高考数学第一轮复习教案
高考数学第一轮复习教案
高考数学第一轮复习教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学一轮复习教案
高考数学一轮复习教案教案标题：高考数学一轮复习教案教案目标：1. 确保学生对高考数学考试的各个知识点有全面的了解和掌握。
2. 帮助学生提高解题能力，培养分析和推理的能力。
3. 强化学生的数学思维和解题策略，提高应试能力。
教学内容：本教案主要围绕高考数学考试的各个知识点展开复习，包括代数、函数、几何、概率与统计等内容。
教学步骤：第一步：复习代数知识1. 复习一元二次方程的求根公式和应用。
2. 复习指数与对数的性质和运算法则。
3. 复习不等式的性质和解法。
第二步：复习函数知识1. 复习函数的定义和性质。
2. 复习函数的图像与性质，包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
3. 复习函数的运算法则和复合函数的求解。
第三步：复习几何知识1. 复习平面几何的基本概念和性质。
2. 复习三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦和正切等。
3. 复习平面几何中的相似三角形和勾股定理等。
第四步：复习概率与统计知识1. 复习概率的基本概念和计算方法。
2. 复习统计学中的数据收集、整理和分析方法。
3. 复习概率与统计在实际问题中的应用。
第五步：解题技巧和策略的讲解1. 教授解题的基本思路和步骤，包括审题、分析、解答和检查等。
2. 引导学生掌握解题中常用的技巧和策略，如代入法、逆向思维和分类讨论等。
3. 提供一些典型例题和解题方法的讲解和练习。
第六步：模拟考试和反馈1. 安排模拟考试，模拟高考数学试卷的形式和要求。
2. 收集学生的答卷并进行批改，给予详细的评价和建议。
3. 针对学生的错误和不足，进行有针对性的指导和讲解。
教学评估：1. 教师对学生的参与度和理解程度进行观察和评估。
2. 模拟考试的成绩和学生的答卷质量作为评估指标。
3. 学生对教学内容的反馈和问题的解答情况作为评估依据。
教学资源：1. 高考数学教材和辅助教材。
2. 高考数学模拟试卷和真题。
3. 多媒体设备和投影仪等。
教学延伸：1. 鼓励学生进行自主学习和拓展阅读，加深对数学知识的理解和应用能力。
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：平面向量的综合应用
§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。
高考数学的第一轮复习方案
高考数学的第一轮复习方案进入高三就要面临高考,为了实现美好的升学梦想,高三是关键,因此,高三数学复习相当重要,我们不仅要掌握科学有效的数学复习方法,还要在高三数学一轮复习中注意一些细节问题。
接下来是小编为大家整理的高考数学的第一轮复习方案，希望大家喜欢!高考数学的第一轮复习方案一高三数学一轮复习方法：重视“一题多解”“多题同解”学好数学要做大量的习题，但做了大量的题，数学都未必好，为何会出现这种反差呢?究其原因，是片面追求做题数量，而没有发挥做题的效果。
进入复习阶段后，大量的试题铺天盖地而来，这时我们一定要保持清醒的头脑，要有所为，有所不为。
学习数学不做题肯定不对，但不能陷入题海不能自拔，要充分发挥教材在知识形成过程中的作用，注意典型例题的示范价值，能够举一反三，重视“一题多解”和“多题同解”，做到以一题带一片。
要有针对性地做题，典型的题型，应该规范完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题;要循序渐进，由易到难，对做过的典型题型有一定的体会和变通，即按“学、练、思、结”程序对待典型的问题，这样做才能起到事半功倍的效果。
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高考数学的第一轮复习方案二(1)增强对数学函数性质的理解，就必须从函数单调性、对称性(奇偶性)、周期性等基本性质出发，探讨这些性质的内在联系和运用。
同时一定要注意函数性质与函数图象之间的联系，在高三数学第一轮复习中首要的就是弄明白这些基础。
(2)在此基础上去研究高中阶段常见的函数，掌握这些函数的内在规律，善于运用函数的性质去解决实际问题，利用好高三数学第一轮复习时间，把数学成绩做到有效提升。
(3)注重对数学函数思维方法的总结。
函数体系的每一个部分，都有相应的典型题型和主要思维方法。
注意解题规范，训练解题技巧有很多学生数学解题不规范，解题不注重策略，导致即使做的正确都要扣分，所以同学们一定要注意高三数学答题规范，答题层次不分，导致阅卷时感到同学做题是思路不清，这样很难拿到满分，在高三数学第一轮复习中一定要解决好这一问题。
高中一轮复习教案数学
高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：数列中的综合问题
§6.6数列中的综合问题考试要求数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n 项和公式等．题型一等差数列、等比数列的综合运算例1(2023·厦门模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32n 2＋12n ，递增的等比数列{b n }满足b 1＋b 4＝18，b 2·b 3＝32.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ∈N +，求数列{c n }的前n 项和T n .解(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2＋12(n －1)＝3n －1，又∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝2符合上式，∴a n ＝3n －1.∵b 2b 3＝b 1b 4，∴b 1，b 4是方程x 2－18x ＋32＝0的两根，又∵b 4>b 1，∴解得b 1＝2，b 4＝16，∴q 3＝b4b 1＝8，∴q ＝2，∴b n ＝b 1·q n －1＝2n .(2)∵a n ＝3n －1，b n ＝2n ，则c n ＝(3n －1)·2n ，∴T n ＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n －1)·2n ，2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n －1)·2n ＋1，将两式相减得－T n ＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －1)·2n ＋1＝4＋322(1－2n －1)1－2－(3n －1)·2n ＋1＝(4－3n )·2n ＋1－8，∴T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.思维升华数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．跟踪训练1(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．(1)证明由2S nn＋n ＝2a n ＋1，得2S n ＋n 2＝2a n n ＋n ，①所以2S n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)，②②－①，得2a n ＋1＋2n ＋1＝2a n ＋1(n ＋1)－2a n n ＋1，化简得a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知数列{a n }的公差为1.由a 4，a 7，a 9成等比数列，得a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12.所以S n ＝－12n ＋n (n －1)2＝n 2－25n2－6258，所以当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值为－78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n (n ∈N +)，设数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，则实数λ的取值范围为()A.14，＋∞C.38，＋∞答案D解析数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n ，①当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，②①－②得1na n ＝2n ，故a n ＝2n 2，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式．数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝141n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝141＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝141－1(n ＋1)2，由于T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，故141－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝n ∈N +上单调递减，故当n ＝1＝38，所以λ>38.(2)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ,2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．{a n }的通项公式；②记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.①解由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3a n ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，所以数列是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n－1，所以a n ＝11.②证明由①可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271n，a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－3<7528.综上所述，1271n≤S n <7528成立．命题点2数列与函数的交汇例3(1)(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋4x ，记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，则S 2022等于()A ．－4044B ．－2022C ．2022D ．4044答案A解析因为f (－x )＝－13x 3－4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因为f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，所以f (a 1＋2)＝－f (a 2022＋2)，所以a 1＋2＋a 2022＋2＝0，所以a 1＋a 2022＝－4，所以S 2022＝2022(a 1＋a 2022)2＝－4044.(2)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1,2]，且a 4＋λa 10＋a 16＝15，则实数λ的最大值为________．答案－12解析因为a 4＋λa 10＋a 16＝15,所以a 1＋3d ＋λ(a 1＋9d )＋a 1＋15d ＝15，令λ＝f (d )＝151＋9d －2，因为d ∈[1,2]，所以令t ＝1＋9d ，t ∈[10,19]，因此λ＝f (t )＝15t －2，当t ∈[10,19]时，函数λ＝f (t )是减函数，故当t ＝10时，实数λ有最大值，最大值为f (10)＝－12.思维升华(1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n 项和公式、求和方法等对式子化简变形．跟踪训练2(1)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2023的两个零点是a 2，a 3，则a 1a 4等于()A ．2023B ．1C ．－1D ．－2023答案D解析由题意a 2，a 3是x 2－x －2023＝0的两根．由根与系数的关系得a 2a 3＝－2023.又a 1a 4＝a 2a 3，所以a 1a 4＝－2023.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N +)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.①求数列{a n }，{b n }的通项公式；②设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.①解由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.所以S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，所以d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.②证明因为log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1，所以c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋1)＝所以T n －13＋13－15＋…＋12n －1－因为n ∈N +，所以T n <12，＝n 2n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)>0，所以数列{T n }是一个递增数列，所以T n ≥T 1＝13.综上所述，13≤T n <12.课时精练1．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，则a 1等于()A ．52－5B ．52＋5C ．52D ．5答案A解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，可得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，4a 3＝4a 1＋a 5，即4a 1＋a 1q 4＝4a 1q 2，即q 2－2＝0，解得q ＝2，a 1＝52－5.2．(2023·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7000万元()(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7000万元．3．在正项等比数列{a n }中，3为a 6与a 14的等比中项，则a 3＋3a 17的最小值为()A ．23B ．89C ．6D ．3答案C解析因为{a n }是正项等比数列，且3为a 6与a 14的等比中项，所以a 6a 14＝3＝a 3a 17，则a 3＋3a 17＝a 3＋3·3a 3≥2a 3·3·3a 3＝6，当且仅当a 3＝3时，等号成立，所以a 3＋3a 17的最小值为6.4．(2023·岳阳模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝－2a 5,1<a 3<2，则数列{a 3n }的前5项和S 5的取值范围是()－118，－－338，－答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝－12，数列{a 3n }是首项为a 3，公比为q 3＝－12的等比数列，则S 51＋12＝1116a 35．(多选)(2023·贵阳模拟)已知函数f (x )＝lg x ，则下列四个命题中，是真命题的为()A ．f (2)，f (10)，f (5)成等差数列B ．f (2)，f (4)，f (8)成等差数列C ．f (2)，f (12)，f (72)成等比数列D ．f (2)，f (4)，f (16)成等比数列答案ABD解析对于A ，f (2)＋f (5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f (10)＝2lg 10＝1，故f (2)，f (10)，f (5)成等差数列，故是真命题；对于B ，f (2)＋f (8)＝lg 2＋lg 8＝lg 16,2f (4)＝2lg 4＝lg 16，故f (2)，f (4)，f (8)成等差数列，故是真命题；对于C ，f (2)·f (72)＝lg 2×lg ＝lg 212＝f 2(12)，故f (2)，f (12)，f (72)不成等比数列，故是假命题；对于D ，f (2)f (16)＝lg 2×lg 16＝4lg 22＝(2lg 2)2＝lg 24＝f 2(4)，故f (2)，f (4)，f (16)成等比数列，故是真命题．6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，不是质数．现设a n ＝log 4(F n －1)(n ＝1,2，…)，S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析因为F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)，所以a n ＝log 4(F n －1)＝log 4(22n＋1－1)＝log 422n＝2n －1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1(1－2n )1－2＝2n －1.所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6.7.