根轨迹举例

k * ( s 2 − 2s + 5) 解：1）系统开环传递函数为： Gk ( s) = ( s + 2)(s − 0.5)
则零点为1+2j，1-2j，极点为-2，0.5，实轴上的根轨迹为0.5～-2
1 1 分离点为： 1 + 1 = + d + 2 d − 0.5 d − 1 − 2 j d − 1 + 2 j d1 = 3.84，（不在根轨迹上） d 2 = −0.41，（分离点） 设与虚轴的交点为 ± jω。 因闭环特征方程为： + 2)( s − 0.5) + k * ( s 2 − 2 s + 5) = 0 (s
复习小结
一、概述 1. 控制系统研究的内容 2. 输出、输入与系统之间的关系。具体见P3五个 方面 3.系统的分类1）按反馈：闭环、开环；2）按输入 3. 1 2 规律分：恒值、程控、随动；3）按输出特性： 连续控制、数字控制。 4.几个基本概念：给定量（输入）、偏差、反馈、 控制量（输出） 5.基本要求：稳、准、快。
3
系统根轨迹如图所示。
2）从根轨迹知，在0<kg<4时，系统稳定， kg=4为临界稳定，kg>4系统不稳定。 例:已知系统如图所示（20分）， 1.绘制k*=0→∞时的根轨迹（求出分离点，根轨迹与虚轴的交点） 2.确定系统稳定的开环增益K； 3.确定闭环具有欠阻尼的K值范围。 (西北工大)
K*
s 2 − 2s + 5 ( s + 2)( s − 0.5)
0. 5 起始角：ϑ p = ± (180 − 90 + (90 + arctg ) = ±210° 0.866
会合点计算：
1 d + 0.5 + 3 j 2
+
1 d + 0.5 − 3 j 2
1 = d
解之，会合点坐标为d=-1，根轨迹如图所示。 会合点处的α值，
1 2 3 2 ( ) +( ) 2 α= 2 =1 1
复习小结
4.系统方块图 定义、 注意：相加点和分支点的量纲要相同。 5．方块图的简化原则： 1）前向通道传递函数不变；2）反馈回路传递函数不变。 6．反馈回路的计算式 1 1）系统信号流图和梅逊公式， G ( s ) = ∑ pk ∆ k ∆ 各项的意义及其计算方法需熟练掌握。 2）梅逊公式特例：G (S ) = 前向通道传递函数之积
复习小结
五、稳定性分析 1. 定义：（P110） 2. 稳定的充要条件：闭环传递函数极点全部在S的左半平面。 3. 劳斯判据：用劳斯阵列。注意，用GB(S)的特征方程。 4. 乃氏判据：1）开环稳定；2）开环不稳定（逆时针包围1 0j点p/2圈；3）有零根在原点按左半平面处理。当p<2 时的简单判断方法。 5. Bode图判定 6. 相对稳定性 1）含义：表示稳定的程度如何。 2）指标：穿越频率ωc和ωg、稳定性裕量（幅值、相位）、 图形和计算法求裕量。
可得： s 4 + 20 s 3 + 127 s 2 + 288s + 120 = 0 S1=-0.53, s2=-10.21, s3=-4.63+0.85j, s4=-4.63-0.85j 是园，还是椭圆，参看书 是园，还是椭圆，参看书P290图8-11，p293例8-10，例8-11。 图 ， 例 ， 。 可总结出：两个极点一个零点为圆， 可总结出：两个极点一个零点为圆，实轴上两个极点两个零 点为圆。另外可试算几点。 点为圆。另外可试算几点。
复习小结
二、传递函数 1. 定义：在初始条件为零时，输出与输入拉氏变换 之比。求系统传递函数的几种方法。 2. 典型环节的传递函数：定义、作用、表达式及其 特征参数（如二阶振荡环节的ξ、ωn。（比例、 微分、积分、惯性、振荡。在一定条件下，高阶 可转化为地阶，如二阶振荡环节当ζ>1时，可化 为两个惯性环节串联。） 3. 系统传递函数： ① 开环：Gk=GH ② 闭环：GB=G/(1+GH)
