数学分析第十讲函数项级数资料

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函数项级数、幂级数的概念

函数项级数、幂级数的概念

称为 x 的幂级数。
2 收敛半径和收敛区域
阿贝尔定理

(1)若幂级数 an xn 在某点 x x 0 ( x 0 0 ) 处收敛, n0
则它必在满足不等式 x x0 的一切点 x 处收敛,且绝对收敛;

(2)若幂级数 an xn 在某点 x x 0 ( x 0 0 ) 处发散, n0

S ( x ),
lim
n
Rn (
x)

0
.
二 幂级数的概念 1 定义

形如
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) an (x x0 )n
n0
的函数项级数,称为 ( x x0 ) 的幂级数。

特别地,当 x0 0 时, an xn a0 a1 x an xn n0
1. 若 l 0 ,则
(1) 如果
l x 1,(l 0) 即
x
1 l

时, an xn
n0
绝对收敛。
(2) 如果
l x 1即
x
1

时, an xn
发散。
l
n0
根据定义,有 R 1 . l

2. 如果 l 0 ,则 l x 0 ,这时 an xn 对任何 x n0
当 | x | R 时,可能收敛也可能发散;

正数 R 称为幂级数 a n x n 的收敛半径。 n0
收敛区域为: (R, R),(R, R],[R, R),[R, R] 其中之一.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理2.(幂级数收敛半径的求法)

对于幂级数 an xn , n0

数学分析数项级数_2022年学习资料

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§2数项级数的收敛性及其基本性质-无穷项函数相加,对每一个固定的X,每一项便变成-一个数,因此,我们从无穷 数相加谈起,这种级-数称为数项级数,或简称为无穷级数。-定义-设有数列:山1,u2,3,L,un,L-用加 把这些数依次连接起来所得的式子-4+2+4+L+un+L-这仅是一种形-式上的相加。-称为无穷级数或数项级 ,简称级数。-记为:∑w或∑4-k=
1-31-2P-1-1-动1-六21--这里用到-2一<1当p>1这就证明了部分和-数列有上界,故-启p1 技数
比较判别法-定理10.6-比较判别法设有两个正项级数-∑4,=4+42+L,-n=l-∑=出+%+L,-n 1-若对充分大的n(即存在N,当n>N时有-un≤CVn-其中c>0与n无关,则-1当∑收敛时,∑4收敛; ∑“发散时,∑发散。
k可以取任意大,因而无上界。故卫=1时,级数-三发散(级教三}-也称为调和级数。-当p<1时,由于对任意正 数k,有≥-因此-会是因-右边的部分和数列无上界推出左边也无上界,-在p<1也发散。-当p>1时,设2≤n 2k+l-类似于前面的做法,有
n=1+水++儿+-=1+++++++L-+2加+2+L十女-<1+÷+京儿+六+品-=++儿+°j
问题:-1.无穷多项相加究竟是什么意思?加得起来吗?-2.对这种无穷项相加的“无穷级数”,它的运算-规律与 有限和”有什么异同?-历史上:-很多是“形式运算”,后来由于应用的深入-和广泛,形式运算常出现矛盾:

10.1 函数项级数

10.1 函数项级数

(2)有限个可导函数的和仍是可导函数,
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数, 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和(函数项级数)是否具有这些性 质呢?
再考察例1:
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )

x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散

用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1

n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数,un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1

