高等代数教案 北大版 第二章
高等代数第二章多项式教案
第二章 多项式教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高 学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项 式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项 式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实 数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．教学内容及学时分配 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多 项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理 数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）．重点、难点 理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去 律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的 可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代 数基本定理，C 、R 、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表 示对称多项式．教学手段 传统教学和多媒体教学相结合．2．1 一元多项式的定义和运算教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点 一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律． 教学过程 讲授练习．１.多项式的定义令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复 先讨论R 上一元多项式定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式n n x a x a x a a ,2210 +++ ， （１）这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数.在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, i i x a 叫做 i 次项, i a 叫做 i 次项的系数.一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示.2. 相等多项式:定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;f (x)=g(x) 非负整数 n 叫做多项式n n x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数.系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0.多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0∂.3. 多项式的运算:()n n x a x a a x f +++= 10 ()m m x b x b b x g +++= 10是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是多项式()()()()n n n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100 这里当 m<n 时,取01===+n m b b多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式m n m n x c x c c +++++ 10 这里m n k b a b a b a b a c k k k k k +=++++=--,,1,0,011110 我们定义 f(x)和 g(x)的差f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x)) 4. 多项式加法和乘法的运算规则① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x)；② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ; ③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) 有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成 n n n n a x a x a x a ++++--1110 ⑵ 当00≠a 时，n x a 0叫做多项式⑵的首项 5. 多项式的运算性质定理 2.1.1 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)≠0, g(x)≠0.那么a) 当 f(x)+g(x)≠0 时,()()()()()()()()x g x f x g x f 000,max ∂∂≤+∂ b) ()()()()()()()x g x f x g x f o 00∂+∂=∂ 证： 设()()()()m x g n x f =∂=∂00,()0,10≠+++=n n n a x a x a a x f ， ()0,10≠+++=m m m b x b x b b x g ， 并且n m ≤.那么()()()()()n n n x b a x b a b a x g x f ++++++=+ 1100， ⑶ ()()()m n m n x b a b a b a b a x g x f +++++= 011000， ⑷由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过 n ，另一方面，由 a n ≠0，b m ≠0 得 a n b m ≠0．所以由(5)得 f(x)g(x)的次数是 n +m.推论 2.1.2 f(x)g(x)=0 必要且只要 f(x)和 g(x)中至少有一个是零多式．证 若是 f(x)和 g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得f(x)g(x)=０(x)≠0 且 g(x)≠0，那么由上面定理的证明得 f(x)g(x)≠0．推论 2.1.3 若是 f(x)g(x)= f(x)h(x),且 f(x)≠0，那么 h(x)=g(x)证 由 f(x)g(x)= f(x)h(x)得 f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)≠0，所以由推论2.1.2 必有 g(x)-h(x)=0,即 g(x)=h(x).由于推论 2.1.3 成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。
高等代数第二章
q x , r x F[ x], 使得 f x g x q x r x
这里 r x 0 ，或者 0 r x 0 g x .
并且满足上述条件的 q x 和r ( x) 只有一对。
注1： q x , r x 分别称为 g x 除f ( x )所得的商式和 余式 注2： g x 0, g x | f x r x 0.
证：先证定理的前一部分——存在性.
（i）若 f x 0 , 或
0 f x 0 g x .
则可以取
q x 0, r x f x 0 0 g x . 把f x 和g ( x) f x , 且 （ii）若 f x 0
g x 不能整除 f x ，记为
二、 多项式整除性的一些基本性质
（1） h x | g x , g x | f x h x | f x
（2） h x | f x , h x | g x h x | f x g x
f x a 0 a1 x a 2 x 2 a n x n
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
2
f(x)和g(x)的乘法定义为
f x g x c 0 c1 x c 2 x c n n x
证 由 f x g x f x hx 得 f x g x h x 0 。但
f x 0。所以由推论1必有 g x h x 0 ,即
g x h x
例
当 a, b, c 是什么数时，多项式
高等代数【北大版】2
2.三级行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
§2.3 n阶行列式
a11 a12 a13 a11 a12
D a21 a22 a23 a21 a22
2 (3)
(1) 4 2
123 2 1 3 1 18 12 9 4 6 12 321
§2.3 n阶行列式
例2.
1000 0200 0030 0004
(1) (1234) a11a22a33a44
24
1
2
3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
5
6! 720
a31 a32 a33 a31 a32
沙路法
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法
§2.3 n阶行列式
3.n 级行列式
n 级行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
a a a 1 j1 2 j2
njn
(1)
的代数和，这里 j1 j2 jn 为 1,2, ,n 的排列.
每一项（1）都按下列规则带有符号:
当 j1 j2 jn 为奇排列时（1）带负号；
当 j1 j2 jn 为偶排列时（1）带正号；
§2.3 n阶行列式
高中数学 第二章 函数 2.2 对函数的进一步认识 2.2.3 映射教案3 北师大版必修1
