=交于,A B两点，记AOB的面积为S.(1)当0k=，12b<<S的取值范围；(2)当43AB =，223S =时，求直线AB 的方程.【答案】(1)S ⎤∈⎥⎝⎦(2)y =或y =y =y =【分析】（1）联立方程求出,A B 坐标，表示出S 并求取值范围即可；（2）联立方程，消元后借助韦达定理，弦长公式，三角形面积公式求解即可.【详解】（1）设点()1,A x b ，()2,B x b ，由2214x y y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得1,2x =±，所以12AB x x =-=所以122S b =⨯==因为12b <<21344b <<，故当212b =时，max 1S =，所以S ⎤∈⎥⎝⎦.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kbx b +++-=，()22Δ16140k b =+->，122814kb x x k +=-+，()21224114b x x k -=+，所以12AB x x =-，又点O 到直线AB的距离d =，由43AB =，3S =，得d =所以()2221b k =+，43AB =所以22k =，即k =b =所以直线AB 的方程为y =y =y =-或y =-10．已知双曲线C 经过点(2,P ，且其两条渐近线相互垂直．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()0,2Q的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、，若OEF 的面积为O 为坐标原点），求直线l 的方程．【答案】(1)22122x y -=(2)2y =+或2y =+【分析】（1）根据题意可知双曲线C 为等轴双曲线，设双曲线C 的方程为22x y λ-=，把点(2,P 代入双曲线方程，可得双曲线方程；（2）可设直线l 的方程为()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =+，代入双曲线C 的方程并整理，根据直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、，进而可得k 的范围，根据韦达定理可求得1212,x x x x +，进而表示出EF 和原点O 到直线l 的距离根据OEF 的面积求得k ，进而可得直线方程．【详解】（1）因为双曲线C 的两条渐近线相互垂直，可知双曲线C 为等轴双曲线，设双曲线C 的方程为22x y λ-=，代入(2,P ，可得422λ=-=，所以双曲线C 的方程为222x y -=，即22122x y -=.（2）由题意可知：直线l 的斜率存在，设()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =+，联立方程2222y kx x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得()221460k x kx ---=，可得()22210Δ162410k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，解得203k ≤<且21k ≠，则12122246,11k x x x x k k +==---，可得=EF 且O 到直线:20l kx y -+=的距离d =由题意可得：1122==⋅=△OEF S d E F解得22k =或21k =-（舍去），即k =所以直线l 的方程为2y =+或2y =+.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>2．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线:3l y kx =+与双曲线交于,M N 两点，若MN =k 的值．【答案】(1)22143x y -=(2)k =1k =±【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线,,a b c 关系可求得,a b ，由此可得双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得k 的值.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为b y x a=±，设焦点坐标为(),0c ±，∴焦点到渐近线的距离d b ==又离心率c e a ==2222334b c a a ∴=-==，解得：24a =，∴双曲线C 的方程为：22143x y -=.（2）由223143y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()223424480k x kx ---=，则()22340Δ481240k k ⎧-≠⎪⎨=->⎪⎩，解得：23k <且234k ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则1222434k x x k +=-，1224834x x k =--，MN ∴=即()()()222213434k k k +-=-，解得：23365k =或21k =，均满足23k <且234k≠，65k ∴=±或1k =±.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为6.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为π4的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)22136x y -=(2)【分析】（1）由题意可知得26c =，且b =，再结合222b c a =-求出,,a c b ，进而可得双曲线的方程；（2）由题意可得直线l 的方程为3y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.【详解】（1）由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为6.得26c=，且b ，又222239c a b a =+==，解得23,3c a ==,所以222936b c a =-=-=，所以双曲线方程为22136x y -=.（2）由（1）可知双曲线C 的右焦点F 为(3,0)，所以直线l 的方程为3y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由221363x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得26150x x +-=，所以1212615x x x x +=-⎧⎨=-⎩，所以8AB =13．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+.(1)若直线l 与抛物线C 只有一个公共点，求k 的值；(2)过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ,B 两点，求OAB 的面积．【答案】(1)0k =或1k =(2)【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当0k =或0k ≠，即可求解；（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及1212OAB S OF y y =- 即可求解.【详解】（1）依题意，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2114y ky =+，即：2440ky y -+=，①当0k =时，有：440y -+=，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，要使得直线l 与抛物线C 只有一个公共点，则方程2440ky y -+=只有一个解，所以()24440k ∆=--⨯=，解得：1k =；综上所述，当0k =或1k =时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点．（2）由于抛物线C ：24y x =的焦点F 的坐标为()1,0，所以过点F 且斜率为1的直线方程为：1y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2440y y --=，则由韦达定理得：124y y +=，124y y =-，所以12y y -=所以1211122OAB S OF y y =-=⨯⨯= 题型三中点弦问题14．直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，线段AB 中点的纵坐标为1，O 为坐标原点，则O 到直线AB 的距离为（）ABC D ．25【答案】A【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，两式相减后结合线段AB 中点的纵坐标得出AB k ，再结合焦点F 的坐标得出直线AB 的方程，由点到直线距离公式计算即可．【详解】由抛物线24y x =得焦点(1,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+，因为线段AB 中点的纵坐标为1，即122y y +=，所以12122y y x x --=，即2AB k =，所以直线AB 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，显然此时直线与抛物线有两交点，所以O 到直线AB的距离d ==故选：A ．15．设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,4D ．()1,3【答案】C【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、C ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =+，联立方程22974419y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x --=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故C 正确；对于选项D ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故D 错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到9AB k k ⋅=，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.16．（多选）已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B ．椭圆C的离心率为3C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为3c e a ==，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()222121224F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长为(P 是E 上一点.(1)求E 的方程；(2)若,A B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，求AB 的值.【答案】(1)221123x y +=【分析】（1）利用椭圆长轴长以及椭圆上的点坐标即可求得E 的方程为221123x y +=；（2）设出,A B 两点坐标，利用点差法求出直线AB 的斜率为1k =，联立直线和椭圆方程利用弦长公式即可求出5AB =.【详解】（1）由题可知2a =，将(P 代入椭圆方程可得22421a b +=，联立解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故E 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222211231123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得222212120123x x y y --+=，即()121212124y y x x x x y y -+=--+.因为线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以可得直线AB 的斜率为()1212121214y y x xk x x y y -+==-=-+，即直线AB 的方程为2y x =+.