线性代数试题及答案3详解
线性代数习题答案完整版
一、选择题.
1. 下列排列是偶排列的是( ).
( A ) 53214 ； ( B ) 654321； ( C )12345 ； ( D ) 32145 . 解：因为 (A) (53214) 7 ; (B) (654321) 15;
(C) (12345) 0 ; (D) (32145) 3 .
211
1 11 1 1
1 2 1
1 1 0 2 1
解：（1） Dn 1 1 2
1 1 0 1 2 1
1 1 1
2 1 0 1 1
按第一列展开成两个行列式得
111
1111
1
1 2 1
1021
1
Dn 1 1 2
1 0 1 2
1
1
1
1 1 1
2 0 1 1
2
1 r2 r1 1 1 0 r3 r1 3 2
( A ) n(n 1) ； 2
(B)n；
(C ) n 1；
( D )不确定.
解：因为 n(n 1)(n 2) 321的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1) ， 2
4
故选 A .
4. 判断 4 阶行列式 det(aij ) 中的项 a11a33a44a22 和 a24a31a13a42 的符号分别为( ). ( A ) 正、正； ( B )正、负； ( C )负、正； ( D )负、负.
111
111 (xy yz xz) x y z (xy yz xz)( y x)(z x)(z y).
x2 y2 z2
6. 计算下列 n 阶行列式.
8
211 1 2 1 （1） 1 1 2
1
x a1 a2
1
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数练习册附问题详解
第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323zz y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O .(2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .7. 设方阵A 满足A 2-3A -2E =O ，证明A 及A -2E 都可逆，并用A 分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A--⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B) P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆. 5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A TB ，求C n.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1.第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4. 证明： 3232a cb a b a ac b a b a a c b a=++++++.5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------ (2) y xy x x yx y y x yx +++(3) 0111101111011110(4) 1222123312111x x x x x x（5）n n a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： |A*|=|A|n-1，(n ≥2)．8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算 |-2A*B-1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1.复习题二1．设A , B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*= B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．4．设A , B 都是n 阶方阵，试证：AB E E AB E-=．第3章向量空间习题1. 设α1=(1,-1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．2. 设α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1- x)+2(α2+x)=5(αx) ,求向量x.3+3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T, α2=(2,-6,-2)T, α3=(5,4,1)T；(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T, β3=(0,0,2)T .4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8. 设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=c α2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9. 设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11. 已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值.12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14. 已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β， 求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B : β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r .3．设有三个n维向量组A：α1, α2, α3；B：α1, α2, α3,α4；C：α1, α2, α3,α5．若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组α1, α2, α3,α4-α5线性无关．4．设向量组A: α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B: β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)T(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间3R的基；(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题1. 写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 43212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8. 设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？9. 设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn-r线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn-r线性无关．复习题四1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a = . 2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为 .3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a ,b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3,α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax= β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量α1=(1,-1,1)T，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵．3. 设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化： （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1) A是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T，求矩阵A．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 ．2.已知3阶矩阵A , A -E , E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |= ．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足 ．4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+,α2，则A 的非零特征值为 .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9．第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3. 已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值范围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A TA ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n . 2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3．3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式 *2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式 E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题：6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1.三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵．。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
陈文灯线性代数详解 (3)
第四章 线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m ×n x = 0中, 若秩(A) = k 且η1, η2, …, ηr 是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.解. k n r -=, 当n k =时, 方程组只有零解.2. 若n 元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.解. 假设该方程组为A m ×n x = b, 矩阵的秩r A r =)(.当n r =, 方程组有惟一解; 当n r <, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解, 则k 应满足的条件是______.解. 0311211≠kk , 53,0623≠≠--+k k k k 时, 方程组只有零解.4. 设A 为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A *x = 0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解. 因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r , 所以0)(*=A r , A *x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4. 5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A , 则A x = 0的通解为______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=0011010111110121112011121A 2)(=A r , 基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-03231x x x x , 取1,1123===x x x 则. 基础解系为(1, 1, 1)T .A x = 0的通解为k (1, 1, 1)T , k 为任意常数.6. 设α1, α2, …αs 是非齐次线性方程组A x = b 的解, 若C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs 也是A x = b 的一个解, 则C 1 + C 2 + … + C s = ______.解. 因为A b A i 且,=α(C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs ) = b, 所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7. 方程组A x = 0以T T )1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___. 解. 方程组A x = 0的基础解系为T T )1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη, 所以2)(=-A r n , 即2)(3=-A r , )(A r = 1.所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A , 假设),,(1312111a a a =α.由 01=ηA , 得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a由 02=ηA , 得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a取 2,1,0111213-===a a a 得. 所以)1,1,2(1-=α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8. 设A x = b, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 则使方程组有解的所有b 是______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 05112210321||≠=-=A , 所以)(A r = 3. 因为 A x = b 有解, 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b , 其中321,,k k k 为任意常数.9. 设A, B 为三阶方阵, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11121211A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B , 且已知存在三阶方阵X , 使得B AX =, 则k = ___________.