二次函数与菱形的专题
二次函数中的菱形存在性问题-含答案
二次函数中的菱形存在性问题
(1)求线段AB的长度；
(2)点P是第四象限内抛物线上的一动点，连接BC，点M
CP、MP求BPM
△面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿射线CA方向平移，使平移后的抛物线图象恰好与
点（点A在点D左侧），点E为直线CD上一点，过点E作
称轴于点F，G为平面内任意一点，当以C，E，F，G为顶点的四边形是菱形时，请直
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A 作AF AD ⊥交对称轴于点F ，在直线AF 下方对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作PQ y ∥轴交直线AF 于点Q ，过点P 作PE DF ^交于点E ，求大值及此时点P 的坐标；
(3)将原抛物线沿着x 轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点M 是新抛物线上一点，点N 是平面直角坐标系内一点，是否存在以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是以角线的菱形，若存在，求所有符合条件的点N 的坐标．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P 为直线BC 下方抛物线上的一动点，过P 作PE BC ⊥于点E ，过于点F ，交直线BC 于点G ，求PE PG ＋的最大值，以及此时点P 的坐标；
(3)将抛物线212
y x bx c =++沿射线CB 方向平移，平移后的图象经过点H
(1)求A，B两点坐标；
∥交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接
(2)过点A作AD BC
BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移5
个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，
2
在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．。
二次函数与菱形的专题
二次函数与菱形1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在直线BD上是否存在一点P和平面一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC 边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF 交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN 为菱形时，求点N的坐标．7．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．8．如图，▱ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ是直角三角形？9．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由．10．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P 与点B重合时停止运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．15.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．16.如图，已知抛物线C1：y=﹣x2，平移抛物线y=x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C 的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．抛物线与菱形的专题参考答案1.解：（1）将B、C两点的坐标代入得解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3）；S=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ四边形ABPC=AB•OC+QP•OF+QP•BF==（10分）当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．（3）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴y=；（6分）∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）2.解：（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），设直线BD解析式为y=kx+s，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD解析式为y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，当△BCD∽△BNA时，则有=，即=，解得x=，此时N点坐标为（，0）；当△BCD∽△BAN时，则有=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标为（﹣4，0）；②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，当△BCD∽△ABN时，则有=，即=，解得y=4，此时N点坐标为（0，4）；当△BCD∽△ANB时，则有=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标为（0，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；（3）∵点P在直线BD上，∴可设P（t，t﹣2），∴BP==|t﹣2|，PC==，∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，∴有BC为边或BC为对角线，当BC为边时，则有BP=BC，即|t﹣2|=2，解得t=2+或t=2﹣，此时P点坐标为（2+，）或（2﹣，）；当BC为对角线时，则有BP=PC，即|t﹣2|=，解得t=3，此时P点坐标为（3，1）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+，）或（2﹣，）或（3，1）．3.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=；设一次函数的解析式为y=kx+b，把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；（2）C点坐标为（0，6），∵DE∥y轴，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC•DE，设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是抛物线上OA段上一点，∴0＜a＜3，∴a=，∴点E坐标为（，）；（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，∵OC=OB=6，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF为等腰直角三角形，∴HO=HF，设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四边形OCMF不为菱形．4.解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2，3）又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上∴，解得：．∴设抛物线的解析式为．（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴，若S△ADP=S△ADC，∵，，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，1），∴OC=1，∴，即或，解得：．∴点P的坐标为．（3）结论：存在．∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1．∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=，∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．5.解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a≠0），∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a （x+1）2+4可求得a=﹣1∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．（2）由题意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC．∴==2，∴PE=DP=t．∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4．∴点G的纵坐标为﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t．如图1所示：连接BG．S=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQ•AF+EG•（AF+DF）四边形BDGQ=t（2﹣t）﹣t2+t．=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2．（3）存在．∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2．∴cos∠BDC=．∵BQ=DP=t，∴DE=t．如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=2﹣t，解得t=20﹣8．∴菱形BQEH的周长=80﹣32．如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．∵MB=cos∠QBM•BQ，∴MB=t．∴BE=t．∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=．∴菱形BQEH的周长为．综上所述，菱形BQEH的周长为或80﹣32．6.解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DR•cos45°=﹣t2+t．（3）如图3中，∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K．∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH==13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH===4k，∴QN=QH=2k，∵S△DNH=•NH•DQ=•DN•HK，∴DQ=3，∴tan∠QDH==，∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴=，解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，∴QN=1，∴N（1，）．7.解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0）．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P（，）．（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．∴点M的坐标为（﹣，）．当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．8.解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5．∴tan∠ACB==，∴．由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．∴，OB=OC=4，AD=BC=8．∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．∴解之得，∴抛物线的解析式为y=x2+x+5；（2）存在．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC=AB=CD．又∵AD≠CD，∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE．由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=x2+x+5上．∴存在点E的坐标为（4，6）；（3）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°．∵，∴．由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5．当∠APQ=90°时，，∴，解得．当∠AQP=90°时，，∴，解得．∵，∴或．9.解：（1）由抛物线的解析式知：A（0，1）；∵BC⊥x轴，且点C（﹣3，0）∴点B的横坐标为﹣3，将其代入抛物线的解析式中，得：﹣×9+×3+1=∴点B（﹣3，）；设直线AB的解析式为：y=kx+1，有：﹣3k+1=，k=﹣∴直线AB：y=﹣x+1．（2）由题意，OE=t，则点E（﹣t，0）；（0≤t≤3）当x=﹣t时，点F（﹣t，t+1），点G（﹣t，﹣t2+t+1）∴GF=|（﹣t2+t+1）﹣（t+1）|=﹣t2+t即：s=﹣t2+t（0≤t≤3）．（3）因为BC⊥x轴，GE⊥x轴，所以BC∥GF；若四边形BCFG是平行四边形，那么BC=FG，即：s=﹣t2+t=，解得：t=1或2．当t=1时，点F（﹣1，），CF==，即CF=BC，该平行四边形是菱形；当t=2时，点F（﹣2，2），CF==，即CF≠BC，该平行四边形不是菱形；综上，当t=1或2时，四边形BCFG是平行四边形，其中t=1时，该平行四边形是菱形．10.解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+1；（2）BF=BC．理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，∴BF=x2+1，∵BC⊥x轴，∴BC=x2+1，∴BF=BC；（3）如图1，m为自然数，当m=0时，易得四边形BCPF为正方形，此时P点在原点；当点P在F点上方，∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，∴CB=CF=PF，而CB=FB，∴BC=CF=BF，∴△BCF为等边三角形，∴∠BCF=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OCF中，CF=2OF=4，∴PF=CF=4，∴P（0，6），∴自然数m的值为0或6；（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，解方程组得或，则B（2+2，4+2），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=•（2+2）•EQ=（+1）（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2+2+2当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=；（3）存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，），同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴，解得：．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），∴BC==4．设直线BC的解析式为y=kx+4，∵点B的坐标为（4，0），∴0=4k+4，解得k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．当t=1时，CP=，点A（﹣1，0）到直线BC的距离h===，S△ACP=CP•h=××=．（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，∴CP=t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，∴PC=P′C，PF=P′F，当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．∴t=﹣t2+4t，解得：t1=0（舍去），t2=4﹣．故当t=4﹣时，四边形PFP′C是菱形．13.解：（1）把点A（﹣4，0）、B（﹣1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3．（2）①如答图2﹣1，过点D作DH⊥x轴于点H．∵S▱ODAE=6，OA=4，∴S△AOD=OA•DH=3，∴DH=．因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，∴x2+x+3=﹣，解得：x1=﹣2，x2=﹣3．∴点D坐标为（﹣2，﹣）或（﹣3，﹣）．当点D为（﹣2，﹣）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为（﹣3，﹣）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．②假设存在．如答图2﹣2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=：2．设D（m，m2+m+3）（m＜0），则F（m，m+3）．∴CN=﹣m，NF=﹣m∴CF==﹣m．∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，∴△DMF∽△CNF，∴，∴DF=CF=﹣m．∴DN=NF+DF=﹣m﹣m=﹣m．又DN=3﹣（m2+m+3）=﹣m2﹣m，∴﹣m2﹣m=﹣m解得：m=﹣或m=0（舍去）∴m2+m+3=﹣∴D（﹣，﹣）．综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（﹣，﹣）．14.解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）∴S=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．四边形ABCD从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：①当直线l边AD相交与点M1时，则S=×10=3，∴×3×（﹣y）=3∴y=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．15.解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）．设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=，（2）如图1物线y=的对称轴为：x=，由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长最小时的点G，设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．，解得：，所以：y=x+2，当x=时，y=，所以此时点G（，）；（3）如图2使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），证明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M，由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此时点Q的坐标为：（，）；（4）存在点N的坐标为：（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（，2）．16.解：（1）由题意设D（a，﹣a2），假设抛物线C2的解析式为：y=（x﹣a）2﹣a2，∵点C在抛物线C2上，∴将C（0，2）代入上式，解得：a=±2，∵点D在y轴右侧，∴a=2，∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2；（2）由题意，在y=（x﹣2）2﹣2中，令y=0，则x=2±，∵点B在点A的右侧，∴A（2﹣，0），B（2+，0），又∵过点A，B，C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，∴设E（2，m），且|CE|=|AE|，则22+（2﹣m）2=m2+（2﹣2+）2，解得：m=，∴圆心E的坐标为：（2，）；（3）假设存在点F（t，），使得四边形CEBF为菱形，则|BF|=|CF|=|CE|，∴（）2+（2+﹣t）2=（2﹣）2+t2，解得：t=，当t=时，F（2，），此时|EC|=，|FC|===，∴|CF|=|BF|=|BE|=|EC|，即存在点F（，），使得四边形CEBF为菱形．17.解：（1）直线解析式y=x﹣4，令x=0，得y=﹣4；令y=0，得x=4．∴A（4，0）、B（0，﹣4）．∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得，∴抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣4．令y=x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3或x=4，∴C（﹣3，0）．（2）∠MBA+∠CBO=45°，设M（x，y），①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示．∵∠ABO=45°，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E=x，OE=﹣y，∴BE=4+y．∵tan∠M1BE=tan∠BCO=，∴，∴直线BM1的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4，得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=，∴y1=﹣4，y2=﹣，∴M1（，﹣）；②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M2作M2E⊥y轴于点E，则M2E=x，OE=y，∴BE=4+y．∵tan∠M2BE=tan∠CBO=，∴，∴直线BM2的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=5，∴y1=﹣4，y2=，∴M2（5，）．综上所述，满足条件的点M的坐标为：（，﹣）或（5，）．（3）设∠BCO=θ，则tanθ=，sinθ=，cosθ=．假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．①若以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ=t，菱形边长=t．∴CE=CQ=（5﹣t）．在Rt△PCE中，cosθ===，解得t=．∴CQ=5﹣t=．过点Q作QF⊥x轴于点F，则QF=CQ•sinθ=，CF=CQ•cosθ=，∴OF=3﹣CF=．∴Q（﹣，﹣）．∵点D1与点Q横坐标相差t个单位，∴D1（﹣，﹣）；②若以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ=t，菱形边长=t．∵BQ=CQ=t，∴t=，点Q为BC中点，∴Q（﹣，﹣2）．∵点D2与点Q横坐标相差t个单位，∴D2（1，﹣2）；③若以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ=t，菱形边长=5﹣t．在Rt△CEQ中，cosθ===，解得t=．∴OE=3﹣CE=3﹣t=，D3E=QE=CQ•sinθ=（5﹣）×=．∴D3（﹣，）．综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．。
二次函数中的梯形、菱形存在性问题 学生版
二次函数中的梯形、菱形存在性问题学生版二次函数在数学中起着重要的作用。
学生在研究二次函数时，常常会遇到与梯形和菱形相关的问题。
本文将讨论二次函数中梯形和菱形的存在性问题。
梯形的存在性问题一个梯形是由两个平行线段和连接它们的两个非平行线段组成的四边形。
在二次函数中，存在一个梯形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个梯形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足梯形的定义。
在解决梯形的存在性问题时，我们可以利用二次函数的性质。
首先，如果一个函数的二次项系数为正，则函数图像是开口向上的抛物线。
这意味着我们可以通过选择x坐标值，使得对应的y坐标值形成一个梯形。
然而，如果二次项系数为负，则函数图像是开口向下的抛物线。
在这种情况下，我们无法找到一组值构成一个梯形。
菱形的存在性问题一个菱形是一个具有四个相等边长且相邻两边互相垂直的四边形。
在二次函数中，存在一个菱形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个菱形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足菱形的定义。
解决菱形的存在性问题与解决梯形的问题类似。
如果二次函数图像是对称的，即以y轴或x轴为对称轴，则可以找到一组值构成一个菱形。
这是因为对称性保证了相邻两边互相垂直，并且相等边长可以通过选择x或y坐标值来实现。