I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S

高等数十讲函数项数

高等数十讲函数项数

第十讲 函数列与函数项级数一、知识结构 1、函数列收敛性(1)函数列收敛的概念和定义定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列,记作}{n f 或n f , ,3,2,1=n . 定义2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列,,,,21n f f f 的数列()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛,点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ⊆上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈,)(x f 称为函数列}{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f .定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于)(x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ,记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈或)()(x f x f n →(∞→n ),D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个0x ,所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. (2)函数列收敛的判定方法数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如,函数列)}({x f n 在D 上的柯西收敛准则.定理1 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上收敛的充要条件是:对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-00x f x f m n .定理2 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的归结原则) )()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈⇔对每一个固定的D x ∈0,当0lim x x m m =∞→时,有)()(lim )(lim lim 00x f x f x f n n m n m n ==∞→∞→∞→.2、函数列的一致收敛性(1)函数列一致收敛性的概念和定义如果上述定义3中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f .定义4(函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f N -ε的定义) 对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x f x f n ,我们称函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f ,记作)(x f n −→−−→−)(x f ) (∞→n ,D x ∈.(2)函数列一致收敛性的判别法定理3 (函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:对D x ∈∀,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-x f x f m n .定理4 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n .推论 设在数集D 上)(x f n →)(x f ) (∞→n .若存在数列D x n ⊂}{,使0 |)()(|→/-n n n x f x f ) (∞→n , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛.3、函数项级数及其一致收敛性 (1) 函数项级数及其和函数定义5 设{})(x u n 是定义在数集E 上函数列,表达式∑∞=1)(n n x u ,E x ∈称为定义在E上的函数项级数.若E x ∈0,数列{})(0x u n 收敛,即极限∑=∞→∞→=nk kn n n x u x S 10)(lim)(lim 存在, 则称函数项级数∑∞=1)(n nx u (E x ∈)在点0x 收敛, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n nx u (E x ∈)的收敛点.若E x ∈0,数列{})(0x u n 发散, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x发散, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的发散点. 函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)收敛点的全体组成数集D 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)收敛域.表达式∑∞=∞→==1)()(lim )(n n n n x u x S x S (D x ∈)中的)(x S 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (D x ∈)的和函数,或称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S .定义6(函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D上收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x u x S nk k n ∑==,对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S ,记作)()()(lim 1x S x u x S n n n n ==∑∞=∞→,D x ∈或)()(x S x S n →(∞→n ),D x ∈或)()(1x S x u nk k →∑=(∞→n ),D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个0x ,所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. (2)函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性如果上述定义6中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S .定义7(函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x u x S nk k n ∑==,对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S ,记作)(1x u nk k ∑=−→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈或)(x S n −→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈.(3) 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性判别法定理5(Cauchy 准则) 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛⇔N ,0∃>∀ε,,N n >∀N ∈∀p ,∈∀x D ⇒ ε<-+)()(x S x S n p n 或ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n .推论 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛⇒n u )(x −→−−→−0 ) (∞→n .定理6 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛于)(x S ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D.定理7( Weierstrass 判别法,M-判别法)设级数∑)(x un定义在区间D 上,∑n M 是收敛的正项级数.当n 充分大时,对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤,则∑在D 上一致收敛.证明 , |)(| )( 1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i pi i n pi i n i n pi in M M x u x u然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是定理7可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数,则级数∑)(x un在区间D 上一致收敛.应用时,常可试取|})({|sup x u M n Dx n ∈=.但应注意,级数∑)(x un在区间D 上不存在优级数⇒/级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 定理8(Abel 判别法)设(ⅰ)级数∑)(x un在区间I 上收敛;(ⅱ)对每个∈x I ,数列)}({x v n 单调; (ⅲ) 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M ,使对I ∈∀x 和n ∀,有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 .定理9(Dirichlet 判别法) 设(ⅰ)级数∑)(x un的部分和函数列∑==nk k n x u x U 1)()(在区间I 上一致有界;(ⅱ) 对于每一个∈x I ,数列)}({x v n 单调;(ⅲ)在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零.则级数∑)()(x v x un n在区间I 上一致收敛.(4) 一致收敛函数列极限函数的解析性质 定理1(连续性)设在D 上n f −→−−→−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续⇒)(x f 在D 上连续.证明 要证: 对∈∀0x D ,)(x f 在点0x 连续.即证:对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时⇒ε<-|)()(|0x f x f .|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-.估计上式右端三项.由一致收敛, 第一、三两项可以任意小;而由函数)(x f n 在点0x 连续,第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小.所以, 对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时,有ε<-|)()(|0x f x f推论 设在D 上)(x f n →)(x f .若)(x f 在D 上间断,则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.注 定理1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n },有)(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=,即极限次序可换 .定理2(可积性) 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛,且每个)(x f n 在] , [b a 上连续.则有 ()⎰⎰∞→∞→=ba ban n n n dx x f dx x f )(lim )(lim .证明 设在] , [b a 上n f −→−−→−)(x f , 由Th1,函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→bab an n dx x f dx x f )()(lim . 注意到⎰⎰⎰-≤-ban baban f f f f ||, 可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.注:定理的条件可减弱为:用条件“)(x f n 在] , [b a 上(R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”.证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.定理3(可微性) 设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上,在某个点∈0x ] , [b a 收敛.对n ∀, )(x f n 在] , [b a 上连续可导,且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛, 则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛,且有())(lim )(lim x f dxd x f dx d n n n n ∞→∞→=. 证明 设)(0x f n →A ,) (∞→n . )(x f n '−→−−→−)(x g , ) (∞→n .对∈∀x ] , [b a ,注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =⎰'+xx n n dt t f x f 0)()(0, 就有⎰'+=∞→∞→∞→xx n n n n n n dt t f x f x f 0)(lim )(lim )( lim 0 (对第二项交换极限与积分次序)())()()(lim 00x f dt t g A dt t f A xx xx nn ⎰⎰==+='+=∞→令估计⎰⎰--'+xxxx n n dt t g A dt t f x f 0)()()(0≤()⎰-'+-xx nn dt t g t f A x f 0)()()(0, 可证得)(x f n −→−−→−)(x f .)(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰x x dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim)(x f dxd n . 即()=∞→)(lim x f dx d n n ∞→n lim )(x f dx dn . 亦即求导运算与极限运算次序可换.二、解证题方法例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列{})(x f n ,n n x x f =)(,用“N -ε”的定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且⎩⎨⎧=<===∞→∞→. 1, 1 , 1 ||, 0 )(lim )(lim x x x f x x f n n n n 解 因为对0>∀ε,()1,1-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,ln ln x N ε,当N n >时,有ε<=-=-nn n x x x f x f 0)()(,所以()1,1-∈x 时, 有)(lim )(lim x f x x f n n n n ==∞→∞→.当1=x 时, 有)(11lim )1(lim x f f nn n n ===∞→∞→, 当1-=x 时, 即)1(lim n n f ∞→不存在.例2 )(x f n =nnxsin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内0)(lim =∞→x f n n .解对0>∀ε,) , (∞+∞-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,1εN ,当Nn >时,有ε<≤=-=-nn nx n nx x f x f n 1sin 0sin )()(,即0)(lim =∞→x f n n .例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数) (∞→n .(1))(x f n =xx xx nn n n --+-,R ∈x .(2) )(x f n =121+n x,R ∈x .(3) 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=nn r r r x x r r r x ,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121 且,∈x ] 1 , 0 [.(4) )(x f n =2222xnxe n -,R ∈x .(5) )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n nn n n解 (1)因为)(x f n =xx xx nn n n --+-,所以)(x f n →,sgn x R ∈x . (2)因为)(x f n =121+n x,所以)(x f n →,sgn x R ∈x .(3) 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且)(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. (4)因为)(x f n =2222x n xen -,所以)(x f n →0,R ∈x .(5)因为)(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n nn n n所以)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n .( 注意⎰≡11)(dx x f n .)问题 若在数集D 上)(x f n →)(x f ,) (∞→n .试问:通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠110)(lim )(dx x f dx x f n n n .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 例4 nnxx f n sin )(=. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 证明1 显然nnxx f n sin )(=收敛于0)(=x f . 对>∀ε,Rx ∈∀,1,1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当Nn >时,有ε<≤-=-nn nx x f x f n 10sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 证明2对0>∀ε,R x ∈∀, 01,2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当N m n >,时,有ε<+≤-=-mn m mx n nx x f x f m n 11sin sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.例5 )(x f n 2222x n xen -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.证明 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由推论2 , )}({x f n 不一致收敛. 例6 221)(x n xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0 ) (∞→n .证明 易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而n nx x n n xn x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 在) , (∞+∞-内成立.例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 (, 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n 证明∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛.证明 10≤<x 时,只要1->x n ,就有)(x f n =0.因此,在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f ⇒)0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0.但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x ,) (∞→n ,因此, 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 例8 )(x f n =12sin2+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:(1))0( , ] , [>-l l l ; (2)) , 0 [∞+.例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数(称为几何级数)+++++=∑∞=n n nx x x x201的部分和函数列为) 1 ( 11)(≠--=x xx x S nn , 收敛域为) 1 , 1 (-. 例10 几何级数∑∞=0n nx在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛;但在) 1 , 1(-内非一致收敛.证明 在区间] , [a a -上,有011sup |)()(|sup ],[],[→-=--=---a a ax x S x S nn a a n a a ) (∞→n ⇒∑一致收敛;而在区间) 1 , 1(-内, 取∈+=1n nx n ) 1 , 1(-, 有 ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nn n n n n nn n n x x x S x S ,) (∞→n ⇒∑非一致收敛.亦可由通项n n x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零⇒∑非一致收敛.几何级数∑∞=0n nx虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛,但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数∑∞=0n nx在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛.例11 判断函数项级数 ∑∞=i n n nx 2sin 和 ∑∞=in n nx2cos 在R 内的一致收敛性. 例12 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明:若级数∑)(a un与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 ,留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.……例13 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛; ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗;ⅲ>e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立.由Abel 判别法,∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.例14 设数列}{n a 单调收敛于零.试证明: 级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-)0(πα<<上一致收敛.证明 由前面例4,在] 2 , [απα-上有212sin21 21|2sin |21 212sin 2) 21sin( |cos |1+≤+≤-+=∑=αx x x n kx nk .可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界.取nx x uncos )(=,n n a x v =)(就有级数∑)(x u n 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由Dirichlet 判别法,级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.其实,在数列}{n a 单调收敛于零的条件下,级数∑nx ancos 在不包含) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.例15 证明函数)(x f =∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内连续.证明 (先证∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0,有nanxnene--≤≤0,∈x ] , [b a ;又∑+∞<-nane⇒∑∞=-1n nx ne 在] , [b a 一致收敛.( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+,)(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论,∑∞=-1n nx ne 在区间] 2 , 2[00x x 上一致收敛;又函数nx ne -连续⇒)(x f 在区间] 2 , 2[00x x上连续⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性,)(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.例16 =)(x S ∑∞=-11n n nn x , ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分 ⎰x dt t S 0)(.解显然∑∞=-11n n nn x 一致收敛. 则∑∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-∞=-====1210211010110)(n nn xn n xn x n n xn n x n n t dt n n t dt n n t dt t S . 练习[1](北京理工大学2008年) 证明:xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.证明:取πn x n =',2='n y ,4ππ+=''n x n ,2=''n y ,因为+∞=''+∞='∞→∞→n n n n x x lim ,lim ,所以122cos 2cos lim ),(),(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''''-''+∞→+∞→πππn n y x f y x f n nn n n n ,进而()n n n n y x y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛,再有归结原则知,xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.[2](山东师范大学2010年) 试确定函数项级数111(1)n xn n ∞+=-∑的收敛域,并讨论其和函数在定义域内的连续性与可微性. 解: (1)收敛域令xn n x u 1)(=,则当0>x 时,{})(x u n 单调递减,并且0)(lim =∞→x u n n ,所以由交错级数收敛的莱布尼兹判别法,则交错级数111(1)n x n n ∞+=-∑收敛.进而级数111(1)n x n n ∞+=-∑的收敛域为()+∞,0,并设111(1)()n xn S x n ∞+=-=∑. (2)连续性 因为)(1)1()2(1)1()1(1)1(lim )()1()()1()()1(lim 13212312=+-+++-++-=-++-+-++++∞→+++++++∞→xp n x n x n n p n p n n n n n n p n n n x u x u x u ,其中p 为常数,()+∞∈,0x ,所以函数项级数111(1)n xn n ∞+=-∑在()+∞,0内一致收敛.又因为)()1(1x u n n +-在()+∞,0内连续,所以和函数)(x S 在()+∞,0内连续,即函数项级数111(1)n x n n∞+=-∑在()+∞,0内连续. (3)可微性因为函数项级数111111ln ln (1)(1)(1)n n n x x xn n n n n n n n +∞+∞+∞++==='-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑在()+∞,0内一致收敛,原因如下:()()()23112131lim (1)()(1)()(1)()ln(1)11lim (1)(1)(1)(1)(2)()0n n n p n n n p n n n n p x xxn u x u x u x n n n n p +++++++→∞++++→∞'''-+-++-+=-+-++-+++=,并且函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑的每一项11(1)n x n +-的导数ln (1)n x n n -在()+∞,0内连续,所以和函数111()(1)n xn S x n ∞+==-∑在()+∞,0内可微,并且111111ln ln ()(1)(1)(1)n n n xx xn n n n n S x n n n +∞+∞+∞++==='-⎛⎫'=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑. [3] 设函数在[],a b 上连续,且对[],x a b ∀∈,函数项级数()1()nn f x ∞=∑收敛,试证明()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.证明:因为函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上收敛,所以()()nn f x M ≤,并且()[]lim ()lim ()0,,nn n n u x f x x a b →∞→∞==∈, 即对01n ε∀<<,存在0N >,当n N>时,有()()()nnn u x f x ε=<,[],x a b ∈. 因为正项级数1n n N ε+∞=+∑收敛, 当然级数()111()Nnnn n n N n N f x NM εε+∞+∞==+=++≤+∑∑∑也收敛,其中{}1max n n NM M ≤≤=.所以魏尔斯特拉斯判别法知, 函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.[4](哈尔滨工大2008年) 设()x u n 在[]b a ,上满足条件:()()y x y u x u nn n -≤-21, ,2,1=n ,且在[]b a ,上()x u n n ∑+∞=1逐点收敛,则()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明:()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上逐点收敛,所以()()()1lim lim nnk n n k S x S x u x →∞→∞===∑,固定[],x a b ∈.由函数列(){}x S n 在[]b a ,上的柯西收敛准则:对0ε∀>,存在正整数N ,当,n m N >时,有()()n m S x S x ε-<,固定[],x a b ∈. 因为对[]b a x ,∈∀,有()()()()()()()()()()()()()()yx y x x S y S y S y S y S x S x S y S y S y S y S x S x S x S m n m m m n n n m m m n n n m n -++-<-+-+-≤-+-+-=-2121ε, 其中[]b a y ,∈,且02121lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++-∞→∞→y x y x m n m n ε,所以()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.[5](重庆大学2010年) 证明:函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛,但是级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.证明:(1)证明函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛.因为当()00,1x ∈时,有()()0000000101lim ()lim (1)(1)lim 11nn k kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎡⎤⎪⎪=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑, 而0,1x x ==时,函数项级数1(1)(1)0nn n x x +∞=--=∑,所以函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛, 进而1,[0,1)(1)(1)()0,1nnn x x x x S x x +∞=∈⎧--==⎨=⎩∑.又因为()()11(1)lim ()lim (1)(1)lim 111n nk k n n n n k x x x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫⎡⎤---⎡⎤-⎪⎪⎣⎦=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥++⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑,其中[]0,1x ∈,所以函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上一致收敛.(2) 后证明级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛因为当()00,1x ∈时,有()()0000000101lim ()lim (1)lim 11nn k n n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎛⎫⎪⎪=-=-⋅=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑, 而00x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 当01x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 所以函数项级数函数项级数1(1)n n x x +∞=-∑收敛于()S x x =,即1(1)()nn xx S x x +∞=-==∑, []0,1x ∈.取1111n n x n +⎛⎫=-⎪⎝⎭,则()()11lim ()()lim 1lim 11n n n n n n n n n n n n n nx x S x S x x x x x +→∞→∞→∞--=-⋅-==-,所以函数列{}()n S x 在[]0,1上不一致收敛,进而级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.。

