小波变换

和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormalbasis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：

1.小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。这个和傅立叶级数有很大区别。后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。

2.围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。这个特性是得益于小波变换是二维变换。我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是，而小波级数是。

3.从信号算出展开系数a需要很方便。普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。

每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父

小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度

有关。

话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可积函数所组成的函数

空间。我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。

小波分析的实现有多种方法, 如可以通过使用MATLAB 中专门的小波分析工具箱(Wavelet Toolbox)中提供的小波分析功能函数来实现。该工具箱中有许多小波分析中通用的函数、小波函数、多尺度一维小波变换函数、二维小波变换函数、小波包算法以及在信号和图像的消噪与压缩、树操作应用函数等等,可以很便捷地对信号进行小波分析。尽管MATLAB 有强大的数值分析和计算能力, 但其界面开发能力较差, 并且数据的采集、网络通信等方面都比较繁琐。因此完全基于MATLAB 实现对实际工况中的故障信号的小波分析, 应用起来是很困难的

LabVIEW 中也有诸多工具箱, 在信号处理工具箱(SignalProcessing Toolset) 中也有专门

的小波与滤波组设计工具包(Wavelet and Filter Bank Design, WFBD), 通过利用滤波器的

分解、重构也能够实现小波变换的计算。虽然在LabVIEW中通过设计树状迭代的滤波器组可以实现小波变换的计算, 但是这种方法需要用户熟练掌握相关的知识, 更为重要的是, 这种方法需要大量的繁琐重复的性工作并且程序设计过程非常复杂、可

维护性也比较差。

正如前面所分析, MATLAB 附带的小波工具箱中包含了多种常用的小波及精度更高的小波包, 并且可以通过简洁、灵活的编程实现小波分析, 但MATLAB 的缺点是人机交互界面、数据采集功能较差, 而这方面又恰是LabVIEW 的长处, 如果能将这两者结合起来使用, 就

可以互相弥补各自的不足而发挥彼此的长处。LabVIEW 中所提供的与其他应用程序进行相互调用的方法, 使这种设想成为现实。

基于小波分解的检测方法

基于拉曼散射的分布式温度测量方法能够得到测量光纤温度场的分布"为了减少系统中

各种噪声对测量分辨率的影响,一般采用增加信号累加次数的方法来提高测量分辨率,这导致系统的温度测量周期加长,影响实际应用"如果在累加前选用合适的方法对信号去噪,改善

信号的信噪比,可减少累加次数,从而缩短温度测量周期f08)l"

小波的多分辨分析特性能将信号在不同尺度下进行多分辨率的分解,并将交织在一起的

各种不同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号,因而对信号具有按频带处理的能力因为噪声n()t是一个实的!方差为"2的平稳的高斯白噪声,其小波系数的平均功率与尺度成反比"并且它的离散细节信号的幅值随着小波变换级数的增长而不断减少"对于所有的尺度, 白噪声小波变换的离散细节信号系数的反差随着尺度的增加会有规律地减少"又因为小波变换是线性变换,所以降质信号的小波系数是信号的小波系数和噪声的小波系数的和;降质信

号的离散逼近部分和离散细节部分分别是信号变换后的离散逼近部分和离散细节部分与噪声变换后的离散逼近部分和离散细节部分的和"因此在消噪过程中,利用信号与白噪声在小波变换后,它们各自的小波系数的性质不同,可以消除或减弱噪声"小波分析运用在信号去噪处理,主要是针对信号经小波变换后在不同分辨率下呈现不同规律,在不同分辨率下设定不

同阂值门限,调整小波系数,达到去除噪声的目的"

设测量信号为:

其中,s（t）为原始信号,n(t)是一个实的，方差为σ2的平稳的高斯白噪声,服从N(0,σ2)，

如果信噪比很小,想直接从测量信号中把有用信号s（t）提取出来是相当困难的，通过小波变换,可以达到这样的目的。

对于一维测量信号f（t）,首先对其离散采样,可以得到N点离散信号f（n）,

N=O,1,2,,,N-1, 则其小波变换为:

即为小波系数，由于一般没有显示表达式, 而且利用上式计算是很

繁琐的,要借助于双尺度方程,得到小波变换的递归实现方法:

其中,h和g别是对应于尺度函数和小波函数的低通和高通滤波器,

为原始信号f(k),Sf(j,k)为尺度系数Wf(j.,k)为小波系数。相应地,小波变换重构公式为: