2021郑州一测高三数学理科含答案
河南省郑州市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题PDF版含答案
高三 理科数学答案 第1页 (共6页) 2020－2021学年上期中考21届 高三 理科数学参考答案第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一．选择题： 本大题共12小题，每小题5分．第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分．13．252 14．43- 15．①④ 16. ()1,2三．解答题： 本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 解：（1cos sin )sin sin B C A C B -=．……………2分 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =．由0πC <<，得sin 0C ≠． 所以sin BB =．又cos 0B ≠， 所以tan B = ……………………………………………4分 又0πB <<，得2π3B =．……………………………………………………6分 （2）由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-，……………8分 即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =．……………………10分 所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=……………………………………12分高三 理科数学答案 第2页 (共6页)18．(本小题满分12分)解：（1）证明：由底面ABCD 为矩形，得AB ⊥AD ，∵平面MAD ⊥平面ABCD ，平面MAD ∩平面ABCD =AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面MAD ，∵AB//CD ，CD ⊂平面MCD ，AB ⊄平面MCD ，∴AB//平面MCD ，∵平面MAB ∩平面MCD =MN ，∴MN//AB ，∴MN ⊥平面MAD ，∵MD ⊂平面MAD ，∴MN ⊥MD ．…………6分（2）解：如图，设AD 的中点为O ，过O 作OH//AB ，交BC 于H ，由题意知OA ，OH ，OM 两两垂直，以O 为原点，分别以OA ，OH ，OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()2,0,0D -，(M，(N ，设平面MBD 的法向量(),,n x y z =，则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x −2y =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −2y +2√3z =0， 取x =3，得(3,n =-，设平面NBD 的法向量(),,m a b c =，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a −2b =0m ⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +b +2√3c =0， 取a =1，得()1,2,0m =-，15cos ,=43m nm n m n ⋅∴=由图可知二面角M −BD −N 的平面角为锐角，所以 二面角M −BD −N 的余弦值为4．………………12分 19．(本小题满分12分) 解：（1）椭圆的半焦距为c.根据题意，得222221314c aab a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=+⎩，解得224,1a b ==． 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………………4分高三 理科数学答案 第3页 (共6页)（2）由l 不垂直于坐标轴知，直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为(),0y k x n k =-≠． 联立()2214x y y k x n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得()22222148440k x k nx k n +-+-=． 设()11,P x y ,()22,Q x y ，易知12x x m ≠≠． 由根与系数的关系，得221224414k n x x k -=+，2122814k n x x k+=+． 由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，所以12120y y x m x m+=--．……………8分 所以()()()()12211212=0220y x m y x m x x m n x x mn -+-⇔-+++=， 所以()222224482201414k n k n m n mn k k-⨯-++=++整理可得44,mn m n ==即 ． 因为02n <<，所以()2,m ∈+∞． ………………12分 20．(本小题满分12分)解：（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布B(3,12)，故P(k)=C 3k (12)k (12)3−k (k =0,1,2,3)．则k分(Ⅱ)①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为()12004P ξ==, ()33004P ξ== ， 所以()1320030027544E ξ=⨯+⨯=． 所以三个接种周期的平均花费为()()33275825E X E ξ==⨯=． ……7分高三 理科数学答案 第4页 (共6页) ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，()311882P A =+= ． 所以()()13002P Y P A ===,()()()160014P Y P A P A ==-⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()19001114P Y P A P A ==-⨯-⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()111300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯= ………11分 所以E(X)>E(Y)． ………12分 21．(本小题满分12分)解：解：（1）f(x)的定义域为()0+∞，，()22x a f x e x'=-． 显然当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，f′(x)无零点． ………2分 当a >0时，取()()22x a t x f x e x '==-，则()2240x a t x e x'=->，即f′(x)单调递增， 又f′(a)>0，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数f′(x)存在唯一零点．………4分 故当a >0时，f′(x)存在唯一零点，当a ≤0时，f′(x)无零点． ………5分（2）证明：由（1）知，当a ≤0时，f(x)单调递增，所以f(x)min =f(e)=e 2e −a =e 2e ，所以a =0．因为()21ln m x g x x --'=，函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为y −3=0， 所以()1=01m g x -'=，所以m =1． 又()1ln11+n=31g +=所以n =2，所以()1ln +2x g x x+=． ………8分 根据题意，要证f(x)≥g(x)，即证21ln 2x x e x +≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥．令()()22ln x h x x e x =--，则()()()221212121.x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭ 令()()210x F x e x x =->，则()22120x F x e x'=+>，所以F(x)在(0,+∞)上单调递增．又1404F ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以F(x)有唯一的零点011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．10分 当()00,x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()()02000min 2ln x h x h x x ex ==--． 又因为()00F x =，所以0201x e x =， 所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()()f x g x ≥． ……………………………12分 22．(本小题满分10分)解：（1）直线l的参数方程为2,()1,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数-， 消去参数t ，得l 的直角坐标方程为：10x y +-=．……………………2分曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，即22sin cos ρθρθ=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入，得曲线C 的直角坐标方程：2y x =，………5分（2）把直线l的参数方程2,2()1,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数-，代入C 的方程 2y x =， 得220t --=，………………………………………………7分设12t t 、分别为A B 、对应的参数，则122t t ⋅=-，…………………………9分 所以 12||||||||2PA PB t t ⋅=⋅=．…………………………………………10分 23．(本小题满分10分)解：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++．……………………………………2分 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<．……………………………………5分 （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<， 1,a b c a bc=--=，…………………………………………………………7分 ()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．………………9分当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥3max{,,}4abc ．…………………………………………10分。
河南省六市2021年高三第一次联合调研检测——数学(理)
2021年河南省六市高三第一次联合教学质量监测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．集合A ＝{x ｜211x x －＋≤0}，集合B ＝{x ｜y ，则集合A ∪B 等于 A ．[0，12] B ．（－1，＋∞） C ．（－1，1） D ．[－1，＋∞） 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()211i i z －＝＋，则｜z ｜等于A B ．2 C ．1 D3．等差数列{n a }的前n 项和为n S ，15S ＝30，10a ＝4，则9a 等于A ．2B ．3C ．4D ．84．为了得到函数g （x ）＝sin2x 的图象，需将函数()sin 26f x x π⎛⎫⎪⎝⎭＝－的图象 A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 5．132，log 26，3log 32的大小关系是A ．132＜log 26＜3log 32B ．132＜3log 32＜log 26C ．3log 32＜132＜log 26 D ．3log 32＜log 26＜132 6．()4112x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭－＋＋的展开式中x 的系数是 A ．10 B ．2 C ．－14 D ．347．函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－＋的部分图象大致形状是8．如图，在棱长为1正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱AB的中点，动点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥D 1M ，则动点P 的轨迹的长度为A ．2B ．5C ．16π D ．32 9．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数（10）10化为二进制数（1010）2，十进制数（99）10化为二进制数（1100011）2，把二进制数（10110）2化为十进制数为1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝16＋4＋2＝22，随机取出1个不小于（100000）2，且不超过（111111）2的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．932B ．931C ．1031D ．516 10．在三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ＝4，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝3，则该三棱锥的内切球的表面积为A ．45π B ．17π C ．32π D ．34π 11．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，M （x 0，12）为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，∠AMF ＝120°，过F 且与y 轴垂直的直线l 与C 交于G ，H 两点，P 0为C 的准线上的一点，则△GHP 0的面积为A ．1B ．2C ．4D ．912．若函数()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋－－有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A ．（0，224144e e e ＋－） B ．（1，224144e e e＋－） C ．（0，1）∪（1，224144e e e ＋－） D ．（0，1）∪{ 224144e e e＋－} 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝（1，2），b ＝（k ，1），且2a ＋b 与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为 __________．14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥－－≤－＋≥，则z ＝x －3y 的最小值为__________．15．设正数数列{n a }的前n 项和为n S ，数列{n S }的前n 项之积为n T ，且n S ＋2n T ＝1，则数列{n a }的通项公式是__________．16．