离散数学王元元 第十二章格与布尔代数
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Δ第十二章格与布尔代数
12.1 格
内容提要
格是一种特殊的有序集，因此我们先从有序集方面引入格的概念。
定义12.1称有序集
通常用a∨b表示{a，b}的上确界，用a∧b表示{a，b}的下确界，∨和∧分别称为保联（join）和保交（meet）运算。由于对任何a，b，a∨b及a∧b都是L中确定的成员，因此∨,∧均为L 上的运算．
现设≥表示序关系≤的逆关系，那么据逆关系的性质可知：
定理12.1当< L,≤>为格时，< L, ≥>亦为格,且它的保联、保交运算∨~,∧~对任意a,b∈L 满足
a∨~b = a∧b , a∧~b = a∨b
于是，我们有下列对偶原理。
定理12.2 A为格< L，≤>上的真表达式，当且仅当A*为< L，≥>上的真表达式，这里A*称为A的对偶式，即将A中符号∨，∧，≤分别改为∧，∨，≥后所得的公式，而 a≥b意即b≤a 。
定理12.3设< L,≤>为格，那么对L中任何元素a,b,c 有
（l）a≤a∨b， b≤a∨b
a∧b≤a， a∧b≤b
（2）若a≤b，a≤c，则a≤b∨c
若b≤a，c≤a，则b∧c≤a．
（3）若a≤b，c≤d，则a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d
（4）若a≤b，则a∨c≤b∨c，a∧c≤b∧c．
定理12.4设< L,≤>为格，那么对L中任意元素来a,b,c 有
（1）a∨a = a ，a∧a＝a (幂等律)
（2）a∨b = b∨a ，a∧b = b∧a （交换律）
（3）a∨（b∨c）=（a∨b）∨c
a∧（b∧c）=（a∧b）∧c (结合律)
（4）a∧ (a∨b) = a ，a∨ (a∧b) = a (吸收律)
格还有下列性质；
定理12.5 设< L,≤>为格。那么对L中任意元素a,b,c有
（1） a≤b当且仅当。a∧b = a当且仅当a∨b = b 。
（2） a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）。
（3） a≤c当且仅当 a∨ (b∧c)≤（a∨b）∧c。
定义12.2设L为一非空集合，∨,∧为L上的两个二元运算，称 < L，∨,∧>为格代数，或简单地称为格，如果< L，∨,∧>中运算∨,∧满足幂等律、交换律、结合律和吸收律（见定理12.4）。
定义12.3 格< L，∨,∧>称为完全格（complete lattice），如果L的所有非空子集都有上确界和下确界。
设S ⊆L ，那么S 的上确界记为S ∨或a S a ∈∨，S 的下确界记为S ∧或a S
a ∈∧。L 的上确界记为1，L 的下确界记为0 。
定理12.6设< L ，∨,∧>为完全格，那么0为∨运算么元、∧运算零元；l 为∧运算么元、∨运算零元．
定理12.7有序集< L ，≤>为完全格的充分必要条件是:存在L 的上确界1，并且L 的每一非空子集有下确界。
定理12.8设< L ，∨,∧>为格，a ∈L ，令
L a = {x | x ∈L 且x ≤a} , M a ={x | x ∈L 且a ≤x}
那么< L a ，∨,∧> ,
定理 12.9设< L ，∨,∧> , < L ’，∨’,∧’>为两个格，f 为L 到L ’的同态，那么对任意a,b ∈L ，a ≤b 蕴涵f(a) ≤’f(b) 。即同态是保序的。
注意，本定理的逆不成立。
但是，对于同构映射我们却有以下定理
定理12.10 设< S , ≤>,< S ’, ≤’>均为格，f 为S 到S ’的双射，那么 f 为 S 到 S ’的同构映射，当且仅当对任意a,b ∈ S ，
a ≤
b ⇔ f （a ）≤’f （b ） （12－1）
定义12.4 称格< L ，∨,∧>为分配格（distributive lattice ）。如果它满足分配津，即对任意a,b,c ∈ L ，
a ∧（
b ∨
c ）=（a ∧b ）∨（a ∧c ） （12－2）
a ∨（
b ∧
c ）=（a ∨b ）∧（a ∨c ） （12－3） 定理12.11在格中式（12－2）等价于式（12－3）。
有的格虽不能满足分配律。但它们可以有条件地满足分配律，这就是模格.
定义12.5 称格< L ，∨,∧>为模格（moduler lattice ）。如果对任意元素a,b,c ∈ L ，它满足：
a ≤c 蕴涵a ∨（
b ∧
c ）＝（a ∨b ）∧（a ∨c ）
或
a ≤c 蕴涵a ∨（
b ∧
c ）=（a ∨b ）∧c
定理12.12 设< L ，∨,∧>为分配格，那么对L 中任意元素a ，b ，c ，有
a ∧
b = a ∧
c 并且a ∨b = a ∨c 当且仅当b = c
定理12.13 格< L ，∨,∧>为模格的充分必要条件是：对L 中任意元素a,b,c ，若b ≤c ， a ∨b ＝a ∨c ，a ∧b = a ∧c ，则b = c 。
习题解答
练习12.1
1．对格L 中任意元素a ，b ，c ，d ，证明：
（1）a ≤b,a ≤c 当且仅当 a ≤b ∧c 。
（2）a ≤c,b ≤c 当且仅当a ∨b ≤c 。
（3）若a ≤b ≤c ,d ∧c ＝a ，则d ∧b ＝a 。
（4）若a ≤b ≤c ,d ∨a ＝c ，则d ∨b ＝c 。
（5）（a ∧b ）∨（a ∧c ）≤ a ∧（b ∨c ）。
（6）（（a ∧b ）∨（a ∧c ））∧（（a ∧b ）∨（b ∧c ））= a ∧b 。
（7）（a ∧b ）∨（c ∧d ）≤（a ∨c ）∧（b ∨d ）。