联立方程组2221123y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得251640x x ++=，则12165x x +=-，1245x x =，所以4225AB ==.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2214xy +=，直线l ：y x t =+（t 为实数且0t ≠）与椭圆C交于A ，B 两点.(1)若直线l 过椭圆的右焦点，求OAB 的面积；(2)线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率.【答案】(1)5(2)14-【分析】（1）根据过焦点求出直线方程，联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线距离求出高即可得出三角形面积；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得出弦中点坐标，即可得出直线斜率.【详解】（1）由2214x y +=可知，2223c a b =-=，所以椭圆的右焦点为)，所以0t =，即t =，即直线l 方程为y x =由2214y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得2580x -+=，设1122(,),(,)A x y B xy ，则125x x +=，1285x x ⋅=，所以||AB =O 到直线l的距离d ==故112||22255OAB S d AB ==⨯△.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 由2214y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2258440x tx t ++-=，当22(8)80(1)0t t ∆=-->，即t <<0t ≠时，1285t x x +=-，212445t x x -⋅=，所以1212225t y y x x t +=++=，故1212004,2525x x y y t t x y ++==-==，即4,55t t M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0015445OMt y k t x ===--,即直线OM 的斜率为14-.19．已知抛物线2:6C y x =，过()3,2P 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且PA PB =，则直线l 的方程为.【答案】3250x y --=【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.【详解】因为()3,2P 在抛物线C 内部，又PA PB =，所以P 是AB 的中点.设()()1122,,,A x y B x y ，所以1222y y +=，即124y y +=，又()()1122,,,A x y B x y 在抛物线C 上，所以221122,66y x y x ==，两式作差，得()1212126y y y y x x -+=-，所以121232y y x x -=-，所以直线l 的方程为()3232y x -=-，即3250x y --=.故答案为：3250x y --=20．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率为2的直线l 与E 的一条渐近线垂直，且交E 于A ，B 两点，214AF AF -=.(1)求E 的方程；(2)设点P 为线段AB 的中点，求直线OP 的方程.【答案】(1)2214x y -=(2)18y x=【分析】（1）根据双曲线中212AF AF a -=，求得2a =，再由双曲线的渐近线方程及斜率，求出1b =，即可得到E 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，可表示出直线AB 和直线OP 的斜率，再用点差法求出直线OP 的斜率，即可得到直线OP 的方程.【详解】（1）因为在双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>中，214AF AF -=，所以24a =，即2a =.双曲线E ：22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，因为斜率为2的直线l 与E 的一条渐近线垂直，所以12b a =，所以1b =所以E 的方程为2214x y -=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则212112AB y y k x x -==-.线段AB 的中点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，则2121OP y y k x x +=+，又点A ，B 在双曲线E 上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，②－①得，()()()()21212121220x x x x y y y y a b -+-+-=，两边同时除以()()2121x x x x -+并整理，得22OP AB b k k a⋅=.又2AB k =，2a =，1b =，所以18OP k =.所以直线OP 的方程为：18y x =.题型四定点问题21．椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，左､右顶点分别为,A B ，点P 在Γ上.已知1APF △APB △与12F PF △的面积之比为2:1.(1)求Γ的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交Γ于,M N 两点，,M N 与A 不重合，直线AM 与AN 的斜率之积为328-.证明：l 过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)过定点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据几何关系得到点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，1AF P △面积最大，结合APB △与12F PF △面积之比，得到方程组，求出2,a b ==（2）方法一：设MN 的方程()0y kx m k =+≠，代入22143x y +=，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出2m k =或32k m =-，检验后得到32km =-符合要求，并求出所过定点；方法二：设直线MN 的方程为()21m x ny ++=，椭圆方程变形得到()223(2)12240x x y +-++=，联立得到2412312022y y n m x x ⎛⎫-⋅+-= ⎪++⎝⎭，若()(),2C x y x ≠-是MN 上的点，则AC 斜率为2y k x =+，得到24123120k nk m -+-=，故3124AM AN m k k -⋅=，求出27m =，求出定点坐标.【详解】（1）当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，1AF P △的面积最大，此时()1122APF S a c b =-= ，又12:2:22:1APB F PF S S a c == ，故()2222b a c a c a b c ⎧-=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,a b ==，∴曲线Γ的方程为22143x y +=.（2）方法一：设直线MN 的方程为()0y kx m k =+≠，代入22143x y +=得()2223484120k xkmx m +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，()()2222644344120k m k m ∆=-+->得22430k m -+>，则21212228412,3434km m x x x x k k --+==++，()22121222121212312322241616428AM ANy y y y m k k k x x x x x x k km m -⋅=⋅===-+++++-+，即()()22622320k km m k m k m +-=-+=，解得2m k =或32k m =-.当2m k =时，此时224330k m -+=>，直线():2MN y k x =+过定点A ，而,M N 与A 不重合，不合题意.当32k m =-时，此时222743304k m k -+=+>，此时直线3:2MN y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过定点3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足要求.方法二：由题意，直线MN 不经过点()2,0A -，设直线MN 的方程为()21m x ny ++=①.由方程22143x y +=得()22[22]143x y +-+=.()223(2)12240x x y ∴+-++=②.由①②得()()223(2)122240x x m x ny y ⎡⎤+-++++=⎣⎦，2412312022y y n m x x ⎛⎫∴-⋅+-= ⎪++⎝⎭.若()(),2C x y x ≠-是MN 上的点，则AC 斜率为2yk x =+，24123120k nk m ∴-+-=，,AM AN ∴的斜率3124AM AN m k k -⋅=，即3123428m -=-，解得27m =.MN ∴的方程为()2217x ny ++=，即2730x ny +-=，故过定点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．已知()0,1P为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上一点，长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析，定点为()2,1-【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【详解】（1）长轴长为2a =，故a ()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；（2）直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.23．已知圆22:(1)8E x y ++=，(1,0)F 为圆E 内一个定点，P 是圆E 上任意一点，线段FP 的垂直平分线l 交EP 于点Q ，当点P 在圆E 上运动时.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)已知圆O ：2223x y +=在C 的内部，,A B 是C 上不同的两点，且直线AB 与圆O 相切.求证：以AB 为直径的圆过定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k 与m 的关系，当直线斜率不存在时，以AB 为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以AB 为直径的圆过原点即可.【详解】（1）因为点Q 是线段FP 的垂直平分线上的一点所以QF QP=因为2QE QF QE QP EF +=+=>=所以点Q 的轨迹C 是以E ，F 为焦点的椭圆其中a 1c =，2221b ac =-=所以点Q 的轨迹C 的方程为：2212x y +=（2）（i ）当直线AB 垂直于x轴时，不妨设A ⎝⎭，B ⎝⎭，此时0OA OB ⋅= ，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .（ii ）当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线AB 与圆O 相切，所以点O 到直线AB的距离为d ==，即223220m k --=.