解. 由题设 B X A =⨯⨯3333, 又因为011121211||=-=A , 所以0||||||==X A B , 即0266411202314=+--=--k k k , 2-=k .二. 单项选择题1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T, ξ2 = (－2, 0, 1)T都是线性方程组0=Ax 的解, 只要系数矩阵A 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02010 解. 因为21,ξξ的对应分量不成比例, 所以21,ξξ线性无关. 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A , 3)(,0112213321||=≠=A r A . 因为A 是三阶矩阵, 所以0=Ax 只有零解, 排除(A); (B) 2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A . 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－1)(=A r . 排除(B);(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A , 2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－1)(=A r . 排除(C);(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02010A , 1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－2)(=A r , (D)是答案.2. 设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成 (A) 321,,ξξξ的一个等阶向量组 (B) 321,,ξξξ的一个等秩向量组 (C) 321211,,ξξξξξξ+++ (C) 133221,,ξξξξξξ---解. 由 0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k , 得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ. 因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 所以321,,ξξξ线性无关. 于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k , 所以0321===k k k , 则321211,,ξξξξξξ+++线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.(A) 不是答案. 例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价, 但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系. 3. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) b Ax =有解 (D) 当0≠x 时, 0≠Ax , 其中Tn x x x ),,(1 = 解. 对(A), (B): 反例 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A , 不可逆; 对于(C) 假设A 为n ×n 矩阵, A 为A 的增广矩阵. 当n A r A r <=)()(时, b Ax =有无穷多解, 但A 不可逆;(D) 是答案, 证明如下: 当0≠x 时, 0≠Ax , 说明0=Ax 只有零解. 所以1,0||-≠A A 存在.4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r, 则0=Ax 有非零解的充分必要条件是( A ) n r = ( B ) n r ≥ ( C ) n r < ( D ) n r > 解. ( C )为答案.5. 设n m A ⨯为矩阵, m n B ⨯为矩阵, 则线性方程组0)(=x AB ( A ) 当m n >时仅有零解. ( B ) 当m n >时必有非零解. ( C ) 当n m >时仅有零解. ( D ) 当n m >时必有非零解.解. 因为AB 矩阵为m m ⨯方阵, 所以未知数个数为m 个. 又因为n A r AB r ≤≤)()(, 所以,当n m >时, m n A r AB r <≤≤)()(, 即系数矩阵的秩小于未知数个数, 所以方程组有非零解. ( D )为答案.6. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A , 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解. 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为 0*≠A , 所以 1)(-≥n A r ; 又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 所以 b Ax =的解不唯一, 所以 1)(-≤n A r , 所以 1)(-=n A r . 于是: 基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n ( B )为答案. 三. 计算证明题1. 求方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解, 并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解. 将条件方程与原方程组构成矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→00000000287214017409100000002872140113251i. 条件方程与原方程组兼容, 即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii. 2)()(==A r A r , 方程组有解. 齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ; iii. 齐次方程的基础解系: ⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得 基础解系为: TT)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv. 非齐次方程的通解: ⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为: ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303, 问m, k 为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111070013117107001314113230131k m k m k mi. 当3)()(,1==-≠A r A r m 时, 方程组有惟一解; ii. 当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时, 方程组无解;iii. 当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r齐次方程组: ⎩⎨⎧==++07032321x x x x , 所以02=x .令 1,113-==x x 得. 基础解系解向量为: T )1,0,1(-. 非齐次方程组: ⎩⎨⎧==++17032321x x x x , 所以712=x .令 73,013-==x x 得. 非齐次方程特解为: T)0,71,73(-. 通解为: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x3. 问λ为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解, 并求出解的一般形式.解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++1023210101342123210101324162214101λλλλλλλλλiii. 当32)()(,1,01<====+-A r A r 时λλ, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组: ⎩⎨⎧=-=+0203231x x x x ,令 0,1,1123===x x x 得. 基础解系解向量为: T )1,2,1(-. 非齐次方程组: ⎩⎨⎧-=-=+1213231x x x x ,令 1,1,0213-===x x x 得. 非齐次方程特解为: T )0,1,1(-. 通解为: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121011k x4. 已知)0,2,1(1=α, )3,2,1(2a a -+=α, )2,2,1(3b a b ++-=α及)3,3,1(-=β. i. a, b 为何值时, β不能表示成321,,ααα的线性组合.ii. a, b 为何值时, β有321,,ααα的惟一线性表示, 并写出该表示式. 解. 假设 βααα=++332211x x x , 求解方程组, 求321,,x x x . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-32301401111323032221111ba ab a ba ab a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-→3125001401111b a b a i. 4,0-≠=b a 时, 3)(2)(=<=A r A r , 方程组无解, 即β不能表示成321,,ααα的线性组合; 512,0-==b a 时, )(2)(A r A r ==, 方程组有无穷多解, 即β有无穷多种方法可表示成321,,ααα的线性组合.ii. 0125,0≠++≠b a a 时, )(3)(A r A r ==, 方程组有惟一解, 即β能表示成321,,ααα的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0)125(1)4(1332321x b a x b ax x x x ,解得: ax ax x 11,1,0123-===, 表示式为: 32101)11(αααβ++-=aa.5. 知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++1322422432143214321cx x x x x bx x x x x ax x 与⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-+-=+++12221434324321x x x x x x x x x 同解, 试确定a, b, c.解. 在第二个方程组中求一组特解. 令0,1,1,11243==-==x x x x 解得. 将该组特解代入第一个方程组中得: 4,4,2===c b a . 6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )( I ) ⎪⎩⎪⎨⎧=--=----=-+3314623214321421x x x x x x x x x x ( II ) ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+121125434324321t x x x x nx x x mx xi. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t 为何值时, 方程组( I )与( II )同解. 解. i. 由第一个方程组: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------21614025715062011301131111462011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→152510055751106201121614557511062011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→5210205050620115210025715062011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→5210410*******3)()(==A r A r , 齐次方程基础解系所含解向量个数为: 1)(4=-A r .齐次方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=-+020024342421x x x x x x x . 令1,1,2,11234====x x x x 解得.基础解系为: T )1,2,1,1(.非齐次方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--=-+524624342421x x x x x x x . 令2,4,5,01234-=-=-==x x x x 解得.所以第一个方程组的通解为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=12110542k x ii. 将⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0542代入第二个方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=-=+-=-=+--6154115425542t t n n m m . 7. 设A 是m ×n 矩阵, R 是m ×n 矩阵, x =Tn x x x ),,,(21 , B 是m ×m 矩阵, 求证: 若B 可逆且BA 的行向量都是方程组0=Rx 的解, 则A 的每个行向量也都是该方程组的解. 解. 假设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mm m m m m b b b b b b b b b B 212222111211, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A ααα 21, 其中),,2,1(m i i=α为A 的行向量.=BA ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mm m m mm b b b b b b b b b212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m ααα 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++m mm m m m m m b b b b b b αααααα 1121211111因为BA 的行向量都是方程组0=Rx 的解, 所以: ),,2,1(,0)(1m i b R T mk k ik ==∑=α.所以:),,2,1(,01m i R b mk Tkik ==∑=α, 即),,2,1(,0)(m i R B Ti ==α.因为B 可逆, 所以),,2,1(,0m i R Ti ==α. 即A 的每个行向量为R x = 0的解.8. A 是n 阶矩阵, 且A ≠ 0. 