条件概率、乘法公式和Bayes公式学习笔记
1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
概率的定义及其计算学习笔记
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
全排列
Ann n!
可重复排列：从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有
nm 种
23
不尽相异元素的全排列：n 个元素中有 m 类， 第 i 类中有 ki 个相同的元素，
k1 k2 km n, 将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
则 nA1 k!
P( A1)
（2）恰有 k 个盒子中各有一球；
nA1 n
k! Nk
nA2 CNk k !
P(
A2
)
CNk N
k!
k
7
（3）某指定的一个盒子没有球；
nA3 (N 1)k
P(
A3
)
(
N 1)k Nk
（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k )；
又由 AB B, P(B AB) P(B) P(AB) P(A B) P(A) P(B) P(AB)
19
推广： P( A B C) P( A) P(B) P(C)
P( AB) P( AC) P(BC)
P( ABC)
一般：P(n
Ai
)
n
P(
2、利用概率论中的乘法定理和全概率公式证明贝叶斯公式
利用概率论中的乘法定理和全概率公式证
明贝叶斯公式
贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，用于计算在已知条件下某事件发生的概率。
其基本形式为：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
下面我们来证明该公式。
首先，我们考虑一个简单的例子，假设我们要计算事件A在条件B发生的概率。
我们可以将这个问题拆分成两个步骤：
1. 计算在条件B发生的概率，即P(B)。
2. 计算在B发生的情况下A发生的概率，即P(A|B)。
我们可以用乘法定理来计算第一步，即：
P(B) = P(B∩A) + P(B∩非A)
其中，B∩A表示同时发生事件B和A的情况，B∩非A 表示同时发生事件B但不发生事件A的情况，非A表示不发生事件A的情况。
我们可以用全概率公式来计算第二步，即：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中，P(B|A)表示在A发生的情况下B发生的概率，可以用条件概率公式计算，即：
P(B|A) = P(B∩A) / P(A)
因此，我们可以将上面的式子转化为：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
这就是贝叶斯公式的形式。
需要注意的是，贝叶斯公式的证明需要使用概率论中的一些基本概念和公式，包括乘法定理、加法定理、条件概率公式、全概率公式等。
在实际应用中，贝叶斯公式可以用来进行条件概率的计算，例如在机器学习中的贝叶斯分类器中就用到了该公式。
条件概率与概率的三个基本公式
球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
概率论与数理统计笔记(重要公式)
第一章随机事件与概率
第二章随机变量及其概率分布
第三章多维随机变量及其概率分布
第四章随机变量的数字特征
E(X)=
E(Y)=E[g(X)]=
E(X)=D(X)=
第五章大数定律及中心极限定理
第六章统计量及其抽样分布
第七章 参数估计
包含所要估计的未知参数（其中它与未知参数无关。
）的概率密度的对称性（见
未知时因为
，，，,;)]n x θ'时取最大值则取＝。
的无偏估计，否则称
则称有效，即方差小参数估计越优。
，不等式.