2.2.3 映射教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：理解概念．教学过程：一、复习准备：1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.二、讲授新课：1. 教学映射概念：①先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意{1,4,9}A=, {3,2,1,1,2,3}B=---，对应法则：开平方；{3,2,1,1,2,3}A=---，{1,4,9}B=，对应法则：平方；{30,45,60} A=︒︒︒,1{}2B=, 对应法则：求正弦；②定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？④讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？举例一一映射的实例（一对一）2.教学例题：①出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？A={P | P是数轴上的点}，B=R；A={三角形}，B={圆}；A={P| P是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R=∈∈；A={高一某班学生}，B= ？（师生探究从A到B对应关系→辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）②讨论：如果是从B到A呢？③练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x→+；*,{0,1}A N B==，对应法则:2f x x→除以得的余数；A N=，{0,1,2}B=，:3f x x→被除所得的余数；设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y==:f x x→取倒数；{|2,},A x x x NB N=>∈=，:f x x→小于的最大质数3. 小结：映射概念.三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题； 2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题.1。
高代(北大版) 第二章 行列式
在一个n元排列 j1 j2 jn 中，如果交换 高 对换的定义： 某两个数码的位置而别的数码不动， 等 则称对这个排列施行了一个对换。 代 如果交换的两个数码是 i 和 j ，就把这个对换记为 i, j 数
假如 jn n ，则由归纳假设知 j1 j2 jn1 可经 高 等 一系列对换变为12…（n-1）。于是经同样 代 一系列的对换，j1 j2 jn1n 变为12…(n-1)n； 数 （2）假如 jn n ，设 jk n 1 k n 1 ，于是经 j ,j 一次对换 jk , jn ，得 j1 jk jn j1 jn n
高 等 代 数
§2.3
2
n阶行列式的定义
行 列 式
2013-8-15 阜师院 数科院
高 问题：如何定义n阶行列式？ 等 一、二阶与三阶行列式的构造 代 a11 a12 j j a11a22 a12 a21 1 a1 j a2 j 数 a21 a22 j j
1 2 1 1 2
行 列 式
a11a22 a33 a12 a23a31 a13 a21a32 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32
1
j1 j2 j3
a1 j1 a2 j2 a3 j3
阜师院 数科院
2013-8-15
高 特点：（1）共有3！项的代数和； （2） 每一项是三个元素的乘积，这三个元素 等 既位于不同的行又位于不同的列，展开 代 式恰由所有这些可能的乘积组成； 数
1 2 3
x1 x2 x3
Dx1 D Dx2 D Dx3 D
是方程组（2.1.2）的公式解。
高等代数教案第二章多项式
⾼等代数教案第⼆章多项式第⼆章多项式⼀综述1. 多项式是中学代数的主要内容之⼀.本章从两个不同的⾓度对⼀元多项式进⾏了讨论；⾸先⽤纯代数的观点,从⼀元多项式的⼀般形式⼊⼿,在⼀般数域上讨论了⼀元多项式,围绕着⼀元多项式的因式分解这⼀中⼼内容,分别讨论了⼀元多项式的概念.运算.整除理论.最⼤公因式和重因式等内容,从⽽建⽴了⼀元多项式的⼀般理论；然后⽤代数的观点进⼀步在具体数域（即,,C R Q ）上讨论了⼀元多项式的根与因式分解问题,从⽽在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习⼀元多项式的基础上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多项式基本定理及应⽤.2. 本章内容学⽣部分熟悉,但如此严格地系统讨论⼀元多项式的整除理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学⽣很不习惯,因此在教学中要注意训练学⽣正确掌握概念.学会推理有理有据,做好⽰范.⼆内容、要求1. 内容：⼀元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余除法）.最⼤公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯⼀分解定理.重因式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不讲）.2. 要求：掌握数域上的⼀元多项式的概念.运算.次数定理及应⽤；理解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最⼤公因式的概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概念,掌握多项式的唯⼀分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌握多项式有⽆重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念；掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法.2.1 ⼀元多项式的定义和运算⼀教学思考1. 本节纯形式地定义了⼀元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.从中注意⼀元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多项式相等的概念分析.另外⼀个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本⾝证明易于理解,重要的是应⽤它证明有关问题.2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密.⼆教学过程1. 基本概念定义1. 数环R 上⼀个⽂字x 的多项式或⼀元多项式指的是形式表达式：2012n n a a x a x a x ++++ （1）其中,(1,2,,)i n N a R i n ∈∈=.定义2. 若数环R 上两个⼀元多项式(),()f x g x 具有完全相同的项,或者仅差⼀些系数为0的项,则称()f x 和()g x 相等.记作()()f x g x =.定义 3. 若2012()n n f x a a x a x a x =++++ (0)n a ≠,n n a x 叫做()f x 的最⾼次项,⾮负整数n 叫做()f x 的次数,记作(())f x ??.（即(()))f x n ??=.定义4. 设2012()n n f x a a x a x a x =++++,2012()m m g x b b x b x b x =++++是数环R 上两个多项式,且m n ≤；（1）()f x 与()g x 的和（记为）()()f x g x +指的是多项式：0011()()()()m n m m n n a b a b x a b x a b x +++++++++,这⾥m n <时,取10m n b b +===.（2）()f x 与()g x 的积（记为）()()f x g x 指的是多项式： 2012m n m n c c x c x c x ++++++,其中011110k k k k k c a b a b a b a b --=++++,(0,1,2,,)k m n =+.（3）由多项式运算的定义,数环R 上两个多项式(),()f x g x 的和.差.积的系数可由(),()f x g x 的系数的和.差.积表⽰,由于(),()f x g x的系数属于R ,因⽽它们的和.差.积也属于R ,所以数环R 上两个多项式的和差积仍是数环R 上的多项式,故可类于数环的概念：我们⽤[]R x 表⽰数环R 上⽂字x 的多项式的全体,且把其中如上定义了加法和乘法的[]R x 叫做数环R 上的⼀元多项式环.2. 基本定理多项式的加法和乘法满⾜如下算律：设(),()f x g x ,()h x ∈[]R x ,A ）()()()(),()()()()f x g x g x f x f x g x g x f x +=+=；（交换律）B ）(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++,(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x =；（结合律）C ）()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；（分配律）TH2.1.1（次数定理）设(),()f x g x ∈[]R x ,且()0f x ≠,()0g x ≠；则（1）当()()0f x g x +≠时,{}000(()())max (()),(())f x g x f x g x ?+≤??；（2）000(()())(())(())f x g x f x g x ?=?+?.Cor2.1.2 ()()0()0,()0f x g x f x g x =?==⾄少有⼀个成⽴.Cor2.1.3 （乘法消去律）若()()()()f x g x f x h x =⽽()0f x ≠,则()()g x h x =.2．2多项式的整除性⼀教学思考1. 在[]R x 内,除法不是永远可以施⾏的,因此关于多项式的整除性的研究,也就是⼀个多项式能否除尽另⼀个多项式的研究,在多项式理论中占有重要地位.本节限于数域F 上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似,注意对照学习.2. 多项式的整除性是多项式之间的⼀种关系（等价关系）,为加深对此概念的理解,需掌握⼀些特殊多项式（零多项式,零次多项式）间的整除关系及整除的性质.3. 数域F 上任意两个多项式总有带余除法结论成⽴,其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表⽰实质的⼀般化,唯⼀性⽤同⼀法.4. 