k * ( s + 4 − j 4)( s + 4 + j 4) Gk ( s) = s( s + 2) k * ( s 2 + 8s + 16) k * N ( s ) = = 2 s + 2s D( s)
令 -4
-1.33 -2 0
dGk ( s ) =0 有 ds
D( s ) N ′( s ) − D′( s )n( s ) = 0
复习小结
一、基本概念 1. 对控制系统的基本要求：良好的稳定性、合理的 稳态精度、较好的快速性。首先满足的应是稳定 性。 2. 各种信号及其作用：输入、输出、反馈、偏差等。 3. 开环、闭环传递函数的概念及其作用：比如性能 分析中何时使用闭环，何时用开环。 4. 传递函数的概念及其特点 5. 高阶与低阶环节的转换
复习小结
6.时域性能指标（用图表示） 7.频率特性的定义： 8.各种系统稳定性判据的共同点和不同点是什么？ 9. 9.幅值和相位裕量反映系统是么特性？ 10.开环增益k对系统有何影响？ 11.系统误差与那些因素有关？ 12.系统校正的方法，串联、并联的作用。 13.根轨迹的含义，以增益为变量的根轨迹，以其它 参数为变量的等效根轨迹。根轨迹的作用
因此，要系统具有欠阻尼的K值为： 1.2<K<3.75
例：系统如图所示，试绘制以α为参变量的根轨迹。在此基础上： 1)求无局部反馈时，系统的ξ及ωn 2)利用根轨迹讨论当α增大时，局部反馈环节 对系统动态性能的影响。 3)确定临界阻尼的α值。
1 s( s + பைடு நூலகம்)
αs
解：系统闭环传递函数为：
GB (s) =
1 s ( s + 1) + αs + 1
等效特征方程为：+ 1
αs
s + s +1
2
=0
1)当α=0时
1 传递函数为: GB ( s ) = 2 s + s +1
对照二阶系统标准式,有:ωn=1, ξ=0.5 2)由等效特征方程有: 零点为0，极点为-0.5+0.866j，-0.5-0.866j。 则，有一条根轨迹趋于无穷远，左半实轴为根轨迹。
1 ± ∑ 反馈回路传递函数之积
适用条件：a 只有一个前向通道； b 各分支回路有公共的传递函数 7．求传递函数的方法 1）建立微分方程；2）利用方框图和典型环节；3）由实验 得。
复习小结
三、时域响应分析 1.研究的是瞬态过程，用的是系统传递函数即闭环传递函数。 2.分析方法：1）求出响应。解微分方程或用拉氏变换求解； 2）由实验的。 3.性能指标： 1)一阶系统：时间常数T的作用（3T时误差为5%）。 2)二阶系统(标准式）阶跃输入性能指标，响应的图形表示。
1 1 1 1 + = + d d +3 d +6 d +8
-8
-6
-3
0
11d 2 + 96d + 144 = 0
− 96 ± 96 2 − 4 × 11×144 − 1.92 = = 2 × 11 − 6.80 分离点 会合点
d1, 2
（5）p=0,-2, z=-4±j4
有两条终止于零点。 求分离点： -18.43° 4
根轨迹举例
已知系统结构如图所示 (华南理工)
求：1）kg(0→∞)变化时的根轨迹，(15分） （起始角、渐近线与虚轴的交点要精确计算）。 2）用根轨迹法确定kg的稳定域。
kg s
1 1 s +2) s((s+2) s
2
解:系统开环传递函数
1 kg kg s( s + 2) Gk ( s ) = ⋅ = 2 s s ( s 2 + 2 s + 2) 1+ s ( s + 2)
θs3 = −θ s2 = 26.6
1 2
与实轴的夹角为：180，+60，-60 设与虚轴的交点坐标为：+jw和-jw.