不仅给出了统计量（对于已知时的置信区间），其中已知，而未
的置信度
可作为
采用
将上式开方即可得标准差
第八章假设检验
及备择假设
与
）分布，
的叫接受域，另一个的叫拒绝域，记为
则知小概率事件发生了，拒绝，接受
拒绝
时，
时，
时，
接受
落入接受域内时，则接受，拒绝
内，则拒绝，接受
未落在拒绝域内，则接受，拒绝
是从正态总体中抽取的一个样
为已知数，提出假设
引入统计量
相应的拒绝域
中抽取的一个样
本，其中
，其中
构造统计量
表求分位数
则拒绝域
未知，
本，欲检验假设：，其中
，可查
，即
若统计量，接受
若统计量，拒绝
第九章回归分析。
条件概率和概率的乘法公式
一、全概率公式
例
一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回 地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球 的概率 A={第一次取到白球} ，且ＡＢ与 A B
解
因为 Ｂ＝ＡＢ∪ A B
互不相容，所以
P ( B ) P ( A B ) P ( A B )
P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A )
P ( A B ) P ( B ) ( B A ) 0 . 8 所求概率为 P P ( A ) P ( A )
甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过
不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4
个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求
1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没
B 1 =“第一个是男孩”
于是得
B
1
={(男, 男) , (男 , 女) }
3 1 P B BA P A P 4 4 1 1 P B1 P B P A 1A 2 4
乘法法则
P(AB) P(A)P(B A) P(B)P(A B)
P( AB) P(B A) P( A) P( AB) P( A B) P(B)
解
设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四 等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构 成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含 有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：
4 i 1
P ( B ) P ( A P ( BA i) i)
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
概率统计公式大全复习重点
概率统计公式大全复习重点在学习概率统计这门学科时，掌握各种公式是至关重要的。
这些公式不仅是解决问题的工具，更是理解概率统计概念的关键。
本文将为您梳理概率统计中的重点公式，帮助您更好地复习和掌握这部分知识。
一、随机事件与概率1、古典概型概率公式如果一个随机试验所包含的基本事件总数为 n，事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n2、几何概型概率公式设样本空间为几何区域Ω，事件 A 对应的区域为ω，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ω 的测度／Ω 的测度3、条件概率公式设 A、B 是两个事件，且 P(B) ＞ 0，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)4、乘法公式P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 或 P(AB) ＝ P(B|A)P(A)5、全概率公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，则有：P(A) ＝∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)（i从 1 到 n）6、贝叶斯公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，在事件 A 已经发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为：P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑ P(Bₙ)P(A|Bₙ) （i从 1 到 n，k 从 1 到 n）二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂,， xₙ，对应的概率为p₁, p₂,， pₙ，则概率分布为：P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2,， n），且∑pᵢ＝ 12、二项分布如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （k ＝ 0, 1, 2,， n）3、泊松分布如果随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 X ～P(λ)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝（e^（λ) λ^k) ／ k! （k ＝ 0, 1, 2,）4、连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则分布函数为：F(x)＝∫∞， x f(t) dt5、正态分布如果随机变量 X 服从参数为μ 和σ² 的正态分布，记为 X ～N(μ, σ²)，则概率密度函数为：f(x) ＝（1 ／（σ√（2π)）） e^（（x μ)² ／（2σ²)）三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∑ xᵢ pᵢ（i 从 1 到 n）连续型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∫∞，＋∞ x f(x) dx2、方差离散型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∑ （xᵢ E(X)）² pᵢ（i 从 1 到n）连续型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∫∞，＋∞ （x E(X)）² f(x) dx3、标准差随机变量 X 的标准差为：σ(X) ＝√D(X)4、协方差设随机变量 X 和 Y，其协方差为：Cov(X, Y) ＝ E(（X E(X)）（Y E(Y)））5、相关系数随机变量 X 和 Y 的相关系数为：ρ(X, Y) ＝ Cov(X, Y) ／（σ(X)σ(Y)）四、大数定律和中心极限定理1、大数定律当 n 足够大时，样本均值X依概率收敛于总体均值μ，即：P(｜Xμ| ＞ε) → 0 （n → ∞）2、中心极限定理设随机变量 X₁, X₂,， Xₙ 相互独立，且具有相同的分布和有限的数学期望μ 和方差σ²。