证明()|()f x g x 的思想可从定义.带余除法得到的充要条件以及将()g x 分解成两项之和⽽每⼀项能被()f x 整除,或将()g x 分离出()f x 作为⼀个因⼦来考虑.5. 整除性不随数域扩⼤⽽改变是由带余除法得到的⼀个⾮显⽽易见的结论.⼆内容、重点.要求1. 内容：⼀元多项式整除的定义.性质,带余除法.2. 重点：整除的定义.带余除法定理（它是判断整除.最⼤公因式及多项式的根的基础）.3. 要求：正确理解掌握整除概念.性质,掌握带余除法定理.三.教学过程1. 多项式的整除及性质定义1. 设(),()[],f x g x F x ∈若()[]h x F x ?∈使得 ()()()g x f x h x = （1）则称()f x 整除（除尽）()g x ；⽤符号()|()f x g x 表⽰.⽤符号()|()f x g x 表⽰()f x 不整除()g x ,（即对()[]h x F x ?∈都有()()()g x f x h x ≠）.当()|()f x g x 时,称()f x 是()g x 的⼀个因式,()g x 是()f x 的⼀个倍式.A ）若()|()f x g x .()|()g x h x ,则()|()f x h x ；（传递性）B ）若()|()h x f x .()|()h x g x ,则()|(()())h x f x g x ±；C ）若()|()f x g x ,则对()[]h x F x ?∈有()|()()f x g x h x ；特别2()|()f x f x ,()|(),()n f x f x n N ∈；D ）由B.C 若()|(),(1,2,,)i f x g x i n =,则对 ()[],(1,2,,)i h x F x i n ?∈=,有1()|()()n i i i f x g x h x =∑；E ）零次多项式整除任⼀多项式；F ）对()[]f x F x ∈,有()|(),,0cf x f x c F c ∈≠；特别()|()f x f x ；G ）若()|()f x g x .()|()g x f x ,则()(),,0f x cg x c F c =∈≠.2. 带余除法TH2.2.1（带余除法）设(),()[]f x g x F x ∈,且()0g x ≠,则（1）(),()[]q x r x F x ?∈使得()()()()f x g x q x r x =+；（*）其中()0r x =或00(())(())r x g x ?（2）满⾜（*）式及条件的(),()q x r x 只有⼀对.Cor1.设(),()[]f x g x F x ∈,（1）()0,()|()()0g x g x f x f x =?=；（2）()0,()|()()g x g x f x g x ≠?除()f x 的余式为0.Cor2. 设,F F 是两个数域,且F F ?,若(),()[]f x g x F x ∈,且在[]F x 内()|()g x f x ,则在[]F x 内()|()g x f x .（即多项式的整除性不随数域的扩⼤⽽改变.）2．3 多项式的最⼤公因式⼀教学思考1. 本节讨论了最⼤公因式的概念、性质（包括个数之间关系）及求法,互素的概念及性质.从内容上看与整数的整除性的有关内容是平⾏的,不难理解,但须注意其不同的特征.2. 为理解最⼤公因式,讨论⼀下两个零多项式及零多项式与⼀个⾮零多项式的最⼤公因式的问题、最⼤公因式的存在性.个数定理包含了最⼤公因式理论的所有问题,其中个数及之间关系由定义不难证明,重要的是存在性,其证明过程实质上是⼀种求法——辗转相除法.3. 互素是⽤最⼤公因式（为1）来定义的,此可解释其中的含义（仅有零次公因式）,这有利于验证性质；定义本⾝也包含了证明互素的⽅法（求最⼤公因式）.4. 由于最⼤公因式的求法——辗转相除法,实质是重复实施带余除法,所以由带余除法的特性（唯⼀性）可证多项式的最⼤公因式不随数域的扩⼤⽽改变.⼆内容、重点.要求1. 内容：最⼤公因式的概念、性质（包括个数.之间关系）及求法,互素的概念.性质及判定.2. 重点：最⼤公因式的概念、性质及求法.3. 要求：理解掌握上述有关概念、性质,掌握辗转相除法.三教学过程1. 多项式的最⼤公因式（1）定义1. 设(),(),()[]f x g x h x F x ∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则称()h x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式.定义2. 设(),(),()[]f x g x d x F x ∈,若()d x 满⾜：A ）()|(),()|()d x f x d x g x ；（()d x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式）B ）对()[]h x F x ?∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则有()|()h x d x .则称()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式.（2）最⼤公因式的存在性、求法TH2.3.1 []F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ⼀定有最⼤公因式.除⼀个零次因式外,不全为0的()f x 与()g x 的最⼤公因式是唯⼀的；即若()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式,则对当()f x 与()g x 不全为0时,0,,()c c F cd x ?≠∈也是()f x 与()g x 的最⼤公因式,且只有这样的乘积才是()f x 与()g x 的最⼤公因式.例1. 设43232()2443,()2543[]f x x x x x g x x x x Q x =--+-=--+∈求（()f x ,()g x ）. 解： 322543x x x --+ | 4322443x x x x --+- |2|x - 32615129x x x --+ 43224886x x x x --+- | x3262830x x x -+ 4322543x x x x --+213429x x -+ 32456x x x -+--13 23912627x x -+ 32281012x x x -+-| 1239182195x x -+ 322543x x x --+56168x - 231415x x -+-|3x -3x - 239x x -+515x - | 5515x - ((),()3f x g x x ∴=-. 0（3）性质：1）任意两个多项式的最⼤公因式不因数域的扩⼤⽽改变.2）TH2.3.2. 若()d x 是(),()[]f x g x F x ∈的⼀个最⼤公因式,则在[]F x ⾥可以求得多项式(),()u x v x 使得：()()()()()d x f x u x g x v x =+.例2. 设43232()421659,()254[}f x x x x x g x x x x Q x =--++=--+∈,求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x .分析：本题不仅求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x ,⽽由定理2中证知(),()u x v x 不仅与余式有关,且与商式有关,因⽽在辗转相除中不允许系数变化,将所得的等式逐步代回整理即可.（解略）2. 多项式的互素及其性质1）定义. 设(),()[]f x g x F x ∈,若(),()f x g x 在[]F x 内除零次公因式外不再有其它公因式,则称()f x 与()g x 互素.2）互素的充要条件TH2.3.3 ()f x 与()g x 互素((),())1f x g x ?=.TH2.3.3 设(),()[]f x g x F x ∈, ()f x 与()g x 互素(),()[]u x v x F x ??∈使得()()()()1f x u x g x v x +=.3）性质（1）若()f x ,()g x 都与()h x 互素,则()f x ()g x 与()h x 互素.（2）若()h x |()f x ()g x ,⽽()h x 与()g x 互素,则()h x |()g x .（3）若()g x 与()h x 都有：()g x |()f x ,()h x |()f x ,⽽()g x 与()h x 互素,则()g x ()h x |()f x .3. 最⼤公因式及互素概念的推⼴1）(2)n ≥个多项式的最⼤公因式定义. 设()[],(1,2,,),()[]i f x F x i n d x F x ∈=∈,若（1）()|(),(1,2,,)i d x f x i n =；（2）(),()|(),(1,2,,)i h x h x f x i n ?=,有()|()h x d x . 则称()d x 为()(1,2,,)i f x i n =的⼀个最⼤公因式. 2）(2)n ≥个多项式互素定义. 若11(),,()n f x f x -,()n f x 除零次公因式外没有其它公因式,称这⼀组多项式互素.2．4 多项式的分解⼀教学思考1. 多项式的分解是多项式理论的⼀个核⼼问题,在前⼏节的基础上,本节解决了多项式“不能再分”及“分解唯⼀性”等理论问题,这对中学相关内容有直接的指导作⽤.2. 从内容上讲本节内容简洁完整（⼀个概念.两个结论）,但需注意概念（不可约）与数域有关,其性质与“互素”类似；“唯⼀分解定理”的理论证明是运⽤数学归纳法结合消去律,也不难理解,但需指出的是：3. “唯⼀分解定理”没有给出因式分解的⽅法,因⽽具体对多项式进⾏因式分解需具体问题具体分析,需⽤中学学过的具体⽅法进⾏尝试（没有⼀般⽅法）,同时指出的是由“典型分解式”可得求两个多项式的公因式与最⼤公因式,⽽其前提是当知“典型分解式”时,但分解因式没有⼀般⽅法,所以此不能代替前述的具体⽅法——辗转相除法；⽽其中蕴涵着下节得出的⼀个分解因式的思路——分离重因式法.⼆内容、要求1. 内容：不可约多项式的概念及性质.唯⼀分解定理.2. 要求：掌握不可约多项式的概念及性质,会⽤性质推证某些命题；掌握唯⼀分解定理,它是多项式整除性理论的⼀个重要定理,在许多有关多项式理论的推导中很有作⽤,会⽤其推证有关问题.三教学过程（⼀）概念1. 多项式的平凡因式.⾮平凡因式定义1. 对()[],,0f x F x c F c ?∈?∈≠有|(),()|()c f x cf x f x ；称c 与(),(0)cf x c ≠为()f x 的平凡因式.