二次函数与菱形的专题
二次函数与菱形
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；
（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S
△ADP =S
△ADC
，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、
B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大最大值为多少
（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF 交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN 为菱形时，求点N的坐标．
7．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP 折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
8．如图，ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ 是直角三角形
9．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B 作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形请说明理由．
10．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；
（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大若存在，求出点Q 的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．（1）求抛物线的表达式；
的面积；
（2）如图2，当t=1时，求S
△ACP
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形说明理由．
②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形
DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
15.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；
（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
16.如图，已知抛物线C1：y=﹣x2，平移抛物线y=x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；
（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；
（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．
抛物线与菱形的专题参考答案
1.解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=ABOC+QPOF+QPBF
=
=（10分）
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
（3）存在点P，使四边形POPC为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴y=；（6分）
∴x2﹣2x﹣3=
解得x1=，x2=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
2.解：（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0），
则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∵BC=|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴﹣=4①，
把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，
由①②可解得或（舍去），
∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；
（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，
∴B（2，0），C（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+s，
把B、D坐标代入可得，解得，
∴直线BD解析式为y=x﹣2，
∴A（0，﹣2），
①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，
∴BN=2﹣x，
∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），
∴AB=2，BD=3
∵∠ABN=∠DBC，
∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，
当△BCD∽△BNA时，则有=，即=，解得x=，此时N点坐标为（，0）；
当△BCD∽△BAN时，则有=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标为（﹣4，0）；
②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，
∴AN=y+2，
由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，
当△BCD∽△ABN时，则有=，即=，解得y=4，此时N点坐标为（0，4）；
当△BCD∽△ANB时，则有=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标为（0，）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；
（3）∵点P在直线BD上，
∴可设P（t，t﹣2），
∴BP==|t﹣2|，PC==，
∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，
∴有BC为边或BC为对角线，
当BC为边时，则有BP=BC，即|t﹣2|=2，解得t=2+或t=2﹣，此时P点坐标为（2+，）或（2﹣，）；当BC为对角线时，则有BP=PC，即|t﹣2|=，解得t=3，此时P点坐标为（3，1）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+，）或（2﹣，）或（3，1）．
3.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，
把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，
所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；
（2）C点坐标为（0，6），
∵DE∥y轴，
∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，
∵∠DOE=∠EDA，
∴∠DOE=∠OCD，
∴△OCD∽△DOE，
∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OCDE，
设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a），
OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，
∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，
∵E是抛物线上OA段上一点，
∴0＜a＜3，
∴a=，
∴点E坐标为（，）；
（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：
如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，
∵OC=OB=6，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∴∠HOF=45°，
∴△OHF为等腰直角三角形，
∴HO=HF，
设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），
把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，
∴HO=HF=3，
∴OF=OH=3，
而OC=6，
∴四边形OCMF不为菱形．
4.解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上
∴m=3 即B（﹣2，3）
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上
∴，
解得：．
∴设抛物线的解析式为．
（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴，
若S△ADP=S△ADC，
∵，，
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，
∴C（0，1），
∴OC=1，
∴，即或，
解得：．
∴点P的坐标为．（3）结论：存在．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时DM1=AE=，
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，