总的来说，在二次函数中，梯形和菱形的存在性问题取决于函数的性质。
通过了解二次函数的开口方向和对称性，我们可以判断是否存在满足梯形和菱形定义的点集。
二次函数中的梯形、菱形存在性问题 学生版
二次函数中的梯形、菱形存在性问题学生版引言二次函数是数学中一类重要的函数，在求解问题时经常被使用。
本文将讨论二次函数中的梯形和菱形存在性问题。
我们将探讨在何种情况下，二次函数图像可以形成梯形和菱形，以及梯形和菱形的特征和性质。
梯形的存在性问题在二次函数中，当函数图像呈现梯形形状时，我们需要考虑以下情况：1.当二次函数的二次项系数为正数时，函数图像可以形成正梯形。
正梯形的特点是上底和下底之间的差值逐渐增大。
2.当二次函数的二次项系数为负数时，函数图像可以形成倒梯形。
倒梯形的特点是上底和下底之间的差值逐渐减小。
3.当二次函数的二次项系数为零时，函数图像将退化为一条直线，无法形成梯形。
菱形的存在性问题在二次函数中，当函数图像呈现菱形形状时，我们需要考虑以下情况：1.当二次函数的一次项系数为零时，函数图像将变为一个完美的菱形。
菱形的特点是上底和下底之间的差值恒定。
2.当二次函数的一次项系数不为零时，函数图像将出现略微变形的菱形。
菱形的特点是上底和下底之间的差值会随着一次项系数的变化而变化。
结论在二次函数中，梯形和菱形的形成与二次项系数和一次项系数的取值有关。
通过了解二次函数的系数对函数图像形状的影响，我们可以更好地理解二次函数的性质和特点。
深入研究二次函数中梯形和菱形存在性问题，有助于学生对二次函数的图像有着更清晰的认识和理解。
以上是关于二次函数中的梯形、菱形存在性问题的学生版文档。
希望能够帮助学生们更好地理解和应用二次函数的图像特点。
专题 二次函数压轴训练题(四)---菱形、正方形存在性问题(原卷版)
（苏科版）九年级下册数学《第5章二次函数》专题二次函数压轴训练题（四）------菱形、正方形存在性问题★★★方法指引：◎菱形的存在性问题(常为含60”角的菱形)通常有两大类:1、已知三人定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两人定点确定线段为要探究的券形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:2、已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:3、计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解◎正方形存在性问题正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标.【典例1】（2022春•盱眙县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，作直线BC ，点P 是抛物线在第四象限上一个动点（点P 不与点B ，C 重合），连结PB ，PC ，以PB ，PC 为边作▱CPBD ，点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）当▱CPBD 有两个顶点在x 轴上时，点P 的坐标为 ；（3）当▱CPBD 是菱形时，求m的值．【变式1-1】如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，D 两点，与y 轴交于点C ，点B 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线上存在一点E ，使得S △EAB ＝S △CAD ，求点E 的坐标；（3）若平面直角坐标系内存在动点P ，抛物线上是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022秋•代县月考）如图，抛物线y =12x 2−32x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点E ，使OE ＝EC ，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点F 在直线l 上运动，点G 在平面内运动，若以点B ，C ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，且BC 为边，直接写出点F 的坐标．【变式1-3】（2022•抚顺县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-5】（2023•鹤山市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y=23x﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n=163，求k的值；（3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-6】（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且OA＝1，OC＝4．（1）求抛物线解析式；（2）在该抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点Q（5，3）和该抛物线上一动点M，试求当|QM﹣AM|的值最大时点M的坐标，并直接写出|QM﹣AM|的最大值．【变式1-8】如图，已知抛物线y=16x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值；（3）如图2，将抛物线向右平移6个单位，向上平移2个单位，得到新的抛物线y'，新抛物线y'的顶点为D，是否在新抛物线y'的对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-10】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），连接DB、DC，作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【典例2】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C 在x轴的下方，且OA＝OC＝5．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．【变式2-1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2nx﹣3n2（n＞0）与x轴交于A、B，与y轴交于点C．（1）求A、B及顶点的坐标（用含n的代数式表示）；（2）如图所示，当AB＝4时，D为（4，﹣1），在抛物线上是否存在点P使得以线段PD为直径的圆经过坐标原点O若点P存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；已知E在x轴上，F在抛物线上，G为平面内一点，若以B、E、F，G为顶点的四边形是正方形，请直接写出E点所有可能的坐标．【变2-2】（2022秋•越城区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．【变2-3】（2023春•龙华区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，点P为直线BC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求△PBC的面积；（3）若点P的坐标为（2，3），连接PA，交直线BC于点E，交y轴于点F，点H在抛物线上，过H 作HK∥y轴，交直线AP于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．【变式2-4】如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得点Q在x轴上，点M在坐标平面内，四边形CQPM是正方形，若存在求点P的横坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD上有一点P，使得PE＝PC时，过P作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．【变式2-6】如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，﹣3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标；（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，点R是坐标平面内一点，当以点C、M、N、R为顶点的四边形为正方形时，请直接写出此时点R的坐标．【变式2-7】（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．。
二次函数压轴题之菱形存在性问题
菱形存在性问题作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．1．看个例子：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）．（1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） ()()()()222215*********m p q m m ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：398985m p q ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） ()()()()2222151041514504m p qm ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：223m p q =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或843m p q =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ （3）当AD 为对角线时，由题意得：()()()()2222151401514110p mq m ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：153m p q ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩153m p q ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为()1+，对应D点坐标为()5+；C点坐标为()1-，对应D点坐标为()5-．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．（3）AC=BC时，C点坐标为39,08⎛⎫⎪⎝⎭，D点坐标为9,58⎛⎫⎪⎝⎭．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．【两定两动：坐标轴+平面】（2019·齐齐哈尔中考删减）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，OA =2，OC =6，连接AC 和BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图【分析】（1）抛物线：26y x x=--；（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：①当CA=CM时，即CM=CA=M点坐标为(0,6--、(0,6-+，对应N点坐标为(2,--、(-．②当AC=AM时，即AM=AC=M点坐标为（0，6），对应N点坐标为（2，0）．③当MA=MC时，勾股定理可求得M点坐标为8 0,3⎛⎫-⎪⎝⎭，对应N点坐标为10 2,3⎛⎫--⎪⎝⎭．综上，N点坐标为(2,--、(-、（2，0）、102,3⎛⎫--⎪⎝⎭．如下图依次从左到右．【两定两动：对称轴+平面】（2019·辽阳中考）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的边BC 在x 轴上，∠ABC =90°，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点C （3，0），交y 轴于点E （0，3），动点P 在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点P ，M ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++；（2）先考虑P 点位置，由P 、E 、C 三点构成的三角形是等腰三角形．①当EC =EP 时，由EC =，得EP =P 在对称轴x =1上， 勾股定理解得P点坐标为(、(1,3（舍）， 根据点的平移推得M点坐标为(． ②当CE =CP 时，即CP =CE=P点坐标为(、(1,（舍）， 根据点的平移推得M点坐标为(2,3-． ③当PE =PC 时， 设P 点坐标为（1，m ），解得：m =1，故P 点坐标为（1，1）， 对应的点M 坐标为（2，2）．综上所述，M 点坐标为(、(2,3-、（2，2）．【两定两动：斜线+平面】 （2018·齐齐哈尔）综合与探究如图1所示，直线y =x +c 与x 轴交于点A （-4,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，C ．（1）求抛物线的解析式（2）如图2所示，M 是线段OA 的上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P 、N ．若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图2【分析】（1）抛物线解析式：234y x x =--+； （2）设M 点坐标为（m ，0）（-4<m <0），则N 点坐标为()2,34m m m --+，P 点坐标为（m ，m +4）， 若P 是MN 中点，则()23424m m m --+=+， 解得：11m =-，24m =-（舍） 故P （-1，3）、M （-1，0）考虑到F 点在直线AC 上，故可先确定F 点位置，再求得D 点坐标．当PM =PF 时，PF =3，可得11F ⎛-+ ⎝⎭、21F ⎛-- ⎝⎭， 对应D点坐标分别为11D ⎛-+ ⎝⎭、21D ⎛- ⎝⎭． 当MP =MF 时，MP =MF ，可得()34,0F -，对应D 点坐标为()34,3D -． 当FP =FM 时，FP =FM ，F 点在PM 垂直平分线上，可得453,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对应D 点坐标为413,22D ⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，D点坐标有11D ⎛-+ ⎝⎭、21D ⎛-- ⎝⎭、()34,3D -、413,22D ⎛⎫⎪⎝⎭．【两定两动：斜线+抛物线】（2018•衡阳）如图，已知直线24y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，抛物线过A 、B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D ． （1）若抛物线的解析式为2224y x x =-++，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N ．①求点M 、N 的坐标；②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由．【分析】（1）①M 点坐标为19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 点坐标为1,32⎛⎫⎪⎝⎭．②由题意可知MN ∥PD ，故四边形MNPD 若是菱形，首先MN =PD 考虑到M 、N 是定点，可先求得32MN =， 设(),24P m m -+，则()2,224D m m m -++， ()222242424PD m m m m m =-++--+=-+，令32PD =，即23242m m -+=， 解得：112m =，232m =． 故P 点坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 点坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭．但此时仅仅满足四边形MNPD 是平行四边形，本题要求的是菱形，故还需加邻边相等． 但此时P 、D 已定，因此接下来要做的只是验证邻边是否相等．由两点间距离公式得：32PN ==≠，PN ≠MN ，故不存在点P 使四边形MNPD 是菱形．【小结】为什么此题会不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M 、N 是定点，P 、D 虽为动点但仅仅是半动点，且P 、D 横坐标相同，故本题只需一个字母便可表示出4个点的坐标，对于菱形四个点满足：A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=若只有1个未知数或2个未知数，便出现方程个数＞未知量个数的情况，就有可能会无解． 方程个数<未知数个量，可能无法确定有限组解； 方程个数>未知数个量，可能会无解．特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有1个动点还是有2个动点，都是由其图形本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求可以有3个半动点或者1个全动点+1个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无解的情况．不难想象，对于正方形来说，可以有4个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正方形，只能在平面中再取另外两动点，即2个全动点，当然，也有可能是1全动+2半动，甚至是4个半动点．练习：如图，抛物线2y x bx c=++与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是94x=，点B的坐标为（4，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B、C、M、N构成的四边形是菱形，若存在，求出点N坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：2922y x x =-+；（2）本题是“两定两动”，但两个动点一个在x 轴上，一个在抛物线上，均为半动点，故只需两个字母即可表示，未知量个数少于方程个数，结果可能会无解．设M 点坐标为（m ，0），N 点坐标为29,22n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，又B （4，0）、C （0，2）．当CB 为对角线时，取对角线互相平分及MB =MC ，可得： ()()()()2222240902022400002m nn n m m ⎧+=+⎪⎪+=+-+⎨⎪⎪-+-=-+-⎩方程组无解，故这种情况不存在；当CM 为对角线时，取对角线互相平分及BC =BM ，可得： ()()()()22222049022024002400m n n n m ⎧+=+⎪⎪+=-++⎨⎪⎪-+-=-+-⎩方程组依然无解；这种情况也不存在；当CN 为对角线时，取对角线互相平分及CB =CM ，可得： ()()()()22222049220020420020n m n n m ⎧+=+⎪⎪+-+=+⎨⎪⎪-+-=-+-⎩方程组还是无解．综上，不存在这样的M 、N ．【小结】问题本身源于对动点位置的选取导致点坐标中未知量的个数与方程个数不一致，以致出现不存在的情况．【一定三动】讲真在翻了一些中考题，并没有看到类似的题型，举些数据编一个吧：如图，抛物线过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3），点C 关于抛物线对称轴的对称点为D 点，连接AD ．点P 在抛物线上，点M 在直线AD 上，点N 在抛物线对称轴上，四边形OPMN 能否为菱形，若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．【分析】抛物线解析式为：223y x x =-++，直线AD 解析式为y =x -1．设P 点坐标为()2,23p p p -++，M 点坐标为(),1m m -，N 点坐标为()1,n ， 考虑到在四边形OPMN 中，OM 为对角线，可得： ()()()()222220+1012310011m p m p p nn m n m ⎧=+⎪⎪+-=-+++⎨⎪-+-=-+-+⎪⎩显然这个计算很麻烦，经化简可得点P 满足32610p p --=，剩下的就不解了呵呵呵． 可能是数据不太凑巧，但显然，这样的问题并不像“两定两动”问题那样普遍易解，方法其实是同样的方法，因为就题目构造而言，其实“3个半动点”与“1全动+1半动”并无本质区别．了解题目的构造，当再去看一些题目的时候，是否一目了然？。
2020年中考数学压轴解答题08 二次函数与菱形存在型问题 (学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题08 二次函数与菱形存在型问题【典例分析】【例1】如图,已知抛物线23)0(y a bx a =++≠经过点()1,0A 和点()3,0B ,与y 轴交于点C .（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不点B ,C 重合）,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ,设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PD 的长；②连接PB ,PC ,求PBC ∆的面积最大时点P 的坐标；（3）设抛物线的对称轴与BC 交于点E ,点M 是抛物线的对称轴上一点,N 为y 轴上一点,是否存在这样的点M 和点N ,使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在,请直接写出点M 的坐标；如果不存在,请说明理由.【例2】如图,在平面直角坐标系内,抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于点A,C （点A 在点C 的左侧）,与y 轴交于点B,顶点为D ．点Q 为线段BC 的三等分点（靠近点C ）.（1）点M 为抛物线对称轴上一点,点E 为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限,当MQC △的周长最小时,求CME △面积的最大值；（2）在（1）的条件下,当CME △的面积最大时,过点E 作EN x ⊥轴,垂足为N,将线段CN 绕点C 顺时针旋转90°得到点N,再将点N 向上平移16个单位长度.得到点P,点G 在抛物线的对称轴上,请问在平面直角坐标系内是否存在一点H,使点D,P,G ,H 构成菱形.若存在,请直接写出点H 的坐标,若不存在,请说明理由.【例3】如图,直线4y x =-+交x 轴于点A ,交y 轴于点C ,抛物线212y x bx c =++经过点A ,交y 轴于点()0,2B -．点D 为抛物线上一动点,过点D 作x 轴的垂线,交直线AC 于点P ,设点D 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在直线AC 下方的抛物线上运动时,求线段PD 长度的最大值；（3）若点E 是平面内任意一点,是否存在点D ,使以B ,C ,P ,E 为顶点的四边形为菱形？若存在,请直接出m 的值；若不存在,请说明理由．【例4】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y 23233x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,点D 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线AC 交于点E ．（1）若点P 为直线AC 上方抛物线上的动点,连接PC,PE,当△PCE 的面积S △PCE 最大时,点P 关于抛物线对称轴的对称点为点Q,此时点T 从点Q 开始出发,沿适当的路径运动至y 轴上的点F 处,再沿适当的路径运动至x 轴上的点G 处,最后沿适当的路径运动至直线AC 上的点H 处,求满足条件的点P 的坐标及QF+FG+33AH的最小值．（2）将△BOC绕点B顺时针旋转120°,边BO所在直线与直线AC交于点M,将抛物线沿射线CA方向平移233个单位后,顶点D的对应点为D′,点R在y轴上,点N在坐标平面内,当以点D′,R,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出N点坐标．【例5】二次函数y＝﹣54x2+bx+c的图象与直线y＝﹣12x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为C(﹣3,0).(1)填空：b＝_____,c＝_____.(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值；(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.【例6】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣12x2﹣72x﹣3交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧）,交y轴于点C（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点（不与点A,点C重合）,过点P作PD⊥x轴交AC于点D,求PD的最大值；（3）将△BOC沿直线BC平移,点B平移后的对应点为点B′,点O平移后的对应点为点O′,点C平移后的对应点为点C′,点S是坐标平面内一点,若以A,C,O′,S为顶点的四边形是菱形,求出所有符合条件的点S的坐标．【变式训练】1．