若()(0)f x ≠除c 与(),(0)cf x c ≠之外还有其它因式,称为()f x 的⾮平凡因式.2. 不可约多项式.可约多项式1）定义2. 设()[]f x F x ∈,且0(())0f x ?>；若()f x 在[]F x 中只有平凡因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个不可约多项式；若()f x 除平凡因式外,在[]F x 中还有其它因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个可约多项式.结合定义1及注定义2等价为：定义2. 若[]F x 的⼀个(0)n >次多项式()f x 能分解为两个次数都⼩于n 的多项式()g x 与()h x 的乘积：()f x ()g x =()h x （1）则称()f x 在数域F 上可约；若()f x 在[]F x 中的任⼀形如（1）的分解总含有⼀个零次因式,则称()f x 在数域F 上不可约.2）性质设F 为数域（1）若()p x 不可约,则对,0,()c F c cp x ?∈≠也不可约.（2）设()p x 不可约,对()[]f x F x ?∈,则或者((),())1p x f x =,或者()|()p x f x .（3）设()p x 不可约,且()|()()p x f x g x ,则()|()p x f x ,()|()p x g x ⾄少有⼀个成⽴.（⼆）定理1. 两个定理TH2.4.1 []F x 中每⼀个(0)n >次多项式()f x 都能分解为[]F x 的不可约多项式的乘积.TH2.4.2 令0()[],(())0f x F x f x n ∈?=>,且()f x 可分解为 1212()()()()()()()r s f x p x p x p x q x q x q x ==,其中每个()i p x ,()i q x 都是[]F x 中的不可约多项式.则1）r s =；2）适当调整()i q x 的次序后可使()(),(,0,1,2,,)i i i i i q x c p x c F c i r =∈≠=.换句话说：若不计零次因式的差异,多项式分解成不可约因式的乘积的分解式是唯⼀的.2. 多项式的典型分解式（标准分解式）及其应⽤1）典型分解式：在多项式()f x 的分解式中：a ）把每个不可约多项式（因式）的最⾼次项系数提出来,使它们成为⾸项系数为1的多项式；b ）再把分解式中相同的不可约多项式合并在⼀起（写成⽅幂的形式）.则()f x 的分解式可写为：1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =.其中a 是()f x 的⾸项系数,()(1,2,,)i p x i r =是不同的最⾼次项系数为1的不可约多项式,001(1,2,,),(())(())ri i i k i r N f x k p x =∈?=?∑.这种分解式叫做()f x 的典型分解式（标准分解式）. 2）典型分解式的应⽤A ）若()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x = （0(())0f x ?>）,则()g x 是()f x 的因式的充要条件是：()g x 有以下典型分解式1212()()()()r m m m r g x bp x p x p x =,其中b 为()g x 的⾸项系数,0(1,2,,)i i m k i r ≤≤=（注i m 可为0,此时0()1i p x =,即()g x 不⼀定全含()f x 的不可约因式）.B ）求（(),()f x g x ）若121121()()()()()()s r r k k k k k r r s f x ap x p x p x q x q x ++=,112121()()()()()()r tr l l l l l r r t g x bp x p x p x q x q x ++=,其中 (),(1,,)i q x i r s =+与(),(1,,)j q x j r t =+互不相同,令{}min ,,(1,,)i i i m k l i r ==；则（11(),())()()()r m m r f x g x p x p x d x ==.2.5 重因式⼀教学思考1. 本节引⼊重因式的概念,讨论重因式的有关问题.2. 当知道多项式()f x 的典型分解式（建⽴⼀般分解式基础之上的）时,很容易观察到()f x 有那些重因式.且⼏重,以及有⽆重因式.但由于1中所述原因,需另辟道路来解决此问题,为此形式地引⼊了多项式的导数的概念（与分析中定义不同,结果⼀致）,且通过典型分解式,很容易得到()f x 的重因式与()f x '的重因式之间的关系,由此得到()f x 没有重因式的充要条件.3. 本节内容简洁完整,从中注意的是：⼀是()f x 有⽆重因式()f x ?与()f x '是否互素,⽽互素不因数域的扩⼤⽽改变,所以()f x 在[] ([])F x F x ?中⽆重因式,则在[]F x 中也⽆重因式；⼆是判断()f x 有⽆重因式有规范的⽅法；三是通过分析()f x 与()f x '以及((),())f x f x ',还有()f x 除以((),())f x f x '所得商间的关系,可得将()f x 因式分解的⼀种思想——分离重因式法,其中把⽅法步骤规范化（五步）.⼆内容、要求1. 内容：k 重因式.重因式.导数.没有重因式的充要条件.2. 要求：掌握有关概念及定理1-2,以及分离重因式法.四教学过程1. 概念定义 1. 在()[]f x F x ∈的分解式中,若不可约多项式()p x 出现且只出现k 次,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义1补. 若不可约多项式()p x 满⾜：()|()k p x f x ,⽽1()|()k p x f x +,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式（其中k 为⾮负整数）.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义2. 设01()[]n n f x a a x a x F x =+++∈,称1122n n a a x na x -+++为()f x 的（⼀阶）导数,记为()f x '.即()f x '=1122n n a a x na x -+++. 2. 定理TH2.5.1设()[]p x F x ∈不可约,若()p x 为()f x 的⼀个(1)k ≥重因式,则()p x 为()f x '的⼀个1k -重因式；特别()f x 的单因式不是()f x '的因式.TH2.5.2 (0)n >次多项式()f x 没有重因式()f x '?与()f x 互素.最后：讨论因式分解的⼀种思想⽅法——分离重因式法设0(())0f x ?>,()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =若((),())1f x f x '≠,有1211112()()()()()r k k k r f x p x p x p x g x ---'=且()|()i p x g x (1,2,,)i r =,从⽽（(),())f x f x '=1211112()()()r k k k r p x p x p x ---,则可令()((),())()f x f x f x q x '=；⽐较上述有关式⼦可知1()()()r q x p x p x =. 上述意思是：若⽤()f x 除以((),())f x f x ',则得商()q x 是⼀个与()f x 具有完全相同的不可约因式⽽没有重因式的多项式.由此得思想：若将()q x 能分解的话,便知()f x 的不可约因式,再确定每个不可约多项式在()f x 中的重数（作带余除法直⾄不能整除）.例：在[]Q x 中分解432()5648f x x x x x =++--解：第⼀步：求()f x ' 32()415124f x x x x '=++-第⼆步：求((),())f x f x ' 2((),())44f x f x x x '=+-第三步：由带余除法得：()f x =22(44)(2)x x x x +-+-第四步：分解()q x ： ()(1)(2)q x x x =-+第五步：确定每个因式的重数：2(1)|(),(1)|()x f x x f x --3()(1)(2)f x x x ∴=-+2.6多项式函数.多项式的根⼀教学思考1. 本节在另⼀观点下——函数观点,重新审视⼀下多项式,且以此重新认识⼀下多项式相等以及引⼊⼀个新的问题——多项式的根（当然多项式的根与多项式整除理论仍密切相关）.事实上,多项式的形式观点与函数观点在中学数学中曾经常⽤到,如在做多项式的加.减.乘运算时,通常运⽤形式观点,有时也理解为函数观点,此⼆者是统⼀的（在⽆限域上）.注意这种认识做到⼼中有数,在教学内容和教学过程中使学⽣逐步建⽴.2. 建⽴多项式的函数观点的关键是引导学⽣真正理解函数的实质——数集间的映射.3. 从内容上看余数定理.多项式的根及因式定理不难理解,其中需要注意的是本节在数环（含1）中讨论,则需要注意余数定理⽤带余除法证之成⽴的条件（除式⾸项系数为1）.根的概念实质与代数⽅程的根没有本质区别,根与（⼀次）因式的关系即与整除密切相关.其中有⼀附带结果——确定满⾜某些条件拉格朗⽇插值公式,只是该⼈给出的⼀种⽅法,可引导学⽣试想其如何⽽来,还有⽆它法.⼆内容、要求1. 内容：多项式函数.余数定理.多项式的根.因式定理.综合除法.拉格朗⽇插值公式,以及将多项式表为()x a -的幂.2. 要求：掌握上述概念与定理.三教学过程注：本节在数环R 中讨论,且设1R ∈,从⽽R Z ?.1. 多项式函数（1）定义. 给定01()[],()n n f x a a x a x R x =+++∈* 对c R ?∈,在()*中以c 代x 便得⼀个确定的数：01n n a a c a c R +++∈.称之为当x c =时()f x 的值,记为()f c .这样就得到R 到R 的⼀个映射,这个映射是由多项式()f x 确定的（:,()f R R c f c →→）,叫做R 上⼀个多项式函数.（2）性质. 由定义求()f c 可⽤c 代替()f x 中的x 直接计算,但有TH2.6.1（余式定理）设()[]f x R x ∈,c R ∈；⽤x c -除()f x 所得的余式等于x c =时()f x 的值()f c .