由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=，所以122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，所以()()()()221212*********OA OB x x y y x x k x m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++ ，()2222222412121m km k km m k k ⎛⎫--⎛⎫=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22222122(4)2121k m km km m k k +-+-++=+222322021m k k --==+所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .综上所述，以AB 为直径的圆过定点O .24．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上．(1)点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；(2)点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】(1)12;(2)证明见解析.【分析】（1）代入点(2,1)A ，得22a =，从而得双曲线方程及1A ，2A 的坐标，设P 点坐标为(),x y ，则12PA PA k k =P 在双曲线C 上，即可得答案；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及12AM AN k k ⋅=，得()4210m k m +-=，舍去210k m +-=，从而得0m =，直线MN 过定点()0,0O ，ADO △为直角三角形，D ∠为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【详解】（1）解：因为点()2,1A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，所以双曲线22:12x C y -=，则())12,A A ．设P 点坐标为(),x y ，则12PA PA k k ==，所以12222PA PA y k k x ⋅=-．因为点P 在曲线C 上，所以2212x y =-，所以122211222PA PA x k k x -⋅==-，所以12PA PA k k ⋅的值为12．（2）证明：依题意，直线MN 的斜率存在，故设其方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，显然2120-≠k ，否则不可能有两个交点，()()()22222(4)412228120km k m m k ∆=----=+->，由韦达定理得2121222422,1212km m x x x x k k --+==--，因为直线,AM AN 的斜率之积为12，所以()()()()121212121111122222y y y y x x x x ----⋅==----，所以()()()()121222211x x y y --=--，即()()()()121222211x x kx m kx m --=+-+-，所以有()()()221212212122(1)40k x x k m x x m ⎡⎤-+-+++--=⎣⎦，将韦达定理代入化简得()4210m k m +-=，而当210k m +-=，此时直线l 为()1221y kx k k x =+-=-+，易知l 恒过定点()2,1A ，故舍去，所以0m =，此时满足Δ0>且直线MN 过定点()0,0O ，（如图所示）又因为,AD MN D ⊥为垂足，所以ADO △为直角三角形，D ∠为直角，所以当点Q 为斜边AO 的中点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，DQ 为定值522AO =．综上所述，存在定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，使得DQ ．25．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF -=，且双曲线焦距为4．(1)求双曲线C 的方程；(2)如果Q 为双曲线C 右支上的动点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得222QF M QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2213y x -=(2)存在，坐标为()1,0-【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可；（2）在x 轴负半轴上假设存在点M 满足题意，当2QF 垂直于x 轴时，易得()1,0M -，当2QF 不垂直于x 轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得()1,0M -.【详解】（1）因为点P 在双曲线上，所以由双曲线的定义可得1223PF PF a b -==①，又双曲线焦距即24c =，且222+=a b c ③，①②③联立解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）假设存在点()(),00M t t <满足题设条件，由题目可知()22,0F ，设()()000,1Q x y x ≥为双曲线C 右支上一点，当02x =时，03y =，因为22290QF M QMF ∠=∠=︒，所以245QMF ∠=︒，于是23MF QF ==，所以1t =-，即()1,0M -，当02x ≠时，2020tan 2QF y QF M k x ∠=-=--，020tan QM y QMF k x t∠==-，因为222QF M QMF ∠=∠，所以0002000221y y x t x y x t ⨯--=-⎛⎫- ⎪-⎝⎭，将220033=-y x 代入并整理得()22200002424223x t x t x tx t -++-=--++，所以242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-，即()1,0M -，综上，满足条件的点M 存在，其坐标为()1,0M -.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.26．在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点()2,4.(1)求C 的方程；(2)若C 关于x 轴对称，焦点为F ，过点()4,2且与x 轴不垂直的直线l 交C 于M ，N 两点，直线MF 交C 于另一点A ，直线NF 交C 于另一点B ，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)28y x =或2x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据待定系数法，代入点的坐标即可求解p ，（2）利用抛物线方程分别可设,,,A B M N 的坐标，进而可根据两点坐标求解斜率，即可得直线的方程，结合直线经过的点，即可代入化简求解.【详解】（1）若C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为22y px =，将点()2,4代入，得244p =，解得4p =，故C 的方程为28y x =；若C 的焦点在y 轴上，设抛物线C 的方程为22x py =，将点()2,4代入，得228p =，解得12p =，故C 的方程为2x y =；综上所述：C 的方程为28y x =或2x y =.（2）由（1）知抛物线C 的方程为28y x =，则其焦点()2,0F ，若直线l 不过点()2,0F，如图，设211,8y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,8y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,8y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知：直线MN 的斜率存在且不为0，则直线MN 的斜率12221212888MN y y k y y y y -==+-，所以直线MN 的方程为2111288y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()121280x y y y y y -++=，同理直线AM ，BN 的方程分别为()131380x y y y y y -++=，()242480x y y y y y -++=由直线MN 过定点()4,2，可得()1212232y y y y +-=，由直线AM ，BN 过焦点()2,0F ，可得132416y y y y ==-，对于直线AB 的方程为()343480x y y y y y -++=，由132416y y y y ==-，得1212161625680x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得()12122320y y x y y y +++=，又因为()1212232y y y y +-=，所以()()123210x y y y y +++=，令010x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线AB 恒过定点()1,1-若直线l 过点()2,0F ，直线AB 即为直线MN ，其方程为()200242y x --=--，即2y x =-，显然直线l 过点()1,1-；综上所述：直线AB 过定点()1,1-.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 27．已知过点(2,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)E y px p =>交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作直线MN y ⊥轴，垂足为N ，且PM PN ⊥.(1)求抛物线E 的方程；(2)若C 为E 上异于点,A B 的任意一点，且直线,AC BC 与直线2x =-交于点,D R ，证明：以DR 为直径的圆过定点.【答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 坐标，结合PM PN ⊥，可求得p 的值，得解.（2）设出点C 坐标，由点斜式方程求出直线AC 的方程，令2x =-，求出点D 坐标，同理求出点R 坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在x 轴上，设该点坐标为(,0)T a ，利用0DT RT ⋅=，可求出定点坐标.【详解】（1）由题意，可设直线l 的方程为2x my =+，将2x my =+代入22y px =，消去x 得2240y pmy p --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122y y pm +=，124y y p =-，M 是线段AB 的中点，21212(42)22M x x m y y x pm +++∴===+，122M y y y pm +==，即2(2,)M pm pm +，又MN y ⊥轴，∴垂足N 的坐标为(0,)pm ，则2(,)PM pm pm = ，(2,)PN pm =- ，PM PN ⊥ ，22220PM PN pm p m ∴⋅=-+= 对任意的R m ∈恒成立，220p p ∴-+=，又0p >，解得2p =，故抛物线E 的方程为24y x =.（2）设2(,)4t C t ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，由（1）可知，124y y m +=，128y y =-，则12211444AC y t k y t y t -==+-，直线AC 的方程为214()4t y t x y t -=-+，令2x =-，则211184(24ty t y t y t y t-=+--=++，118(2,ty D y t -∴-+，同理228(2,)ty R y t--+，由抛物线的对称性可知，若以线段DR 为直径的圆过定点，则定点必在x 轴上，设该点坐标为(,0)T a ，则118(2,ty DT a y t -=+-+ ，228(2,)ty RT a y t -=+-+ ，且0DT RT ⋅= ，2121288(2)0ty ty a y t y t--∴++⋅=++，22212121222121212888()6483264(2)8()48ty ty t y y t y y t mt a y t y t y y t y y t t mt ---++--+∴+=-=-=-=++++++-，2a ∴=或2a =--，∴以DR为直径的圆过定点2,0)和(2,0)-.题型五定值问题28．