已知直线l：0x ＝交双曲线Γ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若∠ABC ＝60°，则双曲线Γ的离心率为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．必考题：共60分17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2c b －＝sinCtanA－cosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝32，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求a及AD．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A—BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且2EF＝BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG＝3，CF＝212，BF＝52．（Ⅰ）求证：平面FGB⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E—AB—F的余弦值．19．（本小题满分12分）某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0．5）；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0．5）（Ⅰ）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．（Ⅱ）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．20．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221y xa b＋＝（a＞b＞0）3且过点（0，2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x －1－2lnx ＋x ．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明：f （x ）≥（x －2）3－3（x －2）．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ⎧⎨⎩＝＋＝＋（t 为参数，ϕ∈[0，π））， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 的坐标为P （1，1），若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求｜PA －PB ｜的最大值．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝2，求证：（Ⅰ）ab ＋bc ＋ac ≤43； （Ⅱ）2a b －·2b c －·2c a －≥8．。
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期第一次质量检测数学(理)试题Word版含解析
2021届河南省郑州市第一中学上学期第一次质量检测高三数学（理）试题一、选择题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得：，，所以。
故本题正确答案为点晴:本题考查的是集合的运算.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象的属性，这是很关键的一步.而本题中两个集合都是不等式的解集构成的集合，在求交集时注意区间端点的取舍. 通常用画数轴的方法来解交集、并集和补集的题目.2．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意得：，所以的共轭复数.故本题正确答案为3．命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称，故“，”的否定是：，，故选A.4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.5．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（）A. 3.119B. 3.126C. 3.132D. 3.151【答案】B【解析】发生的概率为，当输出结果为时，，发生的概率为，所以，即故选B.6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边边长为和，三棱柱的高为，三棱锥的底面是直角三角形，两直角边为和，三棱锥的高为，所以几何体的体积，故选B.7．设，则的展开式中常数项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,所以展开式的通项为：，令，常数项是，故选A.8．函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】所以为奇函数，排除选项又时，,图像在轴下方，故本题正确答案为9．已知数列满足（），且对任意都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列满足，时，，当时，,可得：，，数列为等比数列，首项为，公比为，，因为对任意都有，则的取值范围为，故选D.10．设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设因为，，且，则当且仅当，即时取等号，所以故选C.点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11．已知直线与双曲线相切于点，与双曲线两条渐进线交于，两点，则的值为（）A. B. C. D. 与的位置有关【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为当斜率不存在时，；当斜率存在时，设为消去得：，因为直线与双曲线相切，所以，化简得解得：，解得：，，将代入得，故选A.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.12．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】因为，若，且对任意的恒成立，即，因为即，对任意恒成立，令，则令，则所以函数在上单调递增.因为所以方程在上存在唯一实根，且满足当时，，即，当时，，即所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以=所以，因为，故整数的最大值为，故选B.点睛：不等式恒成立问题常用变量分离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，本题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则__________．【答案】【解析】由题意可知，，角为直线与轴非负半轴的夹角，所以，，，，根据两角和与差公式，.故本题正确答案为.14．已知实数，满足不等式组则的最小值为__________．【答案】【解析】做出约束条件的平面区域，如图所示：联立解得：，即由图可知：当直线过点时有最小值：.故答案为 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则__________．【答案】【解析】设点坐标为，点坐标为，抛物线的焦点为，由题意知直线的方程为，联立抛物线方程与直线方程得：，即交点的纵坐标为方程①的两个解，由韦达定理得：，由抛物线性质可知，点到抛物线焦点的距离为，点到抛物线焦点的距离为，所以，故本题正确答案为.16．若函数满足、，都有，且，，则__________．【答案】【解析】根据题意得：，令，得到；令，得到，则有：，猜想：，下面用数学归纳法证明此猜想：①当时，显然成立；②假设当成立，则，所以综上可得：；所以 .故本题正确答案为 .三、解答题17．已知外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理即可计算；（2）由正弦定理得到，再由余弦定理以及题目条件得到关于的方程，解出，代入三角形面积计算公式即可.试题解析：（1）由正弦定理可得：，所以，，．（2）由，得由余弦定理得，即，又，所以，解得或（舍去）．所以．18．如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得到，证出平面即可得证；（2）建立空间直角坐标系，计算得到平面的法向量，以及平面的法向量，计算二面角的余弦值即可.试题解析：（1）证明：在中，由于,∴,故．又，，∴平面，又，故平面平面．（2）如图建立空间直角坐标系，，，，，，，．设平面的法向量,由令, ∴．设平面的法向量,由，令，∴．，∴二面角的余弦值为19．北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．附：，其中．0.05 0.0103.74 6.63【答案】见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图补充列联表，再将列联表中的数据代入公式计算即可；（2）依题意得到，可以写出的分布列，再进行计算即可。
河南省郑州市2021届新高考数学一模考试卷含解析
河南省郑州市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值. 【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-，()2//b a a -，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A. 【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.2．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C 13D 22【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.3．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:20()P K k ≥0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【答案】B 【解析】 【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.5．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差 B ．中位数 C ．众数 D ．平均数【答案】A 【解析】 【分析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变， 根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-可知方差不变.故选：A 【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，设(ln (ln2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >> B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>【答案】B 【解析】根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，求得导函数，并构造函数()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小.【详解】()f x 为定义在R 上的偶函数，所以(ln ln c f f f ⎛⎛==-= ⎝⎭⎝⎭所以a c =;当0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，则)1(xf x e x =--'， 令()1xg x e x =--则1()x g x e '=-，当0x ≥时，)0(1xg x e =-≥'， 则()1x g x e x =--在0x ≥时单调递增，因为000)10(g e =--=，所以1(0)xg x e x --=≥， 即)0(1x x f x e =--≥'，则22()2xx xf x e +=-在0x ≥时单调递增，而0<<(f f<，综上可知，(ln f f f⎛=< ⎝⎭即a c b =<， 故选：B. 【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题. 7．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-【答案】A先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集. 【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 8．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.9．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=，本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.10．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 11．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞【答案】C 【解析】∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<， ∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.12．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省郑州市2021 2021学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