《概率论》第1章§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( Bi ) 0, i 1, 2, , n
则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个分划 将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
B1 B2 B4 B3
A
Bn
上计算然后求和
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
13/22
设 {B1, B2, , Bn} 为样本空间 S 的一个分划，即
S B1 B2 Bn
对任何事件 A 有
A AS AB1 AB2 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | B n ) P( B n )
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( | B)
P( A | B ) 0
3/22
设 P( B) 0, 有
对于任一事件 A有
对于必然事件 S 有
P( S | B) 1
设是 { Ak }两两不相容事件列，则有
P( Ak | B)
k 1 k 1
P( Ak | B)
条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根 据实际问题中的具体意义确定的
第一章 事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
10/22
袋中有 1只红球、n 1只白球，依次将球一个个从 袋中取出. 求第 k 次 (k 1, 2, , n ) 取出红球的概率. 记 Ak { 第 k 次取到红球 } , ( k 1, 2, , n) 则所求概率为 pk P(( A1 是不是所求概率？ P Ak ) Ak 1 Ak )
概率论中的条件概率和贝叶斯公式——概率论知识要点
概率论中的条件概率和贝叶斯公式——概率论知识要点概率论是数学的一个分支，研究的是随机现象的规律性。
在概率论中，条件概率和贝叶斯公式是两个重要的概念和工具。
本文将介绍条件概率和贝叶斯公式的概念和应用，并总结概率论中的一些重要知识要点。
一、条件概率条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(A)≠0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，表示为P(B|A)。
条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
条件概率的计算方法可以通过样本空间和事件的定义来进行推导和计算。
在实际应用中，条件概率常常用于解决复杂问题，如生病的概率、产品质量的判断等。
二、贝叶斯公式贝叶斯公式是一种用于计算事件的后验概率的方法，即在已知某些条件下，计算其他条件的概率。
贝叶斯公式的表达式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
贝叶斯公式的应用非常广泛，尤其在统计学和机器学习中有着重要的地位。
它可以用于推断未知的参数，分类问题，以及数据的模型选择等。
三、概率论知识要点除了条件概率和贝叶斯公式，概率论还涉及到许多其他重要的知识点。
以下是一些概率论中的知识要点：1. 事件与样本空间：事件是指某个结果或者一些结果的集合，样本空间是指所有可能结果的集合。
2. 随机变量与概率分布：随机变量是指对随机现象结果的一种数学描述，概率分布是指随机变量取各个值的概率。
3. 期望与方差：期望是指随机变量的平均值，方差是指随机变量与其期望之间的差异程度。
4. 独立事件与互斥事件：独立事件是指两个事件的发生不会互相影响，互斥事件是指两个事件不能同时发生。
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)
P( B) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A 31) 9 1 9 8 1 3 .
10 10 9 10 9 8 10
P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
解：以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 则所求概率 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73
2.2 全概率公式
再看引例１ 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3
红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一 罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.
解 记 Ai ={ 取到的是 i 号罐 } i=1, 2, 3; B ={ 取得红球 }
3
由全概率公式得P( B) P( Ai) P (B | Ai ) i 1
所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ， 称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P(B A) 1/ 3, 故P(B A) P(B).
又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
(1)先取出的零件是一等品的概率；
(2)两次取出的零件均为一等品的概率．
考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)
三 二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
步骤：1）画图（为了了解不不等式）
2）讨论
3）代入入（注意端点）
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点：一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 二二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