证明:存在一个n 阶非零矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是0||=A .解. 必要性:(反证法) 反设0||≠A , 则1-A 存在. 所以当AB = 0时, 二边右乘1-A 得0=B , 和存在一个n 阶非零矩阵B , 使AB = 0矛盾. 所以0||=A ; 充分性:设 0||=A , 则方程组Ax = 0有非零解 ),(2,1n b b b x =. 构造矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00000021nb b b B 则B ≠ 0, 且AB = 0.9. 假设A 是m ×n 阶矩阵,若对任意n 维向量x , 都有0=Ax , 则A = 0. 解. 假设),,,(21n A ααα =, i α为A 的列向量),,2,1(n i =. 取Ti )0,,1,,0( =β),,2,1(n i =, 只有第i 个分量为1, 其余都为0. 则 0010==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i A A αβ , ),,2,1(n i =所以 A = 0. 10. 假设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111,010,1113102112ηb caA . 如果η是方程组b Ax =的一个解, 试求b Ax =的通解.解. 将⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1111η代入b Ax =, 得到c a c a ==-+-,011.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡002121011310021120111131002112a a aai. 21==c a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001131011202000113100211201212111131002112于是 2)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为: 2)(4=-A r . 齐次方程: ⎩⎨⎧=++=+-03022432431x x x x x x ,令 1,3,0,11243=-===x x x x 解得, 解向量为: T )0,1,3,1(- 令 1,2,2,01243-=-===x x x x 解得, 解向量为: T )2,0,2,1(- 所以通解为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-20210131111121k k i. 21≠=c a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡002121011310021120111131002112a a aa⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→a aa21211001131011202于是 3)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为: 1)(4=-A r . 齐次方程: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++=+-0)21()1(0302243432431x a x a x x x x x x ,令 2,1,1,21234-==-==x x x x 解得, 解向量为: T)2,1,1,2(--所以通解为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21121111k11. 假设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222141,111111B aa a A . 如果矩阵方程B AX =有解, 但解不惟一, 试确定参数a . 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---a aa a a a a a a a 4221106011041112211211141112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+----→a aa a a a a 482)2)(1(00601104111当 2-=a 时, 对于B 的任一列向量, 都有 32)()(<==A r A r , 所以矩阵方程B AX =有解, 但解不惟一.。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数(中国商业出版社)课后习题详解习题三
线性代数（中国商业出版社）课后习题详解习题三（A）1．用消元法解下列线性方程组：（1）12312312312322,35,57,23314;x x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩（2）123412341234527,2421,3650;x x x xx x x xx x x x-++=⎧⎪++-=⎨⎪--+=⎩（3）12341234123421,21,255x x x xx x x xx x x x-++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=⎩（4）12412341234123421,323,31,23734;x x xx x x xx x x xx x x x+-=-⎧⎪--++=⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩（5）12345123452345123450,3230,2260,54230;x x x x xx x x x xx x x xx x x x x++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩（6）12341234123424530,36420,4817110.x x x xx x x xx x x x-++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩解：.1)2112115713151315115721122331423314-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11571157024********0191600120113280000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪→⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2）512171211121421000221365000066--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→--⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭00005071612113650⎛⎫⎪→-⎪⎪--⎝⎭∴无解3)12111121112212100066-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---→--⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1-2111000－50121000001100000-⎛⎫⎪→⎪⎪⎝⎭1122132421x c cx cx cx=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩4)1201112111131230111211311033222373407756----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭120111020101112011020001400014002800000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12341224x c x c x c x =--⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩5）1111111111321130122601226012265423101326⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭111111011501026011260010000100000000000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112212341525260x c c x c c x x c x c =+⎧⎪=--⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩（12,c c ,均为任意常数）6）24531211121136422453007541617110075000-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221324222757x c c x c x c x c ⎧=+⎪⎪=⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩2．当a 取何值时，线性方程组123123123123332x x x x x a x x a x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩无解？有唯一解？有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其一般解.解：1111111123301211320141a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1111012100(2)(3)2a a a a -⎛⎫⎪→+⎪ ⎪--+-⎝⎭1°当a =-3时，无解2°当a =2时，无穷多解123514x c x c x c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ （c 为任意常数） 3°当a ≠2且a ≠2-3时，唯一解3．当a ，b 取何值时，方程组1312312321322x x x x x x x a x b+=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩无解？有唯一解？有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其一般解.解：1021102111320111210142a b a b --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭102101110053a b -⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-+⎝⎭1°当a ≠时，唯一解2°a=5，b ≠-3时，无解 3°当a=5且b=-3无究多解123121x c x c x c =--⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪=⎝⎭（c 为任意常数）4．当k 为何值时，齐次线性方程组123123123230347020x x x x x x x x kx -+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非.解：2133470312k k--=⇒=--时，方程组有非零解 123x c x c x c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ （c 为任意常数）5．已知向量(2,1,0,1),(1,4,2,3)αβ=-=-.计算：（1）2αβ-； （2）1(3)2αβ+.解：1）22(2,1,0,1)(1,4,2,3)(5,6,2,1)αβ-=---=---2）11111(3)[(2,1,0,1)3(1,4,2,3)](,,3,5)2222αβ+=-+-=-6．设向量123(1,4),(1,2),(4,11)ααα=-==.求a ，b 的值，使1230a b ααα--=.解：1230a b ααα--=(1,4)(1,2)(4,11)a b---=4042110a b a b ---=⎧⎨--=⎩则19,22a b ==-7．判定下列各组中的向量β是否可以表示为其余向量的线性组合，若可以，试求出其表示式. （1）TTTT123(4,5,6),(3,3,2),(2,1,2),(1,2,1)βααα==-=-=-；（2）TTTT123(1,1,3,1),(1,2,1,1),(1,1,1,2),(3,2,1,3)βααα=-===---；（3）TTTT1231(1,0,),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,2)2βααα=-==--=-.解：1)32141422312401392216010510---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭10103810020139010300140004--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则123234βααα=++2)1131103121210143111300441231012----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1012010200450044⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭则β不能由123,,ααα线性表示3）11111111111002211312203322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11002101120000⎛⎫ ⎪⎪⎪→- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭则12311()22c c βααα=+++(c 为任意常数)8．设T T T 2T123(1,,1,1),(1,1,,1),(1,1,1,),(0,,)αλαλαλβλλ=+=+=+=.问当λ为何值时（1）β不能同123,,ααα线性表出？（2）β可同123,,ααα线性表出，并且表示法唯一？ （3）β可同123,,ααα线性表出，并且表示法不唯一？解：22220(2)(1)11101110111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫--+-+⎛⎫+ ⎪ ⎪+→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22200(2)(1)0111λλλλλλλλλλ⎛⎫-+-+ ⎪→-- ⎪ ⎪+⎝⎭1°当3λ=-时，β不能由123,,ααα 线性表示2°当0λ≠且3λ≠-时，β可由123,,ααα 唯一性表示3°当0λ=时，表示法不唯一9．判定下列向量组是线性相关，还是线性无关？ （1）12(3,2,0),(1,2,1)αα==-；（2）123(1,1,1,1),(1,1,2,1),(3,1,0,1)ααα=-=--=；（3）123(2,1,3),(3,1,1),(1,1,2)ααα==-=-.