河南省郑州市2021 2021学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析河南省郑州市2021-2021学年高考数学一模试卷(理科)word版含解析2021-2021学年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分后，共60分后，在每个大题得出的四个选项中，只有一项就是渡河题目建议的.1．设全集u={x∈n*|x≤4}，集合a={1，4}，b={2，4}，则?u（a∩b）=（）a．{1，2，3}b．{1，2，4}c．{1，3，4}d．{2，3，4}2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）a．ib．2ic．1id．0=，则cosb=（）3．b，c所对的边分别为a，b，c，在△abc中，角a，若a．b．c．d．4．函数f（x）=excosx在点（0，f（0））处的切线方程就是（）a．x+y+1=0b．x+y1=0c．xy+1=0d．xy1=05．已知函数f（x）=（）xcosx，则f（x）在[0，2π]上的零点个数为（）a．1b．2c．3d．46．按如下程序框图，若输入结果为273，则推论框内？细细的补足的条件为（）a．i＞7b．i≥7c．i＞9d．i≥97．设双曲线+=1的一条渐近线为y=2x，且一个焦点与抛物线y=x2的焦点相同，则此双曲线的方程为（）a．x25y2=1b．5y2x2=1c．5x2y2=1d．y25x2=18．a4031是函数（fx）=x34x2+6x3的极值点，正项等比数列{an}中的a1，则=（）a．1b．2c．d．19．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）a．b．c．d．210．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若?x1∈[，1]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）a．a≤1b．a≥1c．a≤2d．a≥211．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线与椭圆交于a、b两点，若△f1ab就是以a为直角顶点的全等直角三角形，则距心率为（）a．b．2c．2d．12．未知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）b2＜0恰存有1个整数求解，则实数a的最大值就是（）a．2b．3c．5d．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式中，x2项的系数为．14．若不等式x2+y2≤2所表示的区域为m，不等式组则表示的平面区域为n，现随机向区域n内抛一粒豆子，则豆子落在区域m内的概率为．15．△abc的三个内角a，b，c，若=tan（π），则2cosb+sin2c的最大值为．16．已知点a（0，1），b（3，0），c（1，2），平面区域p是由所有满足=λ+μ＜λ≤m，2＜μ≤n）的点m组成的区域，若区域p的面积为6，则m+n的最小值为．三、答疑题（满分60分后）17．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和sn，且数列{}就是公差为2的等差数列．（2（1）谋数列{an}的通项公式；（2）若bn=（1）nan，求数列{bn}的前n项和tn．18．某中药栽种基地存有两处种植区的药材可于下周一、周二两天内栽种完，基地员工一天可以顺利完成一处种植区的栽种，由于下雪可以影响药材品质，基地收益如下表中右图：周一无雨无雨存有雨存有雨周二无雨存有雨无雨存有雨20万15万10万7.5万收益若基地额外聘用工人，可以在周一当天顺利完成全部栽种任务；无雨时收益为20万元；存有雨时收益为10万元，额外聘用工人的成本为a万元．未知下周一和之下周二存有雨的概率相同，两天与否下雪互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘用工人，写下基地收益x的原产P43EI245SJ基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．19．例如图，矩形cdef和梯形abcd互相横向，∠bad=∠adc=90°，ab=ad=cd，be⊥df．（1）若m位ea的中点，求证：ac∥平面mdf；（2）求平面ead与平面ebc所成的锐二面角的大小．20．未知点m（1，0），n（1，0），曲线e上任一一点到点m的距离均就是至点n的距离的倍．（1）求曲线e的方程；（2）未知m≠0，设立直线l：xmy1=0交曲线e于a，c两点，直线l2：mx+ym=0交曲线e于b，d两点，c，d两点均在x轴下方，当cd的斜率为1时，求线段ab的长．21．设函数f（x）=x2mlnx，g（x）=x2（m+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，探讨函数f（x）与g（x）图象的交点个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲.22．例如图，∠bac的平分线与bc和△abc的外接圆分别平行于d和e，缩短ac没上d，e，c三点的圆于点f．（1）澄清：ec=ef；（2）若ed=2，ef=3，谋ac?af的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．未知曲线c1的参数方程为曲线c2的极坐标方程为ρ=2cos（θ），以极点为座标原点，极轴为x轴正半轴创建平面直角坐标系则．（1）谋曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c2上的动点m到直线c1的距离的最大值．报读4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x2||x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）=a的取值范围．（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数2021年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是渡河题目要求的.1．设立全集u={x∈n*|x≤4}，子集a={1，4}，b={2，4}，则?u（a∩b）=（）a．{1，2，3}b．{1，2，4}c．{1，3，4}d．{2，3，4}【考点】缴、并、闭集的混合运算．【分析】由已知中全集u={x∈n*|x≤4}，a={1，4}，b={2，4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出a∩b，再求出其补集，即可求出答案．【答疑】求解：∵全集u={x∈n*|x≤4}={1，2，3，4}，a={1，4}，b={2，4}∴a∩b={4}，∴?u（a∩b）={1，2，3}故选：a．2．设z=1+i（i就是虚数单位），则=（）a．ib．2ic．1id．0【考点】复数代数形式的秦九韶运算．【分析】把复数z代入，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【解答】解：z=1+i（i是虚数单位），则=故选：d．3．b，c面元的边分别为a，b，c，在△abc中，角a，若a．b．c．d．=，则cosb=（）（1i）=1+i=1i1+i=0，【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得求b=，即可暂解cosb=．=，，cosb=sinb，=，解得tanb=，融合范围0＜b＜π，可以【解答】解：∵又∵由正弦定理可得：∴∴tanb=∴b==，解得：，0＜b＜π，，cosb=．。
2021届河南省郑州市高三高考数学(理)第一次(一模)质量预测试题(解析版)
2021届河南省郑州市高三高考数学（理）第一次（一模）质量预测试题一、单选题1．已知集合{}04P x x =<<，(){}lg 3Q x y x ==-，则P Q =（ ） A ．{}34x x ≤< B ．{}34x x <<C ．{}03x x <<D ．{}03x x <≤【答案】B【分析】由对数函数定义域的求解可求得集合Q ，由交集定义可得结果.【详解】{}{}303Q x x x x =->=>，{}04P x x =<<，{}34P Q x x ∴⋂=<<. 故选：B.2．已知命题p ：x R ∀∈，0x x +≥，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +≤ B ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +≤ C ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +< D ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +<【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可得答案. 【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x R ∀∈，0x x +≥的否定为：p ⌝：x R ∃∈，0x x +<. 故选：C.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若952S =，422S =，则7a =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设出等差数列的首项和公差，直接由题意列式，由等差数列前n 项和公式作差后求得答案．【详解】解：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝52，S 4＝22， 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 由S 9＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9＝52， S 4＝a 1+a 2+a 3+a 4＝22，由两式相减可得（S 9﹣S 4）＝a 5+a 6+a 7+a 8+a 9＝52﹣22， 即5a 1+30d ＝30，即a 7＝6， 故选：C ．4．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm 2）（ ）A ．123+B ．1643+C ．1233+D ．1633+【答案】A【分析】截去8个四面体后，还剩6个正方形，8个正三角形，只需求出对应面边长，即可求解【详解】设截去8个四面体后，该几何体棱长为a ，则有22112a +=， 此时，该几何体表面由8个正三角形和6个正方形构成，6个正方形的面积为：62212，8个正三角形面积为：23823=123+故选：A5．若3cos28sin 5αα=-，则tan α=（ ） A ．25B 25C ．5D ．25【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式化简已知等式可求得sin α，由同角三角函数平方和商数关系可求得结果.【详解】由已知等式可得：()2312sin 8sin 5αα-=-，整理可得：23sin 4sin 40αα+-=，解得：2sin 3α=或sin 2α=-（舍），25cos 1sin αα∴=±-= sin 25tan cos ααα∴==6．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O 为圆心，以452m 为半径，B 为公园入口，道路AB 为东西方向，道路AC 经过点O 且向正北方向延伸，10m OA =，100m AB =，现计划从B 处起修一条新路与道路AC 相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m ）（ ）A ．1002B ．1003C ．1502D ．1503【答案】A【分析】根据题意可知新路和圆相切时距离最短，建系求得过点B 的直线方程，可得和OC 的交点，即可得解.【详解】以O 为原点建立如图直角坐标系，可得B 点坐标为(100,10)--， 如若要新路的长度最短，则新路和圆线切， 设过点B 的直线方程为(100)10y k x =+-，根据圆心到直线的距离等于半径可得：211940790k k --=， 根据图可得0k >，所以1k =，所以90y x =+，所以和OC 的交点为(0,90)D ，所以100AD =， 根据勾股定理可得：22100+100=1002BD =7．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（ ）A 3B ．23C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯23=故选：B8．已知函数()cos ,0,0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()0f x f x +-=有n 个不同的实根，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，…，n x ，则下列说法错误．．的是（ ） A ．1230n x x x x ++++=… B ．当1n =时，1k π<-C ．当3n =且0k <时，331tan x x =- D ．当12x π>时，3n = 【答案】D【分析】令()()()g x f x f x =+-，判断()g x 的奇偶性，即可判断选项A ；利用分段函数的解析式得到0x =是函数的一个零点，利用()g x 为偶函数，只需研究0x >的情况，作出函数y kx =和cos y x =的图像，数形结合判断选项B 、C 、D.【详解】令()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+=，所以()g x 为偶函数，所以零点关于0x =对称，则所有的零点之和为0，故A 正确；因为()cos ,0,0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，所以()00f =，所以0x =是函数的一个零点，由上述过程可知，()g x 为偶函数，故只需研究0x >的情况即可，当0x >时，令()()()cos 0g x f x f x x kx =+-=-=，即cos x kx =，作出函数y kx =和cos y x =的图像，观察可知，当0k ≥时，y kx =与cos y x =至少有一个交点，即()()0f x f x +-=至少有3个根，不符合n =1；当0k <时，图中直线1l 为临界值，设其斜率为1k ，此时1l 与cos y x =相切， 若1k k <，则n =1，若10k k ≤<，则n 至少为3； 再作出斜率21k π=-的直线2l ，观察1l 与2l 的位置关系可知，121k k π<=-，所以n =1时，11k k π<<-，故B 正确；当3n =且0k <时，即为B 选项中讨论的1l ，此时直线1l 与cos y x =相切， 设切点(),cos m m ，则有3个不同的实数根123,0,x m x x m =-==，cos y x =的导数为sin y x '=-，故有cos sin m km m k =⎧⎨-=⎩，消去k 得：1tan m m =-，所以331tan x x =-，故C 正确； 作出如图示的3l 和4l ，其中3l 和cos y x =相切，4l 的斜率为412k π=， 设3l 的斜率为3k ，则34k k >. 当43k k k <<时，即312k k π<<，y kx =与cos y x =有3个交点，此时n =7； 当3k k =时，y kx =与cos y x =有2个交点，此时n =5；当3k k >时，y kx =与cos y x =有1个交点，此时n =3； 故D 错误. 故选：D.【点睛】判断函数有零点(方程有根)的常用方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，则（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个解析式B ．直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．函数()f x 是周期为π的奇函数D ．函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】BD【分析】先求出()f x 的解析式，对四个选项一一验证： 对于A ：直接利用解析式验证； 对于B ：直接求出对称轴方程进行验证； 对于C ：利用奇函数的定义进行否定； 对于D ：直接求出函数()f x 的递减区间.【详解】由函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，所以()5cos 2cos 2436f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 对于A ：()5cos 2cos 2=sin 24363f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：()sin 23x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，要求()y f x =的对称轴，只需令()232x k k Z πππ+=+∈，当k =1时，解得：712x π=，所以直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；对于C ：()5cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()()55cos 2cos 266f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数，故C 错误；对于D ：要求函数()f x 的递减区间，只需52226k x k ππππ≤+≤+，解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，即函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：BD10．