如图,直线y=12x+2与y轴交于点A,与直线y=﹣12x交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣12x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是（）A．﹣2≤h≤12B．﹣2≤h≤1C．﹣1≤h≤32D．﹣1≤h≤122．如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1：y1＝12（x+3）2﹣92,将抛物线C1 向右平移3个单位、再向上平移4.5个单位得抛物线C2,则图中阴影部分的面积为________．3．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________4．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（3,0）,顶点B 在y 轴正半轴上,顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y=-x 2-5x+c 经过点B 、C,则菱形ABCD 的面积为_______．5．二次函数y =23x 2的图象如图所示,点O 为坐标原点,点A 在y 轴的正半轴上,点B 、C 在函数图象上,四边形OBAC 为菱形,且∠OBA =120°,则点C 的坐标为______．6．如图,菱形OABC 的顶点O 、A 、C 在抛物线213y x 上,其中点O 为坐标原点,对角线OB 在y 轴上,且OB =2．则菱形OABC 的面积是_______．7.如图,已知二次函数y=ax 2+2x+c 的图象经过点C （0,3）,与x 轴分别交于点A,点B （3,0）．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax 2+2x+c 的表达式；（2）连接PO,PC,并把△POC 沿y 轴翻折,得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形,请求出此时点P 的坐标；（3）当点P 运动到什么位置时,四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．8.如图1,抛物线1C ：22y ax bx =+-与直线l ：1122y x =--交于x 轴上的一点A ,和另一点()3,B n()1求抛物线1C 的解析式；()2点P 是抛物线1C 上的一个动点(点P 在A ,B 两点之间,但不包括A ,B 两点)PM AB ⊥于点M ,//PN y 轴交AB 于点N ,求MN 的最大值；()3如图2,将抛物线1C 绕顶点旋转180︒后,再作适当平移得到抛物线2C ,已知抛物线2C 的顶点E 在第一象限的抛物线1C 上,且抛持线2C 与抛物线1C 交于点D ,过点D 作//DF x 轴交抛物线2C 于点F ,过点E 作//EG x 轴交抛物线1C 于点G ,是否存在这样的抛物线2C ,使得四边形DFEG 为菱形？若存在,请求E 点的横坐标；若不存在,请说明理由．9．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣235333x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出△ABC 的周长．（2）在直线BC 上方有一点Q ,连接QC 、QB ,当△QBC 面积最大时,一动点P 从Q 出发,沿适当路径到达y 轴上的M 点,再沿与对称轴垂直的方向到达对称轴上的N 点,连接BN ,求QM +MN +BN 的最小值．（3）在直线BC 上找点G ,K 是平面内一点,在平面内是否存在点G ,使以O 、C 、G 、K 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出K 的坐标；若不存在,请说明理由．10．定义：对于抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数,a ≠0）,若b 2＝ac ,则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y ＝x 2﹣x +1是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式； （2）将黄金抛物线y ＝x 2﹣x +1沿对称轴向下平移3个单位 ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示,与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧）,与y 轴交于C ,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点,连结PO 、PC ,并把△POC 沿CO 翻折,得到四边形POP ′C ,那么是否存在点P ,使四边形POP ′C 为菱形？若存在,请求出此时点P 的坐标；若不存在,请说明理由．③当直线BC 下方的抛物线上动点P 运动到什么位置时,四边形 OBPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形OBPC 的最大面积．11．如图,抛物线与y 轴交于A 点,过点A 的直线与抛物线交于另一点B ,过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C (3,0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动,过点P 作PN ⊥x 轴,交直线AB 于点M ,交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒,MN 的长度为s 个单位,求s 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ,点C 重合的情况）,连接CM ,BN ,当t 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值,平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由12．如图,已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A,B,AB=2,与y 轴交于点C,对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为．13.如图1,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1,0）、B（4,0）两点,与y轴交于点C,且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PF⊥BC于点F,试问△PDF的周长是否有最大值？如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由．（3）当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形？如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由．14.如图,二次函数y＝﹣16x2+32x+6与x轴相交A,B两点,与y轴相交于点C．（1）若点E为线段BC上一动点,过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P,垂足为F,当PE﹣2EF取得最大值时,在抛物线y的对称轴上找点M,在x轴上找点N,使得PM+MN+22NB的和最小,若存在,求出该最小值及点N的坐标；若不存在,请说明理由．（2）在（1）的条件下,若点P′为点P关于x轴的对称点,将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′,当y′经过点A时停止平移,将△BCN沿CN边翻折,点B的对应点为点B′,B′C与x轴交于点K,若抛物线y′的对称轴上有点R,在平画内有点S,是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形,若存在,直接写出点S的坐标；若不存在,请说明理由．15.在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣23984x x+6与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ．（1）如图1,点P 为直线BC 上方抛物线上一动点,过点P 作PH ∥y 轴,交直线BC 于点H,过点P 作PQ ⊥BC于点Q,当PQ ﹣12PH 最大时,点C 关于x 轴的对称点为点D,点M 为直线BC 上一动点,点N 为y 轴上一动点,连接PM 、MN,求PM+MN+45ND 的最小值；（2）如图2,连接AC,将△OAC 绕着点O 顺时针旋转,记旋转过程中的△OAC 为△OA'C',点A 的对应点为点A',点C 的对应点为点C'．当点A'刚好落在线段AC 上时,将△OA'C'沿着直线BC 平移,在平移过程中,直线OC'与抛物线对称轴交于点E,与x 轴交于点F,设点R 是平面内任意一点,是否存在点R,使得以B 、E 、F 、R 为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出点R 的坐标；若不存在,请说明理由．16．已知菱形OABC 的边长为5,且tan ∠AOC ＝43,点E 是线段BC 的中点,过点A 、E 的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与边AB 交于点D ．压轴解答题·直面高考精品资源·战胜高考（1）求点A 和点E 的坐标；（2）连结DE ,将△BDE 沿着DE 翻折．①当点B 的对应点B '恰好落在线段AC 上时,求点D 的坐标；②连接OB 、BB ',请直接写出此时该抛物线二次项系数a ＝．17.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点A (－3,4)、B (－3,0)、C (－1,0) .以D 为顶点的抛物线y = ax 2+bx +c 过点B . 动点P 从点D 出发,沿DC 边向点C 运动,同时动点Q 从点B 出发,沿BA 边向点A 运动,点P 、Q 运动的速度均为每秒1个单位,运动的时间为t 秒. 过点P 作PE ⊥CD 交BD 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ,交抛物线于点G .（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时,四边形BDGQ 的面积最大？最大值为多少？（3）动点P 、Q 运动过程中,在矩形ABCD 内（包括其边界）是否存在点H ,使以B ,Q ,E ,H 为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出此时菱形的周长；若不存在,请说明理由.。
部编数学九年级上册专题15二次函数中的矩形、菱形(解析版)含答案
专题15 二次函数中的矩形、菱形类型一 二次函数中的矩形1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L ：y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A （﹣3，0），顶点B 的横坐标为﹣1(1)求抛物线L 的函数表达式；(2)点P 为坐标轴上一点将抛物线L 绕点P 旋转180后得到抛物线L ′，且A 、B 的对应点分别为C 、D ，当以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P 坐标．【答案】(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3(2)P 点坐标为（2，0）或（0，1）【解析】【分析】（1）把顶点B 的横坐标﹣1代入对称轴方程2b x a=-，可解得b 得值；将b ，A （﹣3，0）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c 可得c 的值，继而可得到抛物线L 的函数表达式；（2）由抛物线L 与L ′关于坐标轴上一点P 对称，且四边形ABCD 为矩形，可得P 为矩形ABCD 对角线的交点，PA ＝PC ＝PB ＝PD ；因为P 在坐标轴上，所以本题需分两种情况进行分析①当P 在x 轴上时，设点P 坐标为（x ，0）②当P 在y 轴上时，设点P 坐标为（0，y ），然后根据矩形的性质可求解．(1)解：∵顶点B 横坐标为﹣1，∴12(1)b -=-´-解得b ＝﹣2；将A （﹣3，0）代入，得0＝﹣9+6+c ；解得c ＝3；∴抛物线L 的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．(2)解：由（1）可求出B 的坐标为（﹣1，4）；∵抛物线L 与L ′关于坐标轴上一点P 对称，且四边形ABCD 为矩形；∴P 为矩形ABCD 对角线的交点；∴PA ＝PC ＝PB ＝PD ；①当P 在x 轴上时：设点P 坐标为（x ，0）；∴PB 2＝（x +1）2+42＝PA 2＝（x +3）2；解得x ＝2，∴P （2，0）．②当P 在y 轴上时：设点P 坐标为（0，y ）；∴PB 2＝（﹣1）2+（4﹣y ）2＝PA 2＝（﹣3）2+y 2；解得y ＝1；∴P （0，1）．即综上所述，P 点坐标为（2，0）或（0，1）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及矩形的性质是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与坐标轴交于()0,2A -，()4,0B 两点，直线:28BC y x =-+交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为G ，DG 分别交直线BC ，AB 于点E ，F ．(1)求b 和c 的值；(2)H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标．(1)∵抛物线y = -x 2 + bx + c 过A (0，-2)，B (4， 0)两点，∴2{8+40c b c =-+= ，解得322b c ì=-ïíï=-î，∴213222y x x =--故答案为：b =3-2，c =-2(2)①如图1中，过点H 作HM ⊥EF 于M，∵四边形BEHF是矩形，∴EH//BF，EH= BF，∴∠HEF=∠BFE，∵∠EMH=∠FGB= 90°∴△EMH≌△FGB (AAS)，∴MH=GB，EM=FG，∴HM=OG，OB=2，∴OG= GB=12∵A(0，-2)，B(4，0)，x- 2，∴直线AB的解析式为y= 12a-2)，设E(a，-2a+8)，F(a，12由MH = BG得到，a-0=4-a，∴a= 2，∴E(2，4)，F(2，-1)，∴FG= 1，∵EM= FG，∴4-H y= 1，∴yH =3，∴H (0， 3)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 坐标()3,0，抛物线与y 轴交于点()0,3C -，点D 为抛物线顶点，对称轴1x =与x 轴交于点E ，连接BC 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q 是抛物线上一动点，点M 是平面上一点，若以点B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q 的横坐标．(1)解：由题意得：123930b x a c a b c ì=-=ïï=-íï++=ïî，解得123a b c =ìï=-íï=-î，故抛物线的表达式为223y x x =---①；(2)解：设点Q 的坐标为(),m n ，223n m m =---③，点M 的坐标为(),s t ，①当BC是边时，点C 向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B ，同样()Q M 向右平移3个单位向上平移3个单位得到点()M Q ，且()BQ CM BM CQ ==，222233(3)(3)m s n t m n s t +=ìï\+=íï-+=++î④或222233(3)(3)m s n t s t m n -=ìï-=íï-+=++î⑤，联立①④并解得0(m =舍去)或1；联立①⑤并解得3(m =舍去)或2-，故1m =或2-；②当BC 是对角线时，由中点公式和BC QM =得：()()()()222211302211032233()()m s n t m s t n ì+=+ïïï-=+íï+=-+-ïïî⑥，联立①⑥并解得m =综上，点Q 的横坐标为1m =或2-．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．抛物线223y x x =-++与x 轴交于另一点A ，B 两点．与y 轴交于C ，D 为抛物线的顶点．(1)求A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点M 是y 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，当以A ，D ，M ，Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q 的坐标．(1)令0y =，则2230x x -++=，3x \=或1x =-，()1,0A \-，()3,0B ，令0x =，则3y =，()0,3C \，2223(1)4y x x x =-++=--+Q ，\顶点()1,4D ；(2)(3)设()0,M m ，(),Q x y ，①当AD 、MQ 为矩形的对角线时，114x m y-+=ìí=+î，0x \=，4y m =-，AD MQ =Q ，y m \=-，2y \=或2y =-，()0,2Q \或()0,2Q -；②当AM 、DQ 为矩形的对角线时，10104x m y -+=+ìí+=+î，2x \=-，4y m =-，AM DQ =Q ，2219(4)m y \+=+-，12y \=，12,2Q æö\-ç÷èø；③当AQ 、DM 为矩形的对角线时，1104x y m -+=+ìí=+î，2x \=，4y m =+，AQ DM =Q ，2291(4)y m \+=+-，72y \=，72,2Q æö\ç÷èø；综上所述：点Q 的坐标为()0,2或()0,2-或12,2æö-ç÷èø或72,.2æöç÷èø【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．5．综合与探究如图，抛物线249y x bx c =-++与y 轴交于点()0,8A ，与x 轴交于点()6,0B ，C ，过点A 作AD x ∥轴与抛物线交于另一点D ．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 是y 轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)将()0,8A ，()6,0B 代入抛物线249y x bx c =-++，得43660,98.b c c ì-´++=ïíï=î 解得438b c ì=ïíï=î ∴抛物线的表达式为244893y x x =-++；(2)存在，点N 的坐标为(3,98-或()233,4-.理由如下：如图2，过点B 作x 轴的垂线交AD 的延长线于点E ，则AE EB ^，当8y =时，2448893x x -++=，解得0x =或3.∴点D 的坐标为()3,8.∴3,3AD DE ==.①如图2，当DM 为矩形的边时，过点N 作NK x ^轴，交x 轴于点K .∵90,90,90MAD DEB ADM BDE AMD ADM Ð=Ð=°Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴BDE AMD Ð=Ð.∴ADM EBD:△△∴AM AD ED EB =，即338AM = ∴98AM=同理，可求得EBD KBN :△△.∴ADM KBN:△△∴90,MAD NKB ADM KBN Ð=Ð=°Ð=Ð，又∵MD NB =，∴ADM KBN @△△.∴3AD KB ==.∴633OK =-=. ∴98KN AM == ∴8(3,)9N -；②如图2，当DM ¢为矩形的对角线时，过点N ¢作N K x ¢¢^轴交DA 的延长线于点K ¢同理可得M BO DBE ¢~△△ ∴OM OB ED EB ¢=∴638OM ¢= ∴94OM ¢=. ∵DN BM ¢¢=，∴易得DN K BM O¢¢@¢△△∴94N K M O ¢¢¢==，6K D OB ¢==∴3AK ¢=，点N ¢的纵坐923844OA N K ¢¢=-=-= ∴233,4(N -，③以BD 为对角线这种情况不存在.综上所述，存在点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形，点N 的坐标为(3,)98-或(233,4-.【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =++(0a ≠)与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，OA =1，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P 的坐标．(1)解：Q 抛物线2()20y ax x c a =++≠的对称轴为222x a=-=，12a \=-，2122y x x c \=-++，1OA =Q ，且点A 在x 轴负半轴上，(1,0)A \-，将点(1,0)A -代入2122y x x c =-++得：1202c --+=，解得52c =，∴抛物线的解析式为：215222y x x =-++；(2)设点P 的坐标为(2,)P m ，由题意，分以下三种情况：①当BC 为矩形BCPQ 的边时，则CP BC ^，设直线CP 的解析式为2y x n =+，将点5(0,2C 代入得：52n =，则直线CP 的解析式为522y x =+，将点(2,)P m 代入得：5132222m =´+=，即13(2,)2P ；②当BC 为矩形BCQP 的边时，则BP BC ^，设直线BP 的解析式为2y x n =+，将点()5,0B 代入得：10n =-，则直线BP 的解析式为210y x =-，将点(2,)P m 代入得：22106m =´-=-，即(2,6)P -；③当BC 为矩形BPCQ 的对角线时，则BP CP ^，222CP BP BC \+=，即22222255(20)((25)(0)(50)(0)22m m -+-+-+-=-+-，解得4m =或32m =-，()24P \，或3(2,)2P -；综上分析可知，点P 的坐标为(2，132)或(2，6)或(2，4)或(2，32-)．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），分三种情况讨论是解题关键．类型二 二次函数中的菱形7．如图，二次函数2y ax 2x c =++（0a ≠）的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点A ，点()3,0B ．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，点P 关于y 轴的对称点记作点P ¢，当四边形POP C ¢为菱形时，求点P 的坐标；(1)解：Q 二次函数2y ax 2x c =++（0a ≠）的图象经过点()0,3C ，与x 轴点()3,0B ．3960c a c =ì\í++=î，解得：13a c =-ìí=î 所以抛物线的解析式为22 3.y x x =-++(2)解：如图，四边形POP C ¢为菱形，,,,CO PP CK OK PK P K \^=¢=¢()0,3,C Q3,2OK CK \==3,2P P y y ¢\== 2323,2x x \-++=解得：x = Q 点P BC0,x \＞ 即x =3.2P ö\÷÷ø8．如图，已知直线y kx b =+与抛物线212y x mx n =-++交于点P (a ，4)，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点 C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC =BC ，若抛物线的对称轴为112x =，且S △PBC =8．(1)求直线和抛物线的函数解析式；(2)物线上是否存在点D ，使以B 、C 、P 、D 为顶点的四边形是为菱形?如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)21111022y x x =-+-(2)存在，点D 的坐标为（8，2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法，构建方程组即可解决问题；（2）首先证明CB ＝CP ，作CD ⊥PB ，则CD 平分PB ，当PB 平分CD 时，四边形BCPD 为菱形，此时点D 的坐标为（8，2），只要证明点D 在抛物线上即可；(1)解：∵PB ⊥x ，P （a ，4），S △PBC ＝8，∴ 182PB OB ´´=，PB ＝4，∴1482OB ´´=，∴OB ＝4，∴点P 的坐标为（4，4），∵AC ＝BC ，∴ △ABC 是等腰三角形∵ CO ⊥AB ，∴OA ＝OB ＝4，∴ 点A 的坐标是（﹣4，0），把点A 、P 的坐标代入y ＝kx +b 得：4440k b k b +=ìí-+=î，解得： 122k b ì=ïíï=î ，∴直线的解析式为122y x =+ ，∵212y x mx n =-++ 的对称轴为112x =，且经过点P （4，4），∴ 11122()2116442m m n ì-=ï´-ïíï-´++=ïî解得：11210m n ì=ïíï=-î∴抛物线的解析式为21111022y x x =-+-；(2)解：∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∵∠CAB +∠APB ＝∠CBA +∠CBP ＝90°，∴∠APB ＝∠CBP ，∴CB ＝CP ，作CD ⊥PB ，则CD 平分PB ，当PB 平分CD 时，四边形BCPD 为菱形，此时点D 的坐标为（8，2），把x ＝8代入21111022y x x =-+-，得21118810222y =-´+´-=，∴点D在抛物线上，∴在抛物线上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，2）．