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第十八章 勾股定理 复习 定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。 1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt △ABC 中，设∠C =90°，∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ，则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ABC 中，∠B =90°，则a²+b²=c²。

2、勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。验证如下：

现有四块直角边长为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形纸板，请

从中取出若干块拼图，证明勾股定理。

证法1：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形

∴c ²＝4×12ab ＋(b −a)²

∴c ²＝a ²＋b ²

证法2：∵S 梯形＝2S 小三角形＋S 大三角形

∴12(a +b )2=2×12ab +12c²

∴a²+b²=c²

证法3：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形

∴(a +b )2=4×12ab +c²

∴a²+b²=c²

3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作

用有：

(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题；

(2)证明三角形中的某些线段的平方关系； ａ ａ ｂ ｂ

ｃ ｃ

(3)作长为无理数的线段.

注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式a²=c²−b²=(c+b)(c−b)或b²=c²−a²=

(c+a)(c−a)；若求斜边，则利用c²=a²+b²；若不能确定则分以上两种情况讨论。

4、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：

(1)确定最大边；

(2)算出最大边的平方，另两边的平方和；

(3)比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。

5、勾股数：

满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数。

探索神秘的勾股数组：若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc(k为正整数)也是勾股数，下列各组数都是常见勾股数：｛3k，4k，5k｝、｛5k，12k，13k｝、｛8k，15k，17k｝、｛7k，24k，25k｝、｛9k，40k，41k｝等．以下几个公式都可以产生勾股数：

①设n为正整数，且n＞1，令a=2n，b=n²−1，c=n²+1，则有a²+b²=c²；

②设n为正整数，令a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1，则有a²+b²=c²；

③设m、n为正整数，且m＞n，令a=m²−n²，b=2mn，c=m²+n²，则有a²+b²= c²；

④设m、n、k为正整数，且m＞n，令a=k(m2−n2)，b=2kmn，c=k(m²+n²)，则有a²+b²=c²．

6、互逆命题：

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题互为逆命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。

7、互逆定理：

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。

注意：每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.