数学分析

数学分析


d 与 lim 可以交换. n →∞ dt
定理 11.4, 11.5. (和的连续性,逐项积分) 给定函数项级数 ∑ un ( x) . 若
n =1

(1) 每项 un ( x) 在 [a, b] 上连续, (2)
∑ u ( x) 一致收敛于 S ( x) ,
n =1 n

∀x ∈ [a, b]
则有 (a) S ( x) 在 [a, b] 上连续(和的连续性). (b)
{S
n
u → S ( x) . ( x )} 在 X 上一致收敛于 S ( x) .记作 S n ( x ) ⎯⎯
(2) 若 ∀ε > 0 , ∃N = N (ε ) > 0 , 当 n > N 时,
k = n +1 ∞
∑ u ( x) < ε ,
k

∀x ∈ X ,
则称 ∑ un ( x) 在 X 上一致收敛.
第十一章
第一节
一、函数项级数的概念 定义 1.1.
函数项级数、幂级数
函数项级数的一致收敛
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x) + u ( x) +
n =1 n 1 2 3

+ un ( x ) +
(1)
其中 un ( x) : X → , n = 1, 2, , 记前 n 项部分和为
n =1

(1) {α n ( x)} 单调, ∀x ∈ X , (2) {α n ( x)} 在 X 上一致收敛于 0, (3)
n
∑β
n
n
( x) 的部分和 { Bn ( x )} 在 X 上一致有界,

第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念

第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念

也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9

伍胜健《数学分析》(第2册)配套题库-名校考研真题(函数序列与函数项级数)

伍胜健《数学分析》(第2册)配套题库-名校考研真题(函数序列与函数项级数)

第10章函数序列与函数项级数1.设(x)在[0,1]上连续,f(1)=0.证明:(1){x n}在[0,1]上不一致收敛;(2){f(x)⋅x n}在[0,1]上一致收敛.[华东师范大学研]证明:(1)显然是的极限函数,x n在[0,1]上连续(n∈N),而g(x)在[0,1]上不连续,所以{x n}在[0,1]上不一致收敛.(2)f(x)在x=1处连续,所以对当时,有即易证{f(x)⋅x n)在[0,1-δ]上一致收敛于零,即对,当x>N时,对一切x∈[0,1-δ]有所以对当n>N时,对一切x∈[0,1],有所以{f(x)⋅x n}在[0,1]上一致收敛于零.2.试证:无穷级数在0<x<1时收敛,但不一致收敛.[中国科学院研] 证明:有收敛,所以收敛.取,则对及使得所以在(0,1)上不是一致收敛的.3.设0≤x<1,证明:[华中科技大学研] 证明:令,则0≤f(x)<1.故4.可微函数列在[a,b]上收敛,在[a,b]上一致有界,证明:在[a,b]上一致收敛.[上海交通大学研]证明:由题设,有①,取使则②在[a,b]上收敛,所以,当n>N,p是任意自然数,有③由②,③,当n>N时,对任意自然数p,有即在[a,b]上一致收敛.5.求函数项级数的收敛域,并证明该级数在收敛域是一致收敛的.[中山大学研]解:由于,又收敛,故由Weierstrass判别法知在(-∞,+∞)上是一致收敛的.6.研究在(1)[-l,l](l>0)上的一致收敛性;(2)(-∞,+∞)上的一致收敛性.[南京师范大学研]解:(1)当时,存在N,当n>N时有下式成立又收敛,故由Weierstrass判别法知在[-l,l]上一致收敛.(2)取,则不收敛,所以在(-∞,+∞)上不一致收敛.7.函数,g(1)=0,且(g’(1)可理解为左导数),证明:在[0,1]上一致收敛.[北京师范大学2006研]证明:由于,所以对任意的,存在使得当时,有.从而对任意的,m、n>0,有由于,所以存在M>0使得当时,.从而当时,,又收敛,故由Weierstrass判别法知在上一致收敛.于是对上述的ε>0,存在.N>0,使得当,m、n>N时,有结合两部分,当,m、n>N时,有,故在[0,1]上一致收敛.8.设函数列满足:(1)是[-1,1]上的可积函数列,且在[-1,1]上一致有界;(2)任意的在[-1,-c]和[c,1]上一致收敛于0.证明:对任意的[-1,1]上的连续函数f(x),有[中山大学2006研]证明:由于在[-1,1]上一致有界,f(x)在[-1,1]上连续,所以存在M>0,使得因为f(x)在x=0处连续,所以对任意的ε>0,存在δ>0,使得又在[-1,-δ]和[δ,1]上一致收敛于0,所以存在N>0,使得从而对任意的n>N有即9.设的收敛半径为∞,令,证明:在任意有限区间[a,b]上都一致收敛于f(f(x)).[厦门大学研]证明:因为的收敛半径为∞,所以在[a,b]上一致收敛于f(x).由于在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有界,即存在,使得当时有.又因为在[a,b]上一致收敛于f(x),所以存在,使得当时有由于在[a,b]上连续,所以存在使得当时有.取,则有下式成立同样由于在[-M,M]上一致收敛于f(x),所以f(x)在[a,b]上连续,从而一致连续.所以对任意的,存在使得当时有.因为在[a,b]上一致收敛于f(x),所以存在N>0,使得当,n>N时有.于是当,n>N时,,结论得证.10.研究函数在[0,+∞)上的连续性、一致连续性、可微性、单调性.[华南理工大学2006研]解:因为,而收敛,所以由Weierstrass判别法得知f(x)在[0,+∞)上一致收敛.因为在[0,+∞)上连续,所以f(x)在[0,+∞)上连续.又因为,故在[0,+∞)上一致连续,所以f(x)在[0,+∞)上一致连续.因为,而收敛,由Weierstrass判别法得知,所以可微,且单调递减.。