已知A ，B 为椭圆222:1y E x a+=的左、右顶点，过其焦点(0,1)F 的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，并与x轴交于点P (异于A ，B )，直线AC ，BD 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅为定值.【答案】证明见解析【分析】直线与椭圆相交，将直线与椭圆方程进行联立得()222210k x kx ++-=，根据韦达定理找到()11,C x y ，()22,D x y 坐标之间的关系，由所证明得式子知，需表示出P ，Q 两点的坐标，其中P 点坐标，由直线CD 方程可直接表示出，即1,0P k骣琪-琪桫，Q 点坐标需联立直线AC 与直线BD 的方程，求出Q x 然后求出向量的数量积即可.【详解】由题知211a -=，即22a =，则22:12y E x +=，所以()1,0A -，()10B ,,当直线CD 斜率不存在时，直线AC 与直线BD 平行，无交点，不满足题意；所以直线CD 斜率存在，设直线CD 的斜率为k ，因为直线CD 过椭圆焦点，且与x 轴有交点，所以0k ≠，则直线CD 的方程为1y kx =+，()0k ≠，设()11,C x y ，()22,D x y ，(),Q Q Q x y，如图所示：则1,0P k 骣琪-琪桫，直线AC 的方程为()1111y y x x =++，直线BD 的方程为()2211y y x x =--，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222210k x kx ++-=，且()()222242880k k k D =+´+=+>，12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以12x x -==()121212241122y y kx kx k x x k +=+++=++=+，联立()()11221111y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得：122121122112Q x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()()()12212112212114112x kx x kx k x x x kx x kx k ++++-=+-+++()()121221122242kx x x x k x x x x k +++-=-++22222221222k k k k k k k ---=k ==-，所以(),Q Q k y -，因为1,0P k骣琪-琪桫，所以1OP OQ ⋅= ，即：OP OQ ⋅为定值.29．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>C 经过点12p ⎫⎪⎭．(1)求椭圆的标准方程C ；(2)若直线y kx m =+与轨迹C 交于M N ，两点，O 为坐标原点，直线OM ON ，的斜率之积等于14-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得MN ，再表示出O 点到直线MN 的距离d ，由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意得222223114c a a b a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2241a b ==，，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122，，，M x y N x y ，联立直线和椭圆方程可得：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222148440kxkmx m +++-=，所以()()222264414440k m k m ∆=-+->，即2241k m +>，则21212228441414km m x x x x k k --+=⋅=++，14OM ONk k ⋅=- ，()()121212121144kx m kx m y y x x x x +⋅+∴=-⇒-()2212121214k x x km x x m x x +++⇒=-，把韦达定理代入可得：()2222222148144444k m k m k m m +-++=---，整理得()22241*m k =+，又MN ==而O点到直线MN 的距离d =所以12OMNS d MN == 把()*代入，则1OMN S == ，可得OMN S △是定值1．30．已知椭圆C ：22221x y a b+=过点()2,1A --，且2a b =．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()4,0B -的直线l 交C 于点M ，N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ．求证：PBBQ为定值．【答案】(1)22182x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由点在椭圆上及2a b =，代入椭圆求得22b =，即可得椭圆方程；（2）令:(4)l y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立椭圆，应用韦达定理得22121222328(81),1414k k x x x x k k -+=-=++且1122k -<<，点斜式写出直线,MA NA 的方程求出P ，Q 的纵坐标，再由||P Q PB y BQ y =及韦达公式代入化简即可证.【详解】（1）由题设22241124b b b +=⇒=，则2248a b ==，故椭圆C 的方程为22182x y +=，（2）由题设，直线l 的斜率一定存在，令:(4)l y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立椭圆，整理得2222(14)326480k x k x k +++-=，且422102432(14)(81)0k k k ∆=-+->，所以21114022k k ->⇒-<<，且22121222328(81),1414k k x x x x k k -+=-=++，由题意，直线,MA NA 的斜率必存在，则111:12)2y MA y x x ++=++，令4x =-，则1111124(12)8422P x y k x k y x x +++++=-=-++；同理221:1(2)2y NA y x x ++=++，令4x =-，则22(12)842Q k x k y x +++=-+；所以1221[(12)84](|(|||2)[12)84](2)P Q P k B x k x k x k x B y Qy +++++++==+12211212428|48|2x x x x x x x x =++++++将韦达公式代入整理得PB BQ 222222222832212||83x k x k x k x k ++---==，为定值.31．已知F 为抛物线C 的焦点，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点D 在C 上，使得ABD △的重心G 在x 轴的正半轴上，直线AD ，BD 分别交x 轴于Q ，P 两点.O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，4AB =.(1)求C 的标准方程.(2)记P ，G ，Q 的横坐标分别为P x ，G x ，Q x ，判断223P Q G x x x +-是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)1-【分析】（1）先判断焦点在x 轴，再根据抛物线的定义，结合4AB =即可.（2）设直线AB ：12x ky =+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)G P Q A x y B x y D x y G x P x Q x ，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意P x ，G x ，Q x 用12,y y 表示，计算即可.【详解】（1）依题ABD △的重心G 在x 轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为：22(0)y px p =>，当AB OF ⊥时，2A B p x x ==，则2422A B p pAB x x p =+++==，则抛物线方程为：24y x =.（2）依题知直线AB 的倾斜角不为0，则设直线AB ：12x ky =+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)G P Q A x y B x y D x y G x P x Q x ，由2124x ky y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2420y kx --=，。
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线专题
题型分类 深度剖析
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 例1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：
x2－4y2＝4，当k为何值时： (1)l与C无公共点； (2)l与C有唯一公共点； (3)l与C有两个不同的公共点
思维启迪：联立方程，解方程组，通过方程
的解的个数分析直线l与双曲线的关系．
解 将直线与双曲线方程联立消去y，得 (1－4k2)x2－16kx－20＝0.①
2．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中 点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解 题中要充分重视韦达定理和判别式的应用． 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦 达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉 及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦 所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转 化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与 量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍． 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达 定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
易错分析 (1)很多考生误以为a≠0，忽视对
a＝0的讨论，从而致误．(2)当a≠0时，转化
为一元二次方程，对二次项的系数的讨论，
也是一个易错点．
பைடு நூலகம்
感悟高考 明确考向
(2010·浙江)已知 m>1，直线 l：x－my－m22＝0，椭圆 C： mx22＋y2＝1，F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点． (1)当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，△AF1F2， △BF1F2 的重心分别为 G，H.若原点 O 在以线段 GH 为 直径的圆内，求实数 m 的取值范围．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
高中数学 2.5直线与圆锥曲线同步训练 新人教B版选修21