解：1)310022102201012r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无关2）113113111022120033111022⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭10201100000r ⎛⎫⎪⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭3＜3，相关 3）23105111211133312025r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→== ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭无关10．已知向量123(,2,1),(2,,0),(1,1,1)a a ααα===-.试求a 为何值时，向量123,,ααα线性相关？线性无关.解：210212103101101aa a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1°当21,3a a -=-即a =-2或a =3时，线性相关 2°当21,3a a -≠-即a ≠-2且a ≠3时，线性无关11．设123,,ααα线性无关，又112322311232,,23βαααβααβααα=-+=-=-+.证明：向量组123,,βββ线性相关.解：设1122330k k k βββ++=11232133123(2)()(23)0k k k αααααααα-++-+-+=11312322233(2)()(23)0k k k k k k k k ααα++-+-+--=因为123,,ααα线性无关，则131123231232020230k k k c k k k k c k c k k k +==-⎧⎧⎪⎪-+-=⇒=-⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎩（c 为任意常数） 则线相关12．已知向量组123,,βββ可由向量组123,,ααα线性表示：112321233123βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩（1）试把向量组123,,ααα由向量组123,,βββ线性表示； （2）这两个向量组是否等价？解：1）由112321233123βαααβαααβααα⎧==+⎪⎪=++⎨⎪=-++⎪⎩得112223313112211221122αββαββαββ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩2）等价，因为123,,ααα 和1β2β3β 可以互相线性表示13．设n 维向量组12(1,0,0,,0),(1,1,0,,0),,(1,1,1,,1)n ααα=== .试证：向量组12,,,n ααα 与n维基本单位向量组12,,,n εεε 等价.解：因1121212nn αεαεεαεεε⎧=⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩又1122111nn n εαεααεααα-⎧=⎪=-⎪⎨⎪⎪=--⎩即1α 2αn α和1ε ，2ε ， ，n ε可以互相线性相示，则它们等价.14．证明：如果n 维基本单位向量组12,,,n εεε 可以由n 维向量组12,,,n ααα 线性表示，则向量组12,,,nααα 线性无关.解：因为1α，2αn α和1ε 2ε n ε可以相互相线性表示，则它们等价.所以1α，2αn α线性无关.15．求下列向量组的一个级大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示： （1）TTTT1234(1,1,0),(1,2,1),(2,3,1),(3,5,2)αααα====；（2）TTTT1234(5,2,3,1),(4,1,2,3),(1,1,1,2),(3,4,1,2)αααα=-=-=--=-；（3）TTTTT12345(1,2,3,4),(2,3,4,1),(2,5,8,3),(5,26,9,12),(3,4,1,2)ααααα=-=-=--=--=-解：1)112311231235011201120112⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦101101120000⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1α ，2α为一个极大无关组，且 312412++2αααααα⎧=⎪⎨=⎪⎩2）5413011117211405503211077513221322--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1010011000010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1α，2α，4α为一个极大无关组，且3α=1α-2α3）12253122532352640191610348910102248413122095814⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦1016371710051019161001021009218492001210761527600---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1α ，2α ，3α 为一个极大无相关组，且4α =51α +22α -23α5α =-1α +2α +3α16．求下列向量组的秩：（1）T T T T T12345(3,1,2,5),(1,1,1,2),(2,0,1,3),(1,1,0,1),(4,2,3,7)ααααα====-=（2）TTTT1234(6,4,1,1,2),(1,0,2,3,4),(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)αααα=-=-=--=-解：1)3121411012110120224221103011215231703363-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10111011210000000000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦r (1α，2α ，3α ,4α ,5α)=22)61171290404101155712900840113161052512422308403-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦129005251000100000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r (1α ，2α ，3α ,4α ,5α)=317．已知矩阵330214301562A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1）计算A 的所有三阶子式；（2）利用（1）的结果求矩阵A 的秩.解：1）三阶子式3303323021431404300156152562----=--=-=----- 2）二阶子式020,()23r A -=≠=则18．把下列矩阵化为阶梯形矩阵，求矩阵的秩：（1）112102060115252-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（2）21211111022542933118-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦解： 1)1103021121011210120601022210111215252044420000⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦r =22）2121111102111211102034130303725429032250021233118021200000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ r =319．设向量组12,,,s ααα 的秩为r ，证明：12,,,s ααα 中任意r 个线性无关的向量都是它们的一个极大线性无关组.解：设11,2,r s a a a a，为中任意个线性无关的向量则 11,r r r a a a a + ，都可由线性表示故它们为1,,s a a的一个极大线性无关组20．已知向量组（Ⅰ）；123,,ααα（Ⅱ）1234,,,αααα；（Ⅲ）12345,,,,ααααα.如果各向量组的秩分别为r （Ⅰ）=r （Ⅱ）=3， r （Ⅲ）=4.证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4.解：由123(1)3,,r ααα=知线性无关r (Ⅱ)=3知1234,,,αααα 线性相关,即2α 可由123,,ααα线性表示 r (Ⅲ)=4知1235,,,αααα线性无关则12354,,,ααααα- 可由1235,,,αααα线性表示 ∴12354,,,ααααα-的秩为421．求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解：（1）12413420,0;x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩（2）123412341240,20,30;x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩（3）12345123452345123450,3230,2260,54330;x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩（4）12341234123424530;36420;4817110.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩解：1) 2101111⎛⎫⎪-⎝⎭→0121111-⎛⎫⎪-⎝⎭基础解系:12(1,2,1,0)(0,1,1,1)TTηη=-=-通解为112212,()X c c c c ηη=+为任意常数2）111111213101-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→ 111102320232-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→11002301120000⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭基础解系:1213(,,1,0),(0,1,0,1)22T Tηη=-=-通解为122212,()X c c c c ηη=+为任意常数3）11111321130122654331⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭→ 11111012260122601226⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭→10115012260000000000---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭基础解系:123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)TTTηηη=--=-通解为112233123,()X c c c c c c ηηη=++为任意常数4) 基础解系:12(2,1,0,0),(2,0,5,7)T Tηη=- 通解为112212(,)X c c c c ηη=+为任意常数22．求下列非齐次线性方程组的全部解，并用其导出组的基础解系表示：（1）12412341234233,25244,4520;x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩（2）123412341234240,254113,2251;x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=-⎨⎪+-+=-⎩（3）12345123451234522,24,3452310;x x x x x x x x x x x x x x x ++--=⎧⎪-++-=⎨⎪-++-=⎩（4）12341234123424,3638,510516.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪+--=⎩解：1）120332524414520⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭→ 120330122202553⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→ 104770122200111-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭1003110100400111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭1423411341x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ ∴ X=c (-3,0,1,）T +(11,-4,1,0）T(c 为任意常数） 2）1124025411312251-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→112400303301011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→102310101100000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭124241231x x x x x =+-⎧⎨=--⎩ 12(2,0,1,0)(3,1,0,1,)(1,1,0,0)T T TX c c =+--+-(c 1,c 2为任意常数） 3）2111221121143452310---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ →112114013306011102--⎛⎫⎪---⎪ ⎪----⎝⎭→10121201330600448----⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪---⎝⎭→100110010000001102--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14523402x x x x x x=+⎧⎪=⎨⎪=-⎩ X= c 1(1,0,-1,1,0）T + c 2(1,0,0,0,1）T +(0,0,2,0,0）T(c 1, c 2任意常数）4）12114361385101516-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12114004040044-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭→1201300101000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1243321x x x x =-+⎧⎨=⎩ X=c 1(-2,1,1,0）T + c 2(1,0,1,1）T +(3,0,1,0）T (c 1, c 2任意常数）23．证明：线性方程组121232343454565x x a x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩有解的充分必要条件是51i i a ==∑.