【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．9．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．(1)求抛物线解析式；(2)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由(1)解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴3093cb c=ìí=-++î，∴23bc=ìí=î，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；(2)解：把y ＝﹣x 2+2x +3化成顶点式为y ＝﹣（x -1）2+4；所以，顶点H 坐标为（1，4），∵A （3，0），∴AH ==①当四边形ANMH 为菱形时，AM 为对角线，如图，点M 与点C 重合，点N 与点H 关于x 轴对称，∴N 点坐标为（1，-4）；②当四边形AMNH 为菱形时，如图，∴HN ∥x 轴，HN ＝AH =∴N 点坐标为（1-4）或（1+4）；③当四边形AMHN 为菱形时，如图，设M 点坐标为（m ，0），∵AM =MH ，∴222(3)4(1)m m -=+-，解得，m =-2，MA =HN =5，∴N 点坐标为（6，4）；综上所述：点N 的坐标分别为：（6，4）或（1-4）或（1+4）或（1，-4）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)对于一次函数3y x =-+，令0y =，则3x =；令0x =，则3y =，∴B (3，0)，C (0，3)．∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，∴20333b c c ì=-++í=î，解得：23b c =ìí=î，∴该二次函数解析式为2y x 2x 3=-++；(2)根据题意可知D E C x x x m ===，∵点()0M m ，是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合，∴03m <<．∵点D 在二次函数图象上，点E 在一次函数图象上，∴223D m m y -++=，3E y m =-+，∴22323(3)D E m DE y y m m m m -++-+=-=-=-，CE ===；(3)由（2）可知23DE m m =-，CE =，∴222(3)DE m m =-，222CE m =．又可求出222222222()()(3)()232D C D C C m m D x x y m m m y m -++-=-+-=+-=+．∵以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，故可分类讨论①当CD =CE 时，即22CD CE =，∴22222()2m m m m =-+，解得：1213m m ==，（舍），30m =（舍），∴此时M (1，0)；②当CD =DE 时，即22CD DE =，∴22222()(32)m m m m m +=--，解得：1220m m ==，（舍），∴此时M (2，0)；③当CE =DE 时，即22CE DE =，∴2222(3)m m m =-，解得：1233m m ==，30m =（舍），∴此时M (3，0)．综上可知存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．【点睛】本题为二次函数综合题．考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定，菱形的性质等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．11．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，且2OA OB =，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线12x =，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE OA ^于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是抛物线对称轴上的一点，点G 是坐标平面内的一点，是否存在点P ，使得以点P ，B ，C ，G 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)设OB t =，则2OA t =，则点A 、B 的坐标分别为(20)t ，、(0)t -，，则11(2)22x t t ==-，解得：1t =，故点A 、B 的坐标分别为(20)，、(10)-，，则抛物线的表达式为：2(2)(1)2y a x x ax bx =-+=++，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：22y x x =-++；(2)如图，共有五个满足的P 点，BC ===由菱形的性质可知，当1BC PC =时，1122P æççè，即1122P æççè，当2BC BP =时，212P æççè，即212P æççè当33P B PC =时，设P 3到x 轴的距离为nn=12即31122P æöç÷èø，当4BC CP =时，4122P æççè即4122P æççè，-当5BC BP =时，512P æççè，即512P æççè-P 点坐标：11()22，或1(2或1(2或1(22或1(22，【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、菱形的性质，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键．12．综合与探究如图，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点P 是直线BC 上方抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为直线BC 上一点，N 为平面内一点，是否存在这样的点M 和点N 使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 坐标；若不存在，说明理由．(1)解：∵抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），∴309330a b a b -+=ìí++=î，解得12a b =-ìí=î ，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；(2)解：存在．理由如下：∵点M 在直线BC 上，直线BC 的解析式为3y x =-+，∴设M (x ，-x +3)，分三种情况：第一种情况，当CD 是菱形对角线时，则有菱形ANDM ，如图，∵菱形ADMN ，∴CM =DM ,∵C(0，3)，D(1，0)，∴x2+(-x+3-3)2=(x-1)2+(-x+3)2,解得：x=54，当x=54时，则y=-x+3=74，∴M（54，74）；第二种情况，当CM是菱形对角线时，则有菱形CDMN，如图，∵C(0，3)，D(1，0)，∴CD=∵菱形ADMN，∴DM=CD,∴(x-1)2+(-x+3)2=10，解得x1=4，x2=0（舍去），当x=4时，y=-x+3=-1，∴M(4，-1)；第三种情况，当DM是菱形对角线时，则有菱形CDNM，如图，∵菱形CDMN，∴CM=CD，∴x2+(-x+3-3)2=10，解得：x1x2∴y1y2∴M1M2综上，以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为(54，74)或(4，-1)或或．【点睛】本题考查二次函数与特殊三角形、特殊四边形的综合、一次函数的综合，涉及用待定系数法求函数解析式，最短距离问题，函数图象和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识，综合性较强，属中考试压轴题．13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线2y x bx c=++经过点B，()4,5D-两点，且与直线DC交于一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 为抛物线对称轴上一点，点Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(1)解：由点D 的纵坐标知，正方形ABCD 的边长为5，OA ＝4，∴541OB AB AO =-=-=，故点B 的坐标为()1,0，把B 、D 两点代入抛物线的解析式得则101645b c b c ++=ìí-+=î，解得23b c =ìí=-î，故抛物线的表达式为223y x x =+-；(2)解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线2121x =-=-´，故设点F 的坐标为()1,m -，由点B 、E 的坐标得，()()22222215026BE CE BC =+=-+-=，∵以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，当BE BF =时，()221126m éù--+=ëû解得1m =2m =如图2所示，当EB EF =时，则()()2226215m =++-，解得，35m =45m =如图3所示，故点F的坐标为(1,5-或(1,5-或(-或(1,-．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
二次函数和菱形存在性问题通用解法
我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，因此我在研究了近些年中考真题之后尝试性的总结一下菱形存在性问题的通用解法，以供大家参考.纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.一解题模型铺垫1：等腰三角形的构造方法点A和点B为平面内的两个定点，点C为水平直线上的一个动点，要使△ABC为等腰三角形，请利用尺规作图的方法作出点C的位置.图1是以AB为底边（AC和BC为腰），作出线段AB的垂直平分线交直线于点C1；图2是以AB为腰，以点A为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C2；图3是以AB为腰，以点B为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C3、C4；我们把上述作图方法简称为“两圆一中垂”.铺垫2：平行四边形顶点坐标公式根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC 和线段BD的中点。
①两定点确定的线段为边作菱形如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是直线l上一个动点，点D是平面内的一个动点.以AB为菱形的边，请作出符合题意的菱形.作图方法：由于点D是平面内的任意一个动点，意味着该点需要借助其它的点才能确定下来，因此，我们第一步先确定动点C的位置.要想使以AB为边的四边形是菱形，根据菱形的判定方法3我们可以确定△ABC是以AB为腰的等腰三角形，因此我们可以借助等腰三角形存在性知识，来确定点C的位置.确定方法具体如下：以点A为圆心，以AB长度为半径画圆，交直线l于点C1和C2.接下来需要确定点D的位置.以BC为对称轴作点A关于BC的对称点D，由于点C有两个点，确定下来的点D有两个.再以点B为圆心，BA长度为半径画圆，交直线l于点C3和C4，利用同样的方法作出点D3和D4.解题策略：第一步：确定点C的坐标设出点C坐标，利用两点间距离坐标公式，表示出AB、AC、BC 的长度.当AB=AC时，列出方程，求出点C的坐标；当BA=BC时，列出方程，求出点C的坐标.第二步：确定点D的坐标根据平行四边形顶点坐标公式可求出点D的坐标.②两定点确定的线段为对角线作菱形如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是抛物线上一个动点，点D是平面内的一个动点.点C关于AB的对称点为点D，请作出所有符合题意的图形.作图方法：第一步：作出AB的垂直平分线；第二步：作点C关于AB 对称点D.解题策略：第一步：求出AB的中点坐标和AB的斜率k，利用两直线垂直，斜率乘积为﹣1这个结论，设直线CD的解析式为y=﹣1/k+b，再把AB中点坐标代入上式，解出b的值.求出CD解析式.第二步：联立直线CD和抛物线，可以解得点C的坐标；第三步：确定点D的坐标根据平行四边形顶点坐标公式可求出点D的坐标.二例题精讲题型一确定对角线【例1】（难度等级☆）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB解析式为y=﹣2x﹣1，与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．且过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1，P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．【例2】（2016•陕西一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C （0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2016•黔西南州）如图，二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C（0，4），P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；题型三边和对角线均不确定【例5】（2018•齐齐哈尔）如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2﹣3x+4经过点A，C．如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x 轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．关注公众号【初中小窝】，每日发布学习资料，找资料问小窝！。
二次函数存在性问题(菱形、平行四边形、矩形)
今天讲解二次函数背景下的四边形存在性问题．这里的四边形存在性问题，一般是以几种特殊的四边形为主，常考察的有平行四边形、菱形、 矩形、正方形．当然，三角形的存在性问题和四边形的存在性问题是一样， 如等腰三角形实际上和 菱形是一致的， 直角三角形和矩形是一样的， 等腰直角三角形和正方形是一致的．本文我们将重点讲解这类问题的求解逻辑以及注意事项，同时给大家理出一个比较通用的解题 模板．1如图，抛物线y = ax 2 + bx + 3 交x 轴于点A (−1, 0) 和点B (3, 0) ，与 y 轴交于点C ，连接BC ， 交对称轴于点D ．(1) 求抛物线的解析式；(2)点 P 是直线BC 上方的抛物线上点，连接PC ，PD ．求 △PCD 的面积的最大值以及此时 点P 的坐标；(3)将抛物线y = ax 2 + bx + 3 向右平移 1 个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E ， 点F 是新抛物线的对称轴上的一点，点 G 是坐标平面内一点．当以D 、E 、F 、 G 四点为顶点的 四边形是菱形时，直接写出点F 的坐标，并写出求解其中一个点F 的坐标的过程．前两小问就不详说了，直接上结论， 抛物线解析式为y = −x 2 + 2x + 3 ；点 P | , | ．( 3 15 )\2 4 )第 3 小问为菱形存在性问题， 以D 、E 、F 、 G 四点为顶点的四边形是菱形．四个点中， D ， E 是定点，F 是平移后新抛物线对称轴上的动点，由于点F 的横坐标是确定的，只有纵坐标在变化， 我们可以称其为“G 如果只需要点F 的坐标，那么没有必要求解平移后抛物线的解析式．根据平移的性质，将原抛物线 向右平移 1 个单位长度， 那么原抛物线的对称轴也向右平移 1 个单位长度， 因此新抛物线的对称轴 为x = 2 ，几 F (2, m ) ．但由于此时E 为量抛物线的交点，因此还是要把平移后的抛物线解析式求出 来，根据“左加右减”，平移后的抛物线解析式为y = − (x −1)2+ 2(x −1) + 3 = −x 2 + 4x ，联立两抛物(|y = −x 2 + 2x + 3 ( 3 15 ) 线〈|ly = −x 2 + 4x ，解得E |\2 , 4 )| ．菱形的探究相对是比较简单的，对于这类探究性问题，一般都是先从确定的信息入手．菱形是 以D 、E 、F 、 G 为顶点， 其中DE 为定线段，那么存在的可能有DE 是一条边，也可能是一条对 对角线．前面提到，等腰三角形和菱形的分析是一致的，这里我们结合等腰三角形的存在性问题一 起分析．由于 G 是“自由点”，可以随机应变，因此讨论以D 、E 、F 为顶点的三角形是等腰三角 形．同样， 由于定线段DE 可能是等腰三角形的一条腰，也可能是底边．当DE 为一条腰时，第一种情形是点D 为顶点，即DE = DF ，也即半动点F 到D 的距离和E 到D 的距离相等，因此点F 在以点D 为圆心， DE 为半径的圆上，作出该圆，如图 1 所示，可知此时圆与新抛物线的对称轴有两个交点F 1 ，F 2 ，结合图象可以判断，此时两个点应该都是满足的．那么 再加上对应的“自由点” G ，就是以DE 为边菱形了．当DE 为一条腰时， 另一种情形是点E 为顶点， 即ED = EF ，也即半动点F 到E 的距离和D 到E 的距离相等，因此点F 在以点E 为圆心， ED 为半径的圆上，作出该圆，如图 2 所示，可知此时 圆与新抛物线的对称轴同样有两个交点F 1 ，F 2 ，结合图象， 此时的F 3 存在和DE 共线的风险，因此后续需要检验一下．根据坐标可以知道，x E =，通常像这类圆心可能为两个点中点的，一般都要留个心眼， 检验一下．此时再加上对应的“自由点” G ，也是以DE 为边菱形．当DE 为底边时，则F 为顶点， 即FD = FE ，即 F 到线段DE 的两端点的距离相等，可知此时F 在线段DE 的垂直平分线上，作出线段DE 的垂直平分线，如图 3 所示，可知此时有一个交点F 5 ．加 上对应的“自由点” G ，此时便是以DE 为对角线的菱形．对于等腰三角形和菱形的存在性问题，如上图情形，我们称其为“两圆一线”法．由于这类题一般不需要书写完整过程，因此在解题过程中，把准备工作做好， 即对应的点坐标， 解析式等先求出来， 动点坐标假设好， 再把定线段DE ，半定线段DF 、EF 长度表示出来． 根据上 述分析，结合“两圆一线”分别使得三条线段两两相等建立方程，即DE = DF ，DE = EF ，DF = EF ， 求解出动点坐标即可．(实际解题过程中， 一般使用线段平方的形式．此外， 只需关注下方解析中公 式计算部分即可，文字叙述部分可忽略)此题还是比较友善的，只需求出F 坐标．如果需要求解点G 的坐标，则还要加一个步骤．这里 以DEG 1F 1 为例，若要求 G 1 坐标，一般有两种比较常用的思路．一是利用菱形的对边平行且相等，即F 1G 1 可以看成是DE 平移得来的， 那么点D → F 1 的平移变化也即点E → G 1 的平移变化． 二是利用菱形的对角线相互平分，因此EF 1 的中点也即DG 1 的中点，利用中点坐标求解出 G 1 坐标．这两种处理 在平行四边形存在性问题中也是有力手段．(|y = −x 2 + 2x + 3 ( 3 15 ) 149 ( 149 )由题， y = −x 2 + 2x + 3 向右平移 1 个单位得到新抛物线y = − (x −1)2+ 2(x −1) + 3 = −x 2 + 4x ，联立〈|ly = −x 2 + 4x ，解得 E |\2 , 4 )| ， 新抛物线的对称轴为x = 2 ，设 F (2, m ) ，由于 D (1, 2) ，则DE 2 =，EF 2 = + m −2= m 2 − m +，DF 2 = 1+ (m − 2)2= m 2 − 4m + 5 ，①当DE 、DF 为一组邻边时，则 DE 2 = DF 2 ，即 = m 2 − 4m + 5 ，37 ( ) ( )②当ED 、EF 为一组邻边时，则 ED 2 = EF 2 ，即 = m 2 − m + ，16 8 16 11 ( 11)③当EF 为对角线时，则FD = FE ，即 m 2 − m + = m 2 − 4m + 5 ， 2 16解得m = ，此时 F 的坐标为|2, | ；( ) ( ) ( 149 )( 11) 当F |2, |时， y F + y D = 2y E ，x D + x F = 2x E ，即 E 为D 、F 中点， 不合题意， 舍去； 15 229 \ 2 )综上， F 点的坐标为||\2, 2 + 4 )|| 或||\2, 2 − 4 )|| 或(2, 2) 或|\2, 56 )| ． 56 \ 56 )解得m = 2 或m = ，此时F 的坐标为(2, 2) 或|2, | ，2 \ 2 )解得m = 2 土 4 ，此时 F 的坐标为||\2, 2 + 4 )|| 或||\2, 2 − 4 )|| ；53 15 2291 ．已知二次函数y = ax2 + bx − 2(a 丰 0)与x 轴交于A ( −, 0) ，B (4, 0) ，与 y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 连接AC ，BC ，点 P 是直线BC 下方抛物线上一点，过 P 作PD ∥AC 交直线BC 于点D ，PE ∥x 轴交直线BC 于点， E ，求△PDE 面积的最大值及此时点， P 的坐标；(3) 在(2)的条件下， 将原抛物线沿x 轴向左平移3个单位得到新抛物线，点 M 是新抛物线对称轴上一点， 点 N 是平面直角坐标系内一点， 当以点M 、 N 、P 、B 为顶点的四边形为菱形 时，请直接写出所有符合条件的N 点的坐标；并任选其中一个N 点，写出求解过程．立〈y= − 2 x 2 + 4x − 2 ，解得D 7 , 11 ．1-1如图 1，抛物线y = ax 2 + bx + 4 交x 轴于A (−2, 0) ，B (4, 0) 两点，与y 轴交于点C ，连接 AC ， BC ．(1) 求抛物线的解析式；(2) P 是拋物线上位于直线BC 上方的一个动点，过点P 作PQ ∥y 轴交BC 于点Q ， 过点P 作PE ⊥ BC 于点E ，过点 E 作EF ⊥ y 轴于点F ，求出2PQ + EF 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图 2，将抛物线y = ax 2 + bx + 4 沿着射线CB 的方向平移，使得新抛物线y ，过点(3,1) ， 点D 为原抛物线y 与新抛物线y ，的交点，若点 G 为原抛物线的对称轴上一动点，点H 为新抛物线y ， 上一动点，直接写出所有使得以 A ，D ， G ，H 为顶点的四边形为平行四边形的点H 的坐标，并 把求其中一个点H 的坐标的过程写出来．抛物线解析式为y = − x 2 + x + 4 ；点 P | , | ．相当于是沿着射线BC 方向平移，故舍去， 因此可得平移后抛物线的解析式为y = − x 2 + 4x − ．联2 2 ( 1 13 y = − x 2 + x +4 \2 8 )这类平行四边的探究也并不难， 同样先从确定的信息入手．平行四边形是以A ，D ，G ，H 为 顶点，其中AD 是定线段， G 是半动点，H 在新的抛物线上．和菱形的讨论一样，我们要考虑AD 是 一条边的情形， 也要考虑AD 是对角线的情形．当 AD 是一条边时， 实际上此时也右两种情形，一是是平行四边形为ADHG ，也即AH ，DG 为 对角线；另一种则是平行四边形为ADGH ，也即 AG ，DH 为对角线．当然，不管是那种情形，由 于 AD 是一条边，根据平行四边形对边平行且相等的性质， GH 这条边可以看作是将AD 平移后得到1 (8 28 )2 \3 9 )第 3 小问中， 抛物线沿着射线CB 方向平移， 由于后续的点在新抛物线上， 因此还是要求出平移 后抛物线的解析式．这类沿着射线平移的，一般采用正交分解的形式平移，由点 C (0, 4) ，B (4, 0) 可 知，沿着射线 CB 平移，即向右平移t 个单位，则向下也平移t 个单位，因此假设平移后新抛物线的 解析式为y = − (x − t )2+ (x − t ) + 4 − t ，因为平移后经过点(3,1) ，代入可解得t = − 1 或t = 3 ，当 t = − 1 ， 1 13的，由于半动点 G 在原抛物线对称轴x = 1 上，那么点 G 有可能是点 A 平移后得到的， 此时点H 就 是点D 平移后得到的，如图 1 所示；同理，当点 G 是点D 平移后得到的，那么此时点H 就是点A 平 移后得到的，如图 2 所示．设点 G (1, m )，根据平移的性质，结合点坐标的变化规律，当 A → G 时， 即(−2, 0) —(1, m ) ，则有D|2 , 8 )| —H | 2 , 8 + m )| ，由于点H 在新抛物线上， 且横坐标已知了，代入新抛物线即可 11 1 (13 213 13 13 (13 13 此外， 除了用平移性质得到H 点的坐标外，此时 AH 是一条对角线，也利用对角线相互平分， 则 A 、 H 的 中 点 和 D 、 G 的 中 点 是 同 一 个 ， 利 用 中 点 坐 标 则 有 x A + x H = x D + x G ，故 13 13 13 (13 13 x H = x D + x G − x A = 2 ，将x = 2 代入新抛物线解析式，可求得H 点纵坐标y = − 8 ，故H | 2 , − 8 )|．当 AG 是一条对角线时， 则有x A + x G = x D + x H ，故 x H = x A + x G − x D = − ，代入新抛物线解析 277 ( 9 277式，可求得此时H 的纵坐标为 − ，故H |− , − | ．8 2 8 ) 当 AD 是一条对角线时，则有x A + x D = x H + x G ，故 x H = x A + x D − x G = ，代入新抛物线解析式， 37 ( 1 37 可求得此时H 的纵坐标为 − ，故 H | , − | ．