2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt

X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
随机变量Y的密度函数为：
f
y
1 4
1 y 3
0 其 它
设：A 方程4x 2 4Y x (Y 2) 0有实根
F ( x) P{X x} pk .
xi x
3
练习 设离散型随机变量X 的分布函数为
0, x 1,
a,
1 x 1,
F
(
x
)
2 3
a,
1 x 2,
a b, x 2.
且 P{ X 2} 1 ,试确定常数a,b,并求 X 的分布律. 2
[思路] 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b,
(其中(-∞<μ<+∞,σ>0),则称随机变量X服从参数为μ,σ2的
正态分布,由称高斯分布.记为:X~N(μ,σ2)
f (x)
0
x
24
连续型随机变量
特别是,当μ=0,σ2=1时称正态分布为标准正态分 布.记为:N(0,1)
标准正态分布的概率密度函数为:
x
其图形如右
1
x2
e2
2
f (x)
x
0 x 0
令：B={ 等待时间为10~20分钟 },则
PB
P10
X
20
20
1
x
e 10 dx
x
e 10
20
10 10
e0.21325e 2
10
23
连续型随机变量
3.正 态 分 布
(1) 概率密度函数
如果连续型随机变量X的概率密度函数为
f x
1
x 2
e
2 2
2
x
离 越远时，随机变量X 落在该区间中f的(x概) 率就越小.
0 h h x
27
连续型随机变量
(3) 曲线y=f(x)在x=μ+σ, x=μ-σ时处有拐点;曲线以x轴为
渐近线.
(4) 若σ固定,改变μ的值,则y=f(x)的图形沿x轴平行移动,但图 形的形状不改变.
(5) y若μf固x定图,改形变的σ的位值置,当完σ全越由小参,则数y=f所 (x)的确图定形越陡,即
f (x) x
0
x
x2
tdt
0
2
14
连续型随机变量
例 3（续） x 综当上1所 x述，2时可，得F随x机 变量 f Xt 的dt 分布函数
0
1
x
Fx
x2
x02 2
f t
1
tdt
dt x f 0tdt
x0 0 x 1
2 tdt
1
f
1
t dt
x2
20x 1 11 x 2 2
x2
16
连续型随机变量
二、一些常用的连续型随机变量
1. 均 匀 分 布
定义 若随机变量X的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布.记作 X ~ U [a , b]
X的分布函数为：
F (x)
0
xa
1
F
x
x b
1
a a
a xb b x
a0 b
x
17
f xdx 1
1
得
1 f xd2x3 4x 2x2 dx
2
18
0
c 4x
c
833
2x
2x2
2
d2xx 3 832cc 2 x 2
3 1
2 3
x3
2 0
18
2
12
连续型随机变量
例2 某电子元件的寿命 X（小时）是以 f x 1000
x 2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件在使用的 前 150 小时内恰有 2 个需要更换检的验概5率个. 元件的使用寿命可以看
解 设 A={ 某元件在使用的前作1是50在小做时一内个需5要重更Be换rn}oulli试验
则
PA
PX
150
150 f xdx
150
100
100 dx
x2
1 3
设Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时的元件数，则
Y ~ B( 5,1/ 3). P故{Y所求2概} 率为
C
2 5
1 3
再用已确定的分布函数来求分布律.
解 利用分布函数 F ( x) 的性质 :
4
P{ X xi } F ( xi ) F ( xi 0),
F () 1, 知 1 P{ X 2}
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
前两个条件是概率密度的 充分必要条件
f (x)
3. P{x1 X x2 } F( x2 ) F( x1 )
x2 x1
f
( x)dx.
( x1
x2 )
1
f (x)
0
x
0 x1 x2 x
X落在 (x1,x2]上概率是概 率密度在(x1,x2]上的定积分 值。
9
连续型随机变量
4. 对于一切使f ( x)连续的点x，均有 F ( x) f ( x).
解 3)1)P由1.密5 度X函数 2的.5性 质 F, 有2.5 F1.5 0.0625 f ( x)dx 1
或
02(PA1x.51)Xdx21.5 122..5A5 fx2dx10.0A625
1 2
2) X的分布函数
x
0dx
F
x
0
0dx
x ( 1 x 1)dx 02
1
x0 0 x2
x x
事lim实F上( x， x) F ( x) lim x f (t)dt
x0
x
x0
x
lim f ( ) x lim f ( ) f ( x)
x0 x
x0
既有 F ( x) f ( x).