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中“落—形”就是每层为“三角形数”的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为________．答案120解析∵“三角形数”可写为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，…，∴“三角形数”的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴这个三角锥垛的第十五层球的个数为a 15＝15×162＝120.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，则p 的取值范围为________．答案ln 33，＋∞解析数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，故p ，设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2，令f ′(x )＝1－ln x x 2＝0，解得x ＝e ，故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)，所以函数在x ＝e 处取最大值，由于n ∈N +，所以当n ＝3时函数最大值为ln 33.所以p 的取值范围是ln 33，＋9．记关于x 的不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0(n ∈N +)的整数解的个数为a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足4T n ＝3n ＋1－a n －2.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝2b n －，若对任意n ∈N +，都有c n <c n ＋1成立，试求实数λ的取值范围．解(1)由不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0可得，n ≤x ≤3n ，∴a n ＝2n ＋1，T n ＝14×3n ＋1－12n －34，当n ＝1时，b 1＝T 1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12×3n －12，∵b 1＝1适合上式，∴b n ＝12×3n －12.(2)由(1)可得，c n ＝3n －1＋(－1)n －1，∴c n ＋1＝3n ＋1－1＋(－1)n ＋1，∵c n <c n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝2×3n ＋52(－1)n >0，∴(－1)n λ>－45×2n ，当n 为奇数时，λ<45×2n ，由于45×2n 随着n 的增大而增大，当n ＝1时，45×2n 的最小值为85，∴λ<85，当n 为偶数时，λ>－45×2n ，由于－45×2n 随着n 的增大而减小，当n ＝2时，－45×2n 的最大值为－165，∴λ>－165，综上可知，－165<λ<85.10．设n ∈N +，有三个条件：①a n 是2与S n 的等差中项；②a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)；③S n ＝2n ＋1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解(1)选择条件①：因为a n 是2与S n 的等差中项，所以2a n ＝2＋S n ，所以当n ≥2时，2a n －1＝2＋S n －1，两式相减得，2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，在2a n ＝2＋S n 中，令n ＝1，可得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件②：由a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)，知S n ＋1＝2(S n ＋1)，当n ＝1时，可求得a 2＝4，所以当n ≥2时，S n ＝2(S n －1＋1)，两式相减得，a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝2，a 2＝4也满足上式，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件③：在S n ＝2n ＋1－2中，令n ＝1，则a 1＝21＋1－2＝2，当n ≥2时，有S n －1＝2n －2，两式相减得，a n ＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，所以a n ＝2n .(2)因为{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，所以a n ·b n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，由(1)知，a n ＝2n ，所以b n ＝2n －12n －1，所以T n ＝1＋3＋5＋…＋2n －12n －1，12T n ＝1＋3＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，两式相减得，12T n ＝1＋2＋2＋…＋2－1－2n －12n ＝1＋2×21－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n，所以T n ＝6－2n ＋32n －1.11．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析设无穷等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d .若{a n }为递增数列，则d >0，则存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，所以充分性成立；若存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，即d >d －a 1n对任意的n >N 0，n ∈N +均成立，由于n →＋∞时，d －a 1n→0，且d ≠0，所以d >0，{a n }为递增数列，必要性成立．故选C.12．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)．若a 1>1，则()A ．a 1<a 3，a 2<a 4B ．a 1>a 3，a 2<a 4C ．a 1<a 3，a 2>a 4D ．a 1>a 3，a 2>a 4答案B 解析因为ln x ≤x －1(x >0)，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1，所以a 4＝a 1·q 3≤－1.由a 1>1，得q <0.若q ≤－1，则ln(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )·(1＋q 2)≤0.又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1>1，所以ln(a 1＋a 2＋a 3)>0，矛盾．因此－1<q <0.所以a 1－a 3＝a 1(1－q 2)>0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)<0，所以a 1>a 3，a 2<a 4.13．函数y ＝f (x )，x ∈[1，＋∞)，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N +，①函数f (x )是增函数；②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f (x )的解析式________．写出一个满足②但不满足①的函数f (x )的解析式________．答案f (x )＝x 2f (x )(答案不唯一)解析由题意，可知在x ∈[1，＋∞)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为f (x )＝x 2.第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为f (x ).则这个函数在1，43上单调递减，在43，＋∴f (x )在[1，＋∞)上不是增函数，不满足①.而对应的数列为a n 在n ∈N +上越来越大，属于递增数列．14．设函数f (x )－4，x ≤－3，x 2＋2，x >－3，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )(n ∈N +)，若{a n }是等差数列．则a 1的取值范围是__________．答案(－∞，－3]∪{－2,1}解析画出函数f (x )的图象如图所示，当a 1≤－3时，a 2＝f (a 1)＝a 1－4≤－7，a 3＝f (a 2)＝a 2－4≤－11，…，数列{a n }是首项为a 1，公差为－4的等差数列，符合题意，当a 1>－3时，因为{a n }是等差数列，①若其公差d >0，则∃k 0∈N +，使得0k a >2，这与a n ＋1＝f (a n )＝2－a 2n ≤2矛盾，②若其公差d ＝0，则a 2＝－a 21＋2＝a 1，即a 21＋a 1－2＝0，解得a 1＝－2或a 1＝1，则当a 1＝－2时，a n ＝－2为常数列，当a 1＝1时，a n ＝1为常数列，此时{a n }为等差数列，符合题意，③若其公差d <0，则∃k 0∈N +，使得0k a >－3且01k a ＋≤－3，则等差数列的公差必为－4，因此001k k a a ＋－＝－4，所以2－002k k a a －＝－4，解得0k a ＝－3(舍去)或0k a ＝2.又当0k a ＝2时，000123k k k a a a ＋＋＋＝＝＝…＝－2，这与公差为－4矛盾．综上所述，a 1的取值范围是(－∞，－3]∪{－2,1}．15．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n >0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有()A ．S n ≤2n 2＋3B ．S n ≥n 2＋4nC ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n 答案D 解析∵a n >0，∴a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1，∵a n a n ＋1＝n ＋1，∴{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2，∴数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ≥2×n (n ＋3)2＝n 2＋3n .16．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b nn ∈N +)，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n <1＋n .(1)解由已知a n ＋22＝2S n (n ∈N +)，整理得S n ＝18(a n ＋2)2，所以S n ＋1＝18(a n ＋1＋2)2.所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝18[(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2]＝18(a 2n ＋1＋4a n ＋1－a 2n －4a n )，整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0，由题意知a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝4，而a 1＝2，即数列{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2.(2)证明令c n ＝b n －1，则c n ＋a n a n ＋1－＝12n －1－12n ＋1.故b 1＋b 2＋…＋b n －n ＝c 1＋c 2＋…＋cn…1－12n ＋1<1.故b 1＋b 2＋…＋b n <1＋n .。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的概念及其表示
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。
第一轮高考数学复习方案
第一轮高考数学复习方案要想在考试中取得好成绩，绝对要做好第一轮复习。
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复习计划进度表(第一轮复习)第一章集合 (1课时模拟考试1次)1、集合的概念及集合的运算2、绝对值不等式、一元二次不等式的解法3、简易逻辑第二章函数 (4课时模拟考试1次)1、函数的概念及表示方法2、函数的解析式及定义域,函数的值域3、函数的奇偶性及函数的单调性4、反函数5、指数函数与对数函数,幂函数6、二次函数及方程的根7、函数的最值 8、函数的图象9、函数综合应用第三章数列 (3课时模拟考试1次)1、数列的有关概念2、等差数列3、等比数列4、等差与等比数列5、数列求和6、数列的应用第四章三角函数 (2课时模拟考试1次)1、任意角的三角函数2、同角的三角函数关系式及诱导公式3、两角和与差的三角函数4、三角函数的图象5、三角函数的性质6、已知三角函数值求角7、解三角形 8、三角形中的有关问题第五章平面向量 (1课时模拟考试1次 )1、向量与向量的运算2、平面向量的坐标运算3、平面向量的数量积及运算4、线段的定比分点和图象的平移5、解斜三角形第六章不等式 (1天模拟考试1次)1、含绝对值不等式与一元二次不等式的解法2、不等式的性质3、不等式的证明4、不等式的解法举例5、不等式的应用第七章直线和圆的方程 (1课时模拟考试1次)1、直线的方程2、两条直线的位置关系3、简单的线性规划4、曲线与方程5、圆的方程第八章圆锥曲线方程 (2课时模拟考试1次)1、椭圆、双曲线、抛物线2、直线与圆锥曲线的位置关系3、圆锥曲线的综合问题第九章立体几何初步 (3课时模拟考试1次)1、空间几何体2、点.线.之间的位置关系第十章排列、组合、二项式定理 (1课时模拟考试1次)1、两个计数原理2、排列、组合3、二项式定理及其应用第十一章概率与统计 (2课时模拟考试1次)1、随机事件的概率2、互斥事件有一个发生的概率3、相互独立事件同时发生的概率 4.抽样方法第十二章导数及其应用 (2课时模拟考试1次)1、导数的概念及运算2、导数的应用复习策略1.吃透大纲，把握复习方向(1)全面复习，突出重点内容高考，能力立意，考察数学思想，倡导理性思维的基本指导思想不会改变，高考命题不会过分追求知识的覆盖率，所以教学时应做到既要紧扣新大纲，抓好三基，全面复习，又要突出高中数学的重点内容和主干知识。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：空间直线、平面的平行
§7.4空间直线、平面的平行考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理常用结论1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β.2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．(×)教材改编题1．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.2．(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是() A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂βB．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥lC．若m⊥α，l⊥m，则l∥αD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l答案AD解析对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确．3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．答案平行四边形解析∵平面ABFE ∥平面DCGH ，又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH ∩平面DCGH ＝HG ，∴EF ∥HG .同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ,PD ＝AD ＝AB ＝2，CD＝4，E 为PC 的中点．求证：BE ∥平面PA D.证明方法一如图，取PD 的中点F ，连接EF ，FA .由题意知EF 为△PDC 的中位线，∴EF ∥CD ，且EF ＝12CD ＝2.又∵AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝4，∴AB 綉EF ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF .又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .方法二如图，延长DA ，CB 相交于H ，连接PH ，∵AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝4，∴HB HC ＝AB CD ＝12，即B 为HC 的中点，又E 为PC 的中点，∴BE ∥PH ，又BE ⊄平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .方法三如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PA D.命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA ∥GH .思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1如图，四边形ABCD 为长方形，PD ＝AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别为AD ，PC的中点．设平面PDC ∩平面PBE ＝l .证明：(1)DF ∥平面PBE ；(2)DF ∥l .证明(1)取PB 中点G ，连接FG ，EG ，因为点F 为PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ，因为四边形ABCD 为长方形，所以BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以DE ∥FG ，DE ＝FG ，所以四边形DEGF 为平行四边形，所以DF ∥GE ，因为DF ⊄平面PBE ，GE ⊂平面PBE ，所以DF ∥平面PBE ；(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，又DF ⊂平面PDC ，平面PDC ∩平面PBE ＝l ，所以DF ∥l .题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.思维升华(1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．跟踪训练2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH 与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.题型三平行关系的综合应用例4如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.解如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.所以点F即为所求的点．又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.设PA＝x，则PC＝2a2＋x2，由PB·BC＝PC·BE，得a2＋x2·a＝2a2＋x2·63 a，所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝3a.又CE＝a2－63a2＝33a，所以PEPC＝23，所以GECD＝PEPC＝23，即GE＝23CD＝23a，所以AF＝23a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．思维升华解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．跟踪训练3如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．解(1)当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1.又OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1.∴当A 1D1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝OD 1.因此BC 1∥OD 1，同理AD 1∥DC 1.∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DCAD .又A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.课时精练1.如图，已知P 为四边形ABCD 外一点，E ，F 分别为BD ，PD 上的点，若EF ∥平面PBC ，则()A ．EF ∥PAB ．EF ∥PBC．EF∥PCD．以上均有可能答案B解析由线面平行的性质定理可知EF∥PB.2．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0答案C解析对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，因此真命题的个数为1.3.在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB 的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案C解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是()答案AC解析对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，∴AB∥OD，∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．6.(2023·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则()A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形D．四边形MNEF为梯形答案D解析由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B 错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．7.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，则AC的长为________cm.答案72解析过点D 作直线AB 的平行线分别交平面β与平面γ于点M ，N ，连接AD ，BM ，CN ，ME ，NF ，如图所示，所以AD ∥BM ∥CN ，ME ∥NF ，所以AB BC ＝DM MN ＝DE EF ，因为AB ＝2cm ，DE ＝4cm ，EF ＝3cm ，所以2BC ＝43，解得BC ＝32cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝2＋32＝72(cm)．8.如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .则四边形EFGH 的形状为________．答案矩形解析因为CD ∥平面EFGH ，CD ⊂平面BCD ，平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ，所以CD ∥EF .同理HG ∥CD ，所以EF ∥HG .同理HE ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为CD ⊥AB ，所以HE ⊥EF ，所以平行四边形EFGH 为矩形．9.如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ；(2)平面BDE ∥平面MNG .证明(1)如图，设DF 与GN 的交点为O ，连接AE ，则AE 必过点O ，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.10．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP 折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC.解E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：如图，取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF.∵M，F分别为AD，CD的中点，∴MF∥AC.∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，∴EF∥BC.∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ，∴平面MEF ∥平面ABC .11.(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是()A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．棱A 1D 1始终与水面所在的平面平行D ．当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值答案ACD 解析由题图，显然A 是正确的，B 是错误的；对于C ，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，所以A 1D 1∥FG 且FG ⊂平面EFGH ，A 1D 1⊄平面EFGH ，所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)，所以C 是正确的；因为水是定量的(定体积V )．所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V ，所以BE ·BF ＝2V BC(定值)，即D 是正确的．12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且EF ∥平面PCD ，直线PD 与平面CEF 交于点H ，则线段CH 的长度为()A.2B ．2C ．22D ．23答案C 解析∵PD 与平面CEF 交于点H ，∴平面CEF ∩平面PCD ＝CH .∵EF ∥平面PCD ，∴EF ∥CH ，过点H 作HM ∥PA 交AD 于点M ，连接CM ，如图所示．∵EF ∩AP ＝F ，CH ∩HM ＝H ，∴平面AEF ∥平面CHM .∵平面AEF ∩平面ABCD ＝AE ，平面CHM ∩平面ABCD ＝CM ，∴AE ∥CM .又BC ∥AM ，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴AM ＝BC ＝2.又AD ＝4，∴M 是AD 的中点，则H 为PD 的中点，∴CH ＝CM 2＋MH 2＝22＋22＝2 2.13.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1与截面AD 1C 的位置关系是________，A 1B 与平面DD 1C 1C 的位置关系是________．答案相交平行解析A 1B 1与截面AD 1C 相交，由题意得A 1B ∥D 1C ，而A 1B ⊄平面DD 1C 1C ，D 1C ⊂平面DD 1C 1C ，所以A 1B ∥平面DD 1C 1C .14．如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是平面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC ，平面ABD 解析如图，连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，又AB ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABC ，MN ⊄平面ABD ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是()A.1，52 B.324，52C.52，2D ．[2，3]答案B 解析如图，取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上．因为A 1M ＝A 1N ＝1＋12252，MN ＝122＋122＝22，所以当点P 位于M ，N 点时，A 1P 最大，当点P 位于MN 的中点O 时，A 1P 最小，此时A 1O ＝522－242＝324，所以324≤|A 1P |≤52，所以线段A 1P 长度的取值范围是324，52.16.如图，矩形ABCD 所在平面与以BC 为直径的圆所在平面垂直，O 为BC 中点，M 是圆周上一点，且∠CBM ＝30°，AB ＝1，BC ＝2.(1)求异面直线AO 与CM 所成角的余弦值；(2)设点P 是线段AM 上的点，且满足AP ＝λPM ，若直线CM ∥平面BPD ，求实数λ的值．解(1)取AD 中点N ，连接CN ，MN ，OM ，ON ，如图，因为ABCD 为矩形，O ，N 分别为BC ，AD 中点，所以AO ∥CN ，所以∠MCN (或其补角)就是异面直线AO 与CM 所成角，因为平面ABCD ⊥平面BCM ，平面ABCD ∩平面BCM ＝BC ，在矩形ABCD 中，NO ⊥BC ，NO ⊂平面ABCD ，所以NO ⊥平面BCM ，又OM ⊂平面BCM ，所以NO ⊥OM ，在△MON 中，∠MON ＝90°，OM ＝NO ＝1，所以MN ＝2，又M 是圆周上一点，且∠CBM ＝30°，所以CM ＝1，在△MCN 中，CN ＝2，由余弦定理的推论可得cos ∠MCN ＝1＋2－22×1×2＝24，所以异面直线AO 与CM 所成角的余弦值为24.(2)如图，连接PB ，PD ，连接BD 交AC 于点Q ，连接PQ ，因为直线CM ∥平面BPD ，直线CM ⊂平面ACM ，平面BPD ∩平面ACM ＝PQ ，所以CM ∥PQ ，因为矩形ABCD 的对角线交点Q 为AC 中点，所以PQ为△AMC的中位线，所以P为AM中点，AP＝PM，又AP＝λPM，所以λ的值为1.。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：利用导数证明不等式
§3.6利用导数证明不等式考试要求导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果．题型一将不等式转化为函数的最值问题例1(2023·潍坊模拟)已知函数f (x )＝e x －ax －a ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，令g (x )＝2f (x )x2.证明：当x >0时，g (x )>1.(1)解函数f (x )＝e x －ax －a 的定义域为R ，求导得f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，当a >0时，令f ′(x )＝e x －a >0，解得x >ln a ，令f ′(x )<0，解得x <ln a ，即f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)证明当a ＝1时，g (x )＝2(e x －x －1)x 2，当x >0时，2(e x －x －1)x 2>1⇔e x >1＋x ＋x 22⇔12x 2＋x ＋1e x <1，令F (x )＝12x 2＋x ＋1e x －1，x >0，F ′(x )＝－12x 2e x<0恒成立，则F (x )在(0，＋∞)上单调递减，F (x )<F (0)＝1e 0－1＝0，因此12x 2＋x ＋1e x<1成立，所以当x >0时，g (x )>1，即原不等式得证．思维升华待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．跟踪训练1设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.(1)解由f (x )＝e x －2x ＋2a (x ∈R )知，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2，当x <ln 2时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(－∞，ln 2)上单调递减；当x >ln 2时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(ln 2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )的极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a ，无极大值．(2)证明要证当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1，即证当a >ln 2－1且x >0时，e x －x 2＋2ax －1>0，设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，由(1)知g ′(x )min ＝2－2ln 2＋2a ，又a >ln 2－1，则g ′(x )min >0，于是对∀x ∈(0，＋∞)，都有g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，于是对∀x >0，都有g (x )>g (0)＝0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.题型二将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2(2023·苏州模拟)已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明f (x )－e x x＋2e ≤0.(1)解函数的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝e x －a ＝e －ax x(x >0)，∴当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <e a ，由f ′(x )<0，得x >e a，即函数f (x )综上，当a ≤0时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )(2)证明证明f (x )－e x x ＋2e ≤0，只需证明f (x )≤e x x－2e ，由(1)知，当a ＝e 时，函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－e.令g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x2，∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝－e ，∴当x >0，a ＝e 时，f (x )－e x x＋2e ≤0.