立体几何专题训练-经典题型1

EF、FG 的长度，如果能知道 EG 的长度，就能
求出∠EFG，那么怎么求呢？
（步骤 3）过 G 作 CC1 的平行线，交 BC 于 H，
连接 EH，
因为 GH=AA1=AB=2---(2)
而△EBH 等腰直角三角形，
所以 EH= 2-----------(3)
在 RT△EHG 中，由勾股定理，
得：EG²=GH²+EH² 【把（1），（2）代入】
1 V= S△ABE×BC [把（4）、（7）代入]
3
27 =
8
第三问：求二面角 B—AE—C 的大小
【第一步】因为 FB 是 FC 在平面 ABA1B1 的投影， 又因为 AF⊥FB----（8） 故：AF⊥FC-------（9）
【第二步】由（8）（9）知道，
∠CFB 就是 B—AE—C 的二面角。
在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°， AB=2，PD= 6，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点。 （Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 PD∥平面 EAC,
求三棱锥 P-EAD 的体积．
第 5 题
第 15页
第1问
解 （步骤 1）过 F 点作 BC1 的平行线，交 B1C1 于
G 点，因为 FG∥BC1，所以，G 是 B1C1 的中点。 因为 AB=BC=AA1，AA1⊥底面 ABC， 所以 ABA1B1,BCB1C1 是正方形。 我们设 AB=2,那么，EF=FG= 2----(1)
（步骤 2）连接 EG，在三角形 EFG 中，已知
A 作 AF⊥A1B 垂足为 F，且 AF 的延长线交 B1B 于 E
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面 AEC；
（Ⅱ）求三棱锥 B—AEC 的体积；
第
（Ⅲ）求二面角 B—AE—C 的大小.
3
题
第 8页
【第一问】：求证：D1B⊥平面 AEC
【第一步】连接 CE、D1B、DB，
解
因为在正方形 ABCD 中，
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对角线 DB⊥AC，
9 【第三步】在 RT△BFC 中，BC=3, BF=
5
5
5
得：tan∠CFB = 那么，∠CFB=arctan
3
3
5 故 B—AE—C 的二面角为 arctan
3
第 10页
题目：正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1，点 M 在 BC 上，△AMC1
是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形.
2
,且 MN=AA1= 6
36 故 NC1=C1M+AA1= -------------（8）
2
第 6页
（步骤 6）因为 B1C1=BC=1------------(9) 在 RT△C1NB1 中，由勾股定理，得： NB1²=C1N²+C1B1² 【把（8），（9）代入】
58 解得：NB1= ------------------------（10）
2
2
2
在 RT△C1MA1 中，由勾股定理，得： MA1²=C1M²+C1A1² 【把（1），（5）代入】
32
解得：MA1=
-----------------------（6）
2
（步骤 5）因为 ANMA1 是平行四边形，所以:
32
AN=MA1=
-------------------------(7)
思考
【方法 1】固定一条直线不动，并以这条线的一个端点，作另一条直线的
平行线。
【方法 2】顶点选在特殊的位置上，过该点作两条直线的平行线。
【方法 3】向量法：建立三维坐标系，写出两条直线端点的三维坐标，并
求出线段的向量，以及线段的长度。 设两条直线所成的角为θ。
a*b cosθ=
│a│*│b│
【特别提示】两条直线所成的角为θ范围：（0°，90°】
BEC 的高，（3）BE 是平面 ABC 的高
而 AB、BC 都十分容易求出,任选一个作为高即可。
【解】
【第一步】因为 BC 垂直平面 ABE， 故 BC 是高，且 BC=3------------（4）
