代数式求值的几种方法

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代数式求值的几种方法

代数式的求值问题，是初中代数基础知识与基本技能的重要内容。求代数式的值应对所给定的代数式加以具体情况具体分析，针对题设条件与所求代数式的本质特点及内在联系，灵活选用适当方法与技巧，方能使求解过程简捷、科学、合理。

一、公式法

例1 ：已知a + b = 1 ，a 2 + b 2 = 2 求a 6 +b 6 的值

分析：本题若根据已知条件先求出a 、b 的值，然后代入所求式中计算，虽不失为一种思考途径，但求出的a 、b 的值均为复杂的无理数，而所求代数式中的a 、b 又均为高次幂，从而使运算非常复杂。若借助乘法公式先将所求代数式化为“a + b ”与“ab ”的结构形式，则问题的解答将简便得多。

解：由a + b = 1,有（a + b ）2 =1 ,即1222=++b ab a

又a 2 + b 2 =2 ，∴a b = －2

1

()()()()(

)[]()()871

12141222121232322222223

443442266=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=+--++-+=--++=+∴b a ab b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a

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另外考虑a 7 + b 7 的值的求法

二、参数法

例2：若542c b a

== ，求c

b a

c b a +--+2的值 分析：本题题设给出a 、b 、c 的三个连比式，若引入一个参数，则所求代数式的分子、分母均由三元转化为一元，从而通过化简而求解。 解：设k c b a ===

5

42 ，由题意k ≠0，则a = 2k ，b = 4k ，c =5k 所以c b a c b a +--+2 = 133542544==+--+k k k k k k k k 三、倒数法

例3：已知 71

2=+-x x x ，求 1242++x x x 的值 分析：由已知式与所求式之间的结构及各自分子、分母的幂次数特点出发，本题使用“倒数法”较为简便。 解：由已知取倒数，则7112=+-x x x ，即7

81=+x x 再由未知式取倒数：

4915178111112

222224=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++x x x x x x x 所以1242++x x x = 1549 四、消元法

4 例4 已知x 、y 、z 均不为零，且满足4x －3y －6z =0

x + 2y － 7z = 0 ，求 22222275632z

y x z y x ++++ 的值 。 五、整体代入法

例5：若x 2

－ 8x +13 =0 ，求1882334462234+-++--x x x x x x 的值。 六、利用根与系数的关系

例6已知α≠β 且 α2 +3α－7 = 0 β2 +3β－7 = 0 求：22β

ααβ+的值 七、分子有理化法

例7已知225=-+-a a 求a 2 + 10a +25的值

分析：若通过解无理方程求出a 的值，在代入求解，运算量很大，不见便，注意观察所求式是a －5的平方，而已知式里有a － 5 的平方根，若视5-a 与2-a 为两个单元，即知其和，在利用分子有理化可得其差，从而得出5-a 的值，使问题得到解决。