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如何把概率论建立在严格的逻辑基础上,是概率理论发展的困难所 在,对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝 格测度与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论,为概率公理 体系的建立奠定了基础,在这种背景下,苏联数学家柯尔莫哥洛夫在
他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和 一套严密的公理体系,他的公理化方法成为现代概率论的基础,使概 率论成为严谨的数学分支,对概率论的迅速发展起了积极的作用。
九、算法思想发展的历史
(一)算法思想的历史 在“算法”这个词被提出之前,人们早就知道了有关算法的实例,如现在 被称作欧几里得算法的找两个数最大公约数的步骤。特别是,中国古代 数学源于生活,贴近实际,实用性强,形成了以算为主,使用算器的一套算法 体系。虽然在中国古代数学典籍中并未明确提出“算法”一词,但实际 上已经孕育了构造算法的基本思想即程序思想。 刘徽的《九章算术注》开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式, 之后这种机械化思想一直贯穿于中国古代数学中。如“贾宪三角”“增 乘开方法”“正负开方术”“大衍求一术”“天元术”和“四元 术”(高次方程组的解法)等都是中国古代数学中的算法,其算法思想对我 们解决数学问题有极大的启发作用。
（一）几何作图三大难题
１．三等分角问题：将任意一个给定的角三等分 ２．立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是 已知正方体体积的二倍 ３．化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相 等
六、几何作图三大难题的历史
（二）从阿贝尔到伽罗瓦
解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，尺规作图三大难题的解 决，同解代数方程挂上了钩,由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求它 的一般解，于是很多数学家争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历１６世纪的后半叶、 １７世纪、１８世纪,直到１９世纪初,很多数学家和数学爱好者,都把它作为检验自己才能的试金 石，可是毫无例外，他们都失了１８２４年,挪威22岁的数学家阿贝尔，利用置换群的理论证明 了一般五次以上代数方程，它们的根式解法是不存在的。阿贝尔一方面证明了有的方程不能用 根式解、另一方面也举例证明有的方程能用根式解。于是,能用根式解或者不能用根式解的方程, 到底用什么来判断呢?阿贝没来得及回答,就匆匆过世了。 在阿贝尔去世后的第二年，法国数学家伽罗瓦完成了这一项艰巨的工作。并在阿贝尔研究的基 础上，进一步发展了他的息想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理 论的大意是：每个方对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为该方程的伽罗瓦域，这个域 对应一个群，即这个方程根的置换群称为该方程的伽罗瓦群，伽罗瓦的子域和伽罗瓦的子群有 一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群是，该方程是根式可解的。作为这个理 论的推论，可以得出用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论
瑞士数学家伯努利使概率论成为数学的一个分支,他建立了概率论 中第一个极限定理,即伯努利大数定律,阐明了事件的频率稳定于它 的概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理(中 心极限定理)的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上 写出了《分析的概率理论》,明确给出了概率的古典定义,并在概率 论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的发展阶段。 19世纪末,俄国数学家切比雪夫、马尔可夫等人用分析方法建立了 大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中 遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
七、集合论发展的历史
（一）集合论的诞生
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。他对集合所下的 定义是:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来, 看作一个整体,就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素
七、集合论发展的历史
（二）集合论的发展
到20世纪初,集合论已得到数学家们的认同。他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集 合论的概念,便可以建造起整个数学大厦。但罗素悖论的提出指出了集合论的漏洞。 罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R。现在问R是否属于R？ 如果R属于BR则R满足R的定义,因此R不应属于自身,即R不属于R:另一方面,如果R不属于R 则不满足R的定义,因此R应属于自身,即R属于R。这样,不论何种情况都存在着矛盾。 这个仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了,以致根本留不下为集合论漏 洞辩解的余地,绝对严密的数学陷人了自相矛盾之中,这就是数学史上的第三次数学危机,危 机产生后,众多数家投入到解块危机的工作中去。 1908年,策梅洛提出公理化集合论,后经改进形成无予盾的集合论公理系统,简称ZF公理系 统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了论的出现。这就是集 合论发展的第二个阶段:公理化集合论。 与此相对应,由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的 严格处理。
数学史(二)
The History of Math
主讲人 曹光宇
六、几何作图三大难题的历史 七、集合论发展的历史 八，随机思想发展的历史 九、算法思想发展的历史 十、近代数学史上的两大巨匠 十一、近代中学数学教育改革概况
六、几何作图三大难题的历史
大约在公元前６世纪至４世纪之间，古希腊人遇到了 令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著 名的古代几何作图三大难题
(二)近代统计学
近代统计学指的是18世纪末到19世纪末的描述统计学，其发展过程与 概率论的广泛研究和应用密切相关，目前在统计分析中经常使用的一 些基本方法和术语都处于这一个时期、比如最小平方法、正态分布曲 线、误差计算等。在近代统计发展的一百年中、也形成了许多学派、 其中以数理统计学派Hale Waihona Puke Baidu社会统计学派最为著名。数理统计学派的原创 始人是比利时的凯特靳,其最大的贡献就是将法国的古典概率引入统 计学,用纯数学的方法对社会现象进行研究;社会统计学派的首倡者是 德国的克尼斯,他认为统计研究的对象是社会现象,研究方法为大量观 察法,在近代统计学的发展过程中,这两学派的矛盾是比较大的。
八，随机思想发展的历史