在方程组有解时，求方程组的全部解.解：12345110000110000110000111001a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ → 151251235123451234501001001010001100000100012a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎪-++ ⎪ ⎪-+++ ⎪++++ ⎪ ⎪-++++⎝⎭当123450a a a a a ++++=时，方程组有解X=12342343440a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+c 11111⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ (c 为任意常数）24．已知齐次线性方程（Ⅰ），（Ⅱ）的基础解系分别是121201010111,,10100101ξξηη--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦和试求方程组（Ⅰ），（Ⅱ）的全部公共解.解：方程组ⅠⅡ的全部解为K 11ξ +k 22ξ =l 11η +l 22η2212k k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=21212l l l l l -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2221211220000k l k l l k l k l -+=⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪-= ⎪-=⎝⎭⇒121202k k c l c l c =⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪= ⎪=⎝⎭ (c 为任意常数） 且全部公共解为1234x x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=c 1121-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(c 为任意常数）25．证明：如果线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵()ij n nAa ⨯=与矩阵11121121222212120n n n n n n n na a ab a a a b C a a a b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩相等，则此线性方程组有解.解：()(,)()r A r A b r c ≤≤则()()r A r c = 则()(,)r A r A b = 故方程组有解26．设齐次线性方程组11112212112222112200n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵()ij n nAa ⨯=的秩为n -1.求证：此方程组的全部解为T12(,,,)i i in c A A A η=其中(1)ij A j n ≤≤为元a ij 的代数余子式，且至少有一个A ij ≠0，c 为任意常数.解：()1r A n =-∴方程组只有一个基础解系又11110,j i j i jn in a A a A a A j i ++=≠12(,,)T i i in A A A ∴ 为一个基础解系全部解为12(,,)()Ti i in c A A A c 为任意常数27．设A 为m ×n 矩阵，B 为m ×s 矩阵.证明：AB =O 的充分必要条件是B 的每个列向量为齐次线性方程组AX =0的解.解：设B =(12,,s βββ）则A B =(12s A A A βββ+++）=0 则120s A A A βββ⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩等价于0A X =28．设A 为m ×n 矩阵，且r(A )=r ＜n .求证：存在秩为n-r 的n ×(n-r )矩阵B ，使得AB =O .解：设 12,,n r ηηη-为齐次方程组0A X =的一个基础解系令B = (12,,n r ηηη-,）则 A B =12(,,)n r A A A ηηη-=0 而 ()r B n r =-29．设A 为n 阶矩阵，并且A ≠O .求证：存在一个n 阶矩阵B ≠O 使AB =O 的充分必要条件是det A =0.解：存在一个n 阶矩阵0B ≠，使00det 0A B A X A =⇔=⇔=30．设A 为m ×n 矩阵，且r(A )= n ，又B 为n 阶矩阵.求证： （1）如果A B O =，则B O =； （2）如果A B A =，则B E =.证明：由习题结论论知1）证:将B 分块，设B =()12,n B B B其中 j B =()12,,,Tj j nj b b b .1,2,,j n = 则：1212(,)(,,,)n t A B A B B B A B A B A B ==由0A B =可设 01,2,,)j j A B c t ==考虑齐次线性方程组. 0A X = 其中123(,,,)Tn X x x x x = 显然12,,n B B B B 的列向量都是0A X =的解向量，所以方程组0A X =的任一基础解系所含向量个数为n —(),r A 由此()()r B n r A ≤-. 即()()r A r B n +≤ 又()r A n =()0r B =∴即0B =2）0()0A B A A B E -=⇒-= 由上分析知0B E -= 从而B E =（B ）1．填空题 （1）设向量123(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)ααα===，则向量(1,1,0)α=--可表示为123,,ααα的线性组合____________； （2）已知向量组123(3,1,),(4,,0),(1,0,)a a a ααα===，则当a =____________时，123,,ααα线性相关；（3）设三阶矩阵12221234A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，T(,1,1)a α=.已知A α与α线性相关，则a =________；（4）已知向量组TT T T1234(1,2,4),(2,3,1),(,1,),(1,0,)a ab αααα==-==的秩为2，则a =________，b =________;（5）已知方程组12312112323120x a x ax ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解，则a =________；（6）线性方程组1234112321234333x x x x b x x x b x x x x b +-+=⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩有解的充分必要条件是123,,b b b 满足_____________；（7）设矩阵00111111A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则齐次线性方程组()0E A X -=的一个基础解系是_____________；（8）设矩阵21234131A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦若三阶矩阵B ≠O 满足A B O =，则t =__________，d et B =__________；（9）设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为n -1，则线性方程组AX =0的通解为__________； （10）设四元线性方程组A X b=的系数矩阵A 的秩123r ()3,,,Aηηη=均为此方程的解，且TT1213(2,0,4,6),(1,2,1,2)ηηηη+=+=-，则方程组A Xb=的通解为__________.解：1）23ααα=-+2） 02a =或3） 1a =- 4） 1,2a b =-= 5） 1a =- 6） 12320b b b -+= 7）η=(0,1,0)r8） 3,det 0t B =-=9）X=(1,1,,1)()Tc c 为任意常数10）X=(1,0,2,3)(1,2,3,4)()Tc c +为任意常数2．选择题（1）已知向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）. A ．1312,3,,2αααα- B ．1223312,,2ααααααα+--- C ．13131,,ααααα+-D ．23232,,ααααα-+（2）向量12,,,s ααα 线性无关的充分条件是（ ）. A ．12,,,s ααα 均不是零向量B ．12,,,s ααα 中任意两个向量都不成比例C ．12,,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示D ．12,,,s ααα 中有一个部分组线性无关（3）设12,,,s ααα 均为n 维向量，则下述结论中正确的是（ ）. A ．若11120s s k k k ααα+++= ，则向量组12,,,s ααα 线性相关B ．若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有11120s s k k k ααα+++≠ ，则向量组12,,,s ααα 线性无关C ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可以用其余s -1个向量线表示D ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,sk k k ，都有11120s s k k k ααα+++=（4）若向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则（ ）. A ．α必可由,,βγδ线性表示 B ．β必不可由,,αγδ线性表示 C ．δ必可由,,αβγ线性表示 D ．δ必不可由,,αβγ线性表示（5）设n 阶矩阵A 的秩r (A )=r ＜n ，则A 的n 个行向量中（ ）. A ．必有r 个行向量线性无关 B ．任意r 个行向量线性无关 C ．任意r -1个行向量线性无关D ．任意一个行向量都可由其他r 个行向量线性表出（6）设A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，则（ ）. A ．当m ＞n 时，必有行列式||0A B ≠ B ．当m ＞n 时，必有行列式||0A B = C ．当n ＞m 时，必有行列式||0A B ≠ D ．当n ＞m 时，必有行列式||0A B =（7）设非齐次线性方程组A X b =中，系数矩阵A 为m ×n 矩阵，且r (A )=r ，则（ ）. A ．r =m 时，方程组A X b =有解 B ．r =n 时，方程组A X b =有唯一解 C ．m =n 时，方程组A X b =有唯一解 D ．r ＜n 时，方程组A X b =有无穷多解 （8）设A 是m ×n 矩阵，线性方程组AX =b 对应的导出组为AX =0，则下述结论中正确的是（ ）. A ．若0A X =仅有零解，则A X b =有唯一解 B ．若0A X =有非零解，则A X b =有无穷多解 C ．若A X b =有无穷多解，则0A X =仅有零解 D ．若A X b =有无穷多解，则0A X =有非零解 （9）设矩阵12121321A a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 是3×4非零矩阵，且AB =0，则必有（ ）.A ．1()1aB ==时,r B ．1()2a B ==时,r C ．3()1aB =-=时,rD ．3()2aB ==时,r（10）设有齐次线性方程组0A X =和0B X =，其中A ，B 都是m ×n 矩阵.现有4 个命题：①若0A X =的解都是0B X =的解，则r ()r ()A B ≥. ②若r ()r ()A B ≥，则0A X =的解都是0B X =的解. ③若0A X =与0B X =同解，则r ()r ()A B =. ④若r ()r ()A B =，是0A X =与0B X =同解.A ．①③④B ．①②③C ．①④D ．①③解：A ，C ，B ，C ，A ，B ，A ，D ，A ，D 3．设TTTT123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2),(1,3,3)a ab a b αααβ==+-=---+=-.试讨论当a ，b 为何值，（1）β不能由123,,ααα线性表示；（2）β可由123,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式； （3）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求表示式.解：111102210323a b aa b-⎛⎫ ⎪+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭→1111010323a b aa b-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭→111101000a b a b-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1°当 0,a b =为任意常数时， β不能由123,,ααα线性表示 2°当0,a a b ≠≠当且时, β能由123,,ααα线性表示 β=1(1)a -1α +1a2α 3°当0,a b =≠时, β能由123,ααα 线性表示,表示式不唯一β=1(1)a-1α+（1a+c ）2α +3()c c α为任意常数4．设向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121,,,m ααα- 线性表示.记向量组（Ⅱ）：121,,,m ααα- ，β.试证： m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示.解：设m α能由(Ⅰ）线性表示,则m α=112211m m k k k ααα--+++（1） 其中121,,m k k k - 不全为0 即1m βαα可由线性表示则112211,,,0m m m l l l l l βααα-=+++其中不全为 （2） 则(1）代入(2）得111222111()()()m m m m m m l l k l l k l l k βααα---=++++++11,,,m βαα-∴也可由线性表示矛盾由(2）得1121111m m mmmml l l l l l l l ααααβ-=----+即m α可由(Ⅱ）线性表示5．已知向量组12,,,s ααα 线性无关，试证：向量组11212,,,sαααααα++++ 线性无关.解：设1121212()()0s s k k k αααααα+++++++=,则12122()()0s s s s k k k k k k a αα+++++++=又12,,,s ααα线性无关则12200s s sk k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩ 120s k k k ∴====11212,,,s αααααα++++线性无关6．已知向量组123,,ααα线性无关，设11232123(1)3,(1),m m βαααβααα=-++=+++3123(1)(1)m m βααα=--++-.试问：当m 为何值时，向量组123,,βββ线性无关？