∴t1=4﹣；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，
∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，
∴t3=4+；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴，即，得M4E=，
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，
∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t 3=4+，t4=．
5.解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）．
设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a≠0），
∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a （x+1）2+4
可求得a=﹣1
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．
（2）由题意知，DP=BQ=t，
∵PE∥BC，
∴△DPE∽△DBC．
∴==2，
∴PE=DP=t．
∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．
将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4．
∴点G的纵坐标为﹣t2+4，
∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t．
如图1所示：连接BG．
S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQAF+EG（AF+DF）
=t（2﹣t）﹣t2+t．
=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．
∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2．
（3）存在．
∵CD=4，BC=2，
∴tan∠BDC=，BD=2．
∴cos∠BDC=．
∵BQ=DP=t，
∴DE=t．
如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．
∵BE=BD﹣DE，
∴BQ=BD﹣DE，即t=2﹣t，解得t=20﹣8．
∴菱形BQEH的周长=80﹣32．
如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．
∵MB=cos∠QBMBQ，
∴MB=t．
∴BE=t．
∵BE+DE=BD，
∴t+t=2，解得：t=．
∴菱形BQEH的周长为．
综上所述，菱形BQEH的周长为或80﹣32．
6.解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=OC=3，
∴C（0，3），
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．
∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，
∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，
∵DE⊥BC，
∴∠DER=90°，
∴△DER是等腰直角三角形，
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴R（t，﹣t+3），
∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴DE=DRcos45°=﹣t2+t．
（3）如图3中，
∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，
∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，
设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K．
∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH==13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，
在Rt△NHK中，NH===4k，
∴QN=QH=2k，
=NHDQ=DNHK，
∵S
△DNH
∴DQ=3，
∴tan∠QDH==，
∵DF⊥DH，
∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，
∴∠DFQ=∠QDH，
∴tan∠DFQ==，
∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），
∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），
∴=，
解得t=，
∴D（，），
∴DQ=﹣1=，
∵=，
∴QN=1，
∴N（1，）．
7.解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=（x﹣1）2﹣9，
∴D（1，﹣9）．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B（4，0）．
∵y=（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0）．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P（，）．
（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．
设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．
∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．
将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，
∴F（1，﹣6）．
设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．
当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．
∴点M的坐标为（﹣，）．
当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．
∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
8.解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，
∴AB=AC=5．
∴tan∠ACB==，
∴．
由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，
∴（）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．
∴，OB=OC=4，AD=BC=8．
∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．
∴
解之得，
∴抛物线的解析式为y=x2+x+5；
（2）存在．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC=AB=CD．
又∵AD≠CD，
∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE．
由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）
当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=x2+x+5上．
∴存在点E的坐标为（4，6）；
（3）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB＜90°．
∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°．∵，
∴．
由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5．
当∠APQ=90°时，，
∴，
解得．
当∠AQP=90°时，，
∴，解得．
∵，
∴或．
9.解：（1）由抛物线的解析式知：A（0，1）；
∵BC⊥x轴，且点C（﹣3，0）
∴点B的横坐标为﹣3，将其代入抛物线的解析式中，得：﹣×9+×3+1=
∴点B（﹣3，）；
设直线AB的解析式为：y=kx+1，有：
﹣3k+1=，k=﹣
∴直线AB：y=﹣x+1．
（2）由题意，OE=t，则点E（﹣t，0）；（0≤t≤3）
当x=﹣t时，点F（﹣t，t+1），点G（﹣t，﹣t2+t+1）
二次函数与相似三角形问题(含答案)
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)