（一）概率论 概率论的起源与赌博问题有关。16世纪,意大利的学者 吉罗拉莫,卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简 单问题。 17世纪中叶,有人对博弈中的一些问题发生争论,其中的 一个问题是“赌金分配问题”,他们决定请教法国数学 家帕斯卡和费马,并最终解决了这个问题,这个问题的解 决直接推动了概率论的产生。
他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和 一套严密的公理体系,他的公理化方法成为现代概率论的基础,使概 率论成为严谨的数学分支,对概率论的迅速发展起了积极的作用。
九、算法思想发展的历史
(一)算法思想的历史 在“算法”这个词被提出之前,人们早就知道了有关算法的实例,如现在 被称作欧几里得算法的找两个数最大公约数的步骤。特别是,中国古代 数学源于生活,贴近实际,实用性强,形成了以算为主,使用算器的一套算法 体系。虽然在中国古代数学典籍中并未明确提出“算法”一词,但实际 上已经孕育了构造算法的基本思想即程序思想。 刘徽的《九章算术注》开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式, 之后这种机械化思想一直贯穿于中国古代数学中。如“贾宪三角”“增 乘开方法”“正负开方术”“大衍求一术”“天元术”和“四元 术”(高次方程组的解法)等都是中国古代数学中的算法,其算法思想对我 们解决数学问题有极大的启发作用。
（一）几何作图三大难题
１．三等分角问题：将任意一个给定的角三等分 ２．立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是 已知正方体体积的二倍 ３．化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相 等
六、几何作图三大难题的历史
（二）从阿贝尔到伽罗瓦
解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，尺规作图三大难题的解 决，同解代数方程挂上了钩,由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求它 的一般解，于是很多数学家争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历１６世纪的后半叶、 １７世纪、１８世纪,直到１９世纪初,很多数学家和数学爱好者,都把它作为检验自己才能的试金 石，可是毫无例外，他们都失了１８２４年,挪威22岁的数学家阿贝尔，利用置换群的理论证明 了一般五次以上代数方程，它们的根式解法是不存在的。阿贝尔一方面证明了有的方程不能用 根式解、另一方面也举例证明有的方程能用根式解。于是,能用根式解或者不能用根式解的方程, 到底用什么来判断呢?阿贝没来得及回答,就匆匆过世了。 在阿贝尔去世后的第二年，法国数学家伽罗瓦完成了这一项艰巨的工作。并在阿贝尔研究的基 础上，进一步发展了他的息想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理 论的大意是：每个方对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为该方程的伽罗瓦域，这个域 对应一个群，即这个方程根的置换群称为该方程的伽罗瓦群，伽罗瓦的子域和伽罗瓦的子群有 一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群是，该方程是根式可解的。作为这个理 论的推论，可以得出用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论
瑞士数学家伯努利使概率论成为数学的一个分支,他建立了概率论 中第一个极限定理,即伯努利大数定律,阐明了事件的频率稳定于它 的概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理(中 心极限定理)的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上 写出了《分析的概率理论》,明确给出了概率的古典定义,并在概率 论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的发展阶段。 19世纪末,俄国数学家切比雪夫、马尔可夫等人用分析方法建立了 大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中 遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
七、集合论发展的历史
（一）集合论的诞生
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。他对集合所下的 定义是:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来, 看作一个整体,就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素
七、集合论发展的历史
（二）集合论的发展
到20世纪初,集合论已得到数学家们的认同。他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集 合论的概念,便可以建造起整个数学大厦。但罗素悖论的提出指出了集合论的漏洞。 罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R。现在问R是否属于R？ 如果R属于BR则R满足R的定义,因此R不应属于自身,即R不属于R:另一方面,如果R不属于R 则不满足R的定义,因此R应属于自身,即R属于R。这样,不论何种情况都存在着矛盾。 这个仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了,以致根本留不下为集合论漏 洞辩解的余地,绝对严密的数学陷人了自相矛盾之中,这就是数学史上的第三次数学危机,危 机产生后,众多数家投入到解块危机的工作中去。 1908年,策梅洛提出公理化集合论,后经改进形成无予盾的集合论公理系统,简称ZF公理系 统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了论的出现。这就是集 合论发展的第二个阶段:公理化集合论。 与此相对应,由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的 严格处理。
数学史(二)
The History of Math
主讲人 曹光宇
六、几何作图三大难题的历史 七、集合论发展的历史 八，随机思想发展的历史 九、算法思想发展的历史 十、近代数学史上的两大巨匠 十一、近代中学数学教育改革概况
六、几何作图三大难题的历史
大约在公元前６世纪至４世纪之间，古希腊人遇到了 令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著 名的古代几何作图三大难题
(二)近代统计学
近代统计学指的是18世纪末到19世纪末的描述统计学，其发展过程与 概率论的广泛研究和应用密切相关，目前在统计分析中经常使用的一 些基本方法和术语都处于这一个时期、比如最小平方法、正态分布曲 线、误差计算等。在近代统计发展的一百年中、也形成了许多学派、 其中以数理统计学派Hale Waihona Puke Baidu社会统计学派最为著名。数理统计学派的原创 始人是比利时的凯特靳,其最大的贡献就是将法国的古典概率引入统 计学,用纯数学的方法对社会现象进行研究;社会统计学派的首倡者是 德国的克尼斯,他认为统计研究的对象是社会现象,研究方法为大量观 察法,在近代统计学的发展过程中,这两学派的矛盾是比较大的。
八，随机思想发展的历史
（一）概率论 概率论的起源与赌博问题有关。16世纪,意大利的学者 吉罗拉莫,卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简 单问题。 17世纪中叶,有人对博弈中的一些问题发生争论,其中的 一个问题是“赌金分配问题”,他们决定请教法国数学 家帕斯卡和费马,并最终解决了这个问题,这个问题的解 决直接推动了概率论的产生。