数学分析 第十讲 函数项级数

数学分析 第十讲 函数项级数

329第十讲 函数列与函数项级数一、知识结构 1、函数列收敛性(1)函数列收敛的概念和定义定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列,记作}{n f 或n f , ,3,2,1=n .定义2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列,,,,21n f f f 的数列()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛,点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ⊆上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈,)(x f 称为函数列}{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f .定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于)(x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ,记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈或)()(x f x f n →(∞→n ),D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个0x ,所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关.(2)函数列收敛的判定方法数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如,函数列330)}({x f n 在D 上的柯西收敛准则.定理1 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上收敛的充要条件是:对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-00x f x f m n .定理2 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的归结原则) )()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈⇔对每一个固定的D x ∈0,当0lim x x m m =∞→时,有)()(lim )(lim lim 00x f x f x f n n m n m n ==∞→∞→∞→.2、函数列的一致收敛性(1)函数列一致收敛性的概念和定义如果上述定义3中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f .定义4(函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f N -ε的定义) 对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x f x f n ,我们称函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f ,记作)(x f n −→−−→−)(x f ) (∞→n ,D x ∈.(2)函数列一致收敛性的判别法定理3 (函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:对D x ∈∀,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-x f x f m n .定理4 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n .推论 设在数集D 上)(x f n →)(x f ) (∞→n .若存在数列D x n ⊂}{,使0 |)()(|→/-n n n x f x f ) (∞→n , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛.3、函数项级数及其一致收敛性 (1) 函数项级数及其和函数331定义5 设{})(x u n 是定义在数集E 上函数列,表达式∑∞=1)(n n x u ,E x ∈称为定义在E上的函数项级数.若E x ∈0,数列{})(0x u n 收敛,即极限∑=∞→∞→=nk kn n n x ux S 100)(lim)(lim 存在, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x 收敛, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的收敛点.若E x ∈0,数列{})(0x u n 发散, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x 发散, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的发散点. 函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)收敛点的全体组成数集D 称为函数项级数∑∞=1)(n nx u(E x ∈)收敛域.表达式∑∞=∞→==1)()(lim )(n nn n x ux S x S (D x ∈)中的)(x S 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (D x ∈)的和函数,或称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S .定义6(函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x ux S nk kn ∑==,对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上收敛于)(x S ,记作)()()(lim 1x S x ux S n nn n ==∑∞=∞→,D x ∈或)()(x S x S n →(∞→n ),D x ∈或)()(1x S x unk k→∑=(∞→n ),D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个0x ,332所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关.(2)函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性如果上述定义6中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S .定义7(函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x ux S nk kn ∑==,对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S ,记作)(1x unk k∑=−→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈或)(x S n −→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈.(3) 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性判别法定理5(Cauchy 准则) 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛⇔N ,0∃>∀ε,,N n >∀N ∈∀p ,∈∀x D ⇒ ε<-+)()(x S x S n p n 或ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n .推论 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛⇒n u )(x −→−−→−0 ) (∞→n .定理6 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛于)(x S ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D.定理7( Weierstrass 判别法,M-判别法)设级数∑)(x u n 定义在区间D 上,∑nM 是收敛的正项级数.当n 充分大时,对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤,则∑在D 上一致收敛.333证明 , |)(| )( 1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i pi in p i i n i n p i i n MM x u x u 然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是定理7可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数,则级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛.应用时,常可试取|})({|sup x u Mn Dx n∈=.但应注意,级数∑)(x u n 在区间D 上不存在优级数⇒/级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 定理8(Abel 判别法)设(ⅰ)级数∑)(x u n 在区间I 上收敛;(ⅱ)对每个∈x I ,数列)}({x v n 单调; (ⅲ) 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M ,使对I ∈∀x 和n ∀,有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 .定理9(Dirichlet 判别法) 设(ⅰ)级数∑)(x un的部分和函数列∑==nk kn x ux U 1)()(在区间I 上一致有界;(ⅱ) 对于每一个∈x I ,数列)}({x v n 单调;(ⅲ)在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零.则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛.(4) 一致收敛函数列极限函数的解析性质定理1(连续性)设在D 上n f −→−−→−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续⇒)(x f 在D 上连续.证明 要证: 对∈∀0x D ,)(x f 在点0x 连续.即证:对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时⇒ε<-|)()(|0x f x f .|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-.334估计上式右端三项.由一致收敛, 第一、三两项可以任意小;而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小.所以, 对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时,有ε<-|)()(|0x f x f推论 设在D 上)(x f n →)(x f .若)(x f 在D 上间断,则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.注 定理1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n },有)(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=,即极限次序可换 .定理2(可积性) 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛,且每个)(x f n 在] , [b a 上连续.则有 ()⎰⎰∞→∞→=baban n n n dx x f dx x f )(lim)(lim .证明 设在] , [b a 上n f −→−−→−)(x f , 由Th1,函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim . 注意到⎰⎰⎰-≤-ban baba n f f f f || , 可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.注:定理的条件可减弱为:用条件“)(x f n 在] , [b a 上(R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”.证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.定理3(可微性) 设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上,在某个点∈0x ] , [b a 收敛.对n ∀, )(x f n 在] , [b a 上连续可导,且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛, 则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛,且有())(lim)(lim x f dxd x f dxdn n n n ∞→∞→=.证明 设)(0x f n →A ,) (∞→n . )(x f n '−→−−→−)(x g , ) (∞→n .对∈∀x ] , [b a ,注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =⎰'+x x n n dt t f x f 0)()(0, 就有335⎰'+=∞→∞→∞→x x n n n n n n dt t f x f x f 0)(lim)(lim )( lim 0 (对第二项交换极限与积分次序)())()()(lim0x f dt t g A dt t f A x x xx n n ⎰⎰==+='+=∞→令估计⎰⎰--'+x x x x n n dt t g A dt t f x f 0)()()(0≤()⎰-'+-xx nn dtt g t f A x f 0)()()(0, 可证得)(x f n −→−−→−)(x f . )(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰xx dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim)(x f dx dn . 即()=∞→)(limx f dxdn n ∞→n lim)(x f dxdn . 亦即求导运算与极限运算次序可换.二、解证题方法例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列{})(x f n ,nn x x f =)(,用“N -ε”的定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且⎩⎨⎧=<===∞→∞→.1 , 1 , 1 || , 0 )(lim )(lim x x x f x x f nn n n解 因为对0>∀ε,()1,1-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,ln ln x N ε,当N n >时,有ε<=-=-nnn xx x f x f 0)()(,所以()1,1-∈x 时, 有)(lim )(lim x f x x f nn n n ==∞→∞→.当1=x 时, 有)(11lim )1(lim x f f nn n n ===∞→∞→, 当1-=x 时, 即)1(lim n n f ∞→不存在.例2 )(x f n =nnx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内0)(lim =∞→x f n n .解对0>∀ε,), (∞+∞-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,1εN ,当N n >时,有ε<≤=-=-nnnx nnx x f x f n 1sin 0sin )()(,即0)(lim =∞→x f n n .例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数) (∞→n .336(1))(x f n =xxx x nn n n --+-,R ∈x .(2) )(x f n =121+n x ,R ∈x .(3) 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=nn r r r x x r r r x ,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121 且,∈x ] 1 , 0 [.(4) )(x f n =2222xnxen -,R ∈x .(5) )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n解 (1)因为)(x f n =xxx x nn n n --+-,所以)(x f n →,sgn x R ∈x .(2)因为)(x f n =121+n x,所以)(x f n →,sgn x R ∈x .(3) 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且)(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.(4)因为)(x f n =2222xnxen -,所以)(x f n →0,R ∈x .(5)因为)(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n337所以)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n .( 注意⎰≡11)(dx x f n .)问题 若在数集D 上)(x f n →)(x f ,) (∞→n .试问:通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠11)(lim)(dx x f dx x f n n n .