综合除法：设1011(),()n n n n f x a x a x a x a g x x c --=++++=-；⽤()g x 对()f x 作带余除法,可设()()()f x x c q x r =-+ ()*其中120121()n n n n q x b xb x b x b ----=++++；将()f x ,()q x 代⼊()*式,由多项式相等,⽐较同次项系数得： 00110221,1121,,,,n n n n n a b a b cb a b cb a b cb a r cb ----==-=-=-=-得 001012121211,,,,,n n n n n b a b cb a b cb a b cb a r cb a ----==+=+=+=+即欲求k b ,须把前⼀项系数1k b -乘以c 再加上对应系数k a ,r 也可以如此写出.此算法可由下表写出：c | 0a 1a 2a1n a - n a + 0cb 1cb2n cb - 1n cb - 0b 1b 2b1n b - r 例：⽤3x +除42()49f x x x x =++-,求商式和余式.（解略）2. 多项式的根多项式的研究与⽅程的研究有密切的关系,如中学代数中⼀元⼆次⽅程的根与⼆次多项式的因式分解是⼀回事.（1）定义. 设()[],f x R X c R ∈∈,若当x c =时()f x 的值()0f c =,则称c 为()f x 在数环R 中的⼀个根.（2）性质：TH2.6.2(因式定理) 数c 为()f x 的根|()x c f x ?-.TH2.6.3 设()[]f x R X ∈,0(())0f x n ?=≥,则()f x 在R 中⾄多有n 个根（重根按重数计）. TH2.6.4设(),()[]f x g x R X ∈,且0((),())f x g x n ?≤,若以R 中1n +个不同的数来代替x ,每次所得的()f x 与()g x 的值都相等,则()f x =()g x .TH2.6.5 (),()[]f x g x R X ∈,()f x =()g x ?它们定义的R 上的多项式函数相等.2.7 复数域.实数域上的多项式⼀教学思考1. 本节在常⽤的三个数域上将某些结论进⼀步具体化,主要研究在这三个数域上进⼀步明确⼀元多项式的根的情况及因式分解即不可约多项式的形式.2. 在复数域上,所有的结论（不可约多项式的形式.根的情况）是建⽴在代数基本定理的基础上,由此结合上节定理3便得有关结论.代数基本定理证法很多,但鉴于⽬前知识所限暂不作证明.在复数域上另外的结论是根与系数的关系及根号解介绍,其中由根与系数的关系可得的引深问题（⽅程及其变换）可作附注处理.3. 在实数域上的结论是建⽴在其⾮实复根是成对出现这⼀性质之上的,有关结论简洁明了,只须补充⼀些例⼦和说明⼀些结论.⼆内容、要求1. 内容：代数基本定理,复数域上不可约多项式及典型分解式,根与系数的关系；实数域上的多项式的根的性质及不可约多项式的形式.2. 要求：掌握有关定理和结论.三教学过程1.复数域上的多项式（1）TH2.7.1（代数基本定理）设0()[],(())0f x C x f x n ∈?=>,则()f x 在C 内⾄少有⼀个根. TH2.7.2 设0()[],(())0f x C x f x n ∈? =>,则()f x 在C 内有n 个根（重根按重数计）.（2）根与系数的关系（Vieta 定理）⾸先设111()[]n n n n f x x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根；则()f x 12()()()n x x x ααα=---. 由多项式相等得：根与系数的关系为：112()n a ααα=-+++ 212131231n n n a αααααααααα-=++++++31231241223421(n n n n a ααααααααααααααα--=-++++++）……12321(1)()k k k n k n n n a αααααααα---=-++…… 123(1)n n n a αααα=-.⼀般地：设1011()[]n n n n f x a x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根,则()f x 012()()()n a x x x ααα=---,同理⽐较系数得：1120()n a a ααα=-+++ 2121312310n n n a a αααααααααα-=++++++312312412234210(n n n n a a ααααααααααααααα--=-++++++）(123210)(1)()k k k n k n n n a a αααααααα---=-++(1230)(1)n n n a a αααα=-.2.实数域上的多项式 TH2.7.3设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>;若C α∈是()f x 的⼀个⾮实的复数根,则α的共轭α也是()f x 的根,且α与α有同⼀重数.（即实系数多项式的⾮实复根是以共轭的形式成对出现的.）TH2.7.4实数域上不可约多项式除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复根的⼆次多项式,即22(40)ax bx c b ac ++-<.TH2.7.5设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>,则()f x 的典型分解式为: 12122121122()()()()()()s r l k k k l r f x a x x x x p x q x p x q ααα=---++++其中a 是()f x 的⾸项系数,,i j k l N ∈,40(1,,)i i p q i s -<=,112r si j i j k l n ==+=∑∑.另外：实数域上的多项式的根（实根）的情况⽐较复杂（可有可⽆）,但是,1）实系数奇次多项式⾄少有⼀个实根；2）实系数⾮零多项式的实根个数与多项式的次数有相同的奇偶性.例：1）设6()1f x x =-,求()f x 在[]C x .[]R x 的典型分解式.2）求有单根1-及⼆重根1的次数最低的复系数及实系数多项式.2.8 有理数域上的多项式⼀教学思考1. 本节进⼀步在有理数域上讨论多项式的可约性及有理根的求法.关于这两个问题是转化为整系数多项式在整数环上的可约性及整系数多项式的有理根的求法⽽解决的.对于第⼀个问题,结论是有理数域上存在任意次的不可约多项式,且给出了⼀个判断不可约的充分条件（Eisenstein 判别法）,对于第⼆个问题给出了⼀个较规范的求整系数多项式的有理根的⽅法.2. 关于有理数域上多项式的可约性等价于整系数多项式在整数环上的可约性,体现了（等价）转化思想,为实现这种转化,引⼊了本原多项式的概念和Gauss 引理,其中化法很规范；有了此,只须讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题,结果由苛朗奈克给出有⼀般⽅法,鉴于较繁不作介绍,实⽤中给出了⼀个判断整系数多项式在有理数域（整数环）上不可约的充分条件——Eisenstein 判别法.但需注意条件是充分⾮必要的,且有时不能直接使⽤,需对原多项式进⾏变形.3. 关于有理根的求法是在分析了整系数多项式的有理根的性质的基础上⾃然得到的.⼆内容、要求1. 内容：本原多项式.Gauss 引理.Eisenstein 判别法.整系数多项式的有理根的性质与求法2. 要求：掌握Gauss 引理,Eisenstein 判别法.有理根的求法三教学过程（⼀）有理数域上多项式的可约性1.有理系数多项式在有理数域上的可约性与整系数多项式在整数环上的可约性设()[]f x Q x ∈,若()f x 的系数不为整数,则以()f x 的系数的公分母的⼀个整数倍k 乘以()f x 得()[]kf x Z x ∈；显然()f x 与()kf x 在有理数域上具有相同的可约性.这样讨论有理数域上多项式的可约性只须讨论整系数多项式在有理数域上的可约性.问题：能否转化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性？此问题的⼀⾯是成⽴的,即整系数多项式在整数环上可约,则其在有理数域上也⼀定可约.关键是问题的另⼀⾯,即整系数多项式在有理数域上可约,则其在整数环上是否也⼀定可约？为此,引⼊：（1）本原多项式及其性质A ）定义. 设()[]f x Z x ∈,若()f x 的系数互素,则称()f x 为⼀个本原多项式.B ）性质：Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是⼀个本原多项式.（2）整系数多项式在有理数域上的可约性与在整数环上的可约性的⼀致性TH2.8.2设()[]f x Z x ∈,0(())0f x n ?=>,若()f x 在[]Q x 上可约,则()f x 在[]Z x 上也可约.2.整系数多项式在有理数域上不可约的⼀个充分条件——Eisenstein 判别法TH2.8.3设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈,若存在⼀个素数p 使得：1）|n p a ；2）|(0,1,,1)i p a i n =-；3）20|p a .则()f x 在有理数域上不可约.例：证明542()2631215f x x x x x =++-+在[]Q x 上不可约.（⼆）有理系数多项式的有理根TH2.8.4设101()[]n n n f x a x a x a Z x -=++++∈,0(())0f x n ?=>,若有理数u v是()f x 的⼀个根（这⾥,,(,)1u v Z u v ∈=）.则1）0|v a ,|n u a ；2）()()(),()[]u f x x g x g x Z x v =-∈.。
高等代数教案(北大版)第二章行列式
§2
排列
一．排列 定义：由 1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列 注：所有不同 n 级排列的总数是 n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ (n − 1)n = Pn 如所有的 3 级排列是 123，132，213，231，312，321． ——共 6=3！个。 二、逆序 逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大 为自然顺序。 在一个排列中，如果一对数的前后位置，与自然顺序相反，即前面的数 大于后面的数，则称这对数为一个逆序； 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 注： 1) 排列 123…n 称为自然排列，其逆序数为 0; 2) 排列j1 j2…jn的逆序数常记为τ(j1 j2…jn); 3) τ(j1 j2…jn) = j1后面比j1小的数的个数+ j2后面比j2小的数的个数 +…+ jn-1后面比jn-1小的数的个数。 或者 =j2前面比j2大的数的个数＋j3前面比j3大的数的个数 ＋…+jn前面比jn大的数的个数 例1 例2 排列 31542 中，逆序有那些？ 求 n 级排列 135…(2n−1)(2n) (2n−2)…42 的逆序数。