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，其中A 在第一象限，若3AF =，则（ ）A ．1p =B ．32BF =C ．以AF 为直径的圆与y 轴相切D ．3OA OB ⋅=-【答案】BCD【分析】写出焦点F 的坐标，设出直线l 的方程，并与抛物线方程联立，根据点A 在第一象限即可求出点A ，B 的横坐标，进而可以求出p 的值，即可求出抛物线的方程，再对应各个选项逐个验证即可．【详解】设(2pF ，0)，则过F 的直线斜率为)2p y x =-，代入抛物线方程消去y 可得：22450x px p -+=， 解得124p x p x ==，，因为点A 在第一象限，所以A x p =，4B px =，则3||322A p pAF x =+==，所以2p =，A 错误， 33||4242B p p p BF x ==+==，B 正确，由2p =可得抛物线的方程为：24y x =，且(2A ，，1(,2B ，所以1(,1432OA OB ⋅=⋅=-=-，D 正确， AF 的中点横坐标为32，以AF 为直径的圆的半径为32， 所以圆心到y 轴的距离等于半径，则以AF 为直径的圆与y 轴相切，C 正确， 故选：BCD ．11．已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（ ） A ．若2a b +=，则lg lg 0a b +≤ B ．若20ab a b --=，则29a b +≥C ．若2a b +=，则112a b ab +-≥D ．若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+【答案】ACD【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可． 【详解】因为0a >，0b >，所以22a b ab =+，故1ab ，当且仅a b =时取等号， 此时()lg lg lg lg10a b ab +==，故选项A 正确；因为20ab a b --=，所以222ab a b ab =+，当且仅当2a b =时取等号， 所以228a b ab ，解得8ab ，则28a b +，故选项B 错误； 因为2a b +=，所以2b a =-，则22111111212(2)2211a a ab ab a a a ++-=-=-+--+，令21a t +=，则221411151522a a t t t +-=-++-⋅- 因为0a >，0b >，2a b +=，所以2a <，则22a a <，所以221101a a +->+， 故22151011a a +-<-+，所以1152a b ab +-，故选项C 正确； 因为111123a b +=++，所以27ab a b =++，所以271b ab +=-， 因为0a >，0b >，所以1b >， 所以41418237373(1)14254141411bab a b a b b b b b +++=++=++=-+++=+--，当且仅当1b 时取等号， 故1466ab a b +++D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上无极值点B ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点C ．若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则实数a 的最大值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为1e【答案】AD【分析】利用导数可求得()()20f x f ''≥->，得到()f x 在R 上单调递增，知A 正确； 利用导数可求得()()10g x g ''≥>，得到()g x 在()0,∞+上单调递增，知B 错误； 由()f x 在R 上单调递增得到2ln ax x ≥，利用分离变量的方法可得()2ln xa h x x≥=，利用导数可求得()max 2h x e=，可求得a 的范围，知C 错误； 易得12x e x =，()()()111121ln 1ln ln 11x x x e t k x x k x e ⎡⎤+⎣⎦==++，令()ln k m k k =，利用导数可求得()()max m k m e =，可知D 正确.【详解】对于A ，()()11xf x x e '=++，()()2x f x x e ''=+，当2x <-时，()0f x ''<；当2x >-时，()0f x ''>；()f x '∴在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，()()2210f x f e -''∴≥-=-+>，()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，A 正确；对于B ，()1ln 1g x x x '=++，()22111x g x x x x -''=-=，当01x <<时，()0g x ''<；当1x >时，()0g x ''>；()g x '∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()120g x g ''∴≥=>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增，无极值点，B 错误；对于C ，由A 知：()f x 在R 上单调递增，则由()()2ln f ax f x ≥得：2ln ax x ≥，当0x >时，2ln 2ln x xa x x≥=， 令()2ln x h x x =，则()()2221ln 22ln x x h x x x --'==， ∴当0x e <<时，()0h x '>；当x e >时，()0h x '<；()h x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()()max 2h x h e e∴==，2a e ∴≥，则a 的最小值为2e，无最大值，C 错误；对于D ，()()112211ln x x e x x t +=+=，0t >，10x ∴>，21>x ，由A 知()()1xf x x e=+是增函数，所以12x e x =，()()()111121ln 1ln 11x x x e t x x x e ⎡⎤+⎣⎦∴=++ 设()111xk x e =+，则()12ln ln 1t kx x k=+，令()ln km k k=，则()21ln k m k k -'=，∴当0k e <<时，()0m k '>；当k e >时，()0m k '<；()m k ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()()max 1m k m e e∴==，此时()()112211ln x e x e x x =+=+，()12ln 1t x x ∴+的最大值为1e ，D 正确. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，选项D 中，对于多个变量的式子最值的求解关键是能够通过等价代换的方式，将所求式子化简为关于一个变量的函数的形式，从而利用导数求得函数最值得到结果.三、填空题13．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若122AB F F =，则C 的离心率为___________．1【分析】可令x ＝﹣c ，求得|AB |，再由|AB |＝2|F 1F 2|，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：可令x ＝﹣c ，代入双曲线的方程可得y ＝±2b a，可得|AB |22b a=，若|AB |＝2|F 1F 2|，可得22b a=4c ， 即c 2﹣a 2＝2ac ， 由e ca=，可得e 2﹣2e ﹣1＝0，e ＞1． 解得e ＝12， 故答案为：12．14．已知数列{}n a 满足12a =，()*,N m n m n a a a m n ++=∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则数列[]{}2log n a 的前10项和为__________． 【答案】29【分析】直接利用数列的递推关系式和数列的取整问题的应用求出结果．【详解】解：数列{a n }满足a 1＝2，a m +a n ＝a m +n （m ，n ∈N ），设b n ＝[log 2a n ]， 当n ＝m ＝1时，b 1＝[log 22]＝1， a 2＝a 1+a 1＝4，所以b 2＝[log 24]＝2， a 3＝a 1+a 2＝6，所以b 3＝[log 26]＝2， a 4＝a 2+a 2＝8，所以b 4＝[log 28]＝3， a 5＝a 2+a 3＝10，所以b 5＝[log 210]＝3， a 6＝a 2+a 4＝12，所以b 6＝[log 212]＝3， a 7＝a 3+a 4＝14，所以b 7＝[log 214]＝3， a 8＝a 3+a 5＝16，所以b 8＝[log 216]＝4， a 9＝a 4+a 5＝18，所以b 9＝[log 218]＝4， a 10＝a 4+a 6＝20，所以b 10＝[log 220]＝4，所以T 10＝b 1+b 2+…+b 10＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29． 故答案为：29．15．测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，已知该建筑物CP 垂直于水平面，水平面上两点A ，B 的距离为200m ，60PAB ∠=︒，45PBA ∠=︒，30PAC ∠=︒，则该建筑物CP 的高度为__________（单位：m ）． 【答案】()10031-【分析】先在PAB △中，利用正弦定理求得PA ，再在Rt PAC △中求解. 【详解】如图所示：在PAB △中，由正弦定理得200sin 45sin 75PA =︒︒，解得2003200PA =，所以在Rt PAC △中sin 100CP PA PAC =⋅∠=．故答案为：)1001四、双空题16．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式()233V R h h π=-，其中R 为球的半径，h为球缺的高.的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为_________，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半球）的体积为____________．【分析】作图可得正四面体两相对棱间的距离为球的直径长，解三角形可得球的半径，利用等体积法求出球心到一个侧面的距离得出球缺的高，结合题意的公式即可得出结果.【详解】如图，取BD 的中点E ，AC 的中点F ，连接EF ，则EF 是与正四面体ABCD 各棱相切的球O 的直径.，所以AE CE ===则EF ==O 的半径为R ；设底面BCD 的中心为G ，则2233CG CE ===A 到底面BCD 2=，12BCDS==，由等体积法可得112=433OG ⨯，得12OG =，所以球缺的体积为22(3)33V R h h ππ=-=⨯⨯=，五、解答题 173cossin 2A Ca b A +=，②cos 3sin a b C c B =，③()()22222cos a c a b c abc C --+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2b =， ，求ac 的最大值．【答案】答案不唯一，具体见解析．【分析】选择条件①、②、③中的一个，利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，最后在余弦定理中利用基本不等式求得ac 的最大值. 【详解】解：若选①3sin sin sin ,0π,sin 02BA B A A A =<<≠， 32sin cos 222B B B =． 化简得3cos2B =()0,B π∈，所以26B π=，3B π=． 又2221cos 22a b c B ac +-==， 所以2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号， 故4ac ≤，即ac 的最大值为4．若选②：由已知得sin sin cos 3sin A B C C B =，()sin sin cos 3sin sin B C B C C B +=，sin cos cos sin sin cos 3sin ,0π,0B C B C B C C B B sinB +=<<≠，化简得cos 3B B =，即3tan B =()0,B π∈，所以6B π=．由2223cos 2a b c B ac +-==可得22342a c ac ac -=+≥，当且仅当a c =时取等号，故8ac ≤+，即ac 的最大值为8+ 若选③：由已知()22cos 2cos a c ac B abc C -⋅=， 即()2cos cos a c B b C -=，又()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin ,0π,sin 0A B B C B C B C A A A =+=+=<<≠． 所以1cos 2B =，因为()0,B π∈，所以3B π=．由2221cos 22a cb B ac +-==，得2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号， 故4ac ≤，即ac 的最大值为4．【点睛】方法点睛：条件中出现边和角时，利用正弦定理进行边角转化，结合三角恒等变换公式化简得到某一个角或边，结合余弦定理，基本不等式求得最值. 18．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，11a =，3139S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）113n n a -=；（2）1263nn n T -+=-． 【分析】（1）设公比为()0q q >，由3139S =可构造关于q 的方程求得q ，由等比数列通项公式可得结果；（2）由（1）可得n b ，利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，()223113119S a q q q q ∴=++=++=，解得：13q =或43q =-（舍），113n n a -∴=． （2）由（1）可得：1213n n n b -+=， 22157212133333n n n n n T ---+∴=+++⋅⋅⋅++，21135212133333n n n n n T --+=++⋅⋅⋅++，两式相减可得：21222221333333n n n n T -+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭22213331313nnn -+=+--1121433n n n -+=--， 1263n n n T -+∴=-． 【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差⨯等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前n 项和，具体步骤如下：①列出1231n n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++的形式；②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比q ，得到n qS ；③上下两式作差得到()1n q S -，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分； ④整理所得式子求得n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面MND ⊥平面PBC ；（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）N 为线段BC 的中点；答案见解析．