8 2 8 )同样地，在解题过程中， 把准备工作做好，即对应的点坐标，解析式等先求出来，动点坐标假设好， 将点坐标表示列出来(通常都是横坐标)，选定一个定点，如这里我们选定 x A ，将其与剩下 三点横坐标x D 、x G 、x H 两两组合，建立中点坐标关系式， 即x A + x D = x H + x G ，x A + x G = x D + x H 以 及x A + x H = x D + x G ，求解出点H 横坐标，再代入解析式中求出点H 纵坐标即可．求得纵坐标 8 + m = − 2 | 2 )| + 4 2 − 2 = − 8 ，此时H | 2 , − 8 )| ． ( 7 11 (13 1113 (13 13)由题， 设平移后的抛物线解析式为y = − (x − t )2+ (x − t ) + 4− t ，因为平移后经过点(3,1)，代入可解得t = − 1 (舍) 或t = 3 ，2 2联立〈y = − 2 x 2 + 4x − 2 ，解得 D 7 , 11 ， y = − x 2 + x + 4 \2 8 )则x A =−2 ，x D = ，x G = 1，设 H 点横坐标为x H ，①当AH 为一条对角线时，x A + x H = x D + x G ，则 x H = ，代入可求得此时H | , − | ； 9 ( 9 277 )1 (1 37 )综上， H 的坐标为| , − |或|− , − |或| , − | ．( 1 13 ③当AD 为一条对角线时，x A + x D = x H + x G ，则x H = ，代入可求得此时H | , − | ；(13 13) ( 9 277 ) (1 37 )2 \2 8 )\ 2 8 ) \ 2 8 ) \2 8 )②当AG 为一条对角线时，x A + x G = x D + x H ，则x H = − ，代入可求得此时H |− , − | ；2 \ 2 8 ) 2 \ 2 8 )故平移后抛物线的解析式为y = − x 2 + 4x − ，1 131．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2 + bx+ 3(a 0) 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，且点A的坐标为( 3, 0) ，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB= 3OA．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；(3) 如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点C，平移后点A的对应点为点A，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y的对称轴上一点，在新抛物线y上存在一点M，使以点M，Q，A，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．2．如图，抛物线y= x2 + bx+ c与x轴相交于点A(−1, 0) 和点B，交y轴于点C，tan 三ACO= ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1 ，P点为一象限内抛物线上的一个动点，点D是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；，M为新抛物线对称轴上(3) 如图2，将抛物线向左平移 1 个单位长度，得到新的抛物线y1一点，N为直线AC上一动点，在(2) 的条件下，是否存在点M，使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．| 4 21如图，已知抛物线y = ax 2 + bx − 4 与x 轴交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且点A 的坐标 为(−2, 0) ，直线BC 的解析式为y = x − 4 ．(1) 求抛物线的解析式；(2)如图 1，过点 A 作 AD ∥BC 交抛物线于点D (异于点 A )， P 是直线BC 下方抛物线上一 点，过点P 作PQ ∥y 轴， 交AD 于点Q ，过点 Q 作QR ⊥ BC 于点R ，连接PR ．求△PQR 面积的最 大值及此时点P 的坐标；(3) 如图 2，点 C 关于x 轴的对称点为点C ，将抛物线沿射线 C A 的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y ，新抛物线y 与原抛物线交于点M ，原抛物线的对称轴上有一动点 N ，平面直 角坐标系内是否存在一点K ，使得以 D ，M ，N ，K 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写 出点K 的坐标；若不存在， 请说明理由．抛物线解析式为y = x 2 − x − 4 ；S △PQR 的最大值为 9，点P (4, −6) ．第 3 小问中，抛物线沿着射线C A 方向平移， 由于点M 为两抛物线交点， 因此需求出平移后抛 物线的解析式．根据A (−2, 0) ，C (0, 4) ，可知Rt △AOC 中AO : OC : AC = 1: 2 : ，因此将抛物线沿着射线C A 方向平移2个单位长度，则相当于向下平移 4 个单位长度，向左平移 2 个单位长度，因此平移后的抛物线为y = 1 (x + 2)2− 3 (x + 2) − 4 − 4 = 1 x 2 − 1 x −10 ，联立〈y = x 2 − x −10，解4 2 4 2y = x 2 − x − 4( 1得M (6, −4) ．又 BC : y = 1 x − 4 ，可知 AD : y = 1 x + 1，联立〈 y = 2 x + 1，解得D (10, 6) ．2 2 |y = 1 x 2 − 3x − 4因为以D ，M ，N ，K 为顶点的四边形是矩形，此时定线段是DM ，半动点为N ，自由点为K ．和 前面讨论菱形、平行四边形时的流程基本大同小异，定线段DM 可能是矩形的边，也可能是矩形的 对角线，因此要分两种情形讨论．矩形的存在性问题和直角三角形的存在性问题是一致的，如本题 中，探究以D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形． 同样地，先以直角三角形为例，那么D ，M ，1 3 4 2在实际解题中设 K (x , y ) 即可)， 利用中点关系〈 M K D N ，则〈 K，整理得N 均有可能为直角顶点．当M 为直角顶点时，过M 作DM 垂线与对称轴交点即为点N 所在位置，如图 1 所示．对于N 点 坐标的求解，一方面，由于MN ⊥ DM ，则 k MN . k DM = − 1，结合点M 坐标，由此可求得直线MN 解 析式，将其与对称轴方程联立即可求得点N 坐标．另一方面，可以构造如图所示的K 型相似，即构DH MH1 腰直角三角形， 或者四边形中的正方形， 那么可以构造此类的K 型全等求解．在此直角三角形的基础上，加上自由点K ，就变成矩形问题了．对于矩形问题，同样可以求出点N 坐标后，利用平移关系或者对角线的中点关系，求相应的点K 的坐标．当然，如果是探究矩形 的存在性问题，也可以直接利用中点关系求得点K 的坐标．由点N (3, n )，设K (x K , y K ) (熟练后，(x + x = x + x (6 + x = 10 + 3 l y M + y K = y D + y N l−4 + y K = 6 + n 〈，再由对角线相等，即MK = DN ，代入即有1+ (y + 4)2= 49 + (16 − y )2，解得 y =，( 36 )同样适用．当D 为直角顶点时，三角形如图2 所示．同样， 加上自由点K ，就变成矩形问题了． 这里我们5 2 2 ( 44 )l y M + y N = y D + y K |y K = − \ 5 )对于直角三角形或矩形问题， 如上图情形，我们可以称其为“两线一圆”．若只求点N 坐标，一 般利用斜率关系，求出解析式后进一步求解．如果是矩形问题要求自由点的坐标，可以用对角线平 分且相等， 建立方程求解．当然， 先求点N ，利用点N 作为台阶进一步求解也是没问题的， 大家选 用自己顺手的方法即可．造 △MN 1G ∽△DMH ，利用 = ，可求出长度，进而得到点 N 坐标．更特殊地，如果是等以垂线方式求解．由于k DM = 2 ，则 k DN = − 5 ，故此时DN : y = − 5 x + 10 ，令x = 3 ，可解得N |\3, 5 )| ， 由中点可知，〈(x M + x N = x D + x K ，可解得〈(|x K = − 16 ，此时 K −1,− 6 ．l 5当N 为直角顶点时，则有NM ⊥ ND ，因此点N 在以DM 为直径的圆上．此种情形若只是求点N 坐标，策略比较多， 一方面，可以利用斜率， 由k ND . k NM= − 1求出点N 坐标；另一方面，可以利用线段长度求解，设DM 中点为为R ，则此时圆心为R ，因此NR = RD = DM ，由此也可求得点N 坐 标， 此外， 还可以利用勾股定理ND 2 + NM 2 = DM 2 ．当加入自由点K ，变成矩形问题后，除了先求 出点N 坐标， 利用平移或中点求解点K 坐标外，也可以利用前面的对角线平分且相等来求解． 故此时K |7, | ．此法借助的是矩形的对角线平分且相等的性质，该处理对于DM 是对角线的情形 \ 5 ) GM N G式和长度关系式子，即〈 M K D N 且MK 2 = DN 2 ，〈 M N D K 且MN 2 = DK 2 以及(x M + x D = x N + x K 4 2 4 2|l 4 2(x M + x K = x D + x N (6 + x = 10 + 3 (x = 7由MK 2 = DN 2 ，代入即有1+ (y + 4)2= 49 + (16 − y )2，解得 y = 36，故此时K 7,36；由MN 2 = DK 2 ，代入即有9 + (y +14)2 = 121+ (y − 6)2，解得 y = − 6 ，故此时K −1,− 6 ；(x M + x D = x N + x K (6 + 10 = 3 + x (x = 13 同样地，在解题过程中， 把准备工作做好，即对应的点坐标安排到位，动点坐标假设好，选定 一个定点， 如这里我们选定M ，将其与剩下三点横坐标D 、 N 、K 两两组合， 建立中点坐标关系 (x + x = x + x (x + x = x + xl y M + y K = y D + y N l y M + y N = y D + y K〈 且MD 2 = NK 2，利用方程组求解出对应的点K 的坐标． l y M + y D = y N + y K附：坐标平面内点A (x 1 , y 1 ) ，B (x 2 , y 2 ) ，其中x 1 丰 x 2 ，则过A 、B 两点的直线的斜率k =由题， 将抛物线沿着射线 C ,A 方向平移2个单位长度， 即将其向下平移 4 个单位长度， 向左平移 2 个单位长度， 因此平移后的抛物线为y =1(x + 2)2 − 3 (x + 2) − 4 − 4 = 1 x 2 − 1 x −10 ， 联立〈y = x 2− x −10，解得M (6, −4) ，y = x 2 − x − 4( 1又 BC : y = 1 x − 4 ，可知 AD : y = 1 x + 1，联立〈 y = 2 x + 1，解得D (10, 6) ，2 2 |y = 1 x 2 − 3x − 4由M (6, −4) ，D (10, 6) ，设 N (3, n ) ，K (x , y ) ，①当MK 为一条对角线时，〈，即〈 ，整理得〈 ， l y M + y K = y D + y N l −4 + y = 6 + n l n = y −105 \ 5 )②当MN 为一条对角线时，〈(x M + x N = x D + x K，即〈(6 + 3 = 10 + x，整理得〈(x = − 1l y M + y N = y D + y K l −4 + n = 6 + y l n = 10 + y5 \ 5 )③当MD 为一条对角线时，〈 ，即〈 ，整理得〈l y M + y D = y N + y K l−4 + 6 = n + y l n = 2 − y由MD 2 = NK 2 ，代入即有116 = 100 + (2 − 2y )2，解得y =− 1 或y = 3 ，故此时K (13, −1) 或(13,3) ； ( 36 ) ( 6 )综上， 点K 的坐标为|7, |或|−1,− |或(13, −1) 或(13,3) ．\ 5 ) \ 5 ) y 1 − y 2． x 1 − x 21．如图1，二次函数y= ax2 + bx+ c(a丰0)与x轴交于点A(−2, 0) 、点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0,3) ，tan 三CBO= ．(1) 求二次函数解析式；(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+ BE的最大值及此时点P的坐标；(3) 在(2) 的条件下，当PD+ BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90。
中考数学总复习《二次函数与菱形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数与菱形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数228y x x =--的图像与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)连接PO ，PC ，并将POC △沿y 轴对折，得到四边形POP C '．是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为()3,0，与y 轴交于()0,3C -点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO 、PC ，并把POC △沿CO 翻折，得到四边形POP C '，那么是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积． 3．如图，一次函数3y x =-+的图像与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图像经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点()m 0M ，是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图像和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y ax 2x c =++的图象经过点(03)C ，，与x 轴分别交于点A ，点(30)B ，．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数2y ax 2x c =++的表达式；(2)连接PO PC ，，并把POC △沿y 轴翻折，得到四边形POP C '．若四边形POP C '为菱形，请求出此时点P 的坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A B 、两点，B 点的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C -，点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一点．(1)求这个二次函数2y x bx c =++的解析式；(2)如果点P 在运动过程中，能使得以P C B 、、为顶点的三角形面积最大，请求出此时点P 的坐标； (3)连接,PO PC ，并将POC △沿y 轴对折，得到四边形POP C '，如果四边形POP C '为菱形，求点P 的坐标． 6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠经过点(0,2)A ，(1,0)B -和(4,0)C ．(1)求该二次函数的解析式； (2)设点D 的横坐标为302m m ⎛⎫<<⎪⎝⎭，过点D 作DE y ∥轴交直线AC 于点E ，DG x ∥轴交对称轴于点G ，以DG 、DE 为边构造矩形DEFG ，当矩形DEFG 的周长最大时，求点D 的坐标；(3)将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线y '，y '与直线2x =交于点M ，点N 为平移后抛物线y '对称轴上一点，点Q 为平面内任意一点．在第（2）问条件下，当点D 、M 、N 、Q 构成的四边形为菱形时，直接写出点Q 的坐标．7．在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴正半轴上，如果四个点()0,0、()0,2和()1,1、()1,1-中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数且0a ≠）的图象上．(1)直接写出a 的值；(2)如图1，点P 、Q 在二次函数图象上，且在y 轴异侧，连接PQ 交y 轴于点()0,4A ，46POQ S =△设点P 、Q 的横坐标1x ，2x （12x x <）为一元二次方程220x mx m -+=的两个根，求m 的值；(3)如图2，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长．8．综合与探究如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点 （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．9．综合与探究如图，二次函数23y ax bx =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点(4,0)B ，与y 轴相交于点C ；连接BC ，点P 为BC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．（1）求抛物线的表达式（2）设点P 的横坐标为m (04)m <<，试用含m 的代数式表示线段PE 的长；并求出PE 长度的最大值． （3）连接AC ，点M 是x 轴上的一个动点，点N 是平面内任意一点；是否存在这样的点M 、N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点． （1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿C O 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，二次函数223432333y x x =--的图像与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．（1）求,A B 两点坐标及直线BC 的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一点，当BPC ∆面积最大时，在x 轴下方找一点Q ，使得2AQ BQ PQ ++最小，记这个最小值是d ，请直接写出此时点P 的坐标及2d ．（3）在（2）的条件下，连接AP 交y 轴于点R ，将抛物线沿射线PA 平移，平移后的抛物线记为'y ， 当'y 经过点A 时，将抛物线'y 位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得的曲线记为N ，点'D 为曲 线N 的顶点，将AOP ∆沿直线AP 平移，得到'''A O P ∆，在平面内是否存在点T ，使以点',,',T D R O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出'O 的横坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边）（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点； △求所有定点的坐标；△若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上． △=a ________；△如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长； △如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式． 14．综合与探究如图，二次函数24y ax bx =++的图像经过x 轴上的点()6,0A 和y 轴上的点B ，且对称轴为直线72x =．(1)求二次函数的解析式．(2)点E 位于抛物线第四象限内的图像上，以OE ，AE 为边作平行四边形OEAF ．当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F 的坐标与菱形OEAF 的面积．(3)连接AB ，在直线AB 上是否存在一点P ，使得AOP 与AOB 相似，若存在，请直接写出点P 坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数21y x =--与y 轴交于点A ，若点A 关于x 轴的对称点D 在一次函数12y x b =+的图象上．(1)求b 的值；(2)若一次函数21y x =--与一次函数y x =-交于B ，且点B 关于原点的对称点为点C ．求过A ，B ，C 三点对应的二次函数表达式；(3)P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q ． △当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；△若点P 的横坐标为()11t t -<<，当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大？请说明理由．参考答案：1．(1)(2,0)- (4,0) (0,8)- (2)存在，(15,4)+- (3)(2,8)-，322．(1)2=23y x x -- (2)存在 2103,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭(3)P 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，四边形ABPC 的面积的最大值为7583．(1)223y x x =-++；(2)存在，点M 的坐标为()1,0或()2,0或()32,0-．4．(1)223y x x =-++ (2)点P 的坐标为53122， (3)点P 的坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，四边形ACPB 面积的最大值为7585．(1)2=23y x x --；(2)BPC △的面积最大时，P 点的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(3)P 点的坐标为210322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，．6．(1)213222y x x =-++；(2)()1,3；(3)点Q 的坐标为19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或3619,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或3619,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭7．(1)1a =； (2)2m =- (3)2338．（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）4225,1555N ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭422+5,1555N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()0,0N 1811,55N ⎛⎫⎪⎝⎭9．（1）233384y x x =-++；（2）236 105PE m m =-+，最大值为65；（3）存在点M 、N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形．点N 的坐标有4个，分别为：()13,3- ()13,3 (0,3)- 13,34⎛⎫- ⎪⎝⎭10．（1）y ＝x ﹣3，y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）存在，点P 2103,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭11．（1）A （−1，0），B （3，0） 23233yx ；（2）P （32，532-），d 2＝46203+；（3）'O 的横坐标为：512-或512--或920112或920112或115．12．（1）()1,41m --+ 13x -<<；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）△所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或1,1；△抛物线2L 应平移的距离是423+或423-． 13．(1)△1；△233；△是，值为1 (2)()1a n m -=或0m n += 14．(1)2214433y x x =-+ (2)(3,4)F ；菱形OEAF 的面积为24(3)存在，点P 坐标为(0,4)或2436,1313⎛⎫⎪⎝⎭15．(1)1b = (2)21y x x =--(3)△()12,12--或()12,12++；△当0=t 时，四边形PBQC 的面积最大。
专题24 二次函数中的菱形问题(解析版)