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.例4 nnx x f n sin )(=. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.证明1 显然nnx x f n sin )(=收敛于0)(=x f .对0>∀ε,R x ∈∀,1,1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当N n >时,有ε<≤-=-nnnx x f x f n 10sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.证明2对0>∀ε,R x ∈∀, 01,2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当Nm n >,时,有ε<+≤-=-mn mmx nnx x f x f m n 11sin sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.例5 )(x f n 2222xn xen -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.338证明 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛-nen f n ,) (∞→n . 由推论2 , )}({x f n 不一致收敛.例6 221)(xn xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0 ) (∞→n .证明 易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而nnx x n n xn x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=-在) , (∞+∞-内成立.例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n证明∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛.证明 10≤<x 时,只要1->x n ,就有)(x f n =0.因此,在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n l i m )(x f n =0. 0)0(=n f ⇒)0(f =∞→n lim)0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0.但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x ,) (∞→n ,因此, 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛.例8 )(x f n =12sin2+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:(1))0( , ] , [>-l l l ; (2)) , 0 [∞+.339例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数(称为几何级数)+++++=∑∞=nn nx x x x201的部分和函数列为) 1 ( 11)(≠--=x xxx S nn , 收敛域为) 1 , 1 (-.例10 几何级数∑∞=0n n x 在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛;但在) 1 , 1(-内非一致收敛.证明 在区间] , [a a -上,有 011sup|)()(|sup ],[],[→-=--=---aaaxx S x S nna a n a a ) (∞→n ⇒∑一致收敛;而在区间) 1 , 1(-内, 取∈+=1n n x n ) 1 , 1(-, 有∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nnn n n n nn n n x x x S x S ,) (∞→n ⇒∑非一致收敛.亦可由通项nn x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零⇒∑非一致收敛.几何级数∑∞=0n n x 虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛,但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数∑∞=0n n x 在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛.例11 判断函数项级数 ∑∞=in nnx 2sin 和 ∑∞=in nnx 2cos 在R 内的一致收敛性.340例12 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明:若级数∑)(a un与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 ,留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.…… 例13 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.解 记nn nn n x x v nx u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛; ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗;ⅲ>e n x x v nn ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1|)(| 对∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立.由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.例14 设数列}{n a 单调收敛于零.试证明: 级数∑nx a n cos 在区间] 2 , [απα-)0(πα<<上一致收敛.证明 由前面例4,在] 2 , [απα-上有212sin2121|2sin|21212sin2) 21sin(|cos |1+≤+≤-+=∑=αx x xn kx nk .可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界.取nx x u n cos )(=,n n a x v =)(就有级数∑)(x u n 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由Dirichlet 判别法,级数∑nx a n cos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.其实,在数列}{n a 单调收敛于零的条件下,级数∑nx ancos 在不包含) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.341例15 证明函数)(x f =∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内连续.证明 (先证∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0,有nanxnene--≤≤0,∈x ] , [b a ;又∑+∞<-nane⇒∑∞=-1n nxne在] , [b a 一致收敛.( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+,)(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论,∑∞=-1n nxne在区间] 2 , 2[00x x 上一致收敛;又函数nxne-连续⇒)(x f 在区间]2 , 2[00x x 上连续⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性,)(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.例16 =)(x S ∑∞=-11n n nn x, ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分 ⎰xdt t S 0)(.解显然∑∞=-11n n nn x一致收敛. 则∑∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-∞=-====1212111011)(n nn xn n xn xn n xnnxnntdt nn tdt nntdt t S .练习[1](北京理工大学2008年) 证明:xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.证明:取πn x n =',2='ny ,4ππ+=''n x n ,2=''n y ,因为+∞=''+∞='∞→∞→nn n n x x lim ,lim ,所以122c o s 2c o s l i m ),(),(l i m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''''-''+∞→+∞→πππn n y x f y x f n nn n n n ,进而()n n n n y x y x f c os ),(=在2R 内不一致收敛,再有归结原则知,xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.[2](山东师范大学2010年) 试确定函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑的收敛域,并讨论其和函数在定义域内的连续性与可微性.342解: (1)收敛域 令xn nx u 1)(=,则当0>x 时,{})(x u n 单调递减,并且0)(lim =∞→x u n n ,所以由交错级数收敛的莱布尼兹判别法,则交错级数111(1)n xn n∞+=-∑收敛.进而级数111(1)n xn n∞+=-∑的收敛域为()+∞,0,并设111(1)()n xn S x n∞+=-=∑.(2)连续性 因为)(1)1()2(1)1()1(1)1(lim )()1()()1()()1(lim 13212312=+-+++-++-=-++-+-++++∞→+++++++∞→xp n xn xn n p n p n n n n n n p n n n x u x u x u ,其中p 为常数,()+∞∈,0x ,所以函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑在()+∞,0内一致收敛.又因为)()1(1x u n n +-在()+∞,0内连续,所以和函数)(x S 在()+∞,0内连续,即函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑在()+∞,0内连续.(3)可微性因为函数项级数111111ln ln (1)(1)(1)n n nx xxn n n n n n nn+∞+∞+∞++==='-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑在()+∞,0内一致收敛,原因如下: ()()()23112131lim(1)()(1)()(1)()ln(1)11lim (1)(1)(1)(1)(2)()0n n n p n n n p n n n n p xxxn u x u x u x n n n n p +++++++→∞++++→∞'''-+-++-+=-+-++-+++= ,343并且函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑的每一项11(1)n xn+-的导数ln (1)nxn n-在()+∞,0内连续,所以和函数111()(1)n xn S x n∞+==-∑在()+∞,0内可微,并且111111ln ln ()(1)(1)(1)n n nx xxn n n n n S x n nn+∞+∞+∞++==='-⎛⎫'=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑.[3] 设函数在[],a b 上连续,且对[],x a b ∀∈,函数项级数()1()nn f x ∞=∑收敛,试证明()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.证明:因为函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上收敛,所以()()nn f x M ≤,并且()[]l i m ()l i m ()0,,nn n n u x f x x a b →∞→∞==∈, 即对01n ε∀<<,存在0N >,当n N>时,有()()()nnn u x f x ε=<,[],x a b ∈. 因为正项级数1nn N ε+∞=+∑收敛, 当然级数()111()Nnnnn n N n N f x N M εε+∞+∞==+=++≤+∑∑∑也收敛,其中{}1m ax n n NM M ≤≤=.所以魏尔斯特拉斯判别法知, 函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.[4](哈尔滨工大2008年) 设()x u n 在[]b a ,上满足条件:()()y x y u x u nn n -≤-21,,2,1=n ,且在[]b a ,上()x u n n ∑+∞=1逐点收敛,则()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明:()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上逐点收敛,所以()()()1lim limnn kn n k S x S x u x →∞→∞===∑,固定[],x a b ∈.由函数列(){}x S n 在[]b a ,上的柯西收敛准则:对0ε∀>,存在正整数N ,当,n m N >时,有()()n m S x S x ε-<,固定[],x a b ∈.344因为对[]b a x ,∈∀,有()()()()()()()()()()()()()()yx y x x S y S y S y S y S x S x S y S y S y S y S x S x S x S mnm m m n n n m m m n n n m n -++-<-+-+-≤-+-+-=-2121ε,其中[]b a y ,∈,且02121lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++-∞→∞→y x y x m n m n ε,所以()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.[5](重庆大学2010年) 证明:函数项级数1(1)(1)n n n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛,但是级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.证明:(1)证明函数项级数1(1)(1)n n n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛.因为当()00,1x ∈时,有()()0000000101lim ()lim (1)(1)lim 11nn k kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎡⎤⎪⎪=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑, 而0,1x x ==时,函数项级数1(1)(1)0n nn x x +∞=--=∑,所以函数项级数1(1)(1)nnn x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛, 进而1,[0,1)(1)(1)()0,1nnn x x xx S x x +∞=∈⎧--==⎨=⎩∑. 又因为()()11(li m 11n nkkn n n n k x x x x S x xx x x x →∞→∞→∞=⎧⎫⎡⎤---⎡⎤-⎪⎪⎣⎦=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥++⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑,其中[]0,1x ∈,所以函数项级数1(1)(1)nnn x x +∞=--∑在区间[]0,1上一致收敛.345(2) 后证明级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛因为当()00,1x ∈时,有()()0000000101lim ()lim (1)lim 11nn kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎛⎫⎪⎪=-=-⋅=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑, 而00x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 当01x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 所以函数项级数函数项级数1(1)nn x x +∞=-∑收敛于()S x x =,即1(1)()n n x x S x x +∞=-==∑, []0,1x ∈.取1111n n x n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()()11lim ()()lim 1lim 11nn nn n n n n n nn n n nx x S x S x x x x x +→∞→∞→∞--=-⋅-==-,所以函数列{}()n S x 在[]0,1上不一致收敛,进而级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.。