思维升华若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．跟踪训练2(2023·合肥模拟)已知函数f (x )＝e x ＋x 2－x －1.(1)求f (x )的最小值；(2)证明：e x ＋x ln x ＋x 2－2x >0.(1)解由题意可得f ′(x )＝e x ＋2x －1，则函数f ′(x )在R 上单调递增，且f ′(0)＝0.由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得x <0.则f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝0.(2)证明要证e x ＋x ln x ＋x 2－2x >0，即证e x ＋x 2－x －1>－x ln x ＋x －1.由(1)可知当x >0时，f (x )>0恒成立．设g (x )＝－x ln x ＋x －1，x >0，则g ′(x )＝－ln x .由g ′(x )>0，得0<x <1；由g ′(x )<0，得x >1.则g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )>g (x )，即e x ＋x ln x ＋x 2－2x >0.题型三适当放缩证明不等式例3已知函数f (x )＝a e x －1－ln x －1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.(1)解当a＝1时，f(x)＝e x－1－ln x－1(x>0)，f′(x)＝e x－1－1x，k＝f′(1)＝0，又f(1)＝0，∴切点为(1,0)．∴切线方程为y－0＝0(x－1)，即y＝0. (2)证明∵a≥1，∴a e x－1≥e x－1，∴f(x)≥e x－1－ln x－1.方法一令φ(x)＝e x－1－ln x－1(x>0)，∴φ′(x)＝e x－1－1 x，令h(x)＝e x－1－1 x，∴h′(x)＝e x－1＋1x2>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又φ′(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0，即f(x)≥0.方法二令g(x)＝e x－x－1，∴g′(x)＝e x－1.当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(0)＝0，故e x≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由e x≥x＋1⇒e x－1≥x(当且仅当x＝1时取“＝”)，由x－1≥ln x⇒x≥ln x＋1(当且仅当x＝1时取“＝”)，∴e x－1≥x≥ln x＋1，即e x－1≥ln x＋1，即e x－1－ln x－1≥0(当且仅当x＝1时取“＝”)，即f(x)≥0.思维升华导数方法证明不等式中，最常见的是e x和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．跟踪训练3(2022·南充模拟)已知函数f(x)＝ax－sin x.(1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；(2)求证：当x>0时，e x>2sin x.(1)解∵f(x)＝ax－sin x，∴f′(x)＝a－cos x，由函数f(x)为增函数，则f′(x)＝a－cos x≥0恒成立，即a≥cos x在R上恒成立，∵y＝cos x∈[－1,1]，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．(2)证明由(1)知，当a＝1时，f(x)＝x－sin x为增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0⇒x>sin x，要证当x>0时，e x>2sin x，只需证当x>0时，e x>2x，即证e x－2x>0在(0，＋∞)上恒成立，设g(x)＝e x－2x(x>0)，则g′(x)＝e x－2，令g′(x)＝0解得x＝ln2，∴g(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(ln2)＝e ln2－2ln2＝2(1－ln2)>0，∴g(x)≥g(ln2)>0，∴e x>2x成立，故当x>0时，e x>2sin x.课时精练1．已知函数f(x)＝ax＋x ln x，且曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线4x－y＋1＝0平行．(1)求实数a的值；(2)求证：当x >0时，f (x )>4x －3.(1)解f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1＋a ，由题意知，f ′(e)＝2＋a ＝4，则a ＝2.(2)证明由(1)知，f (x )＝2x ＋x ln x ，令g (x )＝f (x )－(4x －3)＝x ln x －2x ＋3，则g ′(x )＝ln x －1，由ln x －1>0得x >e ，由ln x －1<0得0<x <e ，故g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (e)＝3－e>0，即g (x )>0，即f (x )>4x －3.2．(2023·淄博模拟)已知函数f (x )＝e x －x －1.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)当x ≥0时，求证：f (x )＋x ＋1≥12x 2＋cos x .(1)解易知函数f (x )的定义域为R ，∵f (x )＝e x －x －1，∴f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )>0，解得x >0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，令f ′(x )<0，解得x <0，f (x )在(－∞，0)上单调递减，即f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)，∴函数f (x )的极小值为f (0)＝0，无极大值．(2)证明要证f (x )＋x ＋1≥12x 2＋cos x ，即证e x －12x 2－cos x ≥0，设g (x )＝e x －12x 2－cos x ，要证原不等式成立，即证g (x )≥0成立，∵g ′(x )＝e x －x ＋sin x ，sin x ≥－1，∴g ′(x )＝e x －x ＋sin x ≥e x －x －1x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 由(1)知，e x －x －1≥0(x ＝0时等号成立)，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴在区间[0，＋∞)上，g (x )≥g (0)＝0，∴当x ≥0时，f (x )＋x ＋1≥12x 2＋cos x 得证．3．已知函数f (x )＝x ln x －ax .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1>1e x ＋1－2e 2x 成立．(1)解函数f (x )＝x ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝x ln x ＋x ，f ′(x )＝ln x ＋2，由f ′(x )＝0，得x ＝1e2，当0<x <1e2时，f ′(x )<0；当x >1e2时，f ′(x )>0，所以f (x )0，1e 2上单调递减，在1e 2，＋∞因此f (x )在x ＝1e 2处取得最小值，即f (x )min ＝f 1e 2＝－1e2，无最大值．(2)证明当x >0时，ln x ＋1>1ex ＋1－2e 2x ，等价于x (ln x ＋1)>x ex ＋1－2e 2，由(1)知，当a ＝－1时，f (x )＝x ln x ＋x ≥－1e 2，当且仅当x ＝1e2时取等号，设G (x )＝x ex ＋1－2e 2，x ∈(0，＋∞)，则G ′(x )＝1－x e x ＋1，易知G (x )max ＝G (1)＝－1e 2，当且仅当x ＝1时取到，从而可知对一切x ∈(0，＋∞)，都有f (x )>G (x )，即ln x ＋1>1e x ＋1－2e 2x .4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x e ax －e x .(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x >0时，f (x )<－1，求a 的取值范围；(3)设n ∈N +，证明：112＋1＋122＋2＋…＋1n 2＋n >ln(n ＋1)．(1)解当a ＝1时，f (x )＝(x －1)e x ，x ∈R ，则f ′(x )＝x e x ，当x <0时，f ′(x )<0，当x >0时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)解设h (x )＝x e ax －e x ＋1，则h (0)＝0，又h ′(x )＝(1＋ax )e ax －e x ，设g (x )＝(1＋ax )e ax －e x ，则g ′(x )＝(2a ＋a 2x )e ax －e x ，若a >12，则g ′(0)＝2a －1>0，因为g ′(x )为连续不间断函数，故存在x 0∈(0，＋∞)，使得∀x ∈(0，x 0)，总有g ′(x )>0，故g (x )在(0，x 0)上单调递增，故g (x )>g (0)＝0，故h (x )在(0，x 0)上单调递增，故h (x )>h (0)＝0，与题设矛盾．若0<a ≤12，则h ′(x )＝(1＋ax )e ax －e x ＝e ax ＋ln(1＋ax )－e x ，下证：对任意x >0，总有ln(1＋x )<x 成立，证明：设S (x )＝ln(1＋x )－x ，x >0，故S ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，故S (x )在(0，＋∞)上单调递减，故S (x )<S (0)＝0，即ln(1＋x )<x 成立．由上述不等式有e ax ＋ln(1＋ax )－e x <e ax ＋ax －e x ＝e 2ax －e x ≤0，故h ′(x )≤0总成立，即h (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (0)＝0，满足题意．若a ≤0，则h ′(x )＝e ax －e x ＋ax e ax <1－1＋0＝0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (0)＝0，满足题意．综上，a ≤12.(3)证明取a ＝12，则∀x >0，总有12ex x －e x ＋1<0成立，令t ＝12e x ，则t >1，t 2＝e x ，x ＝2ln t ，故2t ln t <t 2－1，即2ln t <t －1t对任意的t >1恒成立．所以对任意的n ∈N +，有2ln n ＋1n <n ＋1n －n n ＋1，整理得ln(n ＋1)－ln n <1n 2＋n ，故112＋1＋122＋2＋…＋1n 2＋n>ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln(n ＋1)－ln n ＝ln(n ＋1)，故不等式成立．。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：正弦定理、余弦定理
§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝bsinB ＝c sinC ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R；(3)a ∶b ∶c＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S ＝12(a ＋b ＋思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为4，a ＝2，B ＝30°，则c 等于()A ．8B ．4C ．833D ．433答案A解析由S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2c ×12＝4，得c ＝8.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，b ＝2，c ＝2，则C ＝.答案45°或135°解析由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝2sin 30°2＝22，因为c >b ，B ＝30°，所以C ＝45°或C ＝135°.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简](2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系]思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长．(1)证明方法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A＝bsin B＝csin C可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*)．由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b2，2ab cos C＝a2＋b2－c2，22bc cos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D解析因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，c －a 2c ＝sin 2B2，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin A sin C，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为△ABC 的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．延伸探究将本例(2)中的条件“c －a 2c＝sin 2B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝a c ，所以由正弦定理得a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a ＝5c ，cos C ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若b ＝11，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a ·sin Cc.因为cos C ＝35，所以sin C ＝45，又a c ＝54，所以sin A ＝5sin C 4＝55(2)由(1)知sin A ＝55，因为a ＝5c 4<c ，所以0<A <π2，所以cos A ＝255，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝55×35＋45×255＝11525.因为b sin B ＝csin C，即1111525＝c 45，所以c ＝45，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×11×45×55＝22.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b (1＋cos C )＝3c sin ∠ABC 且△ABC 的外接圆面积为49π3.(1)求边c 的长；(2)若a ＝5，延长CB 至M ，使得cos ∠AMC ＝217，求BM .解(1)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意πR 2＝49π3，解得R ＝733.由题意及正弦定理可得sin ∠ABC (1＋cos C )＝3sin C sin ∠ABC ，因为sin ∠ABC ≠0，所以1＋cos C ＝3sin C ，即1，因为0<C <π，所以C －π6∈－π6，C －π6＝π6，即C ＝π3.故c ＝2R sin C ＝2×733×32＝7.(2)因为a ＝5，c ＝7，C ＝π3，故cos C ＝12＝25＋b 2－492×5×b ，得b 2－5b －24＝0，解得b ＝8(b ＝－3舍去)．在△ABC 中，由余弦定理可得cos ∠ABC ＝52＋72－822×5×7＝17，所以sin ∠ABC ＝437.由cos ∠AMC ＝217得sin ∠AMC ＝277.故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)＝sin∠ABC cos∠AMC－cos∠ABC sin∠AMC＝107 49，在△ABM中，由正弦定理可得BMsin∠BAM＝ABsin∠AMB，则BM＝7277×10749＝5.思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形C．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形答案BC解析对于A，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若b cos C＋c cos B＝b，则由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若acos A＝bcos B＝ccos C，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．