解：设1122330k k k βββ++=112321233123[(1)3]((1))(1)(1)0k m k m k m m ααααααααα-++++-++--++-=123112311231[(1)](3(1)(1))((1))0m k k k k m k m k k k m k ααα-+-+++-++++-=而123,,ααα线性无关则 123123123(1)03(1)(1)0(1)0m k k k k m k m k k k m k -+-=⎧⎪++-+=⎨⎪++-=⎩ 则当12302,,,m m βββ≠≠± 且时线性无关;当02,m m ==±或时123,,βββ线性无关7．已知向量组12,,,s ααα （s ≥2）线性无关.设112223,,βααβαα=+=+，111,s s s s s βααβαα--=+=+.试讨论向量组12,,,s βββ 的线性相关.解：设11220s s k k k βββ+++=1122233341()()()()0s s k k k k αααααααα++++++++=1112211()()()0s s s k k k k k k ααα-++++++=而12,s ααα线性无关,则112100s s s k k k k kk -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 则当s 为奇数时,上述方程组有零解,12,,,s βββ线性无关当s 为偶数时,上述方程组有非零解, 12,,,s βββ线性无关8．设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k A X =有解向量α，且10k A α-≠.证明：向量组1,,,k A A ααα- 线性无关.解：设1112220k s l l A l Aααα-+++=1120k s l E l A l A-+++=取112||,||,,||k k k l A l Al A -=== 即存在一组不全为0的数,使111220k s s l l A l A ααα-+++=11122,,,k s s l l A l A ααα-线性无关9．已知向量组（Ⅰ）：TT12(1,2,3),(1,0,1),αα==和向量组（Ⅱ）：TT12(1,2,),(4,1,5)t ββ=-=.问t为何值时，两个向量组等价？并写出等价时，两个向量组相互线性表示的表示式.解：当12121,,,l ααββ=时与等价且1122127412,9999αββαββ=+=-+112212172,22βααβαα=-=+10．设A ，B 均为m ×n 矩阵，试证：r ()r (,)r ()r ()A B A B A B ++≤≤解：设1212(,,,),(,,,)n n A A A A B B B B == 则1122()(,,,)n n A B A B A B A B +=+++1212(,)(,,,,,,,)n n A B A A A B B B =而11221212,,,),,,,,,,n n n n A B A B A B A A A B B B +++ 可由线性表示,则()(,)r A B r A B +≤又()()()r A B r A r B +≤+()()()()r A B r A B r A r B ∴+≤+≤+11．设A 为n 阶方阵，且2A E=，证明：r ()r ()A E A E n++-=.解：21||0()A E A AA r A n -=⇒=⇒≠⇒=()()()(2)()r A E r A E r A E A E r A r A n ++-≥++-===2()()0A E A E A E =⇒+-={}()(),()()m ax (),()r A E r A E n r A E r A E r A r B n ∴++-=++-≥=12．设A 是n (n ≥2)阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵.证明：,r ()r (*)1,r ()10,r ()1n A n A A n A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩解：*1||A A A-=当*(),()r A n r A n ==时当**()1,||00()()r A n A A A r A r A n ≤-=⇒=⇒+≤时 则当*()1,()1r A n r A =-=时()1,()0r A n r A ≤-=当时13．设A ，B 均为n 阶矩阵.证明：r r ()r ()A O A B OB ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦解：设1122(),(),,,,r A r r B s P Q P Q ==则存在可逆矩阵使112200,0000s r E E P A Q P B Q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则122000000000000000000rr s E P Q A E P B Q ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∴0()()0Ar r A r B r s B ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦14．已知线性方程组1234412312341234230264132716x x x x x x x x x x p x x x x x x t+-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=-⎪⎪---=⎩ 讨论参数p ，t 取何值时，方程组有解？无解？当有解时，试用其导出组的基础解系表示方程组的全部解.解：11230112301041121641012210122132710162100800116102442p p p t t t ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥------+⎣⎦⎣⎦⎣⎦2t ≠-当时,方程组无解121228(1,1,0,0)(4,2,1,0)(1,2,0,1)()T T Tt p c c c c =-=-=-+-+--当,时,X 为任意常数28(1,1,0,0)(1,2,0,1)(TTt p c c =-≠-=-+--当,时,X 为任意常数15．已知线性方程组：（Ⅰ）1424341,22,1x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪+=-⎩（Ⅱ）123412341234251,4,32x x a x x x x x b x x x x x c-++-=⎧⎪+-+=⎨⎪+++=⎩是同解方程，试确定参数a ，b ，c 之值.解：Ⅰ）10011010220111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1,2,1,0)(1,2,1,1)()T Tc c =-+--全部解X 为任意常数Ⅱ）2151111411140322593112242312a b b a b c bc ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 因（Ⅰ），（Ⅱ）同解，则1,2,4a b c =-=-=16．设m ×n 矩阵A 的秩为r ＜n ，又01,,,n r γγγ- 为非齐次线性方程组A X b=的1n r -+个线性无关的解.求证：10200,,,n r γγγγγγ---- 是其导出组0A X=的一个基础解系.解：因011,,0n P P P A x -=是的线性无关解则1010,,0n r r r r A x --=-是的解110220110()()(0n r n k r r k r r k r r -+--+-++= -)1210112211()0n r n r n k k k r k r k r k r -+-+-----++++=又011,,,,n r r r -线性无关，则1211100n r n r k k k k k-+-+----=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 1210n r k k k -+====∴102010,,,.n r r r r r r ----线性无关则102010,,,0n r r r r r r A x ---=-是的一个基础解系17．设m ×n 矩阵A 的秩为r ＜n ，又0γ为非齐次线性方程组A X b=的一个解，而12,,,n r ηηη- 为其导出组0A X=的一个基础解系.求证：0010201,,,,r γγηγηγη-+++ 为方程组A Xb=的1n r -+个线性无关的解.解：001010()()0n r n r k r k r k r ηη--+++++=设01201122()0n r n r n r k k k k r k r k r k r ---++++++++=001,,,,n r r A X b r ηη-=是的一个解则可由表示设 01122n r n r r r r r ηηη--=++代入上式可得 010n r k k k -====0010,,,1n r r r r A x b n r ηη-++=-+是则的个线性无关的解18．设A 是m ×n 矩阵.证明： （1）线性方程组0A X =与T ()0A A X=是同解方程组；（2）Tr ()r ()A A A =.解： 1）证明：设0,A y =则()()0TTA A y A A y == 0)0TA X A A x ==同解故与(2）因0)0TA X A A x ==同解,则它们有相同的基础解系与(())Tr A r A A ∴=(19．在一个包括三个部门的经济系统中，已知报告期的投入产出表（价值型）：（1）求直接消耗系数矩阵； （2）如果计划期的最终需求向量为T(1250,2400,320)Y=，试求计划期的总产出.解：1）0.10.10.10.20.40.30.10.10A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2）208652211051X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦20．用图解法求下列规划问题： （1）12m in2f x x =-+；1212122,2x x x x x x --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤6,≥0,≥0;（2）12m ax 2f x x =-+，1212122,2x x x x x x --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤6,≥0,≥0;（3）12m ax 2f x x =-+，12122,x x x x --⎧⎨⎩≥≥0,≥0.解：1）当12m in 6,0,6x x f ===-时 2）12m ax 2814,,363x x f ===时3）无最优解21．用单纯形方法求解下面的线性规划问题：1234m ax 234f x x x x =+++1234123422021,2,3,4jx x x x x x x x x j ⎧+⎪+⎨⎪=⎩+2+3≤+3+2≤20≥0,()解：m ax (0,0,4,4,0,0),28TX f ==当时22．某厂生产甲、乙两种产品，都必须经过该厂的金工和装配两道工序.但一周内可供生产甲、乙两种产品的总时间为：金工部分80小时，装配部分100小时.此外，统计数学表明，生产甲产品一件需要4小时金工加工，2小时装配加工；生产乙产品一件需要2小时金工加工，4小时装配加工.而甲产品每件收益1万元，乙产品每件收益8千克.如下表，现要求合理安排一周生产，使得总收益为最大.解：每周生产甲产品10件，乙产品20件，最大收益26万元。
线性代数期末试卷三套附答案解析
x1
x2 (1 k)x3 k.
k 取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.
四 证明题(本题 6 分) 设有向量组 α1, α2 , , αn 和 β1, β2 , , βn ，且 β1 α1 α2 , β2 α2 α3 , ,
βn1 αn1 αn , βn αn α1 .若向量组 α1, α2 , , αn 线性无关，问向量组 β1, β2 , , βn 是否一定线性
附录 A-----《线性代数》期末考试试题及解答(三套)
附录 A《线性代数》期末考试试题及解答(三套)
试卷一(2014 秋)
一 填空题 (本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1 2 3
1
1. 设 A 2 4 6 ，则 A 2( , , )．
3
6
9
3
2. 设 A 与 B 为同阶方阵，则 ( A B)2 A2 vvvvv
8.
2 k 1
k k2
1 1
,
(k 1)2 ,
无.
1 1 0 9. 6. 10. 1 2 1 .
0 1 1
二 单项选择题(每小题 4 分，共 20 分) CBADA
三 计算题 (共 44 分)
1.(本小题 9 分) 解 由 2AB 3B XX T 知 (2A 3E)B XX T .经计算得
.
a d f
6. 设 A 0 b e ．若 A 的列向量组线性相关，则 a, b, c 应满足关系式
．
0 0 c
7. 设 A 为 m n 矩阵, R( A) r ．已知 Ax (1, 0, 0)T 无解， Ax (0, 1, 0)T 有唯一解，则 m
本科线性代数真题答案解析
本科线性代数真题答案解析线性代数是数学中的一门重要学科，广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、工程学等等。
本文将对一些典型的本科线性代数真题进行解析，通过详细的步骤和思路分析帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。
1. 题目一：已知一个3x3的矩阵A满足方程A^2 - 3A + 2E = O，其中E是单位矩阵。
解析：首先，我们先了解一下方程中的符号含义。
A^2表示矩阵A自乘，即A乘以自身；3A表示矩阵A的每个元素都乘以3；E是单位矩阵，即对角线上的元素全为1，其它元素全为0；O表示零矩阵，即所有元素都为0。
根据题目中的方程，我们可以进行如下推导：A^2 - 3A + 2E = OA^2 - 3A = -2EA(A - 3E) = -2E接下来，我们需要求解矩阵A的值。
由于A和E互不为零，所以可以将方程两边同时乘以(A - 3E)^-1，即矩阵(A - 3E)的逆矩阵。
这样就得到了A的表达式：A = -2E(A - 3E)^-1通过求解矩阵(A - 3E)，我们可以得出(A - 3E)^-1的表达式，进而求得A的具体数值。
2. 题目二：设A、B、C分别是n阶矩阵，证明矩阵积的转置满足(A·B·C)T = CT·BT·AT。
解析：根据矩阵的转置规则，我们可以将矩阵的乘积转置为每个矩阵的转置的乘积。
根据题目中所给的等式，可以表示为：(A·B·C)T = (Ct·Bt·At)接下来，我们通过对矩阵的转置进行展开，可以得到以下等式：(A·B·C)T= CT·Bt·At再利用矩阵的转置规则，我们可以得到：(A·B·C)T = CT·BT·AT可见，矩阵积的转置等于每个矩阵的转置的乘积，证毕。
3. 题目三：设V是n维向量空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，证明任意向量v∈V可以唯一地表示为v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn，其中a1, a2, ..., an是唯一确定的。
线性代数试题及答案3详解