函数项级数

函数项级数
n 1

0, N ( ) N , 使得n, p N ,当n N ( )时,x I , 恒有
|Sn+p ( x ) Sn ( x ) | un1 ( x )
证明:
un p ( x )
Cauchy一致收敛原理给出了判别级数一致收敛的充 要条件,虽然应用起来并不方便,但却有重要的理论意 义。下面我们应用该原理推出一致收敛的一个好用的判 别准则。——Weierstrass判别准则或称M-判别准则。 定理2.2(M-判别准则) 若存在一个收敛的正项级数 M n
并记 u1 ( x) u2 ( x)
例如
(s(x)的定义域是?) 1 1 n n 在(-1,1)内, x 收敛于 ,即 x 1-x 1-x n 0 n 0
un ( x)
s( x)
记函数项级数的部分和 s n ( x ),
则 lim sn ( x) s ( x)

例2.6. 证明级数
ne
n 1

nx
在区间[δ,+∞)上一致收敛。
三.一致收敛级数的性质
定理2.3(和的连续性) 若在 I 上 un ( x ) 的每一项 un ( x)
n 1
都连续,且 un ( x) 一致收敛于 S ( x)
n 1

,则 S ( x) 在 I 上连续.
n
lim rn ( x ) 0
n
rn ( x ) s( x ) sn ( x ) 余项 (x在收敛域上)
例3 研究级数
x ( x2 x) ( x3 x 2 )
的收敛性,并求其和函数.
解 由于
( x n x n1 )

函数项数

函数项数
n n 0

满足不等式 x x 0 的点 x ,该级数都发散.
证明
(1) an x0 收敛, lim an x0 0,
n
n

n 0
n
高等数学(下)
M , 使得 an x0 M
n n n
n
( n 0,1,2,)
n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
2 n 1
收敛 .
x =- 2 时 ,
an x
2 n 1
收敛 .
高等数学(下)
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为 R1和R2 ,
n n


R minR1 , R2
(1) 加减法
n 0
n 0
an x bn x n 0 n 0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
n
a n x 收敛,即级数 an x 收敛;
n


n
n 0
n 0
高等数学(下)
(2) 假设当x x0时发散,
反设有一点x1 满足 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论, 则级数当 x x 0 时应收敛,
n
n
收敛区间( , ) .
收敛域也是 (,) .
高等数学(下)
1 n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim n a n n 1 n
n

2
n
1 1 1 1 ( , ) 0,1 收敛区间是 2 2 2 2 .

《数学分析》课件 (完整版)

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第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中,我们却经常要打破这两个限制。如:关于级数收敛的Cauchy积分判别法;概率统计中,随机变量的空间通常是无限的;第二宇宙速度;物理中的 函数;量子运动;‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义,在任意有限区间 上可积。若 存在,则称之为 在 上的广义积分,记为 此时亦称积分 收敛;若 不存在,则称积分 发散。
P.S. 为一符号,表示的是一无穷积分;而当它收敛时,还有第二重意义,可用来表示其积分值。
1. 2. 当 , 均收敛时,定义 显然, 的值与 的选取无关。
类似地,我们可以给出其它无穷积分的定义:
特别地,我们若可利用Taylor公式,求得

时 收敛, 时 发散, 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ,而有了上述的比较判别法;那么,将参照物取为指数函数 ,结果又如何呢? 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法,都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性;而且,我们还有Cauchy积分判别法,使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么,是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢?某些结论不能推广的原因是什么呢?
1. 结合律
对于收敛级数,可任意加括号,即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数,交换律成立 而对于条件收敛的级数,是靠正负抵消才可求和的,故重排后结果将任意。可见,绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛,其和为 ,设 为 的任意重排,则 亦绝对收敛,且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律,如结合律,交换律,分配律,在无穷和中均不成立。具体地,我们有下面的一些结论。

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章

第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。

⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(, (ii) x ∈; ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞;⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞, (ii) x ∈],[A A −(); 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(, (ii) x ∈; ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞; ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[;⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(, (ii) x ∈);),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(, (ii) x ∈;),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π;⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π, (ii) x ∈],[(0>δ);δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)x ∈],0(A (); 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。

解 (1)(i) ,0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0(∞→n ), 所以{}()n S x 在上非一致收敛。

(0,1) (ii) ,0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ,所以{}()n S x 在上一致收敛。

函数项级数的概念

函数项级数的概念

1 =1+ x + x 2 + x3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n + ⋅ ⋅ ⋅ . 1− x
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定理1(阿贝尔定理) 如 果 幂 级 数 ∑ anxn 当 x=x0(x0≠0) 时 收 敛 , 则 适 合 不 等 式 |x|<|x0|的一切x使幂级数∑anxn绝对收敛. 反之, 如果幂级数∑anxn 当x=x0 时发散, 则适合不等式 |x|>|x0|的一切x使幂级数∑anxn发散. >>>定理证明
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二、幂级数及其收敛性
幂级数 在函数项级数中, 形如 a0+a1x+a2x2+ ⋅ ⋅ ⋅ +anxn+ ⋅ ⋅ ⋅ 的级数称为幂级数, 其中常数ai(i=1,2,⋅ ⋅ ⋅)叫做幂级数的系数. 幂级数举例: 幂级数 1+x+x2+x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +xn + ⋅ ⋅ ⋅ 是公比为x的几何级数. 它在|x|<1时收敛, 在|x|≥1时发散. 因此它的收敛域为(−1, 1), 在收敛域内有
an+1 lim | |= lim n +1 =1 n→∞ an n →∞ n
故收敛半径为R=1. 所以收敛域为(−1, 1) .
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定理2(收敛半径的求法) ∞ an +1 如果 lim | |= ρ , 则幂级数 ∑ an x n 的收敛半径 R 为: n →∞ an n =0 0 时 R = 1 , 当ρ=0 时 R=+∞, 当ρ=+∞时 R=0. 当ρ ≠ ρ

函数项级数、幂级数的概念

函数项级数、幂级数的概念
微积分Ⅱ
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n

a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时,
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛,于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n

x0
收敛,对非零 x
n0
都发散,于是 R 0 .

求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ,所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散;
u n n
n an xn

11函数项级数简介

11函数项级数简介
第十章 函数项级数
无穷级数与极限有着十分密切的关系,它是函数表 示,函数逼近及数值计算的一种重要数学工具.
正项级数
常数项级数
交错项级数
无穷级数
函数项级数
任意项级数
幂级数
Laurent级数
Fourier级数
本章介绍常数项级数的基本概念,性质和判敛法 。
1
第一节 函数项级数简介
一、函数项级数的基本概念 二、函数项级数的一致收敛性
5
第十章 函数项级数
又如:(1)几何级数 zn 1 z z2 n1
在复平面上的函数项级数。
zn
是定义
收敛域为复平面上的单位圆域| z | 1 ,和函数为 S(z) z 。 1 z
(2)级数 (1)n1 xn ,
n1
n
收敛域为 (1, 1] ; 发散域为 (, 1] (1, ) .
S(z) 为级数的和函数,记作 un (z) S(z) , x D 。 n1
Rn (z)
S(z)
Sn ( z)
称为余项,且 lim n
Rn ( z )
0(z
D)