(2)在①b2＋2ac＝a2＋c2；②cos B＝b cos A；③sin B＋cos B＝2这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝π3，b＝2，求△ABC的面积．解若选①，则由b2＋2ac＝a2＋c2，得2ac＝a2＋c2－b2.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选②，因为cos B ＝b cos A ，A ＝π3，b ＝2，所以cos B ＝b cos A ＝2cos π3＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选③，则由sin B ＋cos B ＝2，得2sin ＝2，所以 1.因为B ∈(0，π)，所以B ＋π4∈所以B ＋π4＝π2，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )；②2b cos A ＋a ＝2c ；③233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．①若，求角B 的大小；②求sin A ＋sin C 的取值范围；③如图所示，当sin A ＋sin C 取得最大值时，若在△ABC 所在平面内取一点D (D 与B 在AC 两侧)，使得线段DC ＝2，DA ＝1，求△BCD 面积的最大值．解①若选①，因为c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )，由正弦定理得c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选②，因为2b cos A ＋a ＝2c ，由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ＝2c ，化简得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选③，因为233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2，由余弦定理得233ac sin B ＝2ac cos B ，化简得tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.②由①得，A ＋C ＝2π3，则0<A <2π3，sin A ＋sin C ＝sin A ＋＝32sin A ＋32cos A ＝3sin 又π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin 1，则sin A ＋sin C ，3.③当sin A ＋sin C 取得最大值时，A ＋π6＝π2，解得A ＝π3，又B ＝π3，所以△ABC 为等边三角形，令∠ACD ＝θ，∠ADC ＝α，AB ＝AC ＝BC ＝a ，则由正弦定理可得a sin α＝1sin θ，所以sin α＝a sin θ.又由余弦定理得，a 2＝22＋12－2×2×1×cos α，所以a 2cos 2θ＝a 2－a 2sin 2θ＝cos 2α－4cos α＋4，所以a cos θ＝2－cos α.S △BCD ＝12×a ×＝32a cos θ＋12a sin θ＝32(2－cos α)＋12sin α＝3＋≤3＋1，当且仅当α＝∠ADC ＝5π6时等号成立，所以△BCD 面积的最大值为3＋1.课时精练1．在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B解析因为sin A ＝6sin B ，则由正弦定理得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×6×1×12，解得c ＝31.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，a ＝7，则△ABC 外接圆的直径为()A ．14B ．7C.733D.1433答案D 解析已知(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(b ＋c )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc＝－12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，所以sin A ＝sin2π3＝32，设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得2R ＝asin A ＝732＝1433，所以△ABC 外接圆的直径为1433.3．(2022·北京模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若3a sin B ＝b cos A ，且b ＝23，c ＝2，则a 的值为()A ．27B ．2C ．23－2D ．1答案B解析由已知及正弦定理得，3sin A sin B ＝sin B cos A 且sin B ≠0，可得tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，又b ＝23，c ＝2，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16－12＝4，解得a ＝2.4．(2023·枣庄模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于()A.2393B.2633C.833D ．23答案A解析由三角形的面积公式可得S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，解得c ＝4，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，设△ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2r ，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2r (sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C＝2r ＝asin A ＝1332＝2393.5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C ，2sin A －2sin B ＝0，则sin C 等于()A.12B.32C.6－24 D.6＋24答案C解析在△ABC 中，由(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C 及正弦定理得(b ＋c )2＝a 2＋(2－2)bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－22，而0°<A <180°，解得A ＝135°，由2sin A －2sin B ＝0得sin B ＝22sin A ＝12，显然0°<B <90°，则B ＝30°，C ＝15°，所以sin C ＝sin(60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝6－24.6．(2023·衡阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，lg sin C ＝12lg 3－lg 2，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案C解析∵2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，∴根据正弦定理得，2cos B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin B ，∴2cos B sin(A ＋C )＝sin B ，∴2cos B sin(π－B )＝sin B ，即2cos B sin B ＝sin B ，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵lg sin C ＝12lg 3－lg 2，∴lg sin C ＝lg32，∴sin C ＝32，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3或2π3，∵B ＝π3，∴C ≠2π3，∴C ＝π3，∴A ＝B ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．7．(2022·全国甲卷)已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝.答案3－1解析设BD ＝k (k >0)，则CD ＝2k .根据题意作出大致图形，如图．在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ＝22＋k 2－2×2k k 2＋2k ＋4.在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ＝22＋(2k )2－2×2×2k ·12＝4k 2－4k ＋4，则AC 2AB 2＝4k 2－4k ＋4k 2＋2k ＋4＝4(k 2＋2k ＋4)－12k －12k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)(k ＋1)2＋3＝4－12k ＋1＋3k ＋1.∵k ＋1＋3k ＋1≥23(当且仅当k ＋1＝3k ＋1，即k ＝3－1时等号成立)，∴AC 2AB 2≥4－1223＝4－23＝(3－1)2，∴当ACAB取得最小值3－1时，BD ＝k ＝3－1.8．(2023·宜春模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为．答案233解析∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，sin B sin C >0，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，∴sin A ＝12，∵b 2＋c 2－a 2＝8，结合余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得2bc cos A ＝8，∴A 为锐角，且cos A ＝32，从而求得bc ＝833，∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理，得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ，又∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B 为三角形内角，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理得c ＝2a ，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝9，即3a 2＝9，∴a ＝3，c ＝23，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×3×23×32＝332.10．(2023·湖州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知3b a sin B .(1)求角A 的大小；(2)若b ，a ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．解(1)∵3b a sin B ，由诱导公式得3b cos A ＝a sin B ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin A sin B ，∵sin B ≠0，∴3cos A ＝sin A ，即tan A ＝3，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵b ，a ，c 成等比数列，∴a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝12，即b 2＋c 2－bc ＝bc ，∴(b －c )2＝0，∴b ＝c ，又由(1)知A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．11．(多选)对于△ABC ，有如下判断，其中正确的是()A ．若cos A ＝cosB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若A >B ，则sin A >sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形答案ABD解析对于A ，若cos A ＝cos B ，则A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ，若A >B ，则a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B＝2R ，得2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B 成立，故B 正确；对于C ，由余弦定理可得b ＝82＋102－2×8×10×12＝84，只有一解，故C 错误；对于D ，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则根据正弦定理得a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C为钝角，所以△ABC 是钝角三角形，故D 正确．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A sin B sin C ＝18，△ABC 的面积为2，则下列选项错误的是()A ．abc ＝162B ．若a ＝2，则A ＝π3C ．△ABC 外接圆的半径R ＝22D ≥32sin C 答案B解析由题可得12ab sin C ＝2，则sin C ＝4ab，代入sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B ab ＝18，即R 2＝8，即R ＝22，C 正确；abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝1282×18＝162，A 正确；若a ＝2，则sin A ＝a 2R ＝242＝14，此时A ≠π3，B 错误；因为sin A >0，sin B >0，所以(sin A ＋sin B )2≥4sin A sin B ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥4sin A sin B ，由sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B＝32sin C ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥32sin C ，即≥32sin C ，D 正确．13．(2023·嘉兴模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin A ＝3a cos C ，c ＝23，ab ＝8，则a ＋b 的值是．答案6解析∵c sin A ＝3a cos C ，根据正弦定理得sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，故tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，代入c ＝23，ab ＝8，得a ＋b ＝6.14．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，那么BC ＝.答案9解析在△ABD 中，结合余弦定理得cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD，在△ACD 中，结合余弦定理得cos ∠ADC ＝CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD，由题意知BD ＝CD ，∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD ＋CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD ＝0，2×72CD 2×72CD 0，解得CD ＝92，所以BC ＝9.15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝332，则下列命题正确的是()A ．△ABC 的周长为5＋7B ．△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足关系A ＋B ＝2C C ．△ABC 的外接圆半径为2213D ．△ABC 的中线CD 的长为192答案ABD解析因为△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t ，t >0，利用余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4t 2＋9t 2－7t 212t 2＝12，由于C ∈(0，π)，所以C ＝π3.对于A ，因为S △ABC ＝332，所以12ab sin C ＝12·2t ·3t ·32＝332，解得t ＝1.所以a ＝2，b ＝3，c ＝7，所以△ABC 的周长为5＋7，故A 正确；对于B ，因为C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3，故A ＋B ＝2C ，故B 正确；对于C ，利用正弦定理c sin C ＝732＝2213＝2R ，解得R ＝213，所以△ABC 的外接圆半径为213，故C 错误；对于D ，如图所示，在△ABC 中，利用正弦定理732＝2sin A ，解得sin A ＝217，又a <c ，所以cos A ＝277，在△ACD 中，利用余弦定理CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos A ＝9＋74－2×3×72×277＝194，解得CD ＝192，故D 正确．16.如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，则B ＝.若线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，且BC ＝4，DE ＝ 6.则△BCE 的面积为．答案π323解析在△ABC 中，由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，而a 2＋c 2＝b 2＋ac ，∴cos B ＝12，又0<B <π，则B ＝π3，在△BCE 中，设∠CEB ＝θ，则CE sin π3＝BC sin θ，可得CE ＝23sin θ，又AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，则∠ECA ＝∠EAC ＝θ2，∴sin θ2＝DE CE ＝2sin θ2，可得cos θ2＝22，而0<θ<π，故θ2＝π4，即θ＝π2.∴CE ＝23，BE ＝2，故△BCE 的面积为12·CE ·BE ＝23.。