注5意.设:X连是续连型续随型机随变机量变密量度, 函则数对的任性意质的与实离数散a, 型有随机
则PA P 4Y 2 4 4 (Y 2) 0
PYY11或Y Y2 20
1
0dx
3
1 dx
1
24
4
21
连续型随机变量
2.指 定义
数分布 若随机变量X的密度函数为
f
x
1
1
e 0
x
x0 x0
其中 0为常数，则称随机变量 服从参数为 的指数分布．
记为：X ~ E( )
说服其务明分时布指间数函，分数某布为消常耗F用品x于的近寿1似命表0e，示x放“射xx 寿性 00命元”素分的布衰，变如期：等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
22
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10
的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需
要等待10~20分钟的概率.
解 X的密度函数为 f
x
1 10
Xλe=(分11x/01钟0的)是x指服数从0分参布数为
2
2 3
3
80 243
13
连续型随机变量
x 0 x1
例3 设随机变量X的密度函数为f x 2 x 1 x 2
试求 X 的分布函数．
0
其它
x
解 当 x 0时，F x f t dt 0
f (x) 0
x
当0 x 1时，F x f t dt
0
x
f tdt f tdt
变量分布律的P性X 质 a非常0 相似，但是密度函数不是概
率！
10
连续型随机变量
说明：
P{a x b}
由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它
P{a x b}
在某一点取值的问题没P有{a太大x的 意b}义；我们所关心的是
它在某一区间上取值的P问{a题．x b}
若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任
x
F ( x) f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的 概率密度函数,简称概率密度. 记为 ：X~ f(x) ，其图象称为密度曲线。 说明： 连续型随机变量的分布函数为连续函数。
8
连续型随机变量
概率密度 f(x) 具有以下性质：
1. f ( x) 0. 2. f (x)dx 1.x2 源自e dx 2 2
1
u2
e 2 du 1
2
26
连续型随机变量
由正态分布密度函数的图形知：
(1) 曲线关于直线x=μ对称,这表明：对任意的h>0,有
P h X P X h
(2) 当x=μ时, f(x)取到最大值
f
1
2
x离 越远，f x的值就越小．这表明，对于同样长度
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
x
且有 ( x) 1 ( x)
29
分布函数随机变量
证明：由公式有，
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
作变换t =-μ，dt = -dμ得
(x)
x 1
x u2
e 2 du
2
1
u2
e 2 du
2 x
-x 0 x
知识回顾
(1)定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数
F(x) P{X x} 称为 X 的分布函数.
(2)说明 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况. 分布函数 F ( x) 是 x 的一个普通实函数.
1
(3)性质 10 0 F( x) 1, (,);
20 F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
分布函数随机变量
显然， ⑴ 对任意的 x，有 f x 0 ；
a
b
⑵ f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
1
dx
a ba
1．
故
f
x
b
1
a
a x b 是密度函数．
0
其它
18
19
连续型随机变量
例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘
客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量．试求
x
1 1
x
u2
e 2 du 1 x
2
30
连续型随机变量
说明 (1) Pa X b b a
PX b b b 2b1
1 x x 0
(2) 对于任何实数x，有 x 0.5
x0
x x 0
当0≤x≤4 时，从附表直接只查Φ(x). 当-4≤x≤0 时，Φ(x)=1-Φ(-x).
2x
1
当x
2时，F x2
1
x
f
t dt
2 x
x
f x 2 x
0
0
1
2
x
0
x
1
f
t dt
0
f
t dt
1
f
t dt
2
f
t dt
1
x
2
1
tdt
2
2
t dt
1
其它 0
1
15
连续型随机变量
例4
设有随机变量X的概率密度函数为
f
x
Ax 0
1
0 x2 其他
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
5
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
12 11 32
6
§2.3 连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概念与性质 一些常用的连续型随机变量
7
连续型随机变量
一、连续型随机变量的概念与性质
定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在 非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有
意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限
区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为
PX G f xdx
G
此公式非常重要！
11
连续型随机变量
PX G f xdx
例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
G
f
x
c
4x
2x2
0
0 x2 其它
求：⑴ 常数c； ⑵ PX 1．
解 ⑴⑵ 由P密X度函1数的 性f 质xd,x有
当x>4 时，Φ(x)=1;当-4<x时，Φ(x)=0.
31
连续型随机变量
(3) 标准正态分布与正态分布的关系
1. 设X ~ N ， 2 ，则Y X ~ N( 0, 1 )
30 F () lim F ( x) 0, F() lim F( x) 1;
x
x
40
lim F ( x)
x x0
F ( x0 ),
( x0 );
即任一分布函数处处右连续.
2
(4)重要公式 P{a X b} F(b) F(a), P{X a} 1 F(a). 离散型随机变量的分布函数