专题24 二次函数中的菱形问题1、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）根据图像，直接写出不等式x2＋bx＋c＞0的解集：．（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：．【答案】（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1或x＞3；（3）（2，－1）【解析】（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．把A、B两点的坐标代入得：{1+b+c＝09+3b+c＝0，解得：{b＝−4c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3；．（2）由图象得：不等式x2＋bx＋c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3；（3）（2，－1）．y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴顶点坐标为（2，-1），当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，如图，根据“菱形ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D 是抛物线y=x 2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1）， 故答案是：（2，-1）．2、如图，已知抛物线23)0(y a bx a =++≠经过点1,0A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C .（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PD 的长；②连接PB ，PC ，求PBC ∆的面积最大时点P 的坐标；（3）设抛物线的对称轴与BC 交于点E ，点M 是抛物线的对称轴上一点，N 为y 轴上一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）y ＝x 2﹣4x +3；（2）①用含m 的代数式表示线段PD 的长为﹣m 2+3m ；②△PBC 的面积最大时点P 的坐标为（32，﹣34）；（3）存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．点M 的坐标为M 1（2，3），M 2（2，1﹣），M 3（2，）． 【解析】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）经过点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ， ∴309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x+3； （2）①设P （m ，m 2﹣4m+3），将点B （3，0）、C （0，3）代入得直线BC 解析式为y BC ＝﹣x+3． ∵过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝12OB•PD＝﹣32m2+92m＝﹣32（m﹣32）2+278．∴当m＝32时，S有最大值．当m＝32时，m2﹣4m+3＝﹣34．∴P（32，﹣34）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（32，﹣34）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF=CF=2，∴EC=2，根据菱形的四条边相等，∴，∴M（2，1-）或（2，）当EM=EF=2时，M（2，3）∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣），M3（2，）．3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=x 2﹣2x ﹣3（2）（2）（2+√102，-32）（3）P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，此时点P 的坐标（1，﹣4）【解析】（1）将B 、C 点代入函数解析式，得：{9+3b +c =0c =−3 ，解得：{b =−2c =−3 ，这个二次函数y ＝x 2+bx +c的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵四边形POP ′C 为菱形，∴OC 与PP ′互相垂直平分，∴y P =−OC 2=−32，即x 2﹣2x ﹣3=−32，解得：x 1=2+√102，x 2=2−√102（舍），P （2+√102，−32）；（3）∵∠PBC ＜90°，∴分两种情况讨论：①如图1，当∠PCB ＝90°时，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，BC 的解析式为y ＝x ﹣3，CP 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，设点P 的坐标为（m ，﹣3﹣m ），将点P 代入代入y ═x 2﹣2x ﹣3中，解得：m 1＝0（舍），m 2＝1，即P （1，﹣4）；AO ＝1，OC ＝3，CB =√32+32=3√2，CP =√12+（−4+3）2=√2，此时BC CP=CO AO=3，△AOC ∽△PCB ；②如图2，当∠BPC ＝90°时，作PH ⊥y 轴于H ，作BD ⊥PH 于D ． ∵PC ⊥PB ，∴△PHC ∽△BDP ，∴PH HC=BD PD．设点P 的坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），则PH =m ，HC =－（m 2﹣2m ﹣3）－（－3）=－m 2+2m ，BD =－（m 2﹣2m ﹣3），PD =3－m ，∴m−m 2+2m=−(m 2−2m−3)3−m，∴1m−2=−(m +1)，解得：m =1+√52或1−√52（舍去）．当m =1+√52时，m 2﹣2m ﹣3=−5+√52．∵△PHC ∽△BDP ，∴PCPB =HC PD =−m 2+2m 3−m =√5−15−√5=√5=√55≠COAO =3，以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 不相似．综上所述：P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，此时点P 的坐标（1，﹣4）．4、如图，在平面直角些标系中，二次函数y ＝ax 2+bxA （﹣1，0），C （2，0），与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标； （2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求12PB +PD 的最小值； （3）M （x ，t ）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有 个． 【答案】（1）2y x x =-1,2；（2（3）5个 【解析】(1)∵二次函数2y ax bx =+A (﹣1，0)C (2，0)，∴0420a b a b ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴二次函数的表达式为2y x x =-∵y =2212222x x x ⎫-=--⎪⎝⎭∴抛物线的顶点坐标为(1,2； (2)如图，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．理由：∵OA =1，OB ，∴OA tan ABO OB ∠==，∵303tan ︒=， ∴∠ABO =30°， ∴PH =12PB ， ∴12PB +PD =PH +PD =DH ， ∴此时12PB +PD 最短(垂线段最短);∵抛物线的顶点坐标为(1,2， ∴()13122AD =--=，∵∠ABO =30°， ∴∠HAD =60°，在Rt △ADH 中，∵∠AHD =90°，AD =32，∠HAD =60°，∴sin60°=DH AD =∴DH =4，∴12PB +PD (3)①以A 为圆心AB 为半径画弧，因为AB ＞AD ，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM =AB ，即M 点存在两个，所以满足条件的N 点有两个； ②以B 为圆心AB 为半径画弧，因为12AB >，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM =AB ，即M 点有两个，所以满足条件的N 点有两个；③线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM =BM ，因为M 点有一个，所以满足条件的N 点有一个；则满足条件的N 点共有5个， 故答案为：5．5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）存在．P 点的坐标为（﹣2，32）；（3）P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758． 【方法引导】（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣32，令y＝﹣32即可得x2﹣2x﹣3＝﹣32，解该方程即可确定P点坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．【解析】（1）∵C点坐标为（0，3），∴y＝﹣x2+bx+3，把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，解得，b＝﹣2，∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．如图1，设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE＝CE＝32，令﹣x2﹣2x+3＝32，解得，x1＝﹣22，x2＝22-（不合题意，舍去）．∴P，32）．（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，则303k tt-+=⎧⎨=⎩，解得：13kt=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y＝x+3，则Q点的坐标为（x，x+3），当0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ＝12AB•OC+12QP•OF+12QP•AF＝12×4×3+12[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3＝﹣32（x+32）2+758．当x＝﹣32时，四边形ABCP的面积最大，此时P点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC的面积的最大值为758．【思路引导】此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．6、如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC ⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由【答案】（1）112y x=+；（2）251544s t t=-+（0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.【解析】解：（1）x=0时，y=1，∴点A的坐标为：（0，1），∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），∴点B的横坐标为3，当x=3时，y=52，∴点B的坐标为（3，52），设直线AB的函数关系式为y=kx+b，1532bk b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得，121kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，则直线AB的函数关系式112y x=+（2）当x=t 时，y=12t+1， ∴点M 的坐标为（t ，12t+1），当x=t 时，2517144y t t =-++ ∴点N 的坐标为2517(,1)44t t t -++ 2251715151(1)44244s t t t t t =-++-+=-+ （0≤t≤3）；（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ， ∴25155=442t t -+， 解得t 1=1，t 2=2，∴当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形， ①当t=1时，MP=32，PC=2， ∴MC=52=MN ，此时四边形BCMN 为菱形， ②当t=2时，MP=2，PC=1，∴，此时四边形BCMN 不是菱形．7、已知，在平面直角坐标系内一直线l 1:y =-x +3分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A 、B 两点，y 轴右侧部分抛物线上有一动点C ，过点C 作y 轴的平行线交直线l 1于点D .（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，C 在第一象限，求以CD 为直径的⊙E 的最大面积，并判断此时⊙E 与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E 与该抛物线对称轴相切时点C 的横坐标；（3）坐标平面内是否存在点M ，使B 、C 、D 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；不存在，请说明理由.【答案】(1)y =−x 2+2x +3；（2）不相切， C 的横坐标分别为2和5−√172；（3）M （0,1），（2,3）（0,1-3√2），（0,1+3√2）. 【解析】解：（1）直线l 1:y =-x +3分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，可得A 点（3，0），B 点（0，3），将A 、B 两点坐标代入y =-x 2+bx +c ，可得 {0=−9+3b +c 3=c ，可得b=2，c=3∴抛物线的函数表达式y =−x 2+2x +3； （2）①可得抛物线对称轴为：x =−b2a =1，∵ C 在第一象限,以CD 为直径的⊙E 的最大面积，即CD 最长时，圆的面积最大， 设直线CD 的横坐标为t ，0＜t ＜3， ∴D 点坐标（t ，-t+3），C 点坐标（t ，-t 2+2t+3），∴ |CD|=-t 2+2t+3-(-t+3)= -t2+3t （0＜t ＜3），∴当t=−b2a =32时，CD 最长，此时CD 最长为94，此时圆E 的半径为98，此时CD 与对称轴的距离为32-1=12≠98， 故不相切.②当CD 在对称轴右边时，即1＜t ＜3时 |CD|= -t2+3t （1＜t ＜3）；圆E 的半径为t -1，可得|CD|=2r ；-t 2+3t=2（t -1），解得：t 1=-1（舍去）；t 2=2；当CD 在对称轴左边时，即即0＜t ＜1时， 有-t 2+3t=2（1-t ），解得：t 1=5+√172（舍去），t 2=5−√172；综上所述：t=2或t=5−√172，⊙E 与该抛物线对称轴相切.(3)存在，由菱形性质可得M 点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3√2），（0,1+3√2）.8、如图，二次函数y =−x 2+3x +m 的图象与x 轴的一个交点为B(4,0)，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点（1）求m 的值及C 点坐标；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ，当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标(直接写出答案)；【答案】(1)m =4, C(0,4) (2) 存在, M(2,6)(3)P 点坐标为(1+√5,1+√5)或(1−√5,1−√5)【解析】解：(1) 将点B(4,0)的坐标代入二次函数y =−x 2+3x +m ，即−42+3×4+m =0，解得m =4，故二次函数解析式为y =−x 2+3x +4，令x =0，解得y =4，故C 点坐标为(0,4); (2)存在，理由：∵B(4,0)，C(0,4)∴直线BC 的解析式为y =−x +4，当直线BC 向上平移b 单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC 面积最大，∴{y =−x +4+b y =−x 2+3x +4整理得：x 2−4x +b =0 ∴∆=16−4b =0，∴b =4 ∴{x =2y =6 ∴M(2,6)(3)如图2、图3所示，连接PQ交BC于点G。
专题28 二次函数与菱形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(原卷版)
专题28 二次函数与菱形存在问题1．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，抛物线228=+-y x x 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）连接AC ，直线()40x m m =-<<与该抛物线交于点E ，与AC 交于点D ，连接OD ．当OD AC ⊥时，求线段DE 的长；（3）点M 在y 轴上，点N 在直线AC 上，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ，使得以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ． ①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．3．（2021·重庆市·中考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求线段BC 的长； （2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称，对称后点P 的对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．4．（2021·重庆市·中考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，连接BC ，过点A 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求线段BE 的长； （2）如图1，点P 为第三象限内抛物线上一点，连接AP 交BC 于点D ，连接连接BP ，记△BDP 的面积为1S ，△ABD 的面积为2S ，当12S S 的值最大时，求出这个最大值和点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线223y x x =+-沿射线BC 个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G ，点M 为平移后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点D 、G 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．5．（2021·山西大同·中考一模）综合与探究 如图1，已知抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，作直线BC ，点C 关于x 轴的对称点是点C '．（1）求点C '的坐标和直线BC 的表达式；（2）如图2，点M 在抛物线的对称轴上，N 为平面内一点，依次连接BM ，C M '，C N '，NB ，当四边形BMC N '是菱形时，求点M 坐标；（3）如图3，点P 是抛物线第一象限内一动点，过P 作x 轴的平行线分别交直线BC 和y 轴于点Q 和点E ，连接PC '交直线BC 于点D ，连接QC '，PB ，设点P 的横坐标为m ，△QC D '的面积为1S ，△PBD 的面积为2S ，求12S S -的最大值．6．（2021·山西万柏林·中考一模）综合与探究：如图1，一次函数y =-的图象分别与x 轴，y 轴交于B ，C 两点，二次函数2y ax c =+的图象过B ，C 两点，且与x 轴交于另一点A ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是二次函数图象的一个动点，设点P 的横坐标为m ，若2∠=∠ABC ABP ．求m 的值； （3）如图2，过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ．点M 是直线BC 上一动点，在坐标平面内是否存在点N ，使得以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标：若不存在，请说明理由．7．（2021·重庆一中·中考一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，6），其中AB ＝8，tan ∠CAB ＝3 （1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD //AC 交x 轴于点D ，交BC 于点E ，求的最大值及点P 的坐标．（3）将该抛物线沿射线CA 方向平移个单位长度得到抛物线y 1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在（2）中，的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2021—2022重庆市九年级期中）如图1在平面直角坐标系中，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．（1）求ABC 的周长． （2）已知点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，连接PA ，PC ，求PAC △的面积的最大值．（3）如图2，点D 为抛物线的顶点，对称轴DE 交x 轴于点E ， M 是直线AC 上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得以点C ，E ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，说明理由．10．（2021—2022广东珠海市九年级期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点D 的坐标为（﹣2，9），抛物线与坐标轴分别交于A 、B 、C 三点，且B 的坐标为（0，5），连接DB 、DC ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是x 轴上的一点，过点P 作x 轴的垂线，与CD 交于H ，与CB 交于G ，若线段HG 把△CBD 的面积分成相等的两部分，求P 点的坐标；（3）若点M 在直线CB 上，点N 在平面上，直线CB 上是否存在点M ，使以点C 、点D 、点M 、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021·湖北五峰·九年级期末）如图，已知抛物线2()A和=++≠经过点(1,0)y ax bx a30 B，与y轴交于点C．点(3,0)（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．∆的面积最大时点P的坐标．②连接PB，PC，求PBC（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的边BC 在x 轴上，90ABC ∠=，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)C ，交y 轴于点(0,3)E ，动点P 在对称轴上． （1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A B →方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD AB ⊥交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接,AQ CQ ，当t 为何值时，ACQ ∆的面积最大？最大值是多少？ （3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点,,,P M E C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．。
2023年中考数学总复习专题7二次函数与菱形存在性问题(学生版)