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ D ）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（ B ）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ D ）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ D ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ C ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ A ）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ A ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ）A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ D ）A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。
答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。
矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。
2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。
答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。
转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。
3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。
答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。
若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。
4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。
答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。
5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。
答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。
行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。
其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。
6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。
答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。
线性代数习题及答案解析
1. 三阶行列式()100420563= 。
A. 6B. 1C. 2 答：A 。
2. n 阶行列式()00100200n=。
A.!nB. 2!- C. 1(1)!--n nn答：C 。
二、讨论题1. n 阶行列式怎样定义的？答：n 阶行列式是这样定义的：（1）位于不同行，不同列n 个元素的乘积；（2）共有!n 项，每一项确定：行标为自然数排列，列标为1,,n m m ，当列标为偶数排列时取正号，为奇数排列时取负号；（3）一般项为11(1),-n N m nm a a 即11(1)=-∑n N m nm D a a 。
2.从左上角到右下角，对角线称为什么？ 答：主对角线。
一、选择题1、将行列式转置，行列式值（ ）。
A. 变B. 不变C. 不确定 答：B 。
2、把行列式某一行的倍数加到另一行，行列式（ ）。
A. 不变B. 变C. 不确定 答：A 。
二、填空题1. 行列式123456789D =中12a 的代数余子式为 。
答 ： 12(1)(6)+--。
三、讨论题1、按第一列展开行列式的定理指的是什么？ 答：111111n n a A a A D ++=。
2.、按第一列展开行列式与第二列代数余子式乘积之和的定理指的是什么？答：1121120n n a A a A ++=。
一、选择题1、行列式100302540=（ ）。
A. 6B.（-8）C. 8答：B 。
2、行列式1000520067389104=（ ）。
A. 2!B. 3!C. 4!答：C 。
二、填空题1、行列式12345006D == 。
答：用上三角行列式24。
2、行列式127158169D =-=- 。
答：-8（其解题过程为：2131127715071588160816+==-+r r D r r ）。
三、讨论题1、用化零降阶法计算行列式111111a D a a=等于什么？答：213222301111011(1)(1)(2)1111---+--=-=-+--a a r ar a Da a a a a r r a。
经济数学《线性代数》习题参考答案[终稿]
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经管类《微积分（下）与线性代数》习题参考答案第六章 多元函数微积分学习题一 一、1、y x 32-；2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥；3、1，2；4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-．二、1．D ； 2．D ；3．A ；4．B三、1．（1）y x x z ln 1+=∂∂，)ln (1y x y y z +=∂∂；（2）xy e y x y x y x x z 22232)(2++-=∂∂， xye y x y xy x y z 22223)(2+-+=∂∂2.12222222222222222223.z xy z xyx x y y x y z y x x y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+（）（）（）4．（1）dy xy x xy dx xy y y x dz )]cos(2[)]cos(2[2++++=（2）)(1zdz ydy xdx udu ++=（3）xdzyx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5．dydx 3231+习题二一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、211f y f '+'，22f y x '-；3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x yx -+；5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、 1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、C ； 5、A三、1、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂)ln(112222222y x x y x x y x z ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∂∂)ln(222222y x y x y x y y z2、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu'+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂4、dy dx dz --=5、（1）极小值：2)1,1(=f ；（2）0>a 时，有极大值：273,33a a a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛；0<a 时，有极小值：273,33aa a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛6、极大值：1)1,1(=f7、（1）25.1,75.0==y x ； （2）5.1,0==y x习题三一、1.()2ab a b +； 2．⎰⎰x x dy y x f dx 2),(10； 3．)1(214--e ； 4．⎰⎰θππθsec 2034)(rdr r f d ；5．π3二、1、D ；2、B ；3、D ；4、C三、1、556； 2、121+e ； 3、21532； 4、49； 5、2643π； 6、31； 7、π3第八章 无穷级数 习题一 一、判断题1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、×二、填空题1、0；2、1>p 且p 为常数；3、1>p ，10≤<p ，0≤p ；4、 ,2,1,1=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u三、选择题 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（C ）； 4、（A ）； 5、（C ）四、1、收敛； 2、发散；、收敛； 、收敛；、收敛； 、收敛五、1、发散； 2、条件收敛 3、绝对收敛； 4、条件收敛六、当10≤<a 时，发散；当1>a 时，收敛． 习题二 一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、√ 二、填空题1、0=R ；2、),(,+∞-∞+∞=R ；3、)1,1(-，)1ln(x --；4、22,2)1(1)1(2ln 011≤<-⋅+-+∑∞=++x x n n n n n；5、60,)3(31)1(01<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=+x x n nn n三、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（B ）；4、（A ）；5、（B ）；6、（C ）四、1、)3,3[-；2、)3,1[；3、]1,1[-五、1、)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x s ；2、)1,1(,)]1ln()1[ln(21)(-∈--+=x x x x s ；3ln 21六、)1,1(,)1(2131)(01-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑∞=+x x x f nn n n第九章 微分方程初步习题一 一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、×二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =； 2、x cxe y -=； 3、x y 2=； 4、x x x y 91ln 31-=；5、Ct x +=)(ln ϕ三、1、C y x =⋅tan tan ； 2、C e e y x =-⋅+)1()1(四、22sec )1(=⋅+y e x五、1、)ln(2122Cx xy =⋅； 2、15325=-y x y六、1、)(sin C x ey x+=-； 2、)cos 1(1x y --=ππ； 3、322Cy y x +=七、xx e e x f 2323)(-=八、)1,1[,)1ln()(1-∈--=∑∞=x x e x f x n n习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（A ）； 6、（C ）二、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、xx e e y -+-=4三、x e x x L 273)(-+-=四、（1）20005.0-=W dt dW；（2）t e W 05.010004000+=五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ六、1)(21)(++=-x x e e x s七、uu f ln )(=八、)14()(242+=t e t f t ππ《线性代数》习题参考答案习题一一、填空题1． 8k ； 2．8； 3．12 ； 4．)1)(1(++cd ab ．二、计算题1． 55b a +； 2．1211)1(-+-n n a a na 3．1)]()1([---+n a x a n x ；4．1)2]()2([---+n a x a n x ； 5．6习题二一、填空题1．21； 2．E ； 3．)(21E A -，)3(41E A --； 4．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011A B ；5．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----8500320000520021； 6．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121； 7．4．二、选择题1．③；2．③；3．②；4．③；5．②；6．①；7．③；8．②．三、计算题1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201030102； 2．-16； 3．3)(=A R ； 4．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011101110；5．（1）1=k ；（2）2-=k ；（3）1≠k 且2-≠k ．习题三一．填空题1．)()(.b A R A R =； 2．0=A ； 3．1.≠λ且2-≠λ； 4．0.4321=+++a a a a ．二、选择题 1．④； 2．①； 3．④；4．④三、1-=k 时，有非零解；c c x x x ,111321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛不为零的任意实数．四、（1）2,1-≠λ ； （2）2-=λ； （3）1=λ．五、当1≠a 且0≠b 时，有唯一解；当1=a 且2/1≠b 或0=b 时，无解；当1=a 且21=b 时，有无穷多解，其解为：⎪⎩⎪⎨⎧==-=c x x cx 32122 （c 为任意常数）习题四一、填空题1．5=t ； 2．至少有一个向量； 3321,,.ααα ；42.≤r ；5ts r -=.二、选择题1．④； 2．③； 3．③； 4．③； 5．②三、321,,ααα为极大无关组，323214,3ααααααα+-=-+=四、（1）3-=λ；（2）0≠λ且3-≠λ；（3）0=λ，3221121)(αααβc c c c +++-=五、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543c x ；（c 为任意常数）六、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛608301214321c x x x x （c 为任意常数）习题五一、填空题1．1或-1 ；2．E ；3．18 ；4．121==λλ，213-=λ；5．125 ； 6．4=λ二、选择题1．②； 2．③； 3．④； 4．②； 5．②三、6||=A四、0,3,1=-=-=b a λ五、2,0-==y x ；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012100P六、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=412212111A七、当3=x 时，A 可对角化．。
线性代数考试题及答案考研