§2.5 直线与圆锥曲线一、基础过关1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ( ) A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 2．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l 的斜率等于( )A ．1B ．－1C ．±1 D．±23．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1 (a ，b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)交于点M 、N ，则|MN |等于( )A ．a ＋bB.2aC.2a 2＋b 2D.2a 2－b 24．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.5．过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程为__________________． 二、能力提升6．已知m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是( )7．已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P 、Q 两点，则直线PQ 的斜率为 ( )A ．－14B ．－12 C.14 D.128．对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 20<4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，若点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，则直线l ：y 0y ＝2(x ＋x 0)与C( )A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．可能有一个公共点也可能有两个公共点D ．没有公共点9．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是________________________________________________________________________． 10．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．11．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若△OAB 的面积为10，求k 的值； (2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过点M 作斜率为k (k ≠0)的直线l ，与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点E (x 0,0)．(1)求k 的取值范围； (2)求证：x 0<－3；(3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时的k值；若不能，请说明理由．三、探究与拓展13．已知双曲线方程为2x2－y2＝2.过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案1．D 2．C 3．C 4．85．x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋16．C 7．B 8．D 9．x ＋4y ＝0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－455<x <45510．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近d ＝|16－8|32＋－22＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.11．(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k2，x 1x 2＝1. 由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·1k4＋4k2，由点到直线距离公式d ＝|k |1＋k 2，得S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16.(2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2.∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2，∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1y 2＝－x，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1， 即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ， ∴以弦AB 为直径的圆必过原点．12．(1)解 由y 2＝－4x 可得准线方程为x ＝1，∴M (1,0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A 、B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1. 又k ≠0，∴k ∈(－1,0)∪(0,1)．(2)证明 设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1＝－2k k 2＝－2k .即y ＋2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2－2k 2.令y ＝0，x 0＝－2k2－1，∵k 2∈(0,1)，∴x 0<－3.(3)解 假设存在以EF 为底的等腰△PEF ， ∴点P 在线段EF 的垂直平分线上， ∴2x 3＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2k 2，∴2·k 2－2k 2＝－2－2k 2，解得k ＝±22，∴△PEF 可以成为以EF 为底的等腰三角形，此时k 值为±22. 13．解 假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0， ∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥Ox ，则线段Q 1Q 2的中点不可能是点Q (1,1)， 所以直线Q 1Q 2有斜率，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2. ∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2 得2x 2－(2x －1)2＝2，即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．。
直线与圆锥曲线的位置关系(有答案)汇编
第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系（教师）【2013年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27.答案 C4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得． 解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )． A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解析 由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个． 答案 B考向二 弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二 由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围． [审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上． 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－(－2)＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)． 令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③ 由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)， 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)， 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)， 将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0·()－k ，y 0＝1. 故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确． 【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0， 解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答． 【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分)当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 |BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A|＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a ，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分) 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． [尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)． F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20解析：如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5.△ABF 2的周长为20. 答案：D2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，1PF ·2PF 的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴1PF ＝(－3，－1)，2PF ＝(3，－1)． ∴1PF ·2PF ＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意：B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12， ∴12<e <23. 答案：C4．(2011·东北三校第一次联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56. 答案：B5．(2012·潍坊模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0.答案：B 二、填空题6．(2011·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x ＝c ，则|y |＝b 2a ，由题意得|PF 2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a ，∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2，又∵0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－17．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x 三、解答题8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)， 所以a ＝22，c ＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：P (x 0，y 0)， 则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.9．(2012·大连模拟)已知椭圆C 过点M (1，32)，两个焦点为A (－1,0)，B (1,0)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点A (－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1⇒(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1·y 2＝－93k 2＋4，所以S △BPQ ＝12·|F 1F 2||y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4.令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △BPQ ＝123t ＋1t ，而3t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增， 所以S △BPQ ＝123t ＋1t ≤3，当t ＝1时取等号， 即当k ＝0时，△BPQ 的面积最大值为3.10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12. 综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。
