函数基本性质专题

函数基本性质及解题技巧
一、函数解析式的求法：
1. 配凑法：把关系式配凑成含有括号里的形式； 例：已知22
1)1(x x x
x f +=+,求解析式； 解：因为221)1(x x x x f +=+=2)1(2-+x
x ，所以2)(2-=x x f ， ),2[]2,(+∞⋃--∞∈x 。

2. 换元法：令括号里的部分等于t ，然后解出x 在带进去，得出关于t 的解析式，最后在换成x ； 例：已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f 解析式； 解：令,1+=x t 则)1(,)1(2≥-=t t x ，
所以1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
所以)1(,1)(2≥-=x x x f
3. 待定系数法：（已知函数类型）
告诉你什么函数，就设什么函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数，
例：已知()f x 是二次函数，且(0)2,(1)()1f f x f x x =+-=-，求()f x
解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)2,f =得2c =
由(1)()1f x f x x +-=-，得恒等式2ax+a+b=x-1,得13,22
a b ==-，故所求函数的解析式为213()222
f x x x =-+. 4. 消元法（方程组法）：
若函数方程中同时出现()f x 与1()f x 或者()f x 与)(x f -，则一般x 用1x
代之或x 用-x 代之，构造另一个方程.然后联立解方程组得到()f x
例：已知3()2()3f x f x x +-=+，求()f x
解：因为3()2()3f x f x x +-=+，① x 用x -代替得3()2()3f x f x x -+=-+，②
由①②消去()f x -，得3()5
f x x =+. 二、绝对值图像画法：
5. c x b ax y ++=||2的图像画法：
找三个点，x=0的点和两个对称轴的点；然后把三个点连起来，a >0,开口向上；a<0,开口向下，形状如“屁股”；
6. ||2c bx ax y ++=的图像画法：
先画出二次函数的图像，然后把x 轴下方的函数图像对折上去；
三、对勾函数性质
7. 对勾函数)0(>+=k x
k x y 的性质： 1）.单调增区间),(),,(+∞--∞k k ，单调减区间),0(),0,(k k -
2）.x>0时，有最小值，最小值为k 2，当x<0时，有最大值，最大值为k 2-；
四、单调性
8.分段函数的单调性问题：
首先保证每一段是增（减）函数，得到两个不等式，然后左边的最大值(左边的最小值）小于（大于）右边的最小值（右边的最大值）得到另一个不等式，然后解不等式组； 例： 已知1,2)2
4(1
,{)(≤+->=x x a x a x f x ，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为_________; 解：因为f (x )是R 上的单调递增函数，
所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2
>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，
9. 抽象函数的单调性证明：在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“()f x y +=)()(y f x f +”型二是“()f xy =)()(y f x f +”型.对于()f x y +型的函数，只需构造2121()[()]f x f x x x =+-，再利用题设条件将它用1()f x 与21()f x x -表示出来，然后利用题设条件确定21()f x x -的范围，从而确定2()f x 与1()f x 的大小关系；对()f xy 型的函数，则只需构造2211
()()x f x f x x =⋅即可. 例：已知()f x 的定义域为(0,)+∞，且当1x >时()0f x >.若对于任意两个正数x 和y 都有()()()f xy f x f y =+，试判断()f x 的单调性.
解：设120x x >>则,11
2>x x .又因为当1x >时()0f x >， 0)()()()()()()()(121121112112>=-+=-∙
=-∴x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()f x 在()0,+∞上单调递增.
10. 单调性性质：
增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；增=增；减=减；增1=减；减1=增 -增=减；-减=增
11. 复合函数单调性：同增异减：先列出函数由哪两个函数复合而成，然后求出每一区间两个函数对应的单调性，然后同增异减写出对应区间
例：求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间
解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.
∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．
∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．
13. 作差法证明单调性步骤：
1）.取值,在定义域内取21x x <；
2）最差；
3）变形：变形到
（）
（）（）（）∙∙形式，每一个括号能判断出正负，变形方法有提公因式、通风、合并同类项；
4）得出结论，方向一致为增函数，方向相反为减函数；
五、奇偶性：
14. 判断奇偶性之前得保证定义域关于原点对称；反之，一个函数只要告诉你奇偶性，定义域一定关于原点对称，对应区间两个端点值相加为零
15. 对于奇函数，只要在0=x 处有意义，也就是定义域里包含0，则0)0(=f （做题易忽略点）
16. 对于d cx bx ax x f +++=23)(这种类型的函数，如果)(x f 是偶函数，则奇次项系数为零，如果)(x f 是奇函数，则偶次项系数为零；
例：已知函数)127()2()1()(2
2+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
17.奇 + 奇 = 奇； 偶 + 偶 = 偶；奇⨯偶 = 奇； 奇⨯奇 = 偶；偶⨯偶 = 偶；（乘和除
一致）
|奇|=偶，复合函数奇偶性，一偶则偶：复合函数的两个分函数，只要一个为偶，整体就是偶函数；
例：若函数2()1
x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为 . 解：首先由结论15得，0)0(=f ，然后得到0=a ，然后因为分子是奇函数，整体也是奇函数，所以由结论17得分母是偶函数，然后再由结论16得0=b ，然后得到2()1
x f x x =+ 18. 告诉你分段函数)(x f 的奇偶性，给出一半的解析式，让你求另一半或整体的解析式的题型做法：
给出大于0的解析式，就设0<x ，给出小于0的解析式，就设0>x ，然后把x -带到给出的解析式里求出)(x f -，然后通过奇偶性得到)(x f ，然后写出解析式，记住不要漏掉0=x 的时候；
例： 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．
【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，
()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，
2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦
=2
31x x -++
又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=． 2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩
19. 遇到c x bg x af x H ++=)()((），其中）x f (、)(x g 为奇函数这种题型，构造奇
函数解决问题，令c x H x F -=)((），则）（x F 为奇函数；
例：已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
解：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
六、周期性：
20.若）（x f T x f =+)(，周期为T ；
周期为2T 的有)()(T x f T x f -=+；)()(x f T x f -=+；)()(x f T x f -=+，且)(x f 为奇函数；)(1)(x f T x f =+；)
(1)(x f T x f -=+； 例： (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
【答案】D
七、对称性：
21.若)()(x a f x a f +=-，则)(x f 关于a x =对称；
22.若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 关于2
b a x +=对称； 23.若)(a x f +是偶函数，则)(x f 关于a x =对称；
24.若)(a x f +是奇函数，则)(x f 关于）（0,a 中心对称；。