2025届高考数学一轮复习教案：计数原理、概率、随机变量及其分布-事件的独立性、条件概率与全概率公式
第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=(B)()为在事件A 发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式:①利用古典概型:P(B|A)=(B)();②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.【微点拨】P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,A n是一组__两两互斥__的事件,A1∪A2∪…∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】选BCD.因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以选项A错误;因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=(B)()=P(B),所以选项B正确;因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以选项C正确;因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以选项D正确.2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为12,23,则此谜题没被破解出的概率为()A.16B.13C.56D.1【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=12,P(B)=23,故P()=12,P()=13,所以P()=12×13=16,即此谜题没被破解出的概率为16.3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是()A.310B.35C.12D.14【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=(B)()=31035=12.4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为________.【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,则P(BC)=452×351=1221,P(B)=452=113,所以P(C|B)=(B)()=1221113=117.答案:1221117【巧记结论·速算】如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n).【即时练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为13,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59【解析】选B.各项均合格的概率为13×16×15=190.【核心考点·分类突破】考点一事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).则P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=536,P(D)=66×6=16,对于A选项,P(AC)=0;对于B选项,P(AD)=16×6=136;对于C选项,P(BC)=16×6=136;对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.【解题技法】两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).【对点训练】某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动”的主力军,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲、乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A与B为对立事件B.A与C互斥C.A与C相互独立D.B与C相互独立【解析】选C.依题意,甲、乙两人所选课程有如下情形:①有一门相同;②两门都相同;③两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C21C42C42=16,P(BC)=0,所以P(AC)=P(A)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),即A与C相互独立,B与C不相互独立.角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为________.【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件A k(k=1,2,3…),则P(X=2)=P(A1A2)+P(12)=P(A1)P(A2)+P(1)P(2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A12A3A4)+P(1A2A3A4)=P(A1)P(2)P(A3)P(A4)+P(1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5= 0.1.答案:0.50.1【解题技法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.【加练备选】某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为34且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为()A.764B.1532C.2732D.5764【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×(34×34)=964,故该部件正常工作的概率为34+964=5764.考点二条件概率[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为()A .35B .25C .27D .15【解析】选D .设事件A 为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B 为“两块板恰好是全等三角形”,则P (AB )=2C 72=221,P (A )=C 52C 72=1021,所以P (B |A )=(B )()=2211021=15.(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”.(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.①证明:R =(|)(|)·(|)(|);②利用该调查数据,给出P (A |B ),P (A |)的估计值,并利用①的结果给出R 的估计值.【解析】①因为R =(|)(|)·(|)(|)=(B )()·()(B )·(B )()·()(B ),所以R =(B )()·()(B )·(B )()·()(B ).所以R =(|)(|)·(|)(|).②由已知P (A |B )=40100=25,P (A |)=10100=110,又P (|B )=60100=35,P (|)=90100=910,所以R =(|)(|)·(|)(|)=25×91035×110=6.所以指标R 的估计值为6.【解题技法】求条件概率的常用方法(1)定义法:P (B |A )=(B )().(2)样本点法:P (B |A )=(B )().【对点训练】1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A .0.8B .0.4C .0.2D .0.1【解析】选A .根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(B)=0.5,同时爱好两个项目的占该地中学生总人数的50%+60%-70%=40%,则P(AB)=0.4,则P(A|B)=(B)()=0.40.5=0.8.2.根据历年的气象数据可知,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为()A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1【解析】选A.设“发生中度雾霾”为事件A,“刮四级以上大风”为事件B,所以P(A)=0.25,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为P(B|A)=(B)()=0.20.25=0.8.考点三全概率公式的应用[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为() A.79160B.35C.2132D.58【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|) =58×0.9+38×0.25=2132.(2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95,因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×(0.07+0.95)=0.51.【解题技法】利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i=1,2,…,n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.【对点训练】某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05.(1)任取一箱,求从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.【解析】记事件A为取到的是甲厂的产品,事件B为取到的是乙厂的产品,事件C 为取到的是废品.(1)P(A)=3050=35,P(B)=2050=25,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=7125.(2)P(A)=30×10030×100+20×120=59,P(B)=20×12030×100+20×120=49,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=118.。
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。
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目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。
2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。
3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。
教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。
2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。
3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。
4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。
教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。
2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。
3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。
4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。
结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。
希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：二项式定理
§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C nn取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n－与12Cn n＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅－－－＝－，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于()A ．31B ．32C ．15D ．16答案A解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝243，即3n ＝35，所以n ＝5，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝25－1＝31.3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n ＝64，所以n ＝6，则T k ＋1＝C k 6·x6－k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A ．－45B ．－10C ．45D ．65答案C解析由二项式定理得T k ＋1＝C k －k(－x 2)k＝55210(1)C k kk x－－，令5k2－5＝0得k ＝2，所以常数项为(－1)2C 210＝45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k ＝(－a )k C k 5352k x.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A ．56B ．84C ．112D ．168答案D解析在(1＋x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.(2)在(2x ＋a 的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A ．3204B ．－160C ．160D ．－320答案D解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ＝C k 6·2k ·x6－2k ，2xT k ＋1＝C k 6·2k ＋1·x 7－2k，由k ∈N ，得7－2k ≠2，故不成立，aT k ＋1＝a C k 6·2k ·x6－2k，令6－2k ＝2，解得k ＝2，则a C 26·22＝60a ＝－120，解得a ＝－2，∵7－2k ≠0，在－2T k ＋1中，令6－2k ＝0，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为－2C 36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28.(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135答案D解析令x ＝1，得各项系数和为2n ，又二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 不正确；x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ＝C k 6·(－1)k 36－k ·362x ，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135，故C 不正确，D 正确．(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x )10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x k，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a 2＋a 6＋a 8＝C 210＋C 610＋C 810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k ＋1＝C k 6－k·(－2x )k ＝(－2)k C k 6·x2k －6.