三 、奇排列、偶排列 定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列； 注：自然排列 123…n 为偶排列． 练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． 1) n(n−1)…321 2) (2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)n n(n − 1) key: 1) τ(n(n−1)…321) = ; 2) τ ((2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)n)=n2 2 四 、对换 定义：把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排 列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 定理 1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶 排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 对换a与b → a1 al ba b1 bm 设排列为 a1 al ab b1 bm ⎯⎯⎯⎯ 除 a, b 外，其它元素所成逆序不改变， 当 a<b 时，经对换后 a 的逆序增加 1 个, b 所成逆序不变； 当 a>b 时，经对换后 b 的逆序减少 1 个, a 所成逆序不变 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。 2) 一般情形 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn ，对换 a 与 b， a1 al ab1 bm bc1 al ab1
高中数学 第二章 函数章末复习课教案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学教案
第二章函数章末复习课一．三维目标：1.知识与技能:总结《函数》的知识结构，会结合所学知识解决与“集合”相关的问题；2.过程与方法：通过对知识结构的完善，体会分类讨论、数形结合的思想在数学中的应用。
3.情感态度与价值观：体会函数在实际生活中的应用。
二．教学重难点教学重点：函数知识的总结与应用教学难点：函数知识的综合应用三．教学方法:讲练结合法四．教学过程一．画一画知识结构二．学习要求一、对函数的进一步认识1．函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应法则．函数的值域是由定义域和对应法则所确定的．2．研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示．3．函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．4．分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．5．函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像．二、函数的单调性1．函数的单调性是函数的一个重要性质．它具有突出的地位和作用，它从定义域或定义域的部分区间上反映了函数值的变化趋势．2．有些函数在整个定义域上是增函数或减函数，有些函数是在定义域的某个子集上是增加的或减少的．要能从图像上写出函数的单调区间，更要能从定义理解上证明或判断函数的单调性．三、二次函数性质的再研究1．二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中(－h，k)为顶点；(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中(x1,0)，(x2,0)是函数的图像与x轴的两个交点坐标．并且只有抛物线与x轴有交点时才可写出两根式．四、简单的幂函数1．幂函数是形式定义，只有具备形式y＝xα的函数才是幂函数．即三个特征：①幂底数为自变量x；②幂指数为常数α；③只有一项且系数为1.2．函数的奇偶性是函数的另一重要性质，它从定义域整体上反映了函数的性质 .3．判断函数的奇偶性首先观察定义域是否关于原点对称，若不对称，则称为非奇非偶函数．若对称，再通过研究f(－x)与f(x)的关系作出判断．4．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．三．典例精讲题型一函数的概念及表示法[例1] 已知函数f(x)的定义域为[－1,3]，在同一坐标系下，函数y＝f(x)的图像与直线x＝1的交点个数为()A．0B．1C．2 D．0或1题型二求函数最值(值域)的方法1.直接法求基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)的最值，应用基本初等函数的最值结论，直接写出其最值．[例2] 函数f(x)＝x2－4x＋3在[0,3]上的值域是()A．[0,3] B．[－1,0]C．[0,2] D．[－1,3]2．观察法当函数的解析式中仅含有x2或|x|或x时，通常利用常见的结论x2≥0，|x|≥0，x≥0等，直接观察写出函数的最值．[例3] 求下列函数的值域．(1)y＝3x－1，x∈{1,2,3,4}；(2)y＝|x|＋1.3．配方法当函数的解式中出现二次式的结构时，常用配方法求值域．[例4] 求函数y＝5＋4x－x2的值域．4．换元法求形如函数y＝ax2m＋bx m＋c(ab≠0)或y＝ax＋bx＋c(ab≠0)的最值时，设x m＝t或bx＋c＝t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法．此时要注意换元后函数的定义域．[例5] 求函数y＝x＋1－2x的最大值．5．图像法画出函数图像，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．[例6] 函数y＝|x＋1|－|x－1|的最大值是________．四．课堂小结本节课我们有什么收获？五．布置作业练习册单元测试题。
高等代数北大版教案-第2章行列式
第二章 队列式§1 前言在中学代数中学过，关于二元线性方程组a 11x 1a 12x2b 1 a 21x 1a 22x2b 2当二级队列式a11a12a21a22时，该方程组有独一解，即b 1a 12a11b 1x 1b 2a22， x 2a21b2.a11a12a11a12a21a22a21a22关于三元线性方程组有近似的结论， 在这一章我们把这个结论推行到 n 元线性方程组a 11 x1a 12 x 2 ......a 1nxnb 1a 21x1a 22 x 2 ...... a 2n xn b 2 ..................................a n1x1a n2 x 2 ...... a nn xn b n的情况 . 为此，我们第一给出 n 级队列式的定义并议论它的性质 .§2 摆列一 讲课内容： § 2 摆列二 教课目标： 理解掌握摆列、逆序、逆序数的求法 . 三 教课重难点： 逆序数的求法 .四 教课过程；定义 1 由 1,2,......, n 构成的一个有序数组称为一个级摆列例 2431是一个 4 级摆列， 45321 是一个 5 级摆列明显， n 级摆列的总数是n(n 1)(n 2).......21 .我们记 1 2 (n 1)n n!读为“ n 阶乘”.定义 2 在一个摆列中，假如一对数的前后地点与大小次序相反，即前面的数大于后边的数，那么它们就称为一个逆序. 一个摆列中逆序的个数称为这个摆列的逆序数 .例 2431 中， 21，43， 41，31 是逆序， 2431 的逆序数是 4.45321 的逆序数为 9. 摆列j1j2...... j n的逆序数记为( j1j2...... j n )定义 3 逆序数为偶数的摆列称为偶摆列，逆序数为奇数的摆列称为奇摆列 .比如 2431 为偶摆列， 45321 为奇摆列 .定义把一个摆列中两个数的地点交换，而其他的数不动，就获得另一个摆列 . 这样的一个变换称为对调 .定理 1对调改变摆列的奇偶性.推论奇数次对调改变摆列的奇偶性，偶数次不改变摆列的奇偶性定理 2 随意一个n级摆列与摆列 12 n都能够经过一系列的对调互变，而且所做的对调的个数与这个摆列有相同的奇偶性 .§3 n 级队列式一讲课内容：§ 3 n 级队列式二教课目标：理解掌握队列式的定义与简单性质.三教课重难点：n级队列式的定义四教课过程；在给出 n 级队列式的定义以前，先看一下二级队列式与三级队列式的定义a11a 12a 11a22a 12a21a21 a22a 11 a 12 a 13 a 21a 22a 23a 11 a 22a 33a 12a 23a31a 13a 21a32a31a32a33a 13a 22a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32它们都是一些乘积的和， 而每一个乘积都是由队列式中位于不一样的行和不一样的列的元素构成的， 而且睁开式恰好就是由全部这类可能的乘积组 成 .定义 4 n 级队列式a 11 a 12 a 1na 21a22a2n(4)an1an 2ann等于全部取自不一样行不一样列的n 个元素的乘积a 1 j 1 a 2 j 2anjn(5)的代数和，这里 j 1 j 2 ...... j n 是1,2,......, n 的一个摆列，每一项 (5) 都以下规则带符号，当 j 1 j 2 ...... j n 是偶摆列时， (5) 带正号，当 j 1 j 2 ...... j n 是奇摆列时， (5) 带负号，这必定义能够写成a 11a 12a1na21 a22a2 n( 1) ( j 1 j 2 j n ) a 1 j 1 a 2 j 2anj nj 1 j 2 j nan1an2ann这里，表示对全部的 n 级摆列乞降 .j 1 j 2j n明显， n 级队列式是由 n ！项构成 . 