1 建桥初四 9 月 11 日数学《二次函数对称性增减性练习》课堂学案 【典例】抛物线 y = ax 2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应如下，从表可知： x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 6 6 4 … 下列说法: ①抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）， ②函数的最大值为 6 ③抛物线 1 的对称轴是直线 x= ，④在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，正确的有 2 【跟踪训练】、1、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表： x … - 1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 则下列判断:①抛物线开口向上， ②抛物线与 y 轴交于负半轴， ③当 x ＝4 时， y ＞ 0 ， ④方程 ax 2 + bx + c = 0 的正根在 3 与 4 之间. 其中正确的是 （只填写序号） 2、二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）中，自变量 x 与函数 y 的对应值如下表： 请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 【巩固练习】 1、已知抛物线 y = a (x -1)2 + h (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A (x ，0)，B (3，0) 两点，则线段 AB 的长 度为（ ） 2、抛物线 y = a (x + 1) 2 + 2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标 是( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3、抛物线 y = -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示，若 y > 0 ，则的取值范围是（ ） A . - 4 < x < 1 B . - 3 < x < 1 C . x < -4 或 x > 1 D . x < -3 或 x > 1 4、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 x … 0 1 2 3 2 5 2 … y … 1 7 4 7 4 - 1 4 …
二次函数与相似三角形问题(含答案 完美打印版)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．． 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y x E Q P C B O A 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、 B 两点，交y 轴于点 C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论； （3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式． 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么
(完整版)二次函数压轴题(相似类)
二次函数压轴题（相似类） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离； （3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标． 4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值； （3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； 5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程； （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数性质(对称性)(含答案)
二次函数性质 对称性和增减性： 点A(1，正确的是 A. 1 >2 B. 1 < 2 C. 1 ≥2 D. 1 ≤2 2.若二次函数的与的部分对应值如下表： 则当＝1时，的值为 A 、5 B 、﹣3 C 、－13 D 、－27 3.已知一元二次方程的一根为，在二次函数的图象上有 三点、、，、、的大小关系是 A. B. C. D. 4.若二次函数的图象经过A （－1，1）、B （2，2）、C （，3）三点，则关于1、2、3大小关系正确的是 A.1>2>3 B.1>3>2 C.2>1>3 D.3>1>2 x y y y y y y y y 2y ax bx c =++x y x y 230x bx +-=3-23y x bx =+-14 5 ,y ??- ??? 25 4 ,y ??- ??? 31 6 ,y ?? ??? 1y 2y 3y 123y y y <<213y y y <<312y y y <<132y y y < 5.已知函数，若使成立的值恰好有三个，则的值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6.如图6，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点．则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数． ②． ③当时，． ④． 其中正确结论是（ ） A ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④ ()()()() 2 211 351 3x x y x x >?--≤?=?--??y k =x k 21(2)3y a x =+-2 21(3)12 y x =-+(13)A ， A x B C ，x 2y 1a =0x =214y y -=23AB AC = 二次函数与相似的结合 题型一：动点在线段上 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴 分别交于点A 、C 两点，二次函数2 y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ； （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积； （3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标； 如图，抛物线2 2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧）， 与y 轴交于点 (0,3)C -，抛物线的顶点为M ； （1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值； （3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为 顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； 如图，已知抛物线2 y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值； （3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧）， 当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴1 2 a = . ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴3 2 c =- . ∴抛物线的表达式为213 22 y x x = --.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0）， 则652k b k b =+??-=+? ，∴2, 4.k b =??=-?即BC 的表达式为y =2x -4. x y A B E C O （第24题图） 二次函数的对称变换 学习目标：1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线，某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点（1，-4）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 2.点（x,y）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 二、新课探究 类型一：二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一：画出y=x2-2x-3的草图方法： 问题二：画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法： 问题三：请确定新抛物线的解析式 方法一：一般式 方法二：顶点式 问题四：观察两个解析式的区别与联系 角度一：一般式 角度二：顶点式 问题五：请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 练习：1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称，则a= b= c= 类型二：二次函数关于某条直线或某个点的对称变换（给个开口向上的图像） 问题一：选取关于某条直线对称 问题二：选取关于某一点对称 总结：研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 二次函数与相似 例1 抛物线y=ax 2-3ax+b 经过A(-1,0),C(0,2),交x 轴于另一点B. (1) 求此抛物线的解析式； (2) 点M 为y 使AN 平行且等于BM 的一半？若存在，请求出点N 的坐标； 若不存在，请说明理由； (3) 若点P 为抛物线上一点，ta n ∠ACP=3,求出点P 的坐标。 ① 一般相似： 1 、 如图，在坐标系中，把抛物线2 x y =平移，平移所得到的抛物线与x 轴交于A （-3,0）、B （ 1,0）两点，与y 轴交于C 点。 （1） 求平移后的抛物线的解析式； （2）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似，若存在，求出点M 的坐标。 ②直角相似： 2、P 为抛物线322++-=x x y 上一动点，以AC 为斜边构造直 角三角形，使直角顶点P 落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标． （若无斜边的指定） ③K 型相似： 3、如图，在直角坐标系中，抛物线32 ++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OB=OC=3OA 。 （1）求此抛物线的解析式； （2）过C 点作C D ⊥y 轴交抛物线于D 点，连接AC 、BD ，E 为BD 上一点，DE:BE=7：3，P 为线段AB 上一点，若∠CPE=∠CAP ，求P 点的坐标； （3）如图2，将（1）中抛物线沿x 轴正方向平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，与x 轴的右交点为E 点，G 为AC 中点，延长GO 交EF 于点H ，是否存在这样的抛物线，使得G H ⊥EF ，若存在，求平移后的抛物线的解析式，若不存在，请说明理由。 专题训练 1、抛物线y=ax 2+2ax+b 与x 轴交于A(-4,0)、B 两点，与y (1) 求抛物线的解析式； (2) P 的抛物线上一点且P C ⊥BC,Q 是PC 延长线上一点，QC=3 1 将抛物线向右平移m 个单位后恰好经过点Q ，将原抛物线 向下平移n 个单位后与线段PQ 只有一个公共点，请求出m n （3）在（2）的条件下，原抛物线上是否存在一点M,使得S △若存在，请求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由。 二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。 y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- 专题训练：二次函数与相似三角形 例1、如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 例2、已知：如图，抛物线22 1 412-+= x x y 与y x 、轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着点O 逆时针旋90°到△''A OB ，且抛物线2 2(0)y ax ax c a =++≠过点''B A 、。 （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求抛物线2 2y ax ax c =++的解析式； （3）点D 在x 轴上，若以'B D 、B 、为顶点的三角形与△B B A ''相似，求点D 的坐标． 图1 O A B y x O A B y x 图 2 B' A'O B A y x 例3、已知：矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()6,0A ，()0,3C ，直线 3 4 y x = 与BC 边交于D 点． （1）求D 点的坐标； （2）若抛物线2 y ax bx =+经过A 、D 两点，求此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 是对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求出符合条件的点P ． 例4、已知抛物线c bx x y ++=2 4 3与坐标轴交于点A,B,C 三点，A 点的坐标为)0,1(-，过点C 的直线343 -= x t y 与x 交于点,Q 点P 是线段BC 上的一个动点，过点P 作OB PH ⊥于点H ，若)10(,5<<=t t PB ，请回答下面的问题； （1）、求出抛物线的解析式 （2）、求线段QH 的长，（用含有t 的式子表示） （3）、根据P 点的变化，是否存在t 的值，使得以点Q H P ,,为顶点的三角形与COQ ?相似？若存在，求出所有的t 的值，若不存在，说明理由； (一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式（a≠０已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点） ④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点） ⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大 ?当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0） 当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大； 当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。 2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D) 3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。 4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ） A、0 B、－1 C、 1 D、２ 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为 ( ) (A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与ｙ ２ 得大小关系就是( ) Ａ．y 1 <ｙ 2 Ｂ、 y １ =y ２ Ｃ、 y 1 ＞y ２ Ｄ、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1 高中数学二次函数对称轴典型问题练习题 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴， ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2 142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3 106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2 (,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02 ,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间 例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2； ②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3； 例三 已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值 ()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3. t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >?-++? ③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ????≠≠ <><-????若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-????????-?ⅱ若－，即，因为对称轴＝ ，故又分两种情况讨论： ①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关 二次函数与菱形 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式． （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理 由． 2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标； （3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F． （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P的坐标； （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、 B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式； （2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大最大值为多少 （3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为 求二次函数解析式之对称式 用“对称式”求抛物线解析式分为下面几种情况： 1.抛物线关于x 轴对称.抓住关于抛物线关于x 轴对称其对应点横坐标相同，而纵坐标互为 相反数.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于x 轴对称的图象为 ()'2y y ax bx c a 0=-=++≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=---≠. 结论：抛物线关于x 轴对称各项系数及常数项均互为相反数. 2.抛物线关于y 轴对称.抓住关于抛物线关于y 轴对称其对应点横坐标互为相反数，而纵坐 标相同.