【分析】（1）要证平面MND ⊥平面PBC ，可证DM ⊥平面PBC ，设法证明DM BC ⊥，DM PC ⊥即可；（2）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD =，(),1,0N λ，求出平面PAB 和平面MND 的法向量，结合向量夹角的余弦公式求解即可【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，又DM ⊂平面PCD ，所以DM BC ⊥，因为在PDC △中，PD AD =，M 为PC 的中点，所以DM PC ⊥， 又PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，又DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ；（2）设1PD =，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设(),1,0N λ，则()1,0,1AP =-，()0,1,0AB =，(),1,0DN λ=，110,,22DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设()111,,m x y z =为平面PAB 的一个法向量，则有00m AP m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，可得()1,0,1m =，设()222,,n x y z =为平面MND 的一个法向量，则有00n DN n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222011022x y y z λ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，可得；()1,,n λλ=-， 因为平面MND 与平面PAB 夹角为30，所以3m n m n⋅=， 213212λλ+=+12λ=，故N 为线段BC 的中点．20．在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线．如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O ，飞机降落曲线大致为32y ax bx =+，其中x （单位：m ）表示飞机距离着陆点的水平距离，y （单位：m ）表示飞机距离着陆点的竖直高度．假设飞机开始降落时的竖直高度为4500m ，距离着陆点的水平距离为0x ，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与平方向的直线相切．（1）用0x 分别表示a 和b ：（2）若飞机开始降落时的水平速度150m/s ，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度()y t ''（即y 关于降落时间t （单位：s ）的导函数()y t '的导数）的绝对值不超过1m/s 2，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离0x 的最小值． 【答案】（1）309000a x =-，213500b x =；（2）450030． 【分析】（1）设()32f x ax bx =+，求()'f x ，由()()0045000f x f x ⎧=='⎪⎨⎪⎩解得,a b .（2）求得()f x 的解析式，设飞机降落时间为t ，则0150x x t =-，代入函数解析式，求导，结合题意求出0x 的最小值即可.【详解】（1）设()32f x ax bx =+．则()232f x ax bx '=+，由题意可知，()()0045000f x f x ⎧=='⎪⎨⎪⎩，即3200204500320ax bx ax bx ⎧+=⎨+=⎩ 解得309000a x =-，2013500b x =． （2）由（1）可知，323200900013500()f x x x x x =-+，[]00,x x ∈， 设飞机降落时间为t ，则0150x x t =-， 则()()()32003200900013500150150y t x t x t x x =--+-，00,150x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()()203607500000150y t t x t x =-'， ()()()()030607500000300y t y t t x x ''==-''，00,150x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当0t =或150x 时，()y t ''取最大值20607500000x ，故26075000001x ≤， 可得0450030x ≥所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过1F 斜率不为零的直线1l 交椭圆于P ，Q 两点，2F PQ △的周长为8． （1）求椭圆C 的方程（2）设A 为椭圆C 的右顶点，直线AP ，AQ 分别交直线2:4l x =-于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由． 【答案】（1）22143x y +=；（2）是；答案见解析．【分析】（1）依题意求出a ，根据离心率求出c ，再根据222a b c =+，即可求出b ，即可得到椭圆方程；（2）设1l 的方程为：1x ty =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线AP 的方程，即可求出M 、N 的坐标，设()(),022H m m -≤≤，依题意0MH NH ⋅=，即可求出m 的值，即可得解；【详解】解：（1）由题意48a =，2a =，因为12c a =，所以1c =， 而222a b c =+，所以b = 故椭圆的方程为：22143x y +=， （2）由（1）知()11,0F -，设1l 的方程为：1x ty =-，代入22143x y +=得： ()2234690ty ty +--=，设()11,P x y ，()22,x y ，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+， 因为111x ty =-，所以111123AP y y k x ty ==--， 所以直线AP 的方程为：()1123y y x ty =--， 令4x =-，得1163M y y ty -=-， 所以1164,3y M ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得2264,3y N ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，若以MN 为直径的圆过长轴上定点H ，则0MH NH ⋅=，设()(),022H m m -≤≤，则1164,3y MH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，1264,3y NH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，于是()()()21212364033y y m ty ty ++=--对任意实数t 恒成立，所以()()21221212364039y y m t y y t y y ++=-++，而()21222121222936363499639393434y y t t t y y t y y t t t t -⨯+==---++⨯-⨯+++所以()249m +=， 解得1m =-或7m =-，因为22m -≤≤，所以1m =-，即存在定点()1,0-满足条件．22．已知函数()1xf x e ax =--（a R ∈，e 为自然对数的底数）（1）若()f x 在定义域内有唯一零点，求a 的取值范围；（2）若()2xf x x e ≤在[)0,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|0a a ≤或1}a =；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合()f x 在定义域内有唯一零点，求出a 的范围即可；（2）问题转化为2(1)1x x e ax -+对[0x ∈，)+∞恒成立，记2()(1)(1)(1)x x h x x e x x e =-=+-，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】解：（1）()x f x e a '=-，当0a ≤，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增， 又()1110f a e-=-+<，()110f e a =-->，由零点存在定理知，函数()f x 在R 上有唯一零点，符合题意． 当0a >，令()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()ln min ln ln 1ln 1af x f a e a a a a a ==--=--．设()()ln 10g a a a a a =-->，则()()1ln 1ln g a a a +'=-=-， 当01a <<时，()0g a '>，()g a 单调递增， 当1a >时，()0g a '<，()g a 单调递减， 所以()()max 10g a g ==，故1a =，综上，实数a 的取值范围为{|0a a ≤或1}a =．（2）()2e xf x x ≤对[)0,x ∈+∞恒成立，即()211x x e ax -≤+对[)0,x ∈+∞恒成立， 记()()()()21e 11e x xh x x x x =-=+-，当1a ≥时，设函数()()1x m x x e =-，则()0xm x xe '=-≤，因此()m x 在[)0,+∞单调递减，又()01m =，故()1m x ≤，所以()()()111h x x m x x ax =+≤+≤+；当01a <<时，设函数()1xn x e x =--，则()10x n x e ='-≥，所以()n x 在[)0,+∞单调递减，且()00n =，故1x e x ≥+．当01x <<时，()()()211h x x x >-+，()()()221111x x ax x a x x -+--=---，取0x ，则()00,1x ∈，()()20001110x x ax -+--=，故()001h x ax >+，当0a ≤，取0x =，则()00,1x ∈，()()()200001111h x x x ax >-+=≥+． 综上，a 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2021年高三3月统一测试(一模)数学(理)试题含解析
2021年高三3月统一测试（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（） A． {1，2} B．{x|x≤1} C． {﹣1，0，1} D． R【考点】：交集及其运算．【专题】：计算题；集合．【分析】：由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B⊆A，由此能求出结果．【解析】：解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A．故选：A．【点评】：本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（）A．B． 2 C． 2 D． 3【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解析】：解：圆ρ=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=4．直线ρsinθ=1转化成直角坐标方程为：y=1．所以：圆心到直线y=1的距离为1．则：弦长l==．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（）A． 4 B． 6 C．8 D．10【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件n＞k，n=4，S=6不满足条件n＞k，n=7，S=19不满足条件n＞k，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．4．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．（5分）二项式（2x+）6的展开式中，常数项的值是（）A．240 B．60 C．192 D．180【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：利用通项公式T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．即可得出．【解析】：解：T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．∴常数项的值是==240．故选：A．【点评】：本题考查了二项式定理的通项公式、常数项，属于基础题．6．（5分）等差数列{a n}中，a，a k=（m≠k），则该数列前mk项之和为（）A．B．C．D．【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求出等差数列的公差，得到a mk，然后代入前n项和公式得答案．【解析】：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的性质以及已知条件得d==，∵a1+（m﹣1）d=a m，∴a1=﹣（m﹣1）=，∴a mk=+（mk﹣1）=1，∴s mk==．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）（xx•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解析】：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）如果双曲线的离心率e=，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线y是黄金双曲线；③在双曲线中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1（0，b），若∠F1 B1 A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON=120°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对于①②求出双曲线的离心率判断正误；对于③通过∠F1B1A2=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；对于④，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误．【解析】：解：①双曲线中a=，c=，离心率是，故不是黄金双曲线，即①正确；②由双曲线y，可得离心率e==，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；③∵∠F1B1A2=90°，∴，∴b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2﹣ac﹣a2=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，∴NF2=OF2，∴，∴b2=3ac，∴c2﹣a2=3ac，∴e2﹣3e﹣1=0，∴e=，∴该双曲线不是黄金双曲线，故选：B【点评】：本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）z=1+i，为复数z的共轭复数，则z+=1+．