2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）

一、填空题

1．函数的定义域是______．

2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数

a=______．

3．计算=______．

4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．

5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．

6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）

7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则

角C的大小是______．

8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为______．

9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为______．

10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______．

11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与

双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．

12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）

13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m

的取值范围为______．

14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公

式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋

转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．

二、选择题

15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）

A．y=2|x|B．y=lnx C．D．

16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）

A．B．

C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|

18．已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条

C．多于1条，但为有限条 D．无数多条

三、解答题

19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1

上的动点．

（1）证明：DC1⊥BC；

（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．

20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知

|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB

的面积为S．

（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；

（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．

21．已知函数，其中a∈R．

（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

22．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组

成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点

M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；

（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．

23．已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n

∈N*，均有．

（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；

（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；

（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对

一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．

2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题

1．函数

的定义域是 {x |x ≥﹣2且x ≠1} ．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．

【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，

解得，x ≠1且x ≥﹣2；

故函数的定义域为：{x |x ≥﹣2且x ≠1}， 故答案为：{x |x ≥﹣2且x ≠1}．

2．已知线性方程组的增广矩阵为

，若该线性方程组的解为

，则实数

a= 2 ．

【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．

【分析】由已知得

，把x=﹣1，y=2，能求出a 的值．

【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，

∴，

把x=﹣1，y=2，代入得﹣a +6=4，解得a=2． 故答案为：2．

3．计算

=

．

【考点】数列的极限．

【分析】将1+2+3+…+n=

的形式，在利用洛必达法则，求极限值．

【解答】解：原式====

故答案为：