高中数学《直线与圆锥曲线位置关系》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《直线与圆锥曲线位置关系》基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b +=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+=⎩（2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x akx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++−=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b−=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨−=⎩，消元代入后可得： ()()22222222220ba k x a kxm a m ab −−−+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k −，有可能为零。
所以要分情况进行讨论 当2220bb a k k a−=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。
高考数学一轮总复习课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系新人教A版
课时规范练52 直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固组1.若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点有()A.1个B.至多一个C.2个D.0个2.椭圆C的焦点F(±2,0),长轴长6,直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,则线段AB的中点坐标为()A.(2,)B.C.2,D.3.已知M,N是椭圆=1上关于原点对称的两点,P是该椭圆上不同于M,N的一点,若直线PM的斜率k1的取值范围为,1,则直线PN的斜率k2的取值范围为()A.,1B.C.1,D.4.过椭圆C:=1(a>b>0)右焦点F的直线l:xy=0交C于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,则椭圆C的方程为()A=1 B=1C=1 D=15.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于点A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)经过D(2,1),且斜率为k的直线l交椭圆C于P,Q两点(均异于点B),求直线BP与BQ的斜率之和.综合提升组7.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线交抛物线于A,B两点,若=3,则k的值为()A.3B.±3C.±D.±8.已知直线y=kx1与椭圆=1交于点A,B,与y轴交于点P,若=3,则实数k的值为()A B. C.± D.±9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,0的直线与该抛物线相交于A,B两点,若△AOF的面积与△BOF(O为坐标原点)的面积之比是2,则|AB|=()A B C D10.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆E的左、右焦点,M为E上任意一点,的最大值为1,椭圆右顶点为A.(1)求椭圆E的方程;(2)若过点A的直线l交椭圆于另一点B,过B作x轴的垂线交椭圆于点C(点C异于点B),连接AC 交y轴于点P.如果时,求直线l的方程.创新应用组11.已知F是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,直线l:y=k(xm)(m>0)与抛物线E交于A,B两点,与抛物线E的准线交于点N.(1)若k=1时,|AB|=4,求抛物线E的方程;(2)对于任意的正数m,都有|FA|·|FB|=|FN|2,求k的值.答案：课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系1.C因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,所以>3,即m2+n2<9,所以<1,即点(m,n)在椭圆=1内,所以直线与椭圆有2个交点.故选C.2.D因为a=3,c=2,所以b==1,设线段AB的中点坐标为M(x0,y0),则y0=x0+2,由结论k AB===1,得x0=,y0=x0+2=,故选D.3.B设点M(x0,y0),N(x0,y0),P(x1,y1),则k1k2=,∵点M(x0,y0),P(x1,y1)在椭圆上,=1,=1,=91,=91.∴k1k2==,∴k2=又k1∈,1,∴k2∈,故选B.4.A由直线xy=0,令y=0,可得x=,所以右焦点F(,0),由结论k AB k OP=,得1×=,所以a2=2b2,又c2=3,所以a2=6,b2=3,所以椭圆的方程为=1,故选A.5(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=1,=1,两式相减可得=0,又x1+x2=2,y1+y2=2,=,即+=0,整理得a2=2b2,c2=a2b2=b2,∴e=(方法2)由结论k AB===,得a2=2b2,c2=a2b2=b2,∴e=6.解(1)因为椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,1),所以=1,=1,则a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题设知直线l的方程为y=k(x2)+1,由题意B(0,1)不在直线l上,则k≠1.直线l与椭圆联立整理得(1+3k2)x2+(6k12k2)x+12k212k=0,由Δ>0,得0<k<4,且k≠1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,k BP+k BQ===2k+2(1k)=2k+2(1k)=2k+2(1k)=1.故直线BP与BQ的斜率之和为1.7.C由抛物线的方程可得F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x1),代入抛物线方程消去y,可得k2x22(2+k2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),显然Δ>0恒成立,则x1+x2=,x1x2=1,所以y1+y2=k(x1+x22)=所以=(1x1,y1),=(x21,y2),由=3,可得则x2=+1,y2=,代入抛物线方程可得2=4+1,解得k=±,故选C.8.C设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得P(0,1),联立整理得(3+4k2)x28kx8=0,Δ>0显然成立,x1+x2=,①x1x2=,②因为=3,则(x1,1y1)=3(x2,y2+1),可得x1=3x2,将其代入①可得2x2=,可得x2=,则x1=,又x1x2=,则有,解得k2=,即k=±,故选C.9.A由题意知,所以p=1,抛物线方程为y2=2x,设直线AB的方程为x=my+,设A(x1,y1),B(x2,y2),点A在x轴上方,则m>0,联立整理得y22my1=0,y1+y2=2m,y1y2=1,由题意=2,可得y1=2y2,解得m=,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)+1=,由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p= 10.解(1)当M为椭圆的短轴端点时,取得最大值,即S=2c×b=1,又,a2=b2+c2,解得a=,b=1,c=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)A(,0),根据题意,直线l斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x),B(x0,y0),联立得(1+2k2)x24k2x+4k22=0,+x0=x0=,即B,由题意得C,又直线AC:y=k(x),故P(0,k),=(,k)·k=, 即8k4+18k25=0,解得k2=(舍),k2=,故k=±,直线l的方程为y=或y=,即x2y=0或x+2y=0.11.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得k2x22(k2m+p)x+k2m2=0,因为直线l与抛物线交于两点,所以k≠0.又因为m>0,p>0,所以Δ=8k2mp+4p2>0恒成立,所以当k=1时,|AB|=4,所以|AB|=|x1x2|=2=4,化简得(p+2m+2)(p2)=0.因为p>0,m>0,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(2)因为抛物线E的方程为y2=2px,焦点为F,0,准线为x=,所以N,k m+,从而|FN|2=p2+k2m+2,由抛物线的定义可得,|FA|=x1+,|FB|=x2+,所以|FA|·|FB|=x1+·x2+=x1x2+(x1+x2)+=m+2+,由|FA|·|FB|=|FN|2得m+2+=p2+k2m+2,即(k21)m+2+=0,因为m+2>0,>0,所以k21=0,解得k=±1.。
高考数学一轮复习考点规范练52 直线与圆锥曲线