例 1 计算队列式0 0 0 10 0 2 0.0 3 00 4 0 00解：由定义知0 0 0 10 0 2 0 1234 24.0 3 0 0 4 0 0 0例 2 计算上三角队列式a11a 12a1n0 a22a2 n.ann解：除掉为零的项后a11a 12a1na22a2na 11a22a nn .0 0 ann换句话说，这个队列式就等于主对角线 ( 从左上角右下角的这条对角 线 ) 上的元素的乘积 . 作为本例的特别状况，有d 10 d 2 0 d 1d 2d n .d n1 0 0 011.0 0 1主对角线之外的元素全为零的队列式称为对角形队列式 .实质上，行指标与列指标的地位是对称的， 因此为了决定每一项的符号，我们相同能够把每一项按列指标摆列起来，于是定义又能够写成a11a12a1na21a22a2n( 1) (i 1 i 2 i n )a i 1 a ia i n.22i 1i 2 i n1nan1an 2ann由此，可得队列式的以下性质性质 1队列交换，队列式不变，即a11 a12a1na11a21 aa21 a22a2n =a12a22 aan1 an2anna1na2n an1n 2.nn §4 n 级队列式的性质一讲课内容：§4 n 级队列式的性质二教课目标：理解掌握队列式的性质，娴熟地加以运用. 三教课重难点：队列式性质的运用四教课过程；a11a12a1na11a12a1n性质 2ka i 1ka i 2ka in =k a i1a i 2a inan1 an 2annan1an2ann性质 3a11 a12a1na11a12a1na11a12a1nb1c1b2c2b n c n = b1b2b n + c1c2c n .an1an 2annan1an 2annan1an 2ann性质 4 假如队列式中有两行相同，那么队列式为零 . 所谓两行相同就是说两行的对应元素相同 .性质 5假如队列式中两行成比率，那么队列式为式为零.性质 6把一行的倍数加到另一行，队列式不变.性质 7对调队列式中两行的地点，队列式反号.例 1 计算 n 级队列式a b b b b ab b d b b a b .b bb a 1b b b 0 a bb 0 解： d [a (n 1)b] 00 a b 0a b[ a (n 1)b]( a b) n 1 .例 2 一个 n 级队列式，假定它的元素知足a ija ji , i , j 1,2,......, n .证明 当 n 为奇数时，这个队列式为零 .§ 5 队列式的计算一 讲课内容： §5 队列式的计算二 教课目标： 理解掌握矩阵、矩阵的初等变换及方阵的初等变换与行列式的关系三 教课重难点： 初等变换四 教课过程；定义 5 由 sn 个数排成的 s 行( 横的 )n 列( 纵的 ) 的表a11a 12a1na21 a22a2nas1as2 asn称为一个 s n 矩阵 .数aij， i 1,2,......, s ， j 1,2,......, n 称为矩阵的元素， i 称为元素 aij 的行指标， j 称为列指标 . 当一个矩阵的元素全部是某一数域 P 中的数时，它就称为这一数域 P 上的矩阵 .n n 矩阵也称 n 级方阵，一个 n 级方阵a11a12a1na21 a22 a2nAan1an2ann定义一个 n 级队列式a 11 a 12 a 1n a 21a 22a 2nan1an2ann称为矩阵 A 的队列式，记为 A .定义 6 所谓数域 P 上矩阵的初等行变换是指以下三种变换：(1) 以 P 中一非零的数乘矩阵的一行 .(2) 把矩阵的某一行的 c 加另一行，这里 c 是 P 中随意一个数 .(3) 交换矩阵中两行的地点 . 我们称形式如0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 ， 0 0 10 2 ， 0 21 0 0 00 0 0230 03的矩阵为阶梯行矩阵， 它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，如该行全为零，则它的下边的行也全为零 . 能够证明，随意一个矩阵经过一系列的初等行变换总能变成阶梯行矩 阵 .明显，阶梯行方阵的队列式都是上三角形的 .例 计算队列式2 51319 13 7 .3 1 5 528710解 经过一些列初等行变换可得2 5 1 319 1370 13 25 1719 13 7= ( 13) 1630 0 16 8 312 .3 1 5 520 0 0 3287 102关于矩阵相同能够定义初等列变换 ，即(1) 以 P 中一非零的数乘矩阵的一列 .(2) 把矩阵的某一列的 c 加另一列，这里 c 是 P 中随意一个数 . (3) 交换矩阵中两列的地点 .矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换 .§ 6 队列式按一行 ( 列) 睁开一 讲课内容： §6 队列式按一行 ( 列) 睁开二 教课目标： 理解掌握余子式，代数余子式观点，利用队列式按一行睁开求队列式 .三 教课重难点： 队列式按一行睁开求队列式 .四 教课过程：由队列式的定义，有a11a12a1 na i1 a i 2 a in = a i1 A i1 a i 2 A i 2 a in A in , i 1,2,......, n .an1an2ann定义 7 在队列式a11a 12a1nai1 a i 2ainan1 an2ann中划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列，剩下的(n 1) 2个元素按本来的排法构成一个 n 1级的队列式a11 a1, j 1 a1, j 1 a1nai 1,1 ai 1, j 1 a i 1, j 1 a i 1,nai 1,1 ai 1, j 1 a i 1, j 1 a i 1,na n1a n, j 1a n , j 1a nn称为元素 a ij的余子式，记为 M ij.能够证明 A ij ( 1)i j M ij .定义 8 上边的 A ij称为元素 a ij的代数余子式.反过来，如果令第 i 行的元素等于第 k 行的元素，也就是a ij a kj, j 1,2,......, n ，k i .则a11 a1na k1 a kna k1 A i1 a k 2 A i 2 a kn A in= .ak1 aknan1a nn也就是说，在队列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零 .a11 a12a1n定理 3 设 d a21a22a2n ， A ij表示元素 a ij的代数余子式，an1an 2ann则以下公式建立a k1 Ai1ak 2Ai 2d k iaknAin=k.0 ia 1lA 1 ja2 lA2 ja nlAnjd lj 0 l.j5 3 1 2 0 1 72 5 2 例 1 计算队列式 02 3 1 0 . 041 4 00 2 3 5 0解：先按第 5 列，再按第 1 列睁开可得5 3 1 2 01 72 5 22 3 10 2 3 1 0 2 54 1 41080 . 0 4 1 4 0235235 0例 2队列式1 1 1 1a 1a 2 a 3a n da 12a 22a 32a n 2 .a 1n 1 a 2n 1 a 3n 1 a nn 1 称为 n 级范德蒙 (Vandermonde)队列式，我们来证明，对随意的n ，n 级范德蒙等于a 1 , a 2 ,,a n 这n 个数的全部可能的差a ia j(1jin) 的乘积 .用连乘号，这个结果能够写为1 1 1 1 a 1a 2 a 3 a na 12a 22a 32 a n 2 (a i a j ) .1 j i na 1n 1a 2n 1a 3n 1a n n 1例 3证明a 11a 1k0 0ak1 akk0 a 11a 1kb 11b 1r.c 11 c 1kb 11=b 1ra kkb r1b rra k1c r 1 c rkb r 1b rr§7 克兰姆 (Cramer) 法例一 讲课内容：§7 克兰姆 (Cramer) 法例二 教课目标： 理解掌握 (Cramer) 法例及推论，利用余子式，代数余子式观点，利用克兰姆 (Cramer) 法例解线性方程组 .三 教课重难点： 利用克兰姆 (Cramer) 法例解线性方程组 .四 教课过程：定理 4 假如线性方程组a 11 x 1 a 12 x 2 ...... a 1n x nb 1a 21x 1a 22x 2......a 2 n xn b 2 (1)..................................a n1x 1a n2x2......a nnxnb n的系数矩阵a 11 a 12 a 1na 21a 22a 2nAa n1 a n2 a nn的队列式 d A 0, 那么线性方程组 (1)有解，而且解是独一的，解能够经过系数表为x 1d 1, x 2d 2, ,x nd n .ddd此中 d j 是把矩阵 A 中的第 j 列换成方程组的常数项 b 1, b 2 , ,b n 所成的矩阵的队列式，即a11a 1, j 1b 1 a 1, j 1a 1nd ja 21 a 2 , j 1b 2 a 2, j 1 a 2n， j 1,2,......, n .an1 an , j 1 b nan, j 1 ann定理中包括着三个结论：1. 方程组有解 .2. 解是独一的 .3. 解由公式 (3) 给出 .定理 4 往常称为克兰姆 (Cramer) 法例 . 例 解方程组2x 1 x 2 5x 3 x 4 8x 1 3x 2 6x 4 92x 2 x 32x 4.5 x 1 4x 2 7x 3 6x 4 0解：方程组有独一解， x 1 3, x 24, x 31, x 4 1.常数项全为零的线性方程组称为 齐次线性方程组 ，明显齐次线性方程组老是有解的，由于 ( 0,0, ,0) 就是一个解，它称为 零解 .定理 5假如齐次线性方程组a 11 x1a 12 x 2 ...... a 1n x n 0a 21 x1a 22 x 2 ...... a 2 n x n 0 (10)a n1x 1 a n 2 x 2 ...... a nn x n的系数矩阵的队列式 A 0 ，那么它只有零解，换句话说，假如方程组 (10)有非零解，那么必有 A 0 .。
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
定义 1
令f x 和 gx是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一 个多项式 hx同时整除 f x和 gx ，那么hx 叫做
f x与 gx的一个公因式.
定义 2
设dx是多项式 f x 与 gx的一个公因式.若是 dx 能被 f x 与 gx的每一个公因式整除,那么 dx叫做 f x与gx的一个最大公因式.