【第二步】在 RT△ABA1 中， AB=3, AA1=4 ,所以 A1B=5
第 9页
又因为 AF⊥A1B,
AM⊥BC， BC 与 C1M 是相交直线， 故，AM⊥平面 MCC1， 而 BF 又在 MCC1 平面内，所以 AM⊥BF----（9） 我们又作 BF⊥C1M，------------------------（10） 且 AM 与 C1M 是相交直线-------------------（11） 由（9）（10）（11）知， BF⊥平面 AMC1，故 BF 就是 B 到平面 AMC1 的高。 那么，FE 就是 BF 在平面 AMC1 的投影。 因为我们又作 BE⊥AC1,由三垂线定理，得 EF⊥AC1 【第三步】
第 4页
已知直棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB=90° ，
∠BAC=30° BC=1，AA1= 6 ，M 是 CC1 的中点。
那么 A1B 与 A1M 所成的角为（ ）
第
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
2
题
第 5页
题目：∠ACB=90° ，∠BAC=30° BC=1，
AA1= 6 ，M 是 CC1 的中点，求 A1B 与 A1M 所 成的角
第 13页
所以，∠FEB 就是 M—AC1—B 的二面角。
BM MF
因为△BFM∽△MCC1 ,
=
MC1 CM
1
3
而 MB=MC= , MC1= ,
2
2
3 解得：MF=
6
23
所以，FC1=FM+MC1=
-------(12)
3
在 RT△EFC1 中，∠AC1M=45°，∠FEC1=90°
2 所以 EF= FC1（把（12）值导入）
12
9
故，AF= ，BF= --------（5）
5
5
【第三步】
因为 RT△ABF∽RT△BFE,
故有：AF:BF=AB:BE
9 把（5）的值代入，得 BE= ----（6)
4
【第四步】△ABE 的面积（把（6）的值代入）
1
27
S△ABE= AB×BE= ----------（7）
2
8
【第五步】B—AEC 的体积
思考
因为 BM 不垂直于平面 AMC1 ，直接去求， 比较困难，如果通过等体积法、就简单多了
【解】
【第一步】AM=MC1，
所以
AM²=MC
2 1
=
MC²
+CC
2 1
3
1
2
而 AM= ，MC= ，解得 CC1= ----(6)
2
2
2
第 12页
【第二步】三棱锥 C1-ABM 的体积
1
11
V1= S△ABM×CC1= × ×AM×MB×CC1
解 【第 1 步】因为 ABCD 是菱形，
所以对角线 AC⊥BD---------（1） 【第 2 步】PD⊥平面 ABCD，
所以，AC
2 1
=2（a²
+b²）-----------------（2）
【第三步】在 RT△ACC1 中，由勾股定理
AC
2 1
=AC²+a²=
1
+a²
--------------------（3）
由（1）（2），消去 AC1 得，a² +2b²=1----（4）
【第四步】在△AMC 中,AC=1, ∠C=60°
AM²=MC
2 1
=
a²
+b²，MC=b
AC²+CM²-AM² 由余弦定理：cosC=
2AC·CM
化简得，b+a² =1---------（5） 由（4）、（5）消去 a²，得 2b²=b
1 因为 b≠0，所以 b= ，而 BC=1 ，
2 1 即 MC = BC， 故：M 为 BC 的中点 2
[第二问]：求点 B 到平面 AMC1 的距离
2 （步骤 7）在而△ANB1 中，由余弦定理得，
AB1²+AN²-B1N² cos∠NAB1=
2B1A·AN 【把（4），（7）(10)代入】 cos∠NAB1=0，即∠NAB1=90° 也就是 AB1⊥A1M
故：选 C
第 7页
已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长为 3，侧棱长为 4，连结 A1B，过
3
32
6 将（6）的值代入，得 V1= -----------（7）
48
【第二步】设 B 到平面 AMC1 的距离为 h，
那么，三棱锥 B-C1AM 的体积
1
11
V2= S△AMC1×h= × ×AM×MC1×h
3
32
将（6）的值代入，得
1 故，V2= h-------------------------（8）