考点规范练52 直线与圆锥曲线考点规范练B 册第37页基础巩固1.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A .54 B.5 C .√54D .√5答案:D解析:不妨设x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线y=ba x 与y=x 2+1只有一个交点, 由{y =ba x ,y =x 2+1,得ax 2-bx+a=0,所以Δ=b 2-4a 2=0,即c 2-a 2-4a 2=0,c 2a 2=5,e=ca =√5.故选D .2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y=2x 2上的两点,直线l 是AB 的垂直平分线.当直线l 的斜率为12时,直线l 在y 轴上的截距的取值范围是( ) A .(34,+∞)B .[34,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,-1)答案:A解析:设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程为y=12x+b ,过点A ,B 的直线可设为y=-2x+m ,联立方程{y =2x 2,y =-2x +m得2x 2+2x-m=0,从而有x 1+x 2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12.又AB 的中点(-12,m +1)在直线l 上,即m+1=-14+b ,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是(34,+∞).3.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( ) A .√63B .√33C .√23D .13答案:A解析:以线段A 1A 2为直径的圆的方程是x 2+y 2=a 2. 因为直线bx-ay+2ab=0与圆x 2+y 2=a 2相切, 所以圆心到该直线的距离d=√b 2+a 2=a ,整理,得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2), 所以c 2a 2=23,从而e=ca =√63.故选A .4.过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (1,0)作x 轴的垂线与双曲线交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为83,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±32x B.y=±2√2x C.y=±2√3x D.y=±2x答案:B解析:由题意得|AB|=2b 2a ,∵S △AOB =83,∴12×2b 2a×1=83,∴b 2a=83.①∵a 2+b 2=1,② 解①②得a=13,b=2√23, ∴双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±2√2x.故选B .5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( ) A.2 B .4√55C .4√105D .8√105答案:C解析:设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y=x+t , 由{x 2+4y 2=4,y =x +t 消去y , 得5x 2+8tx+4(t 2-1)=0. 则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4(t 2-1)5.所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2·√(-85t)2-4×4(t 2-1)5=4√25·√5-t 2,当t=0时,|AB|max =4√105. 6.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案:A解析:方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意. 设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16, 当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ(不妨令θ∈(0,π2)).作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得{|AF |·cosθ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cosθ. 同理可得|BF|=21+cosθ,所以|AB|=41-cos 2θ=4sin 2θ. 又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ, 则|DE|=4sin 2(π2+θ)=4cos 2θ,所以|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=414sin 22θ=16sin 22θ≥16,当θ=π4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .7.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 . 答案:2解析:如图,由F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|F 1A|=|AB|.又|OF 1|=|OF 2|,得BF 2∥OA ,且|BF 2|=2|OA|.由F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得F 1B ⊥F 2B. 则OA ⊥F 1A ,|OB|=|OF 1|=|OF 2|.故∠BOF 2=∠AOF 1=2∠OF 1B ,得∠BOF 2=60°. 则ba =tan 60°=√3.所以e=ca =√1+(ba )2=√1+3=2.8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点F (-2,0),上顶点B (0,2). (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,且线段MN 的中点G 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.解:(1)由题意可得,c=2,b=2, 由a 2=b 2+c 2得a 2=22+22=8, 所以a=2√2.故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.(2)设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段MN 的中点G (x 0,y 0), 由{y =x +m ,x 28+y 24=1消去y 得3x 2+4mx+2m 2-8=0,则Δ=96-8m 2>0, 所以-2√3<m<2√3. x 0=x 1+x 22=-2m 3,y 0=x 0+m=m3,因为点G (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(-23m)2+(13m)2=1. 解得m=±3√55. 9.在平面直角坐标系xOy 中,直线l :y=t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p>0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H. (1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由. 解:(1)由已知得M (0,t ),P (t 22p ,t). 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=pt x ,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p.因此H (2t 2p ,2t).所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点. 理由如下:直线MH 的方程为y-t=p2t x ,即x=2tp (y-t ).代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点, 所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.能力提升10.设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案:D解析:如图所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则{y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).当l 的斜率不存在,即x 1=x 2时,符合条件的直线l 必有两条. 当l 的斜率k 存在,即x 1≠x 2时,有2y 0(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),即k=2y 0.由CM ⊥AB ,得k CM =y 0x-5=-y02,即x 0=3. 因为点M 在抛物线内部,所以y 02<4x 0=12,又x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0,即0<y 02<12.因为点M 在圆上,所以(x 0-5)2+y 02=r 2,即r 2=y 02+4. 所以4<r 2<16,即2<r<4,故选D .11.已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( ) A .x 22+y 2=1 B .x 23+y 22=1 C .x 24+y 23=1D .x 25+y 24=1答案:B解析:如图,由已知可设|F 2B|=n ,|BF 1|=m.由|AB|=|BF 1|,则|AF 2|=m-n ,|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|, 故|AF 1|=2n.由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|, 得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2. ∴|AF 1|=a ,|AF 2|=a.∴点A 为(0,-b ).∴k AF 2=b1=b. 过点B 作x 轴的垂线,垂足为点P. 由题意可知△OAF 2∽△PBF 2.又|AF 2|=2|F 2B|,∴|OF 2|=2|F 2P|.∴|F 2P|=12. 又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b ,∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中,得a 2=3. 又c=1,故b 2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1.12.平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p>0)交于点O ,A ,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 . 答案:32解析:如图,双曲线的渐近线为y=±ba x.由{y=bax,x2=2py,得A(2bpa,2b2pa2).由{y=-bax,x2=2py,得B(-2bpa,2b2pa2).∵F(0,p2)为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·(-ba)=-1,解得b2a2=54,∴c2a2=94,即可得e=32.13.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x 24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2√a,a),N(-2√a,a)或M(-2√a,a),N(2√a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2√a处的导数值为√a,C在点(2√a,a)处的切线方程为y-a=√a(x-2√a),即√a x-y-a=0.y=x 24在x=-2√a处的导数值为-√a,C在点(-2√a,a)处的切线方程为y-a=-√a(x+2√a),即√a x+y+a=0.故所求切线方程为√a x-y-a=0和√a x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意.高考预测14.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点F 的坐标为(√3,0),点P 坐标为(-2,2),且直线PA 1⊥x 轴,过点P 作直线与椭圆E 交于A ,B 两点(A ,B 在第一象限且点A 在点B 的上方),直线OP 与AA 2交于点Q ,连接QA 1. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线QA 1的斜率为k 1,直线A 1B 的斜率为k 2,问:k 1k 2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意可知{a =2,c =√3,所以b=1.所以椭圆的方程为x 24+y 2=1. (2)是定值,定值为-14.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为直线AB 过点P (-2,2), 设直线AB 的方程为x=my-2m-2,联立{x 2+4y 2=4,x =my -2m -2⇒(m 2+4)y 2-(4m 2+4m )y+(4m 2+8m )=0,所以y 1+y 2=4m 2+4m m 2+4,y 1y 2=4m 2+8m m 2+4.因为点Q 在直线OP 上,所以可设Q (-t ,t ). 又Q 在直线AA 2上,所以t-t -2=y 1x 1-2⇒t=-2y 1x 1+y 1-2,所以k 1k 2=-2y 1x 1+y 1-22y1x 1+y 1-2+2·y 2x2+2=-y 1y 2(x2+2)(x 1+2y 1-2)=-y 1y 2(my2-2m )(m+2)(y 1-2)=-y 1y 2(m 2+2m )[y 1y 2-2(y 1+y 2)+4]=-14.。