专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】（2020•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，6），点E为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（2）若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，【例2】（2021•齐齐哈尔三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于点A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解（OA＜OB），点D（2，m）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式及m的值；（2）y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝；（3）将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了个单位；（4）点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．【例3】（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D 点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】（2022•武昌区模拟）如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；（3）如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF∥BC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y＝﹣4x交于点H，若，求点G的坐标．1．（2022•蒲城县一模）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax2+3x+c 经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022•抚顺县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•历下区三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C坐标；（2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点为点B．（1）求这条抛物线的解析式；（2）将抛物线L1平移到抛物线L2，抛物线L2的顶点记为D，它的对称轴与x轴的交点记为E．已知点C（2，﹣1），若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线L2的顶点坐标．5．（2022•佛山校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y＝x﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝，求k的值；（3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022•邵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A．已知点B坐标为B（1，0），BC＝3，△ABC面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AB，交线段AC于点D．求PD长度的最大值及此时P点的坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．8．（2022•恩施市模拟）如图，已知直线y＝﹣x﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c 的顶点是（2，﹣1），且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作PG⊥AB于点G．（1）求b、c的值；（2）若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．（3）当点P运动到何处时，线段PG的长最小？最小值为多少？9．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求△ABC的面积；（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2020秋•射阳县期末）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过抛物线上的两点A（﹣4，0）和B（2，0），C（0，8），点M是该抛物线顶点．（1）求抛物线所对应的函数表达式和顶点M坐标；（2）在抛物线上A、C两点之间的部分（不包含A、C两点），是否存在点D，使的S△DAC＝S△MAC？若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点E是x轴上一个动点，点F为平面直角坐标系内一点，当以点A，C，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出满足条件的点E的坐标．11．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1绕着平面内的某一点旋转180°得到抛物线C2，抛物线C2与y轴正半轴相交于点C．（1）求A、B两点的坐标；（2）若抛物线C2上存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，请求出此时抛物线C2的表达式．12．（2022春•兴宁区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．13．（2020•葫芦岛三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE ＝4：5时，求tan∠DAB的值；（3）点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2020•师宗县一模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2021•两江新区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P（点P不与B、C两点重合），过点P作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2021•淮安区一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；（3）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t＝．17．（2021•渝中区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022•岳池县模拟）如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2021•罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．20．（2021秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．21．（2021•诸城市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．22．（2021•鞍山一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；（3）在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．23．（2022•巨野县一模）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．24．（2021•洛阳一模）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；（3）点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．25．（2021•山西模拟）综合与探究．如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD，交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．（1）求直线AD的表达式及点C的坐标；（2）当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，求m的值；（3）试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2021•交城县二模）实践与探究如图1，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若△ADP与△ADC的面积相等，求出所有符合条件的点P的坐标．（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．。
专题08 二次函数与菱形存在型问题-突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(教师版)
专题08 二次函数与菱形存在性问题【典例分析】例1 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 和抛物线交于点A （-4，0），B （0，4），且点B 是抛物线的顶点．（1）求直线AB 和抛物线的解析式．（2）点P 是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB 面积最大时点P 的坐标．（3）M 是直线AB 上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N ，使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2如图，抛物线的图象经过点A （﹣2，0），点B （4，0），点D （2，4），与y 轴交于点C ，作直线BC ，连接AC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO 的点E 的坐标；（3）点M 在y 轴上且位于点C 上方，点N 在直线BC 上，点P 为第一象限内抛物线上一点，若以点C ，M ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．例3如图，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2y mx 2mx n =++上.（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.例4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC//OA，已知点O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB=.（1）求B点坐标及抛物线的解析式.，（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点E，求DE的最大值；（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由.例5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．例6如图(1)，已知菱形的边长为，点在轴负半轴上，点在坐标原点，点的坐标为（，），抛物线顶点在边上，并经过边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）点关于直线的对称点是，求点到点的最短距离；（3）如图（2）将菱形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速平移，过点作于点，交抛物线于点，连接、．设菱形平移的时间为秒（），问是否存在这样的，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0）是轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得60°，现将抛物线沿直线OC平移到，则当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是（）A．B．C．D．2．直线122y x =+与y 轴交于点A ，与直线12y x =-交于点B ，以AB 为边向右作菱形ABCD ，点C 恰与原点O 重合，抛物线()2y x h k =-+的顶点在直线12y x =-上移动，若抛物线与菱形的边AB 、BC 都有公共点，则h 的取值范围是（ ）A ．122h -≤≤B ．21h -≤≤C ．312h -≤≤D ．112h -≤≤ 3．如图1，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=2BD ，点P 是 AO 上一个动点，过点P 作AC 的垂线交菱形的边于M ，N 两点．设AP ＝x ，△OMN 的面积为y ，表示y 与x 的函数关系大致如图2所示的抛物线．（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（ ， ） ； （2）菱形ABCD 的周长为 ． 4．二次函数223y x =的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点），则第2017个菱形的周长=_____________．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的三个顶点A ，B ，D 均在抛物线y=ax 2﹣4ax+3（a ＜0）上．若点A 是抛物线的顶点，点B 是抛物线与y 轴的交点，则点D 的坐标为__．6．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A （3，4），C 在x 轴的负半轴，抛物线y=﹣（x ﹣2）2+k 过点A ． （1）求k 的值；（2）若把抛物线y=﹣（x ﹣2）2+k 沿x 轴向左平移m 个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC 的顶点C ．试判断点B 是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．7．如图,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线y =mx 2+2mx +n 上．（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,若四边形AA B B ''为菱形,求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA B B ''的对称中心点M 的坐标．8．如图1，抛物线()221y ax a x =+-，其中(0)a >，点A （-2，m ）在该抛物线上，过点A 作直线l ∥xB AO11－－xy轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C.（1）求m的值.（2）当a=2时，求点B的坐标.（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，顶点P在直线l上，顶点Q在x轴上.①若PB=2AP，求a的值.②菱形OPBQ的面积的最小值是.9．如图，抛物线C1：y=﹣49（x+3）2与x，y轴分别相交于点A，B，将抛物线C1沿对称轴向上平移，记平移后的抛物线为C2，抛物线C2的顶点是D，与y轴交于点C，射线DC与x轴相交于点E，（1）求A，B点的坐标；（2）当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C2的顶点坐标；（3）若四边形ABCD是菱形．①此时抛物线C2的解析式；②点F在抛物线C2的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C2上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A，F，P，M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．10．如图，抛物线4212--=x x y 与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作AC PD //，交BC 于点D ，连接CP ．（1）直接写出A 、B 、C 的坐标； （2）求抛物线4212--=x x y 的对称轴和顶点坐标； （3）求PCD ∆面积的最大值，并判断当PCD ∆的面积取最大值时，以PA 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）与x 轴交于点O 、M ．对称轴为直线x=2，以OM 为直径作圆A ，以OM 的长为边长作菱形ABCD ，且点B 、C 在第四象限，点C 在抛物线对称轴上，点D 在y 轴负半轴上；（1）求证：4a+b=0；（2）若圆A 与线段AB 的交点为E ，试判断直线DE 与圆A 的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点P 在菱形ABCD 的内部且∠OPM 为锐角时，求a 的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过A （0，3），B （1，0）两点，顶点为M ． （1）求b 、c 的值；（2）若只沿y 轴上下平移该抛物线后与y 轴的交点为A 1，顶点为M 1，且四边形AMM 1A 1是菱形，写出平移后抛物线的表达式．13．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ． 14．如图，的顶点坐标分别为，，，把沿直线翻折，点的对应点为，抛物线经过点，顶点在直线上．证明四边形是菱形，并求点的坐标；求抛物线的对称轴和函数表达式；在抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，已知菱形ABCD 的边长为23，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（- 3，3），抛物线y=ax 2+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点． （1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE ⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ＜ 3 ）①是否存在这样的t ，使△ADF 与△DEF 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t 的取值范围．（写出答案即可）16．已知抛物线m 的顶点为（1，0），且经过点（0，1）． （1）求该抛物线对应的函数的解析式；（2）将该抛物线向下平移m 个单位，设得到的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 、C （点B 在点C 的左侧），若△ABC 为等边三角形． ①求m 的值；②设点A 关于x 轴的对称点为点D ，在抛物线上是否存在点P ，使得以点P 、C 、B 、D 为顶点构成的四边形是菱形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图12，已知抛物线2y ax c 过点2,2，4,5，过定点0,2F 的直线:2l y kx 与抛物线交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C .(1)求抛物线的解析式；(2)当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系(、、)，并证明你的判断；(3)P 为y 轴上一点，以,,,B C F P 为顶点的四边形是菱形，设点0,P m ，求自然数m 的值；(4)若1k ，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得QBF △的面积最大，若存在，求出点Q 的坐标及QBF △的最大面积，若不存在，请说明理由.18．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为（1，0），且经过点（0，1）． （1）求该抛物线对应的函数的解析式；（2）将该抛物线向下平移m(m>0)个单位，设得到的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 、C ，若△ABC 为等边三角形． ①求m 的值；②设点A 关于x 轴的对称点为点D ，在抛物线上是否存在点P ，使四边形CBDP 为菱形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知点A (0，4) 和点B (3，0)都在抛物线上．（1）求、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为D ，点B 的对应点为C ，若四边形A BCD 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC 的交点为点E ，试在轴上找点F ，使得以点C 、E 、F 为顶点的三角形与△ ABE相似。
二次函数中的菱形、三角形存在性问题 学生版
二次函数中的菱形、三角形存在性问题学生版简介这个文档将讨论二次函数中的菱形和三角形的存在性问题。
我们将探讨在何种情况下，二次函数图像可能呈现出菱形或三角形的形状。
菱形存在性问题当二次函数的方程为 $ax^2+bx+c=0$ 时，可以通过求解方程得到二次函数的根。
如果方程有两个不同的实根，我们可以预期函数图像将呈现出一个开口向下的U形。
然而，当方程有两个相同的实根时，即存在两个相同的解 $x_1=x_2$，函数图像将呈现出一个菱形的形状。
菱形形状的二次函数图像的特点是，函数在两个实根处的斜率为0。
这意味着函数图像在这两个点上的变化趋势为平行于x轴。
在这种情况下，函数图像没有顶点，而是一个平缓的平行四边形形状。
三角形存在性问题当二次函数的方程为 $ax^2+bx+c=0$ 时，如果方程有两个不同的虚根，即解为复数，我们可以预期函数图像将呈现出一个开口向上的U形。
然而，当方程有一个实根和一个虚根时，即存在一个复根和一个实根，函数图像将呈现出一个三角形的形状。
三角形形状的二次函数图像的特点是，函数在实根处的斜率不为0。
这意味着函数图像在这个实根点上的变化趋势不平行于x轴。
在这种情况下，函数图像有一个顶点，且图像从这个顶点开始呈现出一个向上开口的三角形形状。
总结在二次函数中，存在着菱形和三角形的图像形状。
当方程有两个相同的实根时，函数图像将呈现出一个菱形的形状；当方程有一个实根和一个虚根时，函数图像将呈现出一个三角形的形状。
这些特殊的图像形状提供了二次函数的一种变化和特性，我们可以通过观察方程的根来探索图像的形状。
希望这份文档能帮助你了解二次函数中的菱形和三角形存在性问题。
如果你有进一步的问题或需要详细的解释，请随时向老师或同学寻求帮助。
二次函数中的菱形、长方形存在性问题 学生版
二次函数中的菱形、长方形存在性问题
学生版
引言
本文将研究二次函数中的菱形和长方形的存在性问题。
菱形和长方形是数学中常见的图形，我们将分析二次函数中是否存在菱形和长方形，并探讨它们的特征和性质。
二次函数及其图像特征
二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像为一条平滑的曲线，我们将研究这个曲线是否可能生成菱形和长方形。
菱形的存在性问题
菱形是一个四边形，其特点是所有边的长度相等，且对角线相互垂直。
我们将尝试找出二次函数图像上是否存在满足这些条件的四边形。
通过研究二次函数的性质和方程，我们可以得出结论，二次函数曲线上不存在满足菱形条件的四边形。
长方形的存在性问题
长方形是一个四边形，其特点是相邻边相等且对角线相等。
我们将探讨二次函数图像上是否存在满足这些条件的四边形。
通过进一步分析二次函数的方程和性质，我们可以发现二次函数曲线上也不存在满足长方形条件的四边形。
结论
通过研究二次函数的图像特征和方程性质，我们认为二次函数曲线上不存在满足菱形和长方形条件的四边形。
这一结论对于理解二次函数的性质和图像特征具有重要意义。
参考文献
- [参考文献 1]
- [参考文献 2]
- [参考文献 3]。
二次函数中的平行四边形、菱形存在性问题 学生版
二次函数中的平行四边形、菱形存在性问题班级：_______ 姓名：______关键词：相等、全等、对称性、线段关系、化斜为直 解题步骤：1.分类（以“同一条线段”分别作为 边或对角线 ）2.画图（根据分类情况，由的性质 画图）3.计算（利用 ①的对边平行且相等 ②中点坐标公式 ③全等 ④平移 ⑤勾股定理 ⑥121k k ⋅=-）一、平行四边形 存在性问题单动点问题：已知A 、B 、C 是定点，D 为动点，问,,,A B C D 能否构成平行四边形？ 双动点问题：已知A 、B 是定点，C 、D 为动点，问,,,A B C D 能否构成平行四边形？中点公式A B c dAB c d x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩二、菱形 存在性问题基本问题：已知A B 、是定点，C 是直线l 上动点， D 的抛物线上动点，问,,,A B C D 能否构成菱形. 菱形特有性质： 1.邻边相等 2.对角线垂直 菱形处理方法：菱形 = “” + “邻边相等” = “等腰△”+“翻折”先构造等腰△，再作出等腰△的顶点关于底边的对称点，即为菱形的第4个顶点．例1. 如图，已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C 。
D 为坐标平面内一点。
若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．OAl1AB lD D 2C 3C 2ABlD 5D 4C 5C 4ABy xBCO Ay xBCO A例2. 如图，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例3. 如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -、(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．点P 是抛物线的对称轴上一动点，点Q 是平面内任意一点． （1）求抛物线的解析式；（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．例4.（威海）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣2，0），点B （4，0），点D （2，4），与y 轴交于点C ，作直线BC ，连接AC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD = ∠ACO 的点E 的坐标；（3）点M 在y 轴上且位于点C 上方，点N 在直线BC 上，点P 为第一象限内抛物线上一点，若以点C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．yxC BAOyxCBAOyxD C BAOyxDC BAO习题：1. （2016•黔西南州）如图，二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C（0，4），P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；2．（2019•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t 为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC 于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．3.（2016•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=a （x+1）2﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧． （1）求a 的值及点A ，B 的坐标；（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．。