【考点】：复数代数形式的混合运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数的模，共轭复数化简求解即可．【解析】：解：z=1+i，=1﹣i，z+=1+i+（1﹣i）+|1+i|﹣1=1+．故答案为：1+．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．10．（5分）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．【解析】：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．【点评】：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：概率与统计．【分析】：首先分别画出区域D、M，然后分别计算面积，利用几何概型的公式解答即可．【解析】：解：平面区域D以及满足条件的M如图阴影部分区域D的面积为=4，区域M的面积为，由几何概型的公式得点M落在圆x2+y2=1内的概率为；故答案为：．【点评】：本题考查了几何概型的概率公式的运用；关键是明确区域的面积，利用公式解答．12．（5分）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y（x，y∈R），则=．【考点】：向量的三角形法则．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．【解析】：解：将向量，，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵=x+y，∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），即，解得，则=，故答案为：．【点评】：本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．13．（5分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种．【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：根据分步计数原理，先选2门确定为甲乙相同的2门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可．【解析】：解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62×A42=180种情况，故答案为：180．【点评】：本题考查分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题14．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=e x﹣2；④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解析】：解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足=﹣1，化为=﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M={（x，y）|y=e x﹣2，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M={（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④．【点评】：本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．【考点】：任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1=0，即（b﹣1）2=0，解得b=1．【点评】：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．16．（13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市xx年3月某时刻实时监测到的数据：（Ⅰ）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据AQI的平均数及其它几个城市的AQI值即可求出x，带入方差公式即可求出并比较出东西部城市AQI数值的方差；（Ⅱ）根据古典概型的求概率方法求出随机变量ξ分别取1，2，3时的概率，从而列出其分布列，带入数学期望公式即可求出其数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）x=82，；（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个；根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3；P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=；∴ξ的分布列为：所以E（ξ）=．【点评】：考查对数据平均值的理解，方差的概念及计算方差的公式，古典概型的概率求解，以及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，数学期望的概念及求解公式．17．（14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=2，CD=4．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，欲使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF 所成的角等于30°．【考点】：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（Ⅰ）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，求出D，A，E，B，F，以及，，设P（o，y，z）通过|y|=|z|．设是平面BEF 的法向量，利用，求出，推出与所成的角为60°或120°．通过cos=和y|=|z|．求出P的坐标．【解析】：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（3分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（5分）所以BC⊥平面BDE．（6分）（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）=（2，0，0），设P（o，y，z）则|y|=|z|．令是平面BEF的法向量，则，∴令y′=1，得∴∵AP与平面BEF所成的角等于30°∴与所成的角为60°或120°．∴cos===．∴y2+z2+4yz﹣4=0又∵|y|=|z|．∴y=z或y=﹣z，当y=z时y=z=，当y=﹣z时，上式无解，∴P（0，），或P（0，﹣）．【点评】：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力已经逻辑推理能力．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a ＜e，求得单调区间和最小值即可．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．当a=1时，f′（x）=．由f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1﹣ln1=1；（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）==．由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞．因为＞e﹣1．所以a＞．②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）．因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．综上所述：a∈（，+∞）．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．19．（14分）已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．【解析】：（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，由=，得a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴Q（0，），直线QA方程为：，∴N（0，），以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．【点评】：本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（Ⅱ）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前30项之和；（Ⅲ）若数列{a n}的前n项和S n =n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前m项和T m．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（Ⅰ）根据伴随数列的定义直接可得答案；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*），分1≤m≤2，3≤m≤8，9≤m≤26，27≤m≤30（m∈N*）四种情况考虑即可；（III）由题意和a n与S n的关系式求出a n，代入a n≤m得n的最大值为b m，并求出伴随数列{b m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b m}的前m项和T m．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，易得数列为1，4，7；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*）当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3当27≤m≤30，m∈N*时，b27=b28=b29=b30=4∴b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84；（III）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1 （n∈N*）由a n=2n﹣1≤m得：（m∈N*）因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t﹣1=b2t=t （t∈N*）当m=2t﹣1 （t∈N*）时：=t2=，当m=2t （t∈N*）时：=t2+t=所以．【点评】：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，属难题．jW2 37452 924C 鉌37005 908D 邍+29584 7390 玐35750 8BA6 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2020-2021年河南省郑州市质检一：郑州市2020届高三第一次质量检测数学(理)试题含答案
河南省郑州市2020届高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）
A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．（5分）复数z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）关于函数y＝sin2x，下列说法正确的是（）
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河南省郑州市2021届高三一模理科数学试题(含答案解析)
2021年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷注意事项：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A = QI |z|V2}, 8={ - 2, — 1,0,1,2},则4[13 =A. {-1,0}B. {0,1}C. {-1,0,1） D, {-2,-1,0,1,2} 2 .设第数z 满足告=3则|司=A. iB. -iC. 1D.V2 3 .巳知P 为抛物线《：丁 = 2"；（立＞0）上一点，点P 到C 的焦点的距离为9,到y 轴的距因为6,则p= A. 3B. 6C.9D. 12 4 .设为单位向量，且|o-b|=l ，则1。
+ 2"=A. 3 B,V3 C.7 D.V7 5 .调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼 状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是注：90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生，8。
前指1979年及以 前出生.90后从事互联网行业岗位分布图 17%涧 12.3% I 9.8% ①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 ②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% ③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.5% 其他H 1.6%80 前技术运营碳区设计产品蹂S6.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31. 5尺，前九个节气日影长之和为85. 5尺，则谷雨日影长为A. 2.5B. 3.5C.4.5D.5.57.函数，=筌片的图像大致为A.3 B,5 C. 15 D. 209.若直线，与曲线kG和圆/+/=看都相切，则z的方程为A. %—2。
河南省郑州市名校2021届新高三第一次调研考试联考数学（理）试题答案
3 （I）证明如下：（6 分） （2） （5 分）建系存在多种建法（1 分）
5
数学（理科）参考答案第 1 页（共 5 页）
18.（12 分）
2
2
（1）AP P1P2 ，即（cos( ) 1）2 sin 2 ( ) (cos cos )2 (sin sin )2.
即cos( ) cos cos - sin sin
（2 分）
将曲线 C 的极坐标方程化为 2 2
2
2 sin
2
2
2
cos .
即 2 2sin 2cos .∴x2+y2=2y+2x.
x 12 y 12 2
故曲线 C 的直角坐标方程为
.
（2）将直线 l 的参数方程代入 x 12 y 12 2 中，
（5 分）
1
2
3
2
得
28k 4 44k 2 7 9 2k 2 1 2 ．
1
设 t 2k 2 1 1， u 0,1 ，
t
则
S1 1 S2 2
7t 2 8t 8 1
9
t2
2
88
1
16
t2 t
2
8u 2
8u
16
2,
3
2 ．
2
S1
3 2 2,
S2 的取值范围 2 ．
（12 分）
22.（1）将直线 l 的参数方程消去参数 t 并化简，得 直线 l 的普通方程为 3x y 1 0 . 数学（理科）参考答案第 4 页（共 5 页）
（10 分）
23.（10 分）答案略.
上述试题若有不当之处，欢迎指正！
数学（理科）参考答案第 5 页（共 5 页）
河南省郑州市高考数学一模试卷答案解析
2021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析2021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析〔理科〕一．选择题〔共12题，每题5分〕1．〔2021?郑州一模〕设会合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，那么A∩B的子集个数为〔〕A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，A∩B＝{0，1}，A∩B的子集个数为22＝4个．应选：B．2．〔2021?郑州一模〕假定复数z知足z＝〔此中i为虚数单位〕，那么z在复平面的对应点在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z＝＝，∴z在复平面的对应点的坐标为〔1，﹣1〕，在第四象限．应选：D．3．〔2021?新课标Ⅲ〕某城市为认识旅客人数的变化规律，提升旅行效力质量，采集并整理了2021年1月至2021年12月期间月招待旅客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下边的折线图．1/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析依据该折线图，以下结论错误的选项是〔〕．月招待旅客量逐月增添．年招待旅客量逐年增添C．各年的月招待旅客量巅峰期大概在7，8月D．各年1月至6月的月招待旅客量相对于7月至12月，颠簸性更小，变化比较安稳【解答】解：由已有中2021年1月至2021年12月期间月招待旅客量〔单位：万人〕的数据可得：月招待旅客量逐月有增有减，故A错误；年招待旅客量逐年增添，故B正确；各年的月招待旅客量巅峰期大概在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月招待旅客量相对于7月至12月，颠簸性更小，变化比较安稳，故 D正确；应选：A．4．〔2021?郑州一模〕定义在R上的函数为偶函数，，，c＝f〔m〕，那么〔〕A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：定义在R上的函数为偶函数，那么f〔﹣x〕＝f〔x〕，即﹣2＝﹣2；因此m＝0，因此f〔x〕＝﹣2，且在[0，+∞〕上是单一减函数；2/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析又log2＝﹣1，0＜＜，m＝0；因此f〔log2〕＜f〔〕＜f〔0〕，即a＜b＜c．应选：C．5．〔2021?咸阳二模〕“纹样〞是中国艺术宝库的珍宝，“火纹〞是常有的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样〔如图暗影局部所示〕的面积，作一个边长为3的正方形将其包括在内，并向该正方形内随机扔掷2000个点，恰有800个点落在暗影局部，据此可预计暗影局部的面积是〔〕A．B．C．10D．【解答】解：依据题意，设暗影局部的面积为S，那么正方形的面积为9，向正方形内随机扔掷2000个点，恰有800个点落在暗影局部内，那么向正方形内随机扔掷一点，其落到暗影局部的概率P＝＝；而P＝，那么＝，解可得，S＝；应选：B．3/216．〔2021?郑州一模〕向量，的夹角为，且||＝1，|2﹣|＝，那么||＝〔〕A．1B．C．D．2【解答】解：由|2﹣|＝，得，又向量，的夹角为60°，且||＝1，∴4×12﹣4×，整理得：，解得||＝1．应选：A．7．〔2021?郑州一模〕宋元期间数学名著?算学启发?中有对于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，假定输入的a，b分别为3，1，那么输出的n等于〔〕4/21A．5B．4C．3D．2【解答】解：模拟程序的运转，可得a＝3，b＝1n＝1a＝，b＝2不知足条件a≤b，履行循环体，n＝2，a＝，b＝4不知足条件a≤b，履行循环体，n＝3，a＝，b＝8不知足条件a≤b，履行循环体，n＝4，a＝，b＝16此时，知足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．应选：B．8．〔2021?郑州一模〕函数的图象大概是〔〕A．B．C．D．5/21【解答】解：由题意，f 〔﹣x 〕＝?cos 〔﹣x 〕＝﹣f 〔x 〕，函数是奇函数，清除 A ，B ；x →0+，f 〔x 〕→+∞，清除D ．应选：C ．9．〔2021?郑州一模〕第十一届全国少量民族传统体育运动会在河南郑州举行，某工程竞赛 期间需要安排 3名志愿者达成 5项工作，每人起码达成一项，每项工作由一人达成，那么不一样的安排方式共有多少种〔 〕A ．60B ．90C ．120D ．150【解答】解：依据题意，分2步进行剖析①、将5项工作分红3组假定分红1、1、3的三组，有 ＝10种分组方法，假定分红1、2、2的三组，有 ＝15种分组方法，那么将5项工作分红3组，有 10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全摆列，对应 3名志愿者，有A 33＝6种状况；因此不一样的安排方式那么有25×6＝150种，应选：D ．10．〔2021?郑州一模〕抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF与抛物线交于M ，N 两点，假定，那么|MN|＝〔〕A ．B ．C ．2D ．6/21【解答】解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为 F 〔 ，0〕，准线为l ：x ＝﹣，设M 〔x 1，y 1〕，N 〔x 2，y 2〕，M ，N 到准线的距离分别为 d M ，d N ，由抛物线的定义可知 |MF|＝d M ＝x 1+ ，|NF|＝d N ＝x 2+，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x 1+x 2+1．∵，∴直线MN 的斜率为±，∵F 〔，0〕，∴直线PF 的方程为 y ＝±〔x ﹣〕，将y ＝± 〔x ﹣〕，代入方程 y 2＝2x ，并化简得12x 2﹣20x+3＝0，∴x 1+x 2＝，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x 1+x 2+1＝+1＝．应选：B ．11．〔2021?郑州一模〕三棱锥 P ﹣ABC 内接于球 角形，且边长为 ，球O 的表面积为 16π，那么直线〔〕O ，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三 PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为A ．B ．C ．D ．【解答】解：设三棱锥外接球的球心为 O ，半径为 R ，那么S 球＝4πR 2＝16π，故R ＝2，7/21设M为△ABC的中心，N为AB的中点，那么OM⊥平面ABC，且OC＝2，由△ABC为等边三角形，且边长为，求得NC＝，MC＝1，∴OM＝，∵PA⊥平面ABC，故PA＝2OM＝2，且PA⊥CN，PN＝，又CN⊥AB，AB∩PA＝A，∴CN⊥平面PAB，那么PC＝，∴sin∠NPC＝＝．应选：D．12．〔2021?郑州一模〕＝f〔g〔x〕〕﹣m有A．〔0，1〕f〔x〕＝9个零点，那么B．〔0，3〕m的取值范围是〔C．，g〔x〕＝〕D．+m+2，假定y【解答】解：令t＝g〔x〕，〔gx〕＝+m+2，g'〔x〕＝＝〕＝，当x∈〔﹣∞，0〕，〔2，+∞〕时，函数g〔x〕递加，当x∈〔0，2〕时，函数g〔x〕递减，函数g〔x〕有极大值g〔0〕＝m+2，极小值g〔2〕＝m﹣3，8/21假定y＝f〔g〔x〕〕﹣m有9个零点，画出图象以下：察看函数y＝f〔t〕与y＝m的交点，当m＜0时，t＞1，此时函数y＝f〔t〕与y＝m最多有3个交点，故不可立，当m＝0时，t1＝，t2＝2，g〔0〕＝2，g〔2〕＝﹣3，g〔x〕＝t1，有三个解，g〔x〕＝2有2个解，共5个解不可立；当m＞3时，明显不可立；故要使函数有9个零点，0＜m＜3，依据图象，每个y＝t最多与y＝g〔x〕有三个交点，要有9个交点，只好每个t都要有3个交点，当0＜m＜3，y＝f〔t〕与y＝m的交点，，，2＜t3＜9，9/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析g 〔0〕＝m+2∈〔2，5〕，g 〔2〕＝m ﹣3∈〔﹣3，0〕， 当2＜t 3＜m+2时，由，即2＜2m+1＜m+2时，得0＜m ＜1时，2＜t 3＜3时〔x 〕＝t 3，有三个解，g 〔x 〕＝t 2，要有三个解 m ﹣3＜﹣ ，即m ＜ ，g 〔x 〕＝t 1有三个解 m ﹣3＜﹣2，即m ＜1，综上，m ∈〔0，1〕，应选：A ．二．填空题〔共 4题，每题5分〕13．〔2021?郑州一模〕曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点〔0，1〕处的切线方程为y ＝x+1 ．【解答】解：求导函数可得，y ′＝〔1+x 〕e x﹣4x当x ＝0时，y ′＝1 ∴曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点〔0，1〕处的切线方程为 y ﹣1＝x ，即y ＝x+1．故答案为：y ＝x+1．14．〔2021?新课标Ⅲ〕记S 为等差数列{a}的前n 项和．假定a ≠0，a ＝3a ，那么＝4．