（3）乘法交换律: f xgx gx f x （4）乘法结合律: f xgxhx f xgxhx
（5）乘法对加法的分配律: f xgx hx f xgx f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
an x n an1x n1 a1x a0 当 an 0 时，an xn叫做多项式的首项.
那么由上面定理的证明得 f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx
证 由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但 f x 0
所以由推论1必有 gx hx 0 ,即
gx hx
惠州学院数学系
例 当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx2 c b x3 x2
这里当m < n 时，bm1 bn 0
惠州学院数学系
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1x a2 x2 an xn gx b0 b1x b2 x2 bm xm
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f xgx c0 c1x c2 x2 cnn xnm
2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式
a0 a1x a2 x2 an xn
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.
高等代数备课教案北大版第二章
于是上述解可以用二级行列式叙述为：
当二级行列式
时，该方程组有唯一解，即
.
二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组
称代数式 为三级行列式，用符号表示为：
.
当三级行列式
时，上述三元线性方程组有唯一解，解为
其中
.
三、 元线性方程组
是否也有类似的结论呢？为此，首先给出 级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容.
(1)
其中 代表那些含有 的项在提出公因子 之后的代数和(至于 究竟是哪一些项的和暂且不管，到§6 再来讨论).从以上讨论可以知道， 中不再含有第 行的元素，也就是 全与行列式中第 行的元素无关.由此即得.
授课内容
第二章 行列式 第一讲 引言、排列
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
使学生了解行列式的背景，要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则，掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。
教学重点
二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则，有关排列的基本概念、排列的奇偶性。
(1)
(2)
从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成
(3)
其中 是1，2，3的一个排列.可以看出，当 是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当 是奇排列时带有负号.
定理1对换改变排列的奇偶性.
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.
高等代数课件(北大版)第二章-行列式§2
方法二
（2） 1 2 n (n 1) (n 2)
n(n 1) n(n 1) n2
2
2
当 k 为偶数时为偶排列，
21
当 k 为奇数时为奇排列.
§2.2 2024/10/5 排列
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四 、对换
定义 把一个排列中某两个数的位置互换, 而
其余的数不动, 得到另一个排列, 这一变换 称为一个对换. 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
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注:
① 排列 123 n 称为标准排列，其逆序数为０．
② 排列 j1 j2 jn 的逆序数常记为 ( j1 j2 jn ).
③ ( j1 j2 jn ) j1 后面比 j1小的数的个数 方法一
j2 后面比 j2 小的数的个数
jn1 后面比 jn1 小的数的个数.
或 ( j1 j2 jn ) j2 前面比 j2大的数的个数 方法二
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推论
所有 n 级排列中，奇、偶排列各半， 均为 n! 个. 2
证明 设在全部 n 阶排列中，有 s 个奇排列， t 个
偶排列，下证．s t
将 s 个奇排列的前两个数对换，则这 s 个奇排列
全变成偶排列，并且它们彼此不同， s t.
同理，将 t 个偶排列的前两个数对换，则这 t 个
（1） n(n 1) 321 （2） (2n)1(2n 1)2(2n 2)3 (n 1)n
§2.2 2024/10/5 排列
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答案:
方法一
(1) (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1)
2 当 n 4k, 4k 1 时为偶排列；
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第二章 行列式 第一讲 引言、排列
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
使学生了解行列式的背景，要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则，掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。
教学重点
二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则，有关排列的基本概念、排列的奇偶性。
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第四讲行列式的计算
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
通过本节学习，要求学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用
教学重点
矩阵的初等变换、行列式计算
教学难点
行列式的计算
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
在第二讲我们看到，一个上三角形行列式
就等于它主对角线上元素的乘积
性质3
.
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.
性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形.
性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.
性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.
性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变.
性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号.
例1计算 级行列式
例2计算行列式
.
由于上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算.
例3一个 级行列式，假设它的元素满足
, (4)
证明，当 为奇数时，此行列式为零.
.
于是上述解可以用二级行列式叙述为：
当二级行列式
时，该方程组有唯一解，即
.
二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组
称代数式 为三级行列式，用符号表示为：
.
当三级行列式
时，上述三元线性方程组有唯一解，解为
其中
.
三、 元线性方程组
是否也有类似的结论呢？为此，首先给出 级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容.
(2)
定义7在行列式
中划去元素 所在的第 行与第 列，剩下的 个元素按原来的排法构成一个 级行列式
(3)
称为元素 的余子式，记作
下面证明
. (4)
为此先证明 级行列式与 级行列式的下面这个关系，
(5)
其次,在(1)中令 即可得证
定义8上面所谈到的 称为元素 的代数余子式.
这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第 行的元素等于另外一行，譬如说，第 行的元素，也就是
课后反思
授课内容
第二讲n级行列式
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
使学生掌握行列式的定义，要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称
教学重点
一般行列式的定义、行与列的地位是对称的
教学难点
行列式的定义
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
一、 级行列式的概念
在给出 级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有
定理1对换改变排列的奇偶性.
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.
推论在全部 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 个.
定理2任意一个 级排列与排列 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变.
讨论、练习与作业
显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的.
例计算
不难算出，用这个方法计算一个 级的数字行列式只需要做 次乘法和除法.特别当 比较大的时候，这个方法的优越性就更加明显了.同时还应该看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算.
对于矩阵同样可以定义初等列变换，即
定义4 级行列式
(4)
等于所有取自不同行不同列的 个元素的乘积
(5)
的代数和，这里 是 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当 是偶排列时，(5)带有正号，当 是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成
(6)
这里 表示对所有 级排列求和.
定义表明，为了计算 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.
于是
右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.
定理3设
表示元素 的代数余子式，则下列公式成立：
(6)
(7)
用连加号简写为
在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个 级行列式的计算换成 个( )级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.
教学难点
二、三级行列式的对角线计算法则，排列逆序数的计算与奇偶性的确定
教学方法与手段
启发式 讲练相结合
教
学
过
程
解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.
一、对于二元线性方程组
当 时，此方程组有唯一解，即
我们称 为二级行列式，用符号表示为
(1)
(2)
从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成
(3)
其中 是1，2，3的一个排列.可以看出，当 是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当 是奇排列时带有负号.
(1)
的系数矩阵
(2)
的行列式
那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
, (3)
其中 是把矩阵 中第 列换成常数项 所成的矩阵的行列式，即
(4)
定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证按一行(列)展开
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
要求学生会应用行列式展开性质来计算行列式
教学重点
行列式按一行展开的性质、展开性质的应用
教学难点
展开性质的应用
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
在第三讲看到，对于 级行列式，有
(1)
现在来研究这些 , 究竟是什么.
三级行列式可以通过二级行列式表示：
由定义看出， 级行列式是由 项组成的.
例1计算行列式
.
例2计算上三角形行列式
. (7)
. (8)
这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.
容易看出，当行列式的元素全是数域中的数，它的值也是数域中的一个数.
四、排列的定义
定义1由 组成的一个有序数组称为一个 级排列.
级排列的总数是 .
显然 也是一个 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序.
定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.
1）以 中一个非零的数乘矩阵的某一列；
2）把矩阵的某一列的 倍加到另一列，这里 是 中任意一个数；
3)互换矩阵中两列的位置.
为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些.
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
(1)
其中 代表那些含有 的项在提出公因子 之后的代数和(至于 究竟是哪一些项的和暂且不管，到§6再来讨论).从以上讨论可以知道， 中不再含有第 行的元素，也就是 全与行列式中第 行的元素无关.由此即得.
性质2
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式.
令 ，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零.
教学重点
行列式的性质及其应用
教学难点
行列式性质的应用
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质来简化行列式的计算.
在行列式的定义中，虽然每一项是 个元素的乘积，但是由于这 个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中 个元素(譬如 )来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之， 级行列式的 项可以分成 组，第一组的项都含有 ，第二组的项都含有 等等.再分别把 行的元素提出来，就有
这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的 级行列式化为上三角形行列式来计算.
定义5由 个数排成的 行(横的) 列(纵的)的表
(1)
称为一个 矩阵.
数 ,称为矩阵(1)的元素， 称为元素 的行指标， 称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域 中的数时，它就称为这一数域 上的矩阵.