要注意是一一维的（是用用一一个变量量表示）
4.离散+连续（一一定是使用用全概率公式的）
定义：X为离散型，Y为连续型，且相互独立立
六 全概率公式与⻉贝叶斯公式（关键在于完备事件组）
1.完备事件组：互斥是对立立的前提条件
2.全概率公式：由因到果（推导，画图）（全部路路径）
3.⻉贝叶斯公式：由果到因（推导，画图）（所占的比比例例）
Note：关键是1.完备事件组必须完备；2.要画图3注意抽签原理理
题型一一：概率的基本计算
1.事件决定概率，但是概率推不不出事件
3.边缘概率密度
1）具体就是边缘分布函数求导（详⻅见笔记）
Note：注意边缘的公式，在求时，注意取值范围，以及上下限（一一根直线传过去）（类似于 二二重积分的先积部分——后积先定限，限内画条线）
2）G是从几几何看出来的，不不要死记公式，要结合图像（G为非非零区域）
Note：1.在写公式之前要先保证分⺟母不不为0，即要先确定范围
13条件概率全概公式贝叶斯公式
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
PB1 PA | B1 PBn PA | Bn n
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 ,使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在 应用此全概率公式时 ,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系
条件概率有关条件概率的三个重要计算公式
第二周条件概率和独立性2.2条件概率有关条件概率的三个重要计算公式上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富的工具。
下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。
对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。
这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算工具。
下面我们看第一个乘法公式。
*********************************************************乘法公式（1）设B A ,是两个事件，()0>B P ，则()()()B A P B P AB P |=证明：()()()()()()||P AB P A B P AB P B P A B P B =⇒=（2）设n A A A ,,,21 为n 个事件，且()0121>-n A A A P ，则()()()()()12121312121|||-⋅⋅=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P 。
证明：数学归纳法，设()()()()111211||-⋅⋅=k k k A A A P A A P A P A A P ，()()()1112112|k k k kP A A P A A A P A A A A ++=⋅ ()()()121112||.k k P A P A A P A A A A +=⋅⋅ 直接验证：()()()()121312121|||n n P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅ ()()()()()()()12312121112121n n P A A A P A A A P A A P A P A P A A P A A A -= ()12.n P A A A =*********************************************************例2.2.1设箱子内有a 个白球，b 个黑球，在其中不放回地连取3次，问前2次取到白球而第3次取到黑球的概率。
概率论基础2.1
于{2,4,6}，既然出现 2,4,6 是等可能的，那么出现{4,6}的 概率为 2/3。
也就是说：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率
是 2/3, 写
P(A | B) 2 / 3
回忆一下上面的计算过程：
在事件 B 发生的条件下，选择的范围就限于 B = { 2 , 4 , ,6也} 就是说我们把W¢= B = {2, 4, 6}当作
第二章 条件概率与统计独立性
第一节
条件概率定义性质 条件概率的乘法公式 全概率公式 Bayes公式
一、条件概率
条件概率是概率论中的一个重要概念，同 时，我们将发现它也是用来计算复杂模型 中概率的重要工具。
什么是条件概率？
摸球
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
生。
例. 一个家庭有两个孩子。 (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？
解: （1）记
B = {至少有一个男孩} A = {两个都是男孩}
这时
{GG,BB,BG,GB}，
每一种等可能发生，即 1/4。而
B = {GB, BG, BB} A = {BB}
也就是说，我们可以在 F 上定义一个函数
P( | B) : A P(A | B)
不难按照概率定义验证
P（ | B）也是 F 的一个新的概率
条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P ( | B) =1 ；
3.设A1,…,An互不相容，则 P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)
概率与统计中的条件概率知识点总结
概率与统计中的条件概率知识点总结条件概率是概率论中重要的概念之一，用来描述在给定其中一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
下面是关于条件概率的一些重要知识点的总结。
一、条件概率的定义条件概率是指在其中一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。
用符号表示为P(A，B)，读作“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
二、乘法法则乘法法则是计算条件概率的基本原理。
乘法法则的表达式为P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
三、条件概率的性质1.若A、B是两事件，且P(B)≠0，则P(B，A)=P(A∩B)/P(A)。
2.若A、B是两事件，且P(A)≠0、P(B)≠0，则P(A∩B)=P(A，B)*P(B)=P(B，A)*P(A)。