2024年中考数学二次函数压轴题专题12菱形的存在性问题(学生版)
专题12菱形的存在性问题_、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四边都相等的四边形是菱形.坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直"或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCQ是菱形，则其4个点坐标需满足：工人++X D<Zi+%=%+为W a-乌尸+(为-％尸=j(Xc-乌尸+(%-无尸考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即才艮据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：(1)2个定点+1个半动点+1个全动点(2)1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1:先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+O8+Q”(AC、BQ为对角线)，再结合一组邻边相等，得到方程组.思路2:先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.1.看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,B点坐标为（5,4）,点。
在尤轴上，点。
在平面中，求。
点坐标，使得以A、B、C＞。
为顶点的四边形是菱形.2BA思路1：先平四，再菱形设。
点坐标为（秫，0）,。
点坐标为（p,q）.（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CQ互相平分及AC=BC）l+5=m+p<1+4=0+q,解得: (m-1)2+(0-1)2=(m-5)2+(0-4)239 m=一89 p=-8 g=5（2）当AC对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）1+秫=5+p m=2fm=8l+0=4+g,解得：<Q=-2或<p=4(1-5)2+(1—4)2=(秫—5)2+(0—4)2q=—3q=—3（3）当AD为对角线时，由题意得：1+p=5+m m=1+2^/^m=1-2^6 l+q=4+0,解得：L=5+2#<L=5-2^ (1-5)2+(1—4)2=(1—弑+(1—0)2q=3q—3思路2:先等腰，再菱形先求点G点C满足由A、B、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数与菱形1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP =S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大最大值为多少（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF 交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN 为菱形时，求点N的坐标．7．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP 折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．8．如图，ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ 是直角三角形9．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B 作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形请说明理由．10．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大若存在，求出点Q 的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．（1）求抛物线的表达式；的面积；（2）如图2，当t=1时，求S△ACP（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．15.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．16.如图，已知抛物线C1：y=﹣x2，平移抛物线y=x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．抛物线与菱形的专题参考答案1.解：（1）将B、C两点的坐标代入得解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3）；S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABOC+QPOF+QPBF==（10分）当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．（3）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴y=；（6分）∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）2.解：（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），设直线BD解析式为y=kx+s，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD解析式为y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，当△BCD∽△BNA时，则有=，即=，解得x=，此时N点坐标为（，0）；当△BCD∽△BAN时，则有=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标为（﹣4，0）；②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，当△BCD∽△ABN时，则有=，即=，解得y=4，此时N点坐标为（0，4）；当△BCD∽△ANB时，则有=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标为（0，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；（3）∵点P在直线BD上，∴可设P（t，t﹣2），∴BP==|t﹣2|，PC==，∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，∴有BC为边或BC为对角线，当BC为边时，则有BP=BC，即|t﹣2|=2，解得t=2+或t=2﹣，此时P点坐标为（2+，）或（2﹣，）；当BC为对角线时，则有BP=PC，即|t﹣2|=，解得t=3，此时P点坐标为（3，1）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+，）或（2﹣，）或（3，1）．3.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=；设一次函数的解析式为y=kx+b，把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；（2）C点坐标为（0，6），∵DE∥y轴，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OCDE，设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是抛物线上OA段上一点，∴0＜a＜3，∴a=，∴点E坐标为（，）；（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，∵OC=OB=6，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF为等腰直角三角形，∴HO=HF，设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四边形OCMF不为菱形．4.解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2，3）又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上∴，解得：．∴设抛物线的解析式为．（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴，若S△ADP=S△ADC，∵，，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，1），∴OC=1，∴，即或，解得：．∴点P的坐标为．（3）结论：存在．∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1．∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=，∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t 3=4+，t4=．5.解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a≠0），∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a （x+1）2+4可求得a=﹣1∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．（2）由题意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC．∴==2，∴PE=DP=t．∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4．∴点G的纵坐标为﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t．如图1所示：连接BG．S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQAF+EG（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t．=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2．（3）存在．∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2．∴cos∠BDC=．∵BQ=DP=t，∴DE=t．如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=2﹣t，解得t=20﹣8．∴菱形BQEH的周长=80﹣32．如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．∵MB=cos∠QBMBQ，∴MB=t．∴BE=t．∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=．∴菱形BQEH的周长为．综上所述，菱形BQEH的周长为或80﹣32．6.解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DRcos45°=﹣t2+t．（3）如图3中，∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K．∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH==13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH===4k，∴QN=QH=2k，=NHDQ=DNHK，∵S△DNH∴DQ=3，∴tan∠QDH==，∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴=，解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，∴QN=1，∴N（1，）．7.解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0）．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P（，）．（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．∴点M的坐标为（﹣，）．当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．8.解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5．∴tan∠ACB==，∴．由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．∴，OB=OC=4，AD=BC=8．∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．∴解之得，∴抛物线的解析式为y=x2+x+5；（2）存在．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC=AB=CD．又∵AD≠CD，∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE．由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=x2+x+5上．∴存在点E的坐标为（4，6）；（3）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°．∵，∴．由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5．当∠APQ=90°时，，∴，解得．当∠AQP=90°时，，∴，解得．∵，∴或．9.解：（1）由抛物线的解析式知：A（0，1）；∵BC⊥x轴，且点C（﹣3，0）∴点B的横坐标为﹣3，将其代入抛物线的解析式中，得：﹣×9+×3+1=∴点B（﹣3，）；设直线AB的解析式为：y=kx+1，有：﹣3k+1=，k=﹣∴直线AB：y=﹣x+1．（2）由题意，OE=t，则点E（﹣t，0）；（0≤t≤3）当x=﹣t时，点F（﹣t，t+1），点G（﹣t，﹣t2+t+1）∴GF=|（﹣t2+t+1）﹣（t+1）|=﹣t2+t即：s=﹣t2+t（0≤t≤3）．（3）因为BC⊥x轴，GE⊥x轴，所以BC∥GF；若四边形BCFG是平行四边形，那么BC=FG，即：s=﹣t2+t=，解得：t=1或2．当t=1时，点F（﹣1，），CF==，即CF=BC，该平行四边形是菱形；当t=2时，点F（﹣2，2），CF==，即CF≠BC，该平行四边形不是菱形；综上，当t=1或2时，四边形BCFG是平行四边形，其中t=1时，该平行四边形是菱形．10.解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+1；（2）BF=BC．理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，∴BF=x2+1，∵BC⊥x轴，∴BC=x2+1，∴BF=BC；（3）如图1，m为自然数，当m=0时，易得四边形BCPF为正方形，此时P点在原点；当点P在F点上方，∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，∴CB=CF=PF，而CB=FB，∴BC=CF=BF，∴△BCF为等边三角形，∴∠BCF=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OCF中，CF=2OF=4，∴PF=CF=4，∴P（0，6），∴自然数m的值为0或6；（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，解方程组得或，则B（2+2，4+2），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，∴S△QBF =S△EQF+S△EQB=（2+2）EQ=（+1）（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2+2+2当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=；（3）存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=，∴N（，），同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，当N（，﹣）或（，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴，解得：．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），∴BC==4．设直线BC的解析式为y=kx+4，∵点B的坐标为（4，0），∴0=4k+4，解得k=﹣1，∴直线BC 的解析式为y=﹣x+4．当t=1时，CP=，点A（﹣1，0）到直线BC的距离h===，S△ACP=CPh=××=．（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，∴CP=t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，∴PC=P′C，PF=P′F，当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．∴t=﹣t2+4t，解得：t1=0（舍去），t2=4﹣．故当t=4﹣时，四边形PFP′C是菱形．13.解：（1）把点A（﹣4，0）、B（﹣1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3．（2）①如答图2﹣1，过点D作DH⊥x轴于点H．∵S ODAE=6，OA=4，=OADH=3，∴S△AOD∴DH=．因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，∴x2+x+3=﹣，解得：x1=﹣2，x2=﹣3．∴点D坐标为（﹣2，﹣）或（﹣3，﹣）．当点D为（﹣2，﹣）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为（﹣3，﹣）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．②假设存在．如答图2﹣2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=：2．设D（m，m2+m+3）（m＜0），则F（m，m+3）．∴CN=﹣m，NF=﹣m∴CF==﹣m．∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，∴△DMF∽△CNF，∴，∴DF=CF=﹣m．∴DN=NF+DF=﹣m﹣m=﹣m．又DN=3﹣（m2+m+3）=﹣m2﹣m，∴﹣m2﹣m=﹣m解得：m=﹣或m=0（舍去）∴m2+m+3=﹣∴D（﹣，﹣）．综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（﹣，﹣）．14.解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：①当直线l边AD相交与点M1时，则S=×10=3，∴×3×（﹣y）=3∴y=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．15.解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）．设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=，（2）如图1物线y=的对称轴为：x=，由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长最小时的点G，设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．，解得：，所以：y=x+2，当x=时，y=，所以此时点G（，）；（3）如图2使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），证明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M，由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此时点Q的坐标为：（，）；（4）存在点N的坐标为：（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（，2）．16.解：（1）由题意设D（a，﹣a2），假设抛物线C2的解析式为：y=（x﹣a）2﹣a2，∵点C在抛物线C2上，∴将C（0，2）代入上式，解得：a=±2，∵点D在y轴右侧，∴a=2，∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2；（2）由题意，在y=（x﹣2）2﹣2中，令y=0，则x=2±，∵点B在点A的右侧，∴A（2﹣，0），B（2+，0），又∵过点A，B，C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，∴设E（2，m），且|CE|=|AE|，则22+（2﹣m）2=m2+（2﹣2+）2，解得：m=，∴圆心E的坐标为：（2，）；（3）假设存在点F（t，），使得四边形CEBF为菱形，则|BF|=|CF|=|CE|，∴（）2+（2+﹣t）2=（2﹣）2+t2，解得：t=，当t=时，F（2，），此时|EC|=，|FC|===，∴|CF|=|BF|=|BE|=|EC|，即存在点F（，），使得四边形CEBF为菱形．17.解：（1）直线解析式y=x﹣4，令x=0，得y=﹣4；令y=0，得x=4．∴A（4，0）、B（0，﹣4）．∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得，∴抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣4．令y=x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3或x=4，∴C（﹣3，0）．（2）∠MBA+∠CBO=45°，设M（x，y），①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示．∵∠ABO=45°，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E=x，OE=﹣y，∴BE=4+y．∵tan∠M1BE=tan∠BCO=，∴，∴直线BM1的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4，得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=，∴y1=﹣4，y2=﹣，∴M1（，﹣）；②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M2作M2E⊥y轴于点E，则M2E=x，OE=y，∴BE=4+y．∵tan∠M2BE=tan∠CBO=，∴，∴直线BM2的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=5，∴y1=﹣4，y2=，∴M2（5，）．综上所述，满足条件的点M的坐标为：（，﹣）或（5，）．（3）设∠BCO=θ，则tanθ=，sinθ=，cosθ=．假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．①若以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ=t，菱形边长=t．∴CE=CQ=（5﹣t）．在Rt△PCE中，cosθ===，解得t=．∴CQ=5﹣t=．过点Q作QF⊥x轴于点F，则QF=CQsinθ=，CF=CQcosθ=，∴OF=3﹣CF=．∴Q（﹣，﹣）．∵点D1与点Q横坐标相差t个单位，∴D1（﹣，﹣）；②若以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ=t，菱形边长=t．∵BQ=CQ=t，∴t=，点Q为BC中点，∴Q（﹣，﹣2）．∵点D2与点Q横坐标相差t个单位，∴D2（1，﹣2）；③若以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ=t，菱形边长=5﹣t．在Rt△CEQ中，cosθ===，解得t=．∴OE=3﹣CE=3﹣t=，D3E=QE=CQsinθ=（5﹣）×=．∴D3（﹣，）．综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．。