对于A ，令2k －6＝0，解得k ＝3，∴常数项为(－2)3C 36＝－8×20＝－160，A 正确；对于B ，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0,2,4,6，∴T 1＝x －6，T 3＝4C 26x －2＝60x －2，T 5＝(－2)4C 46x 2＝240x 2，T 7＝(－2)6x 6＝64x 6，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令x ＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D 正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式，下列说法正确的是()A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；在2中，令x ＝1，得(1－3)6＝64，故B 正确；展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝(－3)k C k 6x12－3k (0≤k ≤6，k ∈N )，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为(－3)4C 46＝1215，故C 正确；由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C 26＝135，第5项系数为(－3)4C 46＝1215，第7项系数为(－3)6C 66＝729，则系数最大的项为第5项，故D 不正确．(2)设(2＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．答案1解析令x ＝1有a 0＋a 1＋…＋a 10＝(2＋1)10，令x ＝－1有a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2－1)10，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512023＋a 能被13整除，则a 等于()A ．0B ．1C ．11D ．12答案B解析因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，所以512023＋a ＝(52－1)2023＋a＝C 020********－C 12023522022＋C 22023522021－…＋C 2022202352－C 20232023＋a ，因为512023＋a 能被13整除，所以－C 20232023＋a ＝－1＋a 能被13整除，结合选项，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析由题意可得T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k＝(－1)k C k 5·2k ·x10－3k ，令10－3k ＝4，则k ＝2，所以所求系数为(－1)2C 25·22＝40.2．(多选)若2的展开式中的常数项为1516，则实数a 的值可能为()A ．2 B.12C ．－2D ．－12答案AC 解析2的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝Cx 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46＝1516，即＝116，解得a ＝±2.3．在(x ＋3)的展开式中，常数项为()A ．－152 B.152C ．－52D.52答案A 解析原式＝＋，①而的通项公式为T k ＋1C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×C 36＝－152.4．在的展开式中，x 的指数是整数的项数是()A ．2B ．3C ．4D．5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 24(x )24－＝512624C kkx －，所以当k＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1120x 4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a ＝3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3，则当n ＝2023时，a 除以15所得余数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案A解析∵C 0n 3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3＋C n n 30＝(3＋1)n ＝4n，∴a ＝4n －1，当n ＝2023时，a ＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C 010********＋C 11011151010＋…＋C 1010101115，故此时a 除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是()A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k＝62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－－.对于A 选项，令6－2k3＝0，可得k ＝3，故常数项是第4项，A 错误；对于B 选项，各项的系数和是＝164，B 正确；对于C 选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C 正确；对于D 选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D 正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x )2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．展开式中所有项的二项式系数和为22023B ．展开式中系数最大项为第1350项C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝32023－12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－1答案AD解析易知(1－2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A 正确；由二项式通项，知T k ＋1＝C k 2023(－2x )k ＝(－2)k C k 2023x k ，所以第1350项的系数为(－2)1349C 13492023<0，所以第1350项不是系数最大项，故B 错误；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝－1，①当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝32023，②①－②，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝－1＋320232，故C 错误；当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝12时，a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－a 0＝－1，故D 正确．9．若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案80211解析因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.∴在(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4，设第k ＋1k 8·2k ≥C k －18·2k －1，k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，解得5≤k ≤6.又k ∈N ，∴k ＝5或k ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.11．(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是()A ．120B ．－120C ．60D ．30答案A解析由题意知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第k ＋1项为C k 5(x ＋y )5－k(－2z )k ，令k ＝2，可得第3项为(－2)2C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3x 3－m y m ，令m ＝2，可得第3项为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是(－2)2C 25C 23＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案－431解析因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.13．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n 等于()A ．405B ．810C ．243D ．64答案B解析(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1.令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n .又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810.14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2023＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2023x 2023，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2023等于()A ．－12023B.12023C ．2023D ．－2023答案A 解析令x ＝12，得－2023＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝0.令x ＝0，得b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝－1.由a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，是首项为1S 1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n ，所以S 2023＝－12023.。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：抛物线
§8.7抛物线考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y ＝4x 2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x 2＝4y .(√)教材改编题1．抛物线x 2＝14y 的准线方程为()A ．y ＝－116B ．x ＝－116C ．y ＝116D ．x ＝116答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y 线方程为y ＝－116.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于()A ．9B ．8C ．7D ．6答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x答案B解析由题意可得|MF |＝x M ＋p2，则3＋p2＝4，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于()A ．2B ．22C ．3D ．32答案B 解析方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设y 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝2 2.方法二由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2，所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4，所以AF 的长为通径长的一半，所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.(2)已知点M (20,40)不在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，抛物线C 的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________．答案42或22解析当点M (20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |，|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P ，M ，F 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为4141，解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或p ＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y ＝mx 2(m >0)上的点(x 0,2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A ．4B ．3 C.14D.13答案D解析由题意知，抛物线y ＝mx 2(m >0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0,2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13.(2)若P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案34－4解析圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4的圆心为C (－3,3)，半径r ＝2，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，所以要使d 1＋d 2最小，即P 到抛物线的焦点与到圆C 的圆心的距离最小，如图，连接PF ，FC ，则d 1＋d 2的最小值为|FC |减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即(－3－2)2＋(3－0)2－2－2＝34－4，所以d 1＋d 2的最小值为34－4.题型二抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x答案D解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，∴在Rt △ACE 中，2|AE |＝|AC |，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，∴3＋3a ＝6，解得a ＝1，∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，∴p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x .(2)(2022·烟台模拟)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝－2D ．x ＝－4答案B解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点将点P 的横坐标代入抛物线得y 2＝16p ，可得y ＝±4p ，不妨令P (8,4p )，则S △OFP ＝12×p2×4p ＝p p ＝22，解得p ＝2，则抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.题型三抛物线的几何性质例3(1)在抛物线y 2＝8x 上有三点A ，B ，C ，F 为其焦点，且F 为△ABC 的重心，则|AF |＋|BF |＋|CF |等于()A ．6B ．8C ．9D ．12答案D解析由题意得，F 为△ABC 的重心，故AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，设点A ，B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，∵抛物线y 2＝8x ，F 为其焦点，∴F (2,0)，∴AF →＝(2－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，∵AF →＝13(AB →＋AC →)，∴2－x 1＝13(x 2－x 1＋x 3－x 1)，∴x 1＋x 2＋x 3＝6，∴|AF →|＋|BF →|＋|CF →|＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12.