四、独立事件与条件概率事件A与事件B相互独立是指事件A的发生与否不受事件B的影响，即P(A，B)=P(A)，P(B，A)=P(B)。
若A、B相互独立，则P(A∩B)=P(A)*P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯定理全概率公式是概率论中一个重要的公式，用于计算在不同条件下事件的概率。
全概率公式的表达式为P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)，其中B_1、B_2、..、B_n是一组互不相交的事件，它们组成了全样本空间。
贝叶斯定理是由全概率公式推导而来，用于计算在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理的表达式为P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/ΣP(A，B_j)*P(B_j)，其中P(A，Bi)表示事件A在已知事件Bi发生的条件下发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示求和。
六、条件概率的应用条件概率在现实生活中有广泛应用，例如：1.医学诊断：通过病人的症状和检查结果，计算得出其中一种疾病的概率。
2.飞机维修：根据过去的维修记录，计算特定零部件故障的概率。
3.金融风险评估：根据过去的市场数据，计算其中一种投资的收益率。
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式应用
乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式在概率论和统计学中是非常重要的概念。
它们常常被用来解决复杂的概率问题，对于我们理解和应用概率有着重要的指导意义。
1. 乘法公式乘法公式是概率论中最基本的公式之一，它描述了两个事件同时发生的概率。
乘法公式的一般形式为 P(A and B) = P(A) * P(B|A)，其中P(A and B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 为事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
乘法公式的应用非常广泛，比如在生活中，我们经常需要计算多个事件同时发生的概率。
举个简单的例子，假设有一副扑克牌，从中抽取两张牌，求第一张是红桃的概率和第二张也是红桃的概率。
这就是一个典型的乘法公式的应用问题。
2. 全概率公式全概率公式是在条件概率的基础上发展而来的，它用于计算一个事件的概率，当这个事件可以被划分为几个相互独立的事件的并集时，全概率公式能够很好地解决这类问题。
全概率公式的一般形式为P(B) = Σ [P(Ai) * P(B|Ai)]，其中 Ai 是样本空间的一个划分，P(B) 是事件 B 的概率，P(Ai) 是事件 Ai 的概率，P(B|Ai) 是在事件 Ai 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
全概率公式的应用场景非常多，比如在市场营销中，我们经常需要根据不同的市场情况来预测产品的销售情况，全概率公式可以帮助我们很好地处理这类问题。
3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种用于计算条件概率的重要公式，它能够在得到相关先验信息的情况下，根据新的证据来更新我们对事件的概率。
贝叶斯公式的一般形式为 P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 的先验概率。
3 条件概率 概率乘法 全概率 贝叶斯公式
12 100 / 80 100 P( AB) P(B)
注：由例1可以看出，在“事件B已发生” 这附 加条件的事件A概率与不附加这个条件的概率是不同 P AB 的． 但有
P A B
因此，有下面的定义：
则称 P A B
P B
设A、B是某随机试验中的两个事件，且 P B 0
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退 出
[引例] 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70% ，乙厂产 品占30%，甲厂产品合格率是95% ，乙厂产品合格率是 80% 。求 （1）市场上灯泡的合格率。 （2）从市场上买到的合格灯泡恰好是甲厂生产的概率 。
解： （2） A=“甲厂灯泡” ，B=“合格灯泡”，由题意知：
P P
1
1
解：设A为第一步从甲袋放入乙袋的球为白球， B为从乙袋 中取出的球是白球， 则 A 为第一步从甲袋放入乙袋的球为
黑球，A和A 构成了样本空间的完备组，所以
B AB AB
P (B ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A )P (B | A ) P ( A )P (B | A ) 4 7 4 6 3 7 3 6 25 42
B A B AB
A
AB
例2 某小组有20名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、 三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分 别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比 赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解：设 B 该小组在比赛中射中目 标
这就是n个事件的乘法公式．
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非负性 规范性 可列可加性
P(B A) 0
P( A) 1
P
i1
Bi
A
P
i1
Bi
A
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A)
P(B A) 1 P(B A)
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B1B2 A)
5
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式
0.1 0.6
1 6
P( A2 )
若 BA
PB A P( AB) P(B) P(B)
P( A) P( A)
9
例 为了防止意外，矿井内同时装有两种报警 设备 A 与 B , 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92 , 设备 B 单独使用时有效的 概率为0.93，在设备 A 失效的条件下，设 备B 有效的概率为0.85, 求发生意外时至少 有一个报警设备有效的概率。