nn121【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，那么由a 1≠0，a 2＝3a 1可得，d ＝2a 1，∴＝10/21＝，故答案为：4．15．〔2021?郑州一模〕双曲线C：＝1〔a＞0，b＞0〕的右极点为A，以A为圆心，b为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线订交于M，N两点，假定〔O 为坐标原点〕，那么双曲线C的离心率为．【解答】解：双曲线C：＝1〔a＞0，b＞0〕的右极点为A〔a，0〕，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．那么点A到渐近线bx﹣ay＝0的距离为|AB|＝，∵r＝b，∴|BN|＝＝，∵，∴|OB|＝5|BN|＝，|OA|＝a，∴a 2＝+，a 2c2＝25b4+a2b2，a 2〔c2﹣b2〕＝25b4，∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，11/21即6a 2＝5c 2，即a ＝c ，∴e ＝＝，故答案为：．16．〔2021?郑州一模〕数列 {a n }知足：对随意 n ∈N *均有an+1＝pa n +2p ﹣2〔p 为常数，p ≠0且p ≠1〕，假定a 23 4 5 1的全部可能取值，a ，a ，a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，那么a 的会合是 {﹣2，0，﹣66} ．【解答】解：由题意，对随意n ∈N *，均有a n+1+2＝p 〔a n +2〕，当a n +2＝0，即a 1+2＝0，即a 1＝﹣2时，a 2＝a 3＝a 4＝a 5＝﹣2．当a n +2≠0时，结构数列{b n }：令b n ＝a n +2，那么b n+1＝pb n ．故数列{b n }是一个以p 为公比的等比数列．∵a 2，a 3，a 4，a 5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，∴b 2，b 3，b 4，b 5∈{﹣16，﹣4，0，8，13，32}．①当b 2＝﹣4，b 3＝8，b 4＝﹣16，b 5＝32时，p ＝﹣2．此时，b 1＝＝＝2，a 1＝b 1﹣2＝2﹣2＝0；12/21②当b 2＝32，b 3＝﹣16，b 4＝8，b 5＝﹣4时，p ＝﹣ ． 此时，b 1＝＝＝﹣64，a 1＝b 1﹣2＝﹣64﹣2＝﹣66．a 1的全部可能取值的会合是{﹣2，0，﹣66}．故答案为：{﹣2，0，﹣66}．三．解答题〔17-21必考题，合计60分，22-23选考题，合计 10分〕17．〔2021?郑州一模〕△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R 〔sin 2A ﹣sin 2B 〕＝〔a ﹣c 〕sinC ．〔Ⅰ〕求角B ；〔Ⅱ〕假定b ＝12，c ＝8，求sinA 的值．【解答】解：〔I 〕∵2R 〔sin 2A ﹣sin 2B 〕＝〔a ﹣c 〕sinC ， 2R?2R 〔sin 2A ﹣sin 2B 〕＝〔a ﹣c 〕sinC?2R ，即：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴ ．因为0＜B ＜π，因此 ，II 〕假定b ＝12，c ＝8，由正弦定理，， ，由b ＞c ，故∠C 为锐角， ，∴ ．18．〔2021?郑州一模〕三棱锥M ﹣ABC 中，MA ＝MB ＝MC ＝AC ＝，AB ＝BC ＝2，13/21O 为AC 的中点，点 N 在线BC 上，且 ．1〕证明：BO ⊥平面AMC ；2〕求二面角N ﹣AM ﹣C 的正弦值．【解答】解：〔1〕以以下图：连结OM ，AC ，OM 订交于O ，在△ABC 中： ，那么 ，OB ⊥AC ．在△MAC 中： ，O 为AC 的中点，那么OM ⊥AC ，且 ．在△MOB 中：，知足：BO 2+OM 2＝MB 2依据勾股定理逆定理获得OB ⊥OM ，故OB ⊥平面AMC ；〔2〕因为OB ，OC ，OM 两两垂直，成立空间直角坐标系O ﹣xyz 以以下图．14/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析因为，AB＝BC＝2那么，由设平因此，面MAN的法向量为，那么令，得，因为所BO⊥平面以AMC，因此与为平面AMC的法向量，所成角的余弦为．因此二面角的正弦值为19．〔2021?郑州一模〕椭圆E：＝1〔a＞b＞0〕的离心率为．，且过点C〔1，0〕．15/21〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假定过点〔﹣，0〕的随意直线与椭圆E订交于A，B两点，线段 AB的中点为M，求证，恒有|AB|＝2|CM|．【解答】解：〔I〕由题意知b＝1，，又因为a 2＝b2+c2解得，，因此椭圆方程为．〔Ⅱ〕设过点直线为，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕由得〔9+18t 2〕y2﹣12ty﹣16＝0，且△＞0．那么又因为，，＝，因此．因为线段AB的中点为M，因此|AB|＝2|CM|．20．〔2021?郑州一模〕水污染现状与工业废水排放亲密有关，某工厂深人贯彻科学展开观，努力提升污水采集办理水平，其污水办理程序以下：原始污水必先经过A系统办理，处理后的污水〔A级水〕抵达环保标准〔简称达标〕的概率为p〔0＜p＜1〕．经化验检测，16/21假定确认达标即可直接排放；假定不达标那么一定进行B系统办理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既能够逐一化验，也能够将假定干个样本混淆在一同化验，混淆样本中只需有样本不达标，那么混淆样本的化验结果必不达标，假定混淆样本不达标，那么该组中各个样本一定再逐一化验；假定混淆样本达标，那么原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐一化验；方案二：均匀分红两组化验；方案三；三个样本混在一同化验，剩下的一个独自化验；方案四：四个样本混在一同化验．化验次数的希望值越小，那么方案越“优“．〔1〕假定，求2个A级水样本混淆化验结果不达标的概率；2〕①假定，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？②假定“方案三〞比“方案四“更“优〞，求p的取值范围．【解答】解：〔1〕该混淆样本达标的概率是，因此依据对峙事件原理，不达标的概率为．〔2〕①方案一：逐一检测，检测次数为4．方案二：由①知，每组两个样本检测时，假定达标那么检测次数为1，概率为；假定不达标那么检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为ξ的可能取值为2，4，6．2，ξ2其散布列以下，17/21p可求得方案二的希望为方案四：混在一同检测，记检测次数为ξ，ξ可取1，5．44其散布列以下，ξ415p可求得方案四的希望为．比较可得E〔ξ4〕＜E〔ξ2〕＜4，应选择方案四最“优〞．②方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5．η325p p 31﹣p3；方案四：设化验次数为η可取1，54，η4η415p p 41﹣p4；由题意得．18/2121．〔2021?郑州一模〕函数f 〔x 〕＝x ﹣lnx ﹣ ．〔1〕求f 〔x 〕的最大值；〔2〕假定 ﹣bx ≥1恒成立，务实数b 的取值范围．【解答】解：〔1〕 ，定义域〔0，+∞〕， ，由e x≥x+1＞x ，f 〔x 〕在〔0，1]增，在〔1，+∞〕减，f 〔x 〕max ＝f 〔1〕＝1﹣e ．〔2〕 ?﹣lnx+x+xe x﹣bx ﹣1≥0，令 ， ， 令h 〔x 〕＝x 2e x+lnx ，h 〔x 〕在〔0，+∞〕单一递加，x →0，h 〔x 〕→﹣∞，h 〔1〕＝e ＞0h 〔x 〕在〔0，1〕存在零点 x 0，即，，因为y ＝xe x在〔0，+∞〕单一递加，故，即 ，φ〔x 〕在〔0，x 0〕减，在〔x 0，+∞〕增，，19/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析因此b≤2．22．〔2021?郑州一模〕在平面直角坐标系xOy中，曲线E经过点P，其参数方程〔α为参数〕，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．〔1〕求曲线E的极坐标方程；〔2〕假定直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出这个定值．【解答】解：〔I〕将点代入曲线E的方程，得解得a 2＝4，因此曲线E的一般方程为，极坐标方程为．〔Ⅱ〕不妨设点A，B的极坐标分别为，那么即．，即．20/212021年河南省郑州市高考数学一模试卷答案分析23．〔2021?郑州一模〕函数f 〔x 〕＝|x ﹣1|﹣|2x+1|+m ．1〕求不等式f 〔x 〕＞m 的解集；2〕假定恰巧存在4个不一样的整数n ，使得f 〔n 〕≥0，求m 的取值范围．【解答】解：〔1〕由f 〔x 〕＞m ，得|x ﹣1|﹣|2x+1|＞0，即|x ﹣1|＞|2x+1|，不等式两边同时平方，得〔x ﹣1〕2＞〔2x+1〕2，即x 2+2x ＜0，解得﹣2＜x ＜0，∴不等式 f 〔x 〕＞m 的解集为{x|﹣2＜x ＜0}；〔2〕设g 〔x 〕＝|x ﹣1|﹣|2x+1|，，g 〔﹣2〕＝g 〔0〕＝0，g 〔﹣3〕＝﹣1，g 〔﹣4〕＝﹣2，g 〔1〕＝﹣3，又恰巧存在4个不一样的整数n ，使得f 〔n 〕≥0， ∴，即 ，解得1≤m ＜2，故m 的取值范围为 [1，2〕．21/21。