高中数学 经典题型
立体几何 第一辑
【编著】 黄勇权
第 1页
在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，
点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
第
1
题
第 2页
. 求异面直线所成角的方法：
而 DB 又是 D1B 在 ABCD 所在平面上的投影， 故有，D1B⊥AC-----------------------（1） 【第二步】已知 AE⊥A1B， 又因为，A1B 是 D1B 在 ABA1B1 所在平面上的 投影，故有，AE⊥D1B-----------------（2） 【第三步】因为 AE、AC 是相交直线---（3）
（步骤 3）已知 AA1= 6 ---（3） 在 RT△AB1A1 中，由勾股定理， 得：AB1²=B1A1²+AA1²
【把（2），（3）代入】
解得：AB1= 10------------------------（4）
（步骤 4）因为 M 点是 CC1 的中点，则
1
1
6
C1M= CC1= AA1=
----------（5）
所以由（1）、（2）、（3）得，
D1B⊥平面 AEC
第二问：求三棱锥 B—AEC 的体积
因为 D1B⊥平面 AEC，那么，B 到平面 AEC 的距离就是高，如果能求出 B 到平面
思考
AEC 的距离，就可以求出 B-AECD 的体积。
可是这个高很难求出，所以，必须想到等体积法，找一
个更容易求出的高，
观察发现，（1）BC 是平面 ABE 的高，（2）AB 是平面
（I）求证：点 M 为 BC 的中点；
第
（Ⅱ）求点 B 到平面 AMC1 的距离；
4
（Ⅲ）求二面角 M—AC1—B 的正切值.
题
第 11页
[第一问]：求证：点 M 为 BC 的中点
【解】
【第一步】设棱长 AA1=CC1=a ， MC=b
在
RT△MCC1
中，MC
2 1
=
a²
+b²
【第二步】
在 RT△AMC1 中，因为 AM=MC1
2
6 EF= -------------（13）
3
BF 在 RT△EBF 中，tan∠BFE=
EF
6
6
[ 把 BF= ,EF= 代入上式 ]
6
3
1 解得: tan∠BFE=
2
经典结论：二面角的解法，
（1）用本题方法，构建一个直角三角形， 求出各边，再求三角函数值。
（2）向量法：建立三维坐标系
第 14页
解得：EG= 6------------------------（4）
（步骤 4）在而△EFG 中，由余弦定理得，
EF²+FG²-EG²
cos∠EFG=
【把（1），（4）代入】
2EF·FG
1 cos∠EFG= - ，即∠EFG=120°【特别提示】
2
两条直线所成的角为θ范围：（0°，90°】
所以 EF 与 BC1 夹角=180-120=60°
8
【第三步】因为 V1、V2 为同一个三棱锥的体
积，故 V1=V2，也就是（7）=（8）
1
6
6
即 h=
解得，h=
8
48
6
[第三问]：求二面角 M—AC1—B 的正切值
【第一步】过 B 作 C1M 的垂线， 交 C1M 的延长线于 F 点。 过 B 作 AC1 的垂线，交 AC1 于 E 点，连接 EF。 【第二步】因为 AM⊥C1M,
解 【根据方法 1】固定 AB 不动,因为 A 点
在 A1M 的平面上，故过 A 点作 A1M 平行线，并与 CC1 的延长线相交于 N 点，连接 B1N。
（步骤 2）因为∠ACB=90°， ∠BAC=30°，BC=1， 所以有：AC= 3,AB=2 又 AC=A1C1= 3----------（1） 且 AB=A1B1=2------------（2）
第 3页
题目：已知 AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点 E、F 分别是
棱 AB、BB1 的中点，求直线 EF 和 BC1 所成的角。
【 根据方法 1】固定一条直线不动，并以
这条线的一个端点，作另一条直线的平行线。 . 解题前的思考
【思考 1】因为 B 点在 EF 的平面上，过 B 点作 EF 的平行 线，但是，B 点已经是平面的边缘，画不出来，故舍去。 【思考 2】又因为，F 点 BC1 的平面上，过 F 点作 BC1 的 平行线，因为 F 在平面的内部，可以画出 BC1 的平行线。