i0
P(Bi
A)
P(Bi )P( A Bi ) P( A)
,
i 0,1,2,3,4
16
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 称 P(Bi A) i 0,1,2,3,4 为后验概率，它是 得到了信息 — A 发生，再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正 本例中， i 较小时， P(Bi A) P(Bi )
定义
7 nA
设A、B为两事件,
nA
P
n( A
)
P( A)
> 0, 则称
P( AB) P( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，
记为
PB A
条件概率的计算方法
（1） 等可能概型可用缩减样本空间法 （2） 其他概型用定义与有关公式
4
条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有 概率的性质：
P(Bi A), i 0,1,2,3,4
15
结果如下表所示
i
0 12 3 4
P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
P( A Bi ) 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652
P(Bi A) 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
4
P( A) P(Bi )P( A Bi ) 0.814
P ( Bk
A)
P( ABk P( A)
)
P(Bk )P( A Bk )
n
P(Bi )P( A Bi )
Bayes公式
i1
13
例 每100件产品为一批，已知每批产品中的 次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品 的概率为
i0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验，若 发现有不合格产品，则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格。求 （1）一批产品通过检验的概率 （2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
i 较大时，P(Bi A) P(Bi )
说明什么问题？
17
设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效
已知 PA 0.92 PB 0.93
PB A 0.85
求 PA B
10
解 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
由 PB A P(B) P( AB)
1 P( A)
即
0.85 0.93 P( AB) 0.08
P( AB) 0.862
解 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨
P( A2
A1 )
P( A1A2 ) P( A1)
P( A1) P( A1A2 ) P( A1)
0.6 0.1 5 0.6 6
P( A2 ) 0.7
8
一般地，条件概率与无条件概率之间的大小 无确定的关系
上例中
P( A2
A1 )
P( A1 A2 ) P( A1)
P( AB) P( A)PB A (P( A) 0)
P(AB) P(B)PA B (P(B) 0)
推广
P( A1A2 An ) P( A1)PA2 A1 P An A1A2 An1
(P( A1 A2 An1) 0)
6
例 已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
故 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
解法二
0.92 0.93 0.862 0.988
P A B P( A B ) P( A) P(B A)
P( A) 1 P(B A)
0.081 0.85 0.012
P( A B) 0.988
11
2全概率公式与Bayes 公式
解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时
所求概率为
PB A P( AB) P(B) 0.4 1
P( A) P( A) 0.8 2
B A
7
例 某人外出旅游两天，需要知道两天的天气 情况，据天气预报，第一天下雨的概率为 0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨 的概率为0.1. 求 第一天下雨时，第二天不 下雨的概率
2
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为
PB A
问题：条件概率中样本空间 | A是什么？
解 列表
白球 红球 小计
木球
4
2
6
塑料球 3
1
4
小计
7
3
10
3
PB A 4
7
nB A 4 nAB , n A 7 nA ,
nAB
P B A 4 nAB n P( AB)
14
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4 A 为一批产品通过检验
则 A n Bi ,
i1
Bi Bj , i j,i, j 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示，且
P(A
Bi )
C10 100i
C10 100
,
i 0,1, 2,3, 4
由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
条件概率、乘法公式 和Bayes公式 学习笔记
1 条件概率
条件概率与乘法公式
引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中 有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球， 1只塑料球.
现从袋中任取1球，假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球，问 它是木球的概率是多少？
等可能概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球
B1 AB1
A
AB2
B2
ABn
n
Bi
Bn i1
Bi B j
n
A ABi
i 1
( ABi )( ABj )
n
n
注意：A=A
A
（ i1
Bi）=
i1
ABi
12
n
n
P( A) P( ABi ) P(Bi ) P( A Bi ) 全概率公式
i1
i1
意义：事件组Bn一般是导致A发生的所有可能的“原因”