线性代数考试题及答案考研一、选择题1. 设矩阵A的秩为1，矩阵B与矩阵A相抵消，那么矩阵B的秩为：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 不确定2. 若矩阵A可逆，且AB=0，则：- A. A可逆，B不可逆- B. B可逆，A不可逆- C. A和B都可逆- D. A和B都不可逆二、填空题1. 若向量组\[a_1, a_2, a_3\]线性相关，则至少存在不全为零的实数\[c_1, c_2, c_3\]，使得\[c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 =\_\_\_\_\_\_。
2. 设矩阵\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，矩阵\[A\]的特征值是\_\_\_\_\_\_。
三、解答题1. 已知矩阵\[B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵\[B\]的逆矩阵。
2. 设\[x\]是\[3 \times 1\]的列向量，\[A\]是\[3 \times 3\]的矩阵，若\[Ax = 0\]，证明\[x\]是矩阵\[A\]的零空间的基。
答案一、选择题1. 正确答案：A. 0解析：若矩阵B与矩阵A相抵消，则B的列向量是A的行向量的线性组合，因此B的秩小于等于A的秩。
由于A的秩为1，所以B的秩为0。
2. 正确答案：D. A和B都不可逆解析：若AB=0，则A和B至少有一个是不可逆的。
因为如果A可逆，则AB=I，这与AB=0矛盾。
同理，如果B可逆，则AB=I，也与AB=0矛盾。
二、填空题1. 正确答案：0解析：线性相关意味着存在不全为零的系数使得向量和为零向量。
2. 正确答案：2, -1解析：通过计算特征多项式\[|A - λI| = 0\]，解得特征值为2和-1。
三、解答题1. 解：矩阵B的逆矩阵计算如下：\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B)\]其中，\[\det(B) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0\]，因此矩阵B 不可逆，没有逆矩阵。
大一线性代数考试题库及答案解析
大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。
2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。
将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。
二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。
答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。
4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。
答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。
三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。
答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。
6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。
答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。
但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。
四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。
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线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。
A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A 的属于特征值 入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A 的特征值C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A 的3个互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A 的属于入1,入2,入3的特征向量，贝y a 1, a 2, a 3有可能线性相关A. m+n a 11 a 12=m, a13a11a 21 a 22a23 a21 1.设行列式 =n ，C. n- m0 ' 03丿B. P 0 -(m+n) 0 2 0则行列式D. m- 2.设矩阵A = a11 a21a12 a 22 +313+a23等于（<1 0 0f冷i L 0 0310 01 [12113[ J 1I 0 2 0 B 0 2 0C 0 1 0D I 03 0 0 0 1 LI 010 0 1 10 0 1丿3丿 K2丿 1丿A. 、单项选择题（本大题共 一个是符合题目要求的, 错选或未选均无分。
3.设矩阵 广3 1 、三B. -1 02-1 , 4丿C.A *是A 的伴随矩阵,中位于（ 2）的元素是（ B ） A. -6 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式 A. A = 0 B. B HC 时 A = 0D.— AB =AC ,则必有( C. A HO 时 B =C D ）D. | A I H 0 时 B =C 5.已知3X 4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（ A T）等于（C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组 a 1, a 2, , a s 和 3 1, 3 , ',3S 均线性 .相关，则 (D )A.有不全为 0 的数入1, 入2, ■ …，入S 使入1 a 什入 2 a • • + 入 a S =0 和入1 3 1+ > 3 2+…s 3 S =0 B.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1+3 1) +入2 (a 2+ 3 2）+…+入 S ( a S + 3 s ) =0C.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1- 3 +入2 (a2- 3 2） +…+入 S ( aS - 3 s ) =0 D.有不全为 0 的数入1, 入2 , …，入S 和不全为 0的数 1 1 , 1 2,…， 1S 使入1 a 1+ 入 2 a 2+- …+ 入 s a s =0 和 1 3 1+ 2 3 2+ …+ 1 S 3 S =07. 设矩阵A 的秩为r,则A 中（C A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r 阶子式不等于0 8. 设Ax=b 是一非齐次线性方程组， A. n 什n 2是Ax=0的一个解 B.所有D.所有 2是其任意 1 1B. 1n 1+r- r 阶子式都不为 2个解，则下列结论错误的是 1阶子式全为n 2是Ax=b 的一个解 D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解 C. n 1-n 2是Ax=0的一个解 9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n - 110. 设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）AC.A=0）D.方程组Ax=0只有零解）11. 设入0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于入0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必 有（A ） A. k < 3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ A.| A|2 必为 1 B.|A 必为 1 C. A -1=A T13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵， A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ B.|A 必为1 B ） D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组B =C T AC .则（D ） C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 0 2,） 0,5非选择题 （共72分） 第二部分 二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。
错填或不填均无分。
1 5 25 15. 1 6 36 G 7 16. 设 A = I H 117. 设 A =(a ij )3 〕 <1 2< 3 3 7 ,B = .则 A +2 B =丿 1—1 -2 4丿 k-1 £ 7丿 1 -1 A j |A 2=2，表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 - -2 (2)= 4 . （a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23）+（a 21A 21 +a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23）= 18. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝U a=19. 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1，n 2为非齐次线性方程组 Ax=b 的2个不同的解，则它 的通解为 ____ n 1+c （ n 2- n 1）（或n 2+c （ n 2- n 1））, c 为任意常数 20. 设A 是m X n 矩阵，A 的秩为r （<n ），则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个 数为 n-1 . 21. 设向量a 、3的长度依次为2和3,则向量a + B 与a - 3的内积（a + 3 , a - 3 ） = -5 22. 设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 -2 . 厂0 10 6 ' 广2 " 1 -3 -3 ，已知a = 10 8丿<2y23.设矩阵A = -10 是它的一个特征向量，则 a 所对应的特征值为」 24.设实二次型f （X 1,X 2,X 3,X 4,X 5）的秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为—z 2+Z 2 +Z 3-z 4 三、计算题（本大题共 7小题，每小题6分，共42分） f 1 2 25.设 A = j 3 4 J 2 0 1丿 ,B = 1-2 43 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1-1 1 -5 3£0 26.试计算行列式 -1 0丿2 1 2 30 3丿.求（ 1）AB T ；（2）|4A |. 27.设矩阵A =，求矩阵B 使其满足矩阵方程 AB =A +2B28.给定向量组a 1= 试判断a 4是否为 (1 -2 2 .3 29.设矩阵A = 求：(1)秩 P 30.设矩阵A= 〔2 a 1, -2 4 -1 3 a 2, -1 2 0 3 (2) a 0 6 2 3A 的列向量组的一个最大线性无关组。
3的线性组合；若是，则求出组合系数。
2、-6 3 . 4丿 (A ); -2 2 -3 4的全部特征值为1 ,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .4 亠31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x 1,X 2,X 3)= x1 + 2x 2 -3x 3 +4x^2 -4乂低3 -4x 2X 3, 并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分) 32. 设方阵A 满足A 3=0 ,试证明E - A 可逆，且(E - A ) 33. 设n 0是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 试证明 (1) n 1= n 0+ E 1， n 2= n 0+ E 2 均是 Ax=b 的解； (2) n 0, n 1, n 2线性无关。
答案： 一、 单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 二、 填空题(本大题共 10空，每空2分，共20分) (3 3 7〕15. 616.V 1 -3 7 丿 1, 17. 4 18. -0 19. n 1+c(n 2- -1= E +A +A l . E 2是其导出组Ax=0的一个基础解系. 28分)12.B 13.D 14.C n 1)(或n 2+c( n 2- n 1)), c 为任意常数 20. n- r 21. - 22. 三、计算题(本大题共 T r(1) AB T= j 31-1 25.解 2 0、 厂2 n 2 -2" (8 6、 4 0 U j 34 =]18 10 2 1丿 1-1 0丿 (3 10 —23. 1 7小题, 24. Z 2+z 2 +z | 每小题6分，共 3 _(2) |4A |=4 |A |=64|A |,而 |A |= 27.解 42分) =-2 .所以 |4A 1=64 • (-2) =-128 3 1 2 5 1 -1 15 1 1 5 1 1 -51 3 - -11 13 -1 -6 2=^3-111 -1=-6 2 0 =20 10 1-5-5-5-5-5 -5 01 -5 3 C-5 -5 3 0= 30+10 =40.26.解 AB =A +2 B即B = A ，而(A -2 E )28.解一23、 J<1 -4(A -2E ) ■1= 1 -1 0 = 1 -5 仝 2 V 6 4」<1 -4 <4 2 3暑-8 -6 = 所以 B =(A - 2E )■ 1A = 1 -51 1 0 =2 -9 -6 6 4> <-1 2 37c-2 12 9><-2 1 3 0 /Q -5 3 —2) 0 3 1 0 .30 2 -1 -1 4 9丿0 10解二考虑a 4=X 1 a1 13 0 1 -1 -12 12丿 1 8-14 5】 2 8 —14丿 60 0 .0 0 1 0 0 3 1 1 05、2 1丿所以 a 4=2 a组合系数为 (2,1, 1)1+X 2a 2+X 3 a 3，即卩『-2X 1 +X 2 +3X 3 =0X 1 —3X 2 =-1 匕2 + 2X 3 =4 3X 1 + 4X 2 -X 3 =9.方程组有唯一解（2, 1, 1） 29.解对矩阵A 施行初等行变换 6 -2 -1 0 2 " A -20 2、<1 -2 -1 0 2 " 0 0 0 6 -2 -- ? 0 3 2 8£0 3 2 8 -30 3 2 8 -2 0 0 0 6-20 0 0 3 -1 0 9 6 3 -2； 0 0 0 -21 7丿Q 0 0 0 0丿(2, 1, 1). =B .所以秩（A ）=秩 (B) =3, =3.B 是阶梯形,T，组合系数为 （1 ）秩（B ） （2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 个最大线性无关组。