例如:函数项级数 (1)n1 xn x x2 x3 x4 n1
收敛域为(1,1) ,和函数为 S( x) x 。 1 x
6
第十章 函数项级数
例 1.求下列函数项级数的收敛域:
(1) ne nx n1
(2)
1 (1 x )n
n1 3 4n 1 x
(3) (1)n1 zn ;
n1
n2
7
第十章 函数项级数
(1) ne nx n1
解: lim n
n
un ( x)
lim
n
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第十讲 函数列与函数项级数一、知识结构 1、函数列收敛性(1)函数列收敛的概念和定义定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列,记作}{n f 或n f , ,3,2,1=n . 定义2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列,,,,21n f f f 的数列()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛,点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ⊆上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈,)(x f 称为函数列}{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f .定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于)(x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ,记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈或)()(x f x f n →(∞→n ),D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个0x ,所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. (2)函数列收敛的判定方法数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如,函数列)}({x f n 在D 上的柯西收敛准则.定理1 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上收敛的充要条件是:对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-00x f x f m n .定理2 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的归结原则) )()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈⇔对每一个固定的D x ∈0,当0lim x x m m =∞→时,有)()(lim )(lim lim 00x f x f x f n n m n m n ==∞→∞→∞→.2、函数列的一致收敛性(1)函数列一致收敛性的概念和定义如果上述定义3中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f .定义4(函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f N -ε的定义) 对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x f x f n ,我们称函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f ,记作)(x f n −→−−→−)(x f ) (∞→n ,D x ∈.(2)函数列一致收敛性的判别法定理3 (函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:对D x ∈∀,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-x f x f m n .定理4 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n .推论 设在数集D 上)(x f n →)(x f ) (∞→n .若存在数列D x n ⊂}{,使0 |)()(|→/-n n n x f x f ) (∞→n , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛.3、函数项级数及其一致收敛性 (1) 函数项级数及其和函数定义5 设{})(x u n 是定义在数集E 上函数列,表达式∑∞=1)(n n x u ,E x ∈称为定义在E上的函数项级数.若E x ∈0,数列{})(0x u n 收敛,即极限∑=∞→∞→=nk kn n n x u x S 100)(lim)(lim 存在, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x收敛, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的收敛点.若E x ∈0,数列{})(0x u n 发散, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x发散, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的发散点. 函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)收敛点的全体组成数集D 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)收敛域.表达式∑∞=∞→==1)()(lim )(n n n n x u x S x S (D x ∈)中的)(x S 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (D x ∈)的和函数,或称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S .定义6(函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x u x S nk k n ∑==,对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S ,记作)()()(lim 1x S x u x S n n n n ==∑∞=∞→,D x ∈或)()(x S x S n →(∞→n ),D x ∈或)()(1x S x u nk k →∑=(∞→n ),D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个0x ,所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. (2)函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性如果上述定义6中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S .定义7(函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x u x S nk k n ∑==,对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S ,记作)(1x unk k∑=−→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈或)(x S n −→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈.(3) 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性判别法定理5(Cauchy 准则) 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛⇔N ,0∃>∀ε,,N n >∀N ∈∀p ,∈∀x D ⇒ ε<-+)()(x S x S n p n 或ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n .推论 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛⇒n u )(x −→−−→−0 ) (∞→n .定理6 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛于)(x S ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D.定理7( Weierstrass 判别法,M-判别法)设级数∑)(x un定义在区间D 上,∑n M 是收敛的正项级数.当n 充分大时,对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤,则∑在D 上一致收敛.证明 , |)(| )(1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i pi i n p i i n i n pi in M M x u x u然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是定理7可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数,则级数∑)(x u n在区间D 上一致收敛.应用时,常可试取|})({|sup x u M n Dx n ∈=.但应注意,级数∑)(x un在区间D 上不存在优级数⇒/级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 定理8(Abel 判别法)设(ⅰ)级数∑)(x un在区间I 上收敛;(ⅱ)对每个∈x I ,数列)}({x v n 单调; (ⅲ) 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M ,使对I ∈∀x 和n ∀,有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 .定理9(Dirichlet 判别法) 设(ⅰ)级数∑)(x un的部分和函数列∑==nk k n x u x U 1)()(在区间I 上一致有界;(ⅱ) 对于每一个∈x I ,数列)}({x v n 单调;(ⅲ)在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零.则级数∑)()(x v x un n在区间I 上一致收敛.(4) 一致收敛函数列极限函数的解析性质 定理1(连续性)设在D 上n f −→−−→−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续⇒)(x f 在D 上连续.证明 要证: 对∈∀0x D ,)(x f 在点0x 连续.即证:对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时⇒ε<-|)()(|0x f x f .|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-.估计上式右端三项.由一致收敛, 第一、三两项可以任意小;而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小.所以, 对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时,有ε<-|)()(|0x f x f推论 设在D 上)(x f n →)(x f .若)(x f 在D 上间断,则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.注 定理1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n },有)(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=,即极限次序可换 .定理2(可积性) 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛,且每个)(x f n 在] , [b a 上连续.则有 ()⎰⎰∞→∞→=ba ban n n n dx x f dx x f )(lim )(lim .证明 设在] , [b a 上n f −→−−→−)(x f , 由Th1,函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→bab an n dx x f dx x f )()(lim . 注意到⎰⎰⎰-≤-ban baban f f f f ||, 可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.注:定理的条件可减弱为:用条件“)(x f n 在] , [b a 上(R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”.证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.定理3(可微性) 设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上,在某个点∈0x ] , [b a 收敛.对n ∀, )(x f n 在] , [b a 上连续可导,且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛, 则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛,且有())(lim )(lim x f dx dx f dx d n n n n ∞→∞→=.证明 设)(0x f n →A ,) (∞→n . )(x f n '−→−−→−)(x g , ) (∞→n .对∈∀x ] , [b a ,注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =⎰'+xx n n dt t f x f 0)()(0, 就有⎰'+=∞→∞→∞→xx n n n n n n dt t f x f x f 0)(lim )(lim )( lim 0 (对第二项交换极限与积分次序)())()()(lim 00x f dt t g A dt t f A xx xx nn ⎰⎰==+='+=∞→令估计⎰⎰--'+xx xx n n dt t g A dt t f x f 0)()()(0≤()⎰-'+-xx nn dt t g t f A x f 0)()()(0, 可证得)(x f n −→−−→−)(x f .)(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰x x dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim )(x f dx d n .即()=∞→)(lim x f dx d n n ∞→n lim )(x f dxdn . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 二、解证题方法例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列{})(x f n ,nn x x f =)(,用“N -ε”的定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且⎩⎨⎧=<===∞→∞→. 1 , 1 , 1 ||, 0 )(lim )(lim x x x f x x f n n n n解 因为对0>∀ε,()1,1-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,ln ln x N ε,当N n >时,有ε<=-=-nn n x x x f x f 0)()(,所以()1,1-∈x 时, 有)(lim )(lim x f x x f n n n n ==∞→∞→.当1=x 时, 有)(11lim )1(lim x f f nn n n ===∞→∞→, 当1-=x 时, 即)1(lim n n f ∞→不存在.例2 )(x f n =nnxsin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内0)(lim =∞→x f n n .解对0>∀ε,) , (∞+∞-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,1εN ,当Nn >时,有ε<≤=-=-nn nx n nx x f x f n 1sin 0sin )()(,即0)(lim =∞→x f n n .例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数) (∞→n .(1))(x f n =xx xx nn n n --+-,R ∈x . (2) )(x f n =121+n x,R ∈x .(3) 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=nn r r r x x r r r x ,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121 且,∈x ] 1 , 0 [.(4) )(x f n =2222x n xen -,R ∈x .(5) )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n解 (1)因为)(x f n =xx xx nn n n --+-,所以)(x f n →,sgn x R ∈x . (2)因为)(x f n =121+n x,所以)(x f n →,sgn x R ∈x .(3) 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令)(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且)(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. (4)因为)(x f n =2222x n xen -,所以)(x f n →0,R ∈x .