(2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是()A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE ∥x 轴，所以∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形，所以∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4，故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ∥AE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；因为∠DAE ＝60°，所以∠ADE ＝30°，所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确；因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3(p ＝0舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM →＝2MN →，则|FN |＝________.答案16解析易知焦点F 的坐标为(4,0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM →＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|FN |＝16.课时精练1．(2022·桂林模拟)抛物线C ：y 2＝－32x 的准线方程为()A ．x ＝38B ．x ＝－38C ．y ＝38D ．y ＝－38答案A解析y 2＝－32x 的准线方程为x ＝38.2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A ．6B ．4C ．3D ．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y ＝－p 2，可得1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝－8x答案D解析由题意知动点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，x ＝2为准线的抛物线，所以p ＝4，轨迹方程为y 2＝－8x .4．(2022·北京模拟)设M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若∠OFM ＝120°，则|FM |等于()A ．3B ．4 C.43D.73答案B解析过点M 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为点N ，连接FN ，如图所示，因为∠OFM ＝120°，MN ∥x 轴，则∠FMN ＝60°，由抛物线的定义可得|MN |＝|FM |，所以△FNM 为等边三角形，则∠FNM ＝60°，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，设直线x ＝－1交x 轴于点E ，则∠ENF ＝30°，易知|EF |＝2，∠FEN ＝90°，则|FM |＝|FN |＝2|EF |＝4.5．(多选)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线的方程为y 2＝8x ，焦点F (2,0)，故B 错误；则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)－8＝4，得x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点，点B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，则下列结论正确的是()A ．C 的准线方程为x ＝24B ．b ＝2C.OA →·OB →＝2D.1|AF |＋1|BF |＝16215答案BD解析点a >0)，B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，2＝a 22，2＝a 2，＝2，＝2，则抛物线C ：y 2＝2x ，B (2，2)，抛物线C 的准线方程为x ＝－24，故A 错误，B 正确；OA →·OB →＝22×2＋1×2＝1＋2，故C 错误；抛物线C 的焦点则|AF |＝324，|BF |＝524，则1|AF |＋1|BF |＝223＋225＝16215，故D 正确．7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．答案26解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．8．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案545解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|FM |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F 0，p 2当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1，M 坐标为(－2,1)．又直线l 过点F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)，MB →＝(x 2＋2，y 2－1)．∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M ，不符合题意，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的第一象限的点P (x ,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程和点P 的坐标；(2)1l 交抛物线C 于A ，B 两点，若∠APB 的角平分线与y 轴垂直，求弦AB 的长．解(1)由1＋p 2＝2，可得p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y ，当y ＝1时，x 2＝4，又因为x >0，所以x ＝2，所以点P 的坐标为(2,1)．(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)＋12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋k ＋12，2＝4y ，得x 2－4kx －4k －2＝0，所以Δ＝16k 2＋4(4k ＋2)>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k －2，因为∠APB 的角平分线与y 轴垂直，所以k P A ＋k PB ＝0，所以k P A ＋k PB ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，即x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，即x 1＋x 2＋4＝0，所以k ＝－1，x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P 4116，1r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论正确的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案BCD 解析设抛物线的焦点为F，如图所示，则F 14，0因为4116，1l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14x －14＝43x －13.y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B 116，－14故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确；直线AO ：y ＝x ＝x ，＝－14.可得－14，－y C ＝y 2，所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确．12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点M 是抛物线C 上一点，MH ⊥l 于H ，若|MH |＝4，∠HFM ＝60°，则抛物线C 的方程为________．答案y 2＝4x 解析因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF |＝|MH |＝4，又∠HFM ＝60°，所以△MHF 为正三角形，所以|HF |＝4，记准线l 与x 轴交于点Q ，则∠QHF ＝30°，所以p ＝|QF |＝|HF |sin ∠QHF ＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y 2＝4x .13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (9,6)，动点C 在线段OB 上，BD ⊥y 轴，CE ⊥y 轴，CF ⊥BD ，垂足分别是D ，E ，F ，OF 与CE 相交于点P .已知点Q 在点P 的轨迹上，且∠OAQ ＝120°，则|AQ |等于()A ．4B ．2C.43D.23答案A解析设P (x ，y )，则y C ＝y ，∵l OB ：y ＝23x ，∴，∴E (0，y )，，∵FC ∥y 轴，∴△OPE ∽△FPC ，∴EP CP ＝OE FC，∴x 32y －x ＝y 6－y ，即y 2＝4x ，∴P 的轨迹方程为y 2＝4x 在第一象限的部分且0≤x ≤9，故A (1,0)为该抛物线的焦点．设Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，AQ →＝(x 0－1，y 0)，AO →＝(－1,0)，∴cos ∠OAQ ＝AO →·AQ →|AO →|·|AQ →|＝1－x 0(x 0－1)2＋y 20·1＝1－x 0x 0＋1＝－12，解得x 0＝3，∴|AQ |＝x 0＋p 2＝3＋1＝4.14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线C 上的两个动点，且AF ⊥AB ，∠ABF ＝30°，设线段AB 的中点M 在准线l 上的射影为点N ，则|MN ||AB |的值是________．答案32解析如图所示，作BE ⊥l ，AD ⊥l ，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，所以b＝2a，则|MN|＝3a 2，又|AB|＝b2－a2＝3a，故|MN||AB|＝3a23a＝32.。
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2019届高考数学第一轮复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2019届高考数学第一轮复习教案，希望能给大家带来帮助!
平面向量
1、向量有关概念:
(1)向量的概念:既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么?(向量可以平移).
典例:已知，则把向量按向量平移后得到的向量是.
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量，记作，注意零向量的方向是任意的；
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作∥，提醒? 规定零向量和任何向量平行.
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性!(因为有)；④三点共线共线；
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量. 的相反向量是.
典例:下列命题:(1)若，则.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3)若，则是平行四边形.(4)若是平行四边形，则.(5)若，则.(6)若，则.其中正确的是(4)，(5) .
2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如，，等；(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，= 叫做向量的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
3.平面向量的基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
典例:(1)若，则；
(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( B )
A. B.
C. D. ；
(3)已知分别是的边的中点，且，则；
(4)在中，，，则的值是0 .
4、实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下:①，②当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，注意: .
5、平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量，作称为向量的夹角，当时，同向，当时，反向，当时，垂直.
特别提醒:根据两个非零向量的夹角的定义，求其夹角时应保证两个向量的起(或终)点相同.
典例:在中，若，则向量与的夹角是.
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积)，记作: ，即.
另规定:零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量.
典例:1) 中，，则-9 ；
2)已知，与的夹角为，则等于1 ；
3)已知，则等于；
4)已知是两个非零向量，且，则的夹角为
(3) 在上的投影为，是一个实数.由数量积定义有简化公式:
典例:已知，且，则向量在向量上的投影为.
(4) 的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积.
(5)向量数量积的性质:设两个非零向量，其夹角为，则:①；
②当，同向时，= ，特别地，；
当与反向时，= ；
当为锐角，且不同向.( 是为锐角的必要非充分条件)；
当为钝角，且不反向.( 是为钝角的必要非充分条件)；
典例:若向量与向量夹角为锐角，则；
③非零向量，夹角的计算公式: ；显然可推出.
典例:若与之间有关系式.
①用表示；②，此时与的夹角.
④在中，
典例:在中，，且，则夹角的取值范围是.
6、向量的运算:
(1)几何运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”:设，那么向量叫做与的和，即；
②向量的减法:用“三角形法则”:设，由减向量的终点指向被减向量的终点.注意:此处减向量与被减向量的起点相同.
典例:1)化简: ；；；
2)若正方形的边长为1，，则= ；
3)点O在所在平面内，且，则形状为直角三角形；
4)在中，为中点，点满足.设，则的值为2 ；
5)若点是的外心，且，则的内角为____(答: )；
(2)坐标运算:设，则:
①向量的加减法运算: ，.
典例:1)已知点，，若，则当= 时，点P在第一、三象限的角平分线上；
2)已知，，则；
3)已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是(9，
1).
②实数与向量的积: .
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
典例:设，且，，则C、D的坐标分别是；
④平面向量数量积: .
典例:已知向量.
1)若，求向量、的夹角；(答: )
2)若，函数的最大值为，求的值；(答: 或)
⑤向量的模: .
典例:已知均为单位向量，它们的夹角为，那么= ；
⑥两点间的距离:若，则.
典例:如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若，其中分
别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为.
(1)若点P的斜坐标为，求到的距离；(答:2)
(2)求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方
程.(答: )；
7、向量的运算律:(1)交换律: ，，；
(2)结合律: ，；
(3)分配律: ，.
典例:给出命题:①；②；③
④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；
⑧；⑨ .其中正确的是①⑥⑨ .
提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么?
8、向量平行(共线)的充要条件: =0.
典例:1)若向量，当= 2 时与共线且方向相同；
2)已知，，，且，则x= 4 ；
3)设，则k= -2或11 时，A，B，C共线.
9、向量垂直的充要条件: .
特别地.
典例:1)已知，若，则；
2)以原点和为两个顶点作等腰，，则点的坐标是(1，
3)或(3，-1)；
3)已知向量，且，则的坐标是.
10、向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
(2) .
当同向或有，；
当反向或有，；
当不共线(这些和实数比较类似).
(3)在中，若.
①其重心的坐标为.
典例:若的三边的中点分别为，则⊿ABC的重心的坐标；
②为的重心；为的重心
③为的垂心；
或者为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤为的内心；
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
(3)三点共线存在实数使得且.
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、
资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
典例:平面直角坐标系中，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹方程是.。