jω ( −ω 2 + 2ωj + 2) + k g = 0 → − ω + 2ω = 0 → ω = 0, ω = ±1.4 − 2ω 2 + k = 0 → k = 0, k = 4 g g g
− ω 2 (1 + k *) + 5k * −1 = 0 → ω = ±1.254, k * = 0.75, ω = 0, k * = 0.2 ω (1.5 − 2k *) = 0 2 2 θ z = ±(180 − 90 + arctg + arctg ) = ±199.6° 0. 5 3
（1）无开环零点，极点为 s1 = 0, s2
= −1+ 2 j, s3 = −1− 2 j
有三条趋于无穷远的根轨迹。实轴上的根轨迹为左 半实轴。 极点s2的起始角为： θ s 2 = 180 − 90 − (90 + arctg ) = −26.6 由于对称实轴，s3的起始角为
0 + 2 × ( −1) = −0.67 渐近线与实轴的交点坐标： σ a = 3
b.起始角：
1 θ = ±(180° − 90° − 90 − arctg ) = ±(−45°) 2 −1
c.与虚轴交点
k* k* = 3 Gk ( s ) = ( s + 1)( s + 2 − j )( s + 2 + j ) s + 5s 2 + 9 s + 5 Gk ( s ) k* GB ( s ) = = 3 1 + Gk ( s ) s + 5s 2 + 9 s + 5 + k *
k * ( s + 4)( s + 6) Gk ( s) = s( s + 1)( s + 5) k * ( s 2 + 10 s + 24) k * N ( s) = = 3 2 s + 6 s + 5s D( s)
-10 -6 -5 -4 -1 -0.53
令
dGk ( s ) =0 有 ds
D( s ) N ′( s ) − D′( s )n( s ) = 0
闭环特征方程代入jω,有
− ω 3 j − 5ω 2 + 9ωj + 5 + k * = 0
ω =0 ω =3
k * = −5 舍去 k * = 40
− ω 3 + 9ω = 0 − 5ω 2 + 5 + k * = 0
(4)
z = −6,−8, p = 0,−3
有两条终止于零点。其分离、会 合点为d：
K*=40 3 -45° -1.67 -1
a.三条趋于无穷远 渐近线：
n m
∑ p −∑z
σa =
i =1 i j =1
j
n−m (2k + 1)π φa = n−m k = 0, φa = 60°
=
− 1 − 2 + j1 − 2 = j1 = −1.67 3
k = 1, φa = 180°
k = −1, φa = −60°
1−ξ π π −ϕ tr = ,ϕ = arctg , t p = , mp = e ξ ω ωd
2 −
ξπ
11−ξ 2
, ts =
3~4
ξω n
(∆ = 5% ~ 2%)
4．高阶系统的响应，掌握主导极点和偶极子的概念和作用。
复习小结
四、频率特性分析 1. 定义：在频率域内研究系统的稳态响应特性，用 G(jω)表示。 2. 幅频特性A(ω)和相频特性φ(ω)的求法和作用； 3. Nyquist图绘制(典型环节及其特征) 4. Bode图绘制(典型环节及其特征) 5. 由频率特性曲线求系统的传递函数（系统型次和 开环增益） 6. 频率特性性能指标（A(0), ωm、ωr、ωb、ωn、 Mr，系统响应速度？）
系统根轨迹如图所示 2）为使系统稳定，因此0.2<k*<0.75, 而开环增益K=5k*，则稳定时的开环增益为：1<K<3.75. 3)要系统具有欠阻尼，其闭环极点应在分离点与虚轴交点之间， 利用幅值条件可得分离点的k*：
0.91 × 1.59 k* = = 0.241 2 2 1.41 + 2
对应的K=1.2
S1=1.33 , s2=-4(不在根轨迹上，舍去）
-4
可得：
6s 2 + 32 s + 32 = 0
求终止角：
φ = ±(180° − 90° + (180° − arctg ) + 135°) = ±341.57°
4 2
(6) p=0,-1,-5, z=-4,-6 两条终止于零点，一条终止于无穷远。
复习小结
0<α<∞时，系统均稳定， 在0<α<1时，闭环具有共轭复根，出现振荡， 1<α<∞时，闭环具有负实数根，不发生振荡。 3）临界阻尼的α=1
习题：8-1
（1）z=-2,-6, p=0,-3; -6 -3 -2 0
(2) z=-2,-4,p=0,-6 -6 -4 -2 0
(3)
p1 = −1, p2,3 = −2 ± j1