(5)因为)(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n nn n n所以)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n .( 注意⎰≡11)(dx x f n .)问题 若在数集D 上)(x f n →)(x f ,) (∞→n .试问:通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠110)(lim )(dx x f dx x f n n n .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 例4 nnxx f n sin )(=. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 证明1 显然nnxx f n sin )(=收敛于0)(=x f . 对>∀ε,Rx ∈∀,1,1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当Nn >时,有ε<≤-=-nn nx x f x f n 10sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 证明2对0>∀ε,R x ∈∀, 01,2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当N m n >,时,有ε<+≤-=-mn m mx n nx x f x f m n 11sin sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.例5 )(x f n 2222x n xen -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.证明 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由推论2 , )}({x f n 不一致收敛. 例6 221)(xn xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0 ) (∞→n .证明 易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而n nx x n n x n x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 在) , (∞+∞-内成立.例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n证明∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛.证明 10≤<x 时,只要1->x n ,就有)(x f n =0.因此,在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f ⇒)0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0.但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x ,) (∞→n ,因此, 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 例8 )(x f n =12sin2+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:(1))0( , ] , [>-l l l ; (2)) , 0 [∞+.例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数(称为几何级数)+++++=∑∞=n n nx x x x201的部分和函数列为) 1 ( 11)(≠--=x xx x S nn , 收敛域为) 1 , 1 (-. 例10 几何级数∑∞=0n nx在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛;但在) 1 , 1(-内非一致收敛.证明 在区间] , [a a -上,有011sup |)()(|sup ],[],[→-=--=---a a ax x S x S nn a a n a a ) (∞→n ⇒∑一致收敛;而在区间) 1 , 1(-内, 取∈+=1n nx n ) 1 , 1(-, 有 ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nn n n n n nn n n x x x S x S ,) (∞→n ⇒∑非一致收敛.亦可由通项nn x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零⇒∑非一致收敛.几何级数∑∞=0n nx虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛,但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数∑∞=0n nx在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛.例11 判断函数项级数 ∑∞=i n n nx 2sin 和 ∑∞=in n nx2cos 在R 内的一致收敛性.例12 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明:若级数∑)(a un与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 ,留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.……例13 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛; ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗;ⅲ>e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立.由Abel 判别法,∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.例14 设数列}{n a 单调收敛于零.试证明: 级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-)0(πα<<上一致收敛.证明 由前面例4,在] 2 , [απα-上有212sin21 21|2sin |21 212sin 2) 21sin(|cos |1+≤+≤-+=∑=αx x xn kx nk . 可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界.取nx x uncos )(=,n n a x v =)(就有级数∑)(x u n 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由Dirichlet 判别法,级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.其实,在数列}{n a 单调收敛于零的条件下,级数∑nx ancos 在不包含) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.例15 证明函数)(x f =∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内连续.证明 (先证∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0,有nanxnene--≤≤0,∈x ] , [b a ;又∑+∞<-nane⇒∑∞=-1n nx ne 在] , [b a 一致收敛.( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+,)(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论,∑∞=-1n nx ne 在区间] 2 , 2[00x x 上一致收敛;又函数nx ne -连续⇒)(x f 在区间] 2 , 2[00x x上连续⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性,)(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.例16 =)(x S ∑∞=-11n n nn x , ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分 ⎰x dt t S 0)(.解显然∑∞=-11n n nn x 一致收敛. 则∑∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-∞=-====1210211010110)(n nn xn n x n x n n xn n x n n t dt n n t dt n n t dt t S . 练习[1](北京理工大学2008年) 证明:xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.证明:取πn x n =',2='n y ,4ππ+=''n x n ,2=''n y ,因为+∞=''+∞='∞→∞→n n n n x x lim ,lim ,所以122cos 2cos lim ),(),(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''''-''+∞→+∞→πππn n y x f y x f n nn n n n ,进而()n n n n y x y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛,再有归结原则知,xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.[2](山东师范大学2010年) 试确定函数项级数111(1)n xn n ∞+=-∑的收敛域,并讨论其和函数在定义域内的连续性与可微性.解: (1)收敛域 令xn n x u 1)(=,则当0>x 时,{})(x u n 单调递减,并且0)(lim =∞→x u n n ,所以由交错级数收敛的莱布尼兹判别法,则交错级数111(1)n x n n ∞+=-∑收敛.进而级数111(1)n x n n ∞+=-∑的收敛域为()+∞,0,并设111(1)()n xn S x n ∞+=-=∑. (2)连续性 因为)(1)1()2(1)1()1(1)1(lim )()1()()1()()1(lim 13212312=+-+++-++-=-++-+-++++∞→+++++++∞→xp n x n x n n p n p n n n n n n p n n n x u x u x u ,其中p 为常数,()+∞∈,0x ,所以函数项级数111(1)n xn n ∞+=-∑在()+∞,0内一致收敛.又因为)()1(1x u n n +-在()+∞,0内连续,所以和函数)(x S 在()+∞,0内连续,即函数项级数111(1)n x n n∞+=-∑在()+∞,0内连续. (3)可微性因为函数项级数111111ln ln (1)(1)(1)n n n x x xn n n n n n n n +∞+∞+∞++==='-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑在()+∞,0内一致收敛,原因如下:()()()23112131lim (1)()(1)()(1)()ln(1)11lim (1)(1)(1)(1)(2)()0n n n p n n n p n n n n p x xxn u x u x u x n n n n p +++++++→∞++++→∞'''-+-++-+=-+-++-+++=,并且函数项级数111(1)n x n n ∞+=-∑的每一项11(1)n x n +-的导数ln (1)n xn n -在()+∞,0内连续,所以和函数111()(1)n xn S x n ∞+==-∑在()+∞,0内可微,并且111111ln ln ()(1)(1)(1)n n n x x xn n n n n S x n n n +∞+∞+∞++==='-⎛⎫'=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑. [3] 设函数在[],a b 上连续,且对[],x a b ∀∈,函数项级数()1()nn f x ∞=∑收敛,试证明()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.证明:因为函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上收敛,所以()()nn f x M ≤,并且()[]lim ()lim ()0,,nn n n u x f x x a b →∞→∞==∈, 即对01n ε∀<<,存在0N >,当n N>时,有()()()nnn u x f x ε=<,[],x a b ∈. 因为正项级数1n n N ε+∞=+∑收敛, 当然级数()111()Nnnn n n N n N f x NM εε+∞+∞==+=++≤+∑∑∑也收敛,其中{}1max n n NM M ≤≤=.所以魏尔斯特拉斯判别法知, 函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.[4](哈尔滨工大2008年) 设()x u n 在[]b a ,上满足条件:()()y x y u x u nn n -≤-21, ,2,1=n ,且在[]b a ,上()x u n n ∑+∞=1逐点收敛,则()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明:()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上逐点收敛,所以()()()1lim lim nnk n n k S x S x u x →∞→∞===∑,固定[],x a b ∈.由函数列(){}x S n 在[]b a ,上的柯西收敛准则:对0ε∀>,存在正整数N ,当,n m N >时,有()()n m S x S x ε-<,固定[],x a b ∈.因为对[]b a x ,∈∀,有()()()()()()()()()()()()()()yx y x x S y S y S y S y S x S x S y S y S y S y S x S x S x S m n m m m n n n m m m n n n m n -++-<-+-+-≤-+-+-=-2121ε, 其中[]b a y ,∈,且02121lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++-∞→∞→y x y x m n m n ε,所以()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.[5](重庆大学2010年) 证明:函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛,但是级数1(1)nn xx +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.证明:(1)证明函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛.因为当()00,1x ∈时,有()()0000000101lim ()lim (1)(1)lim 11nn k kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎡⎤⎪⎪=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑, 而0,1x x ==时,函数项级数1(1)(1)0nn n x x +∞=--=∑,所以函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛, 进而1,[0,1)(1)(1)()0,1n nn x x x x S x x +∞=∈⎧--==⎨=⎩∑.又因为()()11(1)lim ()lim (1)(1)lim 111n nk k n n n n k x x x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫⎡⎤---⎡⎤-⎪⎪⎣⎦=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥++⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑,其中[]0,1x ∈,所以函数项级数1(1)(1)nn n x x +∞=--∑在区间[]0,1上一致收敛.(2) 后证明级数1(1)nn xx +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛因为当()00,1x ∈时,有()()0000000101lim ()lim (1)lim 11nn k n n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎛⎫⎪⎪=-=-⋅=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑, 而00x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 当01x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 所以函数项级数函数项级数1(1)nn xx +∞=-∑收敛于()S x x =,即1(1)()n n x x S x x +∞=-==∑, []0,1x ∈.取1111n n x n +⎛⎫=-⎪⎝⎭,则()()11lim ()()lim 1lim 11n n n n n n n n n n n n n nx x S x S x x x x x +→∞→∞→∞--=-⋅-==-,所以函数列{}()n S x 在[]0,1上不一致收敛,进而级数1(1)nn xx +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.。

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