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考点规范练52 直线与圆锥曲线考点规范练B 册第37页基础巩固1.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A .54 B.5 C .√54D .√5答案:D解析:不妨设x 2a −y 2b =1的渐近线y=ba x 与y=x 2+1只有一个交点,由{y =ba x ,y =x 2+1,得ax 2-bx+a=0,所以Δ=b 2-4a 2=0,即c 2-a 2-4a 2=0,c 2a 2=5,e=ca =√5.故选D .2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y=2x 2上的两点,直线l 是AB 的垂直平分线.当直线l 的斜率为12时,直线l 在y 轴上的截距的取值范围是( ) A .(34,+∞) B .[34,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,-1)答案:A解析:设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程为y=12x+b ,过点A ,B 的直线可设为y=-2x+m ,联立方程{y =2x 2,y =-2x +m 得2x 2+2x-m=0,从而有x 1+x 2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12.又AB 的中点(-12,m +1)在直线l 上,即m+1=-14+b ,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是(34,+∞).3.过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (1,0)作x 轴的垂线与双曲线交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为83,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±32x B.y=±2√2x C.y=±2√3x D.y=±2x答案:B解析:由题意得|AB|=2b 2a,∵S △AOB =83,∴12×2b 2a×1=83,∴b 2a=83.①∵a 2+b 2=1,② 解①②得a=13,b=2√23, ∴双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±2√2x.故选B .4.斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( ) A.2 B .4√55C .4√105D .8√105答案:C解析:设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y=x+t ,由{x 2+4y 2=4,y =x +t 消去y ,得5x 2+8tx+4(t 2-1)=0. 则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4(t 2-1)5.所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2·√(-85t)2-4×4(t 2-1)5=4√25·√5-t 2当t=0时,|AB|max =4√105. 5.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案:A解析:方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意. 设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ(不妨令θ∈(0,π2)).作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得{|AF |·cosθ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cosθ. 同理可得|BF|=21+cosθ,所以|AB|=41-cos θ=4sin θ. 又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,则|DE|=4sin 2(π2+θ)=4cos 2θ,所以|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=414sin 22θ=16sin 22θ≥16,当θ=π4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .6.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 . 答案:√22解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x 平行,且两平行线间的距离为√22.由图形知,双曲线右支上的动点P 到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于√22,要使距离d 大于c 恒成立,只需c ≤√22即可,故c 的最大值为√22.7.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点F (-2,0),上顶点B (0,2).(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,且线段MN 的中点G 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.解:(1)由题意可得,c=2,b=2,由a 2=b 2+c 2得a 2=22+22=8,所以a=2√2. 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.(2)设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段MN 的中点G (x 0,y 0), 由{y =x +m ,x 28+y 24=1消去y 得3x 2+4mx+2m 2-8=0,则Δ=96-8m 2>0,所以-2√3<m<2√3. x 0=x 1+x 22=-2m 3,y 0=x 0+m=m3,因为点G (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(-23m)2+(13m)2=1.解得m=±3√55. 8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l :y=t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p>0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H. (1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由. 解:(1)由已知得M (0,t ),P (t 22p ,t). 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=pt x ,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p.因此H (2t 2p,2t).所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点. 理由如下:直线MH 的方程为y-t=p2t x ,即x=2tp (y-t ).代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点, 所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.能力提升9.(2019广东六校第一次联考)抛物线y=2x 2上有一动弦AB ,中点为M ,且弦AB 的长为3,则点M 的纵坐标的最小值为( ) A .118B .54C .32D.1答案:A解析:由题意设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),直线AB 的方程为y=kx+b. 由题意知y 0≥b>0.联立得{y =kx +b ,y =2x 2,整理得2x 2-kx-b=0,Δ=k 2+8b>0,x 1+x 2=k 2,x 1x 2=-b 2,则|AB|=√1+k 2·√k 24+2b ,点M 的纵坐标y 0=y 1+y 22=x 12+x 22=k 24+b.因为弦AB 的长为3,所以√1+k 2√k 24+2b =3,即(1+k 2)(k 24+2b)=9,故(1+4y 0-4b )(y 0+b )=9, 即(1+4y 0-4b )(4y 0+4b )=36.由基本不等式得,(1+4y 0-4b )+(4y 0+4b )≥2√00+4b )=12,当且仅当{b =18,y 0=118时取等号,即1+8y 0≥12,y 0≥118,所以点M 的纵坐标的最小值为118.故选A . 10.已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( ) A .32 B.3 C.2√3 D.4答案:B解析:由条件知F (2,0),渐近线方程为y=±√33x ,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3.11.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案:32解析:如图,双曲线的渐近线为y=±bax.由{y=bax,x2=2py,得A(2bpa,2b2pa).由{y=-bax,x2=2py,得B(-2bpa,2b2pa).∵F(0,p2)为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·(-ba)=-1,解得b2a2=54,∴c2a2=94,即可得e=32.12.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x 24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2√a,a),N(-2√a,a)或M(-2√a,a),N(2√a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2√a处的导数值为√a,C在点(2√a,a)处的切线方程为y-a=√a(x-2√a),即√a x-y-a=0.y=x 24在x=-2√a处的导数值为-√a,C在点(-2√a,a)处的切线方程为y-a=-√a(x+2√a),即√a x+y+a=0.故所求切线方程为√a x-y-a=0和√a x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.高考预测13.已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(√3,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1⊥x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意可知{a=2, c=√3,所以b=1.所以椭圆的方程为x 24+y2=1.(2)是定值,定值为-14.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2), 设直线AB的方程为x=my-2m-2,联立{x2+4y2=4,x=my-2m-2⇒(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以y1+y2=4m 2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4.因为点Q 在直线OP 上,所以可设Q (-t ,t ). 又Q 在直线AA 2上,所以t-t -2=y 1x 1-2⇒t=-2y 1x 1+y 1-2,所以k 1k 2=-2y 1x 1+y 1-22y1x 1+y 1-2+2·y 2x2+2=-y 1y 2(x2+2)(x 1+2y 1-2)=-y 1y 2(my2-2m )(m+2)(y 1-2)=-y 1y 2(m +2m )[y 1y 2-2(y 1+y 2)+4]=-14.。