条件概率、乘法公式和Bayes公式学习笔记

P(Bi A), i 0,1,2,3,4
15
结果如下表所示
i
0 12 3 4
P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
P( A Bi ) 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652
P(Bi A) 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
4
P( A) P(Bi )P( A Bi ) 0.814
i 较大时，P(Bi A) P(Bi )
说明什么问题？
17
故 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
解法二
0.92 0.93 0.862 0.988
P A B P( A B ) P( A) P(B A)
P( A) 1 P(B A)
0.081 0.85 0.012
P( A B) 0.988
11
2全概率公式与Bayes 公式
14
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4 A 为一批产品通过检验
则 A n Bi ,
i1
Bi Bj , i j,i, j 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示，且
P(A
Bi )
C10 100i
C10 100
,
i 0,1, 2,3, 4
由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
i0
P(Bi
A)
P(Bi )P( A Bi ) P( A)
,
i 0,1,2,3,4
16
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 称 P(Bi A) i 0,1,2,3,4 为后验概率，它是 得到了信息 — A 发生，再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正 本例中， i 较小时， P(Bi A) P(Bi )
2
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为
PB A
问题：条件概率中样本空间 | A是什么？
解 列表
白球 红球 小计
木球
4
2
6
塑料球 3
1
4
小计
7
3
10
3
PB A 4
7
nB A 4 nAB , n A 7 nA ,
nAB
P B A 4 nAB n P( AB)
非负性 规范性 可列可加性
P(B A) 0
P( A) 1
P
i1
Bi
A
P
i1
Bi
A
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A)
P(B A) 1 P(B A)
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B1B2 A)
5
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式
定义
7 nA
设A、B为两事件,
nA
P
n( A
)
P( A)
> 0, 则称
P( AB) P( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，
记为
PB A
条件概率的计算方法
（1） 等可能概型可用缩减样本空间法 （2） 其他概型用定义与有关公式
4
条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有 概率的性质：
解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时
所求概率为
PB A P( AB) P(B) 0.4 1
P( A) P( A) 0.8 2
B A
7
例 某人外出旅游两天，需要知道两天的天气 情况，据天气预报，第一天下雨的概率为 0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨 的概率为0.1. 求 第一天下雨时，第二天不 下雨的概率
解 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨
P( A2
A1 )
P( A1A2 ) P( A1)
P( A1) P( A1A2 ) P( A1)
0.6 0.1 5 0.6 6
P( A2 ) 0.7
8
一般地，条件概率与无条件概率之间的大小 无确定的关系
上例中
P( A2
A1 )
P( A1 A2 ) P( A1)
设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效
已知 PA 0.92 PB 0.93
PB A 0.85
求 PA B
10
解 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
由 PB A P(B) P( AB)
1 P( A)
即
0.85 0.93 P( AB) 0.08
P( AB) 0.862
P ( Bk
A)
P( ABk P( A)
)
P(Bk )P( A Bk )
n
P(Bi )P( A Bi )
Bayes公式
i1
13
例 每100件产品为一批，已知每批产品中的 次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品 的概率为
i0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验，若 发现有不合格产品，则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格。求 （1）一批产品通过检验的概率 （2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
0.1 0.6
1 6
P( A2 )
若 BA
PB A P( AB) P(B) P(B)
P( A) P( A)
9
例 为了防止意外，矿井内同时装有两种报警 设备 A 与 B , 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92 , 设备 B 单独使用时有效的 概率为0.93，在设备 A 失效的条件下，设 备B 有效的概率为0.85, 求发生意外时至少 有一个报警设备有效的概率。
P( AB) P( A)PB A (P( A) 0)
P(AB) P(B)PA B (P(B) 0)
推广
P( A1A2 An ) P( A1)PA2 A1 P An A1A2 An1
(P( A1 A2 An1) 0)
6
例 已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
B1 AB1
A
AB2
B2
ABn
n
Bi
Bn i1
Bi B j
n
A ABi
i 1
( ABi )( ABj )
n
n
注意：A=A
A
（ i1
Bi）=
i1
ABi
12
n
n
P( A) P( ABi ) P(Bi ) P( A Bi ) 全概率公式
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i1
i1
意义：事件组Bn一般是导致A发生的所有可能的“原因”
条件概率、乘法公式 和Bayes公式 学习笔记
1 条件概率
条件概率与乘法公式
引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中 有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球， 1只塑料球.
现从袋中任取1球，假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球，问 它是木球的概率是多少？
等可能概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球