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为 ()()()'2 y a x b x c a 0=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+≠. 结论：抛物线关于y 轴对称二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. 3.抛物线关于原点对称.抓住关于抛物线关于原点对称其对应点横纵坐标均互为相反数，. 也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为()()()'2 y y a x b x c a 0=-=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+-≠. 结论：抛物线关于原点对称二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同. 例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线2y x 2x 3=--自动生成的对称抛物线（红 色）： 4.关于直线x k =（k 是常数）和关于直线y h =（h 是常数）对称. ①.关于直线x k =（k 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的横坐标和的一半等于k ，即，对称点的横坐标之和 =2k .若原抛物线配方成()()2 y a x m n a 0=++≠，则其关于直线x k =（k 是常数）对称的抛物线应表示为()()'2 y a 2k x m n a 0=-++≠，即()()'2 y a x 2k m n a 0=--+≠ （注意k 和m 都要变号,n 不变号） ②. 关于直线y h =（h 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的纵坐标和的一半等于h ， 东升学校九年级上数学导学稿（编号：813） 班级 姓名 组 号 时间 年 月 日 课题：二次函数与相似问题 课型：新授 主备 严光华 审核 九年级数学组 例1.已知抛物线经过A （－2，0），B （－3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ， 是否存在点P 使得以点P 、M 、A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2.把抛物线 向左平移1个单位，再向下平移4个单位， 得到抛物线 所得抛物线与轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h,k 的值；（2）判断 的形状，并说明理由； （3）在线段AC 上是否存在点，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 例3.抛物线 与X 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0）， 过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H . （1）直接填写：a= ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标. 2y x =2()y x h k =-+ACD △32++=bx ax y 例4.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)． (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式； (2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE (3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由． 练习一 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2． （1）求这条抛物线对应的函数关系式； （2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由 （3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 练习二 如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，设E是抛物线上在第一象限内的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长 （3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数相似综合专题 知识要点 1．求抛物线的解析式（载体作用，注意利用顶点式隐藏顶点坐标或利用比根式隐藏与x 轴两交点的坐标）． 2．结合质点运动，探索两个几何变量之间的函数关系； 3．探索存在问题（面积、线段、角度等）； 4．几何最值、几何定值与几何推理； 5．全等、相似、轴对称、旋转、平移、解直角三角形、圆的相关知识的综合运用； 6．注意结合抛物线的图象变换构建存在性问题． 例题解析 【例1】已知抛物线y ＝223x x --与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ． ①若抛物线的顶点为M ，求四边形ACMB 的面积； ②在第一象限的抛物线上求点P ，使S △ABP ＝10； ③在第一象限的抛物线上求点P ，使S △ACP ＝10； ④在②的条件下，在抛物线上求点Q ，使S △APQ ＝S △BPQ ； ⑤在②的条件下，在抛物线上求点Q ，使S △APQ ∶S △BPQ ＝1∶3． 〖练1〗如图，□OABC 中，点A 坐标为（2，0），抛物线y ＝24ax bx ++经过点A ，B ，C 三点，交y 轴于点D ． ①求此抛物线的解析式； ②P 是抛物线上一点，且△OBP ≌△ODP ，求P 点坐标； ③直线MN ∥x 轴，交抛物线于N ，交y 轴于M ，连线段BN ，AM ，BN 交OD 于E ，若AM ∥BN ，求线段MN 的长． 第①问图 第②问图 第③问图 【例2】已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线 过点B，D． （1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC＋EC）为定值． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝2 ax bx +与直线y＝4 x -+交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值； （2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P 作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间函数关系式 （不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当S△ACN＝S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q 作QR∥MN交ON于点R，连接MQ，BR，当∠MQR－∠BRN＝45°时，求点 R的坐标． 专题15 巧用相似解二次函数与圆相关题型 解题方法：与圆相关的题型中借助相似三角形的性质将面积最值转化为线段最值求解，要灵活运用平行线切割线段成比例的性质. 下面具体看几个例子，帮助同学们加以理解. 1. （2019·江苏苏州中考）如图①，抛物线y =－x 2 +（a +1）x －a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积是6． （1）求a 的值； （2）求△ABC 外接圆圆心的坐标； （3）如图②，P 是抛物线上一点，Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，△QPB 的面积为2d ，且∠PAQ =∠AQB ，求点Q 的坐标． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵y =－x 2+（a +1）x －a 令y =0，即－x 2+（a +1）x －a =0， 解得x 1=a ，x 2=1， 由图象知：a ＜0， ∴A （a ，0），B （1，0） ∵S △ABC =6 ∴()()112 a a --=6，解得：a =－3， a =4（舍去）， 即a=－3. （2）设直线AC 的解析式为：y =kx +b ，由A （－3，0），C （0，3）， 可得－3k +b =0，且b =3， 解得：k=1，b=3 即直线AC：y=x+3， ∴A、C的中点D坐标为 33 22 ??- ??? ，， ∴线段AC的垂直平分线解析式为：y=－x，线段AB的垂直平分线为x=－1 联立解得：y=1， 即△ABC外接圆圆心的坐标（－1，1） （3）过P作作PM⊥x轴于M，则S△BAP=1 2 2 AB PM d ??=， ∴S△BAP=S△BQP， ∴A、Q到PB的距离相等， 即AQ∥PB 设直线PB解析式为：y=x+b， ∵直线经过点B（1，0）， ∴直线PB的解析式为y=x－1， 联立y=x－1，y=－x2－2x+3， 解得：x=－4，y=－5或x=1，y=0（舍），∴点P坐标为（－4，－5） 又∵∠PAQ=∠AQB 可得：△PBQ≌△ABP， ∴PQ=AB=4 设Q（x，x+3）， 由PQ=4，得：（x+4）2+（x+8）2=42， 解得：m=－4，m=－8（舍去）2018年中考总复习专题：二次函数与相似的结合
二次函数的对称变换
二次函数与相似
二次函数对称性的专题复习
专题训练二次函数与相似三角形
二次函数的对称性
二次函数对称轴经典问题
二次函数与菱形的专题
求二次函数解析式之对称式
二次函数与相似专题复习
二次函